精品解析：浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

锦绣育才教育集团2025学年第一学期期中检测 八年级数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的定义，熟记轴对称的定义是解本题的关键． 根据轴对称的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 【详解】解：选项中B，C，D均有对称轴，为轴对称图形， A不是轴对称图形， 故选：A 2. 下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）． A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 4，5，11 D. 6，3，3 【答案】B 【解析】 【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答． 【详解】解：A、1+2=3，不符合题意； B、3+4>5，符合题意； C、4+5<11，不符合题意； D、3+3=6，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．　 3. 已知等腰三角形的一个外角是，则它的底角度数是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，分这个外角是顶角的外角和底角的外角两种情况讨论，结合三角形外角的性质，三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：设底角为，则顶角为． ∵ 若外角是顶角的外角，则顶角的外角等于两个底角之和， 即， ∴ ． ∵ 若外角是底角的外角，则底角的外角等于顶角与另一个底角之和， 即， ∴ ． 此时三角形两底角之和为 ，不符合三角形内角和定理，故舍去． ∴ 底角为． 故选：A 4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是求出不等式的解集．先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示不等式的解集为： ， 故选：B． 5. 下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a与b互为倒数 C. 直角三角形两个锐角互余 D. 角平分线上的一点到角的两边距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A、逆命题是“若，则”，因为当时，可以相等，也可以互为相反数，故为假命题； B、逆命题是“若与互为倒数，则”，是真命题； C、逆命题是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题； D、逆命题是“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，是真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的真假判断、角的互余，倒数，角的平分线的判定，数的平方与平方根的概念，熟练掌握相关知识是解答的关键． 6. 下列说法错误的是( )． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断． 【详解】解：A、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； B、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； C、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意； D、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 7. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据A，B两点的坐标建立平面直角坐标系，再由图形即可得解，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 【详解】解：∵表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， ∴由图形可得，叶杆“底部”点C的坐标为， 故选：B． 8. 如图，在中，，，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 垂直平分线段 【答案】B 【解析】 【分析】根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，根据作图可知，，垂直平分，得到，推出，进而得到，三线合一，推出垂直平分线段，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，进行判断即可． 【详解】由作图可知：， ∴垂直平分， 又∵点E在上， ∴B，故A正确，但不合题意； ∵ ∴，又 ∴，又 ∴ ∵垂直平分， ∴是等腰三角形， ∴ 又， ∴， ∴，故C正确，但不符合题意． 由可知，垂直平分线段， 故D正确，但不符合题意． 由点A在线段的垂直平分线上知， ， ∴． 故B不正确，但符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查含30度的直角三角形，中垂线的作图，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】由题意可知，， ∴． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：． 故选：B． 10. 如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，则可得；再证明，从而可得出是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得，求得的值，由，可得的值，设，则，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可． 【详解】解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、、于点、，，连接、，如图所示： ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，；，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 同理：， ∴， 即当的周长取最小值时，的长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 二．填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 12. 点在第三象限内，则整数的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了点所在的象限、一元一次不等式组的应用，熟练掌握点的坐标的特征是解题关键．根据第三象限内的点的横、纵坐标均小于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：∵点在第三象限内， ∴， 解得， 则整数的值为2， 故答案为：2． 13. 如图，已知，为的中点，若，，则____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行线的性质求出，再证明，根据全等三角形的性质即可求出的长，最后由线段和差即可求出的长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据只有四个整数解的条件确定a的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得： ； 由②得： ，即 ． ∴不等式组的解集为 ． 由于只有四个整数解，且，因此整数解为 1， 0， ， ． 为确保解集包含 但不包含 ， ∴． 故答案为： 15. 如图，动点在直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……按这样的运动规律，经过第110次运动后，动点经过的路径长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、实数的加法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出动点第次运动的路径长，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：动点第1次运动的路径长为， 动点第2次运动的路径长为， 动点第3次运动的路径长为， 动点第4次运动的路径长为， 则动点第次运动的路径总长为， 观察可知，动点运动的路径长是以为一个循环往复的， ∵， ∴经过第110次运动后，动点经过的路径长为， 故答案为：． 16. 如图，中，，平分，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，过点作于点，作于点，先求出的长，再利用三角形的面积公式求出的长，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，作于点， ∵平分， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 解得， 又∵平分，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 三．解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、学数有邻演算步骤或证明过程） 17. （1）解不等式：； （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解． （2）分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：（1）， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 18. 如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在小正方形的顶点上，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）以格点为顶点，作，使，，． （2）在（1）的基础上，在线段上画一点G，使． 【答案】（1）如图1所示：即为所求作； （2）如图2，点G即为所求， 【解析】 【分析】题目主要考查勾股定理与网格，理解题意，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意，利用网格作三角形即可； （2）利用网格作出等腰直角三角形即可 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 19. 