精品解析：辽宁省葫芦岛市兴城市2025-2026学年九年级上学期数学期中试题 -

兴城市初中2025-2026学年第一学期同步测试 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需注意整式方程和未知数个数的限制 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项 【详解】∵ 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程， 选项A：，只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，∴ 是一元二次方程； 选项B：，若则不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C：，含有两个未知数x和y，∴ 不是一元方程； 选项D：，含有分式，不是整式方程，∴ 不是一元二次方程； 故选A 2. 下列是四个高校校徽的主体标识，其图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】A、是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、不是中心对称图形． 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次函数的顶点式的顶点为进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数的顶点式的顶点为是解本题的关键． 4. 抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则“左加右减，上加下减”即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为， 故选：A． 5. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，使用配方法解一元二次方程，通过移项和配方将方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴（移项）， ∵配方需加一次项系数一半的平方，即， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 7. 已知二次函数的图象过，，三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，直接计算二次函数在、1、4处的函数值，并比较大小即可． 【详解】解：∵， 当时，； 当时，； 当时，； ∴，，， ∵， ∴． 故选：D． 8. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，根据旋转得到，进而得到，等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∵点恰好落在边上，且， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 9. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥寥数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．二次函数的图象如图所示，无论为何值，函数值恒为负数的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在x轴下方，可得抛物线开口向下，与x轴无交点，即可判断 ． 【详解】解：二次函数的图象在x轴下方， 抛物线开口向下，与x轴无交点， 即，， 解得， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，点，的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接,，由中点坐标公式得的中点与原点O重合，作轴于M，轴于N，证明得到，，得，代入二次函数解析式得，即可得到． 【详解】解：连接,， ∵点，的坐标分别是，， ∴中点坐标为，即，与原点重合， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 作轴于M，轴于N，则, ∴ ∵， ∴， ∴， ∴, ∵点的坐标是， ∴， ∴， 代入二次函数解析式得， 解得． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，证明得到，，是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上. 【详解】解：∵抛物线 的开口向上， ∴ ， ∴ . 故答案为： 12. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，以及求代数式的值．根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，据此求出的值，进而即可求得的值． 【详解】解：因为点与点关于原点对称， 所以，， 解得，； 因此． 故答案为：2． 13. 如图，该图案绕它的中心至少旋转____________后可以和自身完全重合． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了旋转角．解题的关键是熟练掌握旋转中心，旋转方向，旋转角．根据图形的旋转对称性，用除以6计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴旋转的角度是的整数倍， ∴旋转的角度至少是． 故答案为：60． 14. 如图，抛物线（，，，为常数）的顶点坐标为，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题，解题的关键是将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题． 将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此分析解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线与直线有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 15. 在中，，，点为延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，当时，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确构造全等三角形． 先由含角的直角三角形的性质得到，以为边，在上方作等边，可证明，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 以为边，在上方作等边， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程∶ （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标为，，． （1）画出，使与关于轴对称，并写出点的坐标； （2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出，并写出点的坐标； （3）在（1）、（2）的基础上，请直接写出的长度． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，； （2） 如图，即为所求，； （3） 【解析】 【分析】此题考查轴对称作图，旋转作图，勾股定理，正确掌握轴对称的性质即旋转的性质是解题的关键： （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 18. 我们规定：对于任意实数，，，有▲，其中等式右边按照乘法和加法进行运算，如▲． （1）若▲，求的值； （2）若关于的方程▲有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）且 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，理解新定义的含义是解题的关键． （1）根据新定义，将方程左边写成，然后解一元二次方程； （2）根据新