2024年12月26日，我国一架形似银杏叶的划时代飞行器，在一架歼的伴随下飞上天空，引爆全网，震惊世界．某商家借助这一热点，购进如图所示的甲、乙两款玩具战机进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 （1）求甲、乙两款玩具战机的进货单价； （2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具战机共100件，若每件甲款玩具战机的售价为160元，每件乙款玩具战机的售价为110元，且销售完这100件玩具战机所获得的利润不低于7200元，则商家最少需购进甲款玩具战机多少件？ 【答案】（1）甲款玩具战机的进货单价为80元，乙款玩具战机的进货单价为50元； （2）商家最少需购进甲款玩具战机60件． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程组或不等式，然后求解． （1）设甲款玩具战机的进货单价为元，乙款玩具战机的进货单价为元，列出方程组然后求解即可； （2）设商家购进甲款玩具战机件，则购进乙款玩具战机件，列出不等式然后求解即可． 【小问1详解】 解：设甲款玩具战机的进货单价为元，乙款玩具战机的进货单价为元。 根据题意，得：， 解得； 答：甲款玩具战机的进货单价为80元，乙款玩具战机的进货单价为50元． 【小问2详解】 解：设商家购进甲款玩具战机件，则购进乙款玩具战机件， 根据题意，得：， 解得； 答：商家最少需购进甲款玩具战机60件． 20. 已知点，解答下列各题． （1）若点P在y轴上，求点P的坐标． （2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． （1）根据在y轴上的点横坐标为0，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到与互为相反数，故，解出的值，由此得到答案． 【小问1详解】 解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵直线轴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ∴， 解得， 此时点， ∴． 21. 如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求CM的长度． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据角平分线平分角，对顶角相等，以及等角的余角相等，推出，进而得到，即可得证； （2）作于点F，角平分线的性质得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于点F，如图所示， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 由（1）知：， ∴， 即的长度为3． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的性质，勾股定理，等积法求线段的长．掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 22. 已知为直角三角形，，作．平分，点为的中点，过作，且，． （1）求证：； （2）求的长 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，根据角平分线和垂直的性质可得，根据等边对等角的性质即可求解； （2）根据可证，如图所示，连接，可证，由此可得，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵是等腰三角形，点为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，且，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形中角的相互转换，掌握直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结，，取的中点为点G． （1）求证：； （2）当时，求证：是等边三角形； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵、分别是边、上的高线， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵G是的中点， ∴； （2） 证明：∵、分别是边、上的高线， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再根据等腰三角形三线合一，可证； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再结合等腰三角形的性质可推出，即可证明是等边三角形； （3）根据（2）中的结论及的长度可求出和的长度，根据是中点可得的长度，再根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知：是是等边三角形，且， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握三角形的各类性质是解题的关键． 24. 问题背景：如图1，在与中，，，．求证：． 类比探究：如图2，在中，，，点D为边上任意一点（不是中点），求证：． 拓展应用：如图3，在四边形中，，，，，，求的长． 【答案】问题背景：证明：∵， ∴. 又∵，， ∴， ∴； 类比探究：证明：过点A作，且，连结与， ∵在中，，且 ∴ ∴ 又∵， ∴. ∴，， ∵在中，， ∴中，有， 即. ； 【解析】 【分析】（1）证即可；（2）证得，，结合，即可求证；（3）法①：过点D作，使得，且，则为等边三角形.连结交于点F，过点E作的延长线交于点H.证得，，结合题意推出，，即可求解；法②：过点C作，使得， 且，则为等边三角形. 连结并延长，过点D作交于点F.推出为等边三角形，证得，即可求解； 【详解】（1）略 （2）略 （3）法①：过点D作，使得，且，则为等边三角形.连结交于点F，过点E作的延长线交于点H. ∵ ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由，得， ∴，，， ∴， ∴， 即， 法②：过点C作，使得， 且，则为等边三角形. 连结并延长，过点D作交于点F. ∵为等边三角形， ∴， ， ∵， ， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则在中，有，， ∴在中，. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，学会举一反三，做出正确的辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦绣育才教育集团2025学年第一学期期中检测 八年级数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）． A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 4，5，11 D. 6，3，3 3. 已知等腰三角形的一个外角是，则它的底角度数是（ ） A. B. C. 或 D. 4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a与b互为倒数 C. 直角三角形两个锐角互余 D. 角平分线上的一点到角的两边距离相等 6. 下列说法错误的是( )． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 垂直平分线段 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（ ） A. 3 B. C. D. 二．填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 12. 点在第三象限内，则整数的值为______． 13. 如图，已知，为的中点，若，，则____ ． 14. 已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围________． 15. 如图，动点在直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……按这样的运动规律，经过第110次运动后，动点经过的路径长为______． 16. 如图，中，，平分，，，则的长为______． 三．解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、学数有邻演算步骤或证明过程） 17. （1）解不等式：； （2）解不等式组 18. 如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在小正方形的顶点上，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）以格点为顶点，作，使，，． （2）在（1）的基础上，在线段上画一点G，使． 19. 2024年12月26日，我国一架形似银杏叶的划时代飞行器，在一架歼的伴随下飞上天空，引爆全网，震惊世界．某商家借助这一热点，购进如图所示的甲、乙两款玩具战机进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 （1）求甲、乙两款玩具战机的进货单价； （2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具战机共100件，若每件甲款玩具战机的售价为160元，每件乙款玩具战机的售价为110元，且销售完这100件玩具战机所获得的利润不低于7200元，则商家最少需购进甲款玩具战机多少件？ 20. 已知点，解答下列各题． （1）若点P在y轴上，求点P的坐标． （2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 21. 如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求CM的长度． 22. 已知为直角三角形，，作．平分，点为的中点，过作，且，． （1）求证：； （2）求的长 23. 如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结，，取的中点为点G． （1）求证：； （2）当时，求证：是等边三角形； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 24. 问题背景：如图1，在与中，，，．求证：． 类比探究：如图2，在中，，，点D为边上任意一点（不是中点），求证：． 拓展应用：如图3，在四边形中，，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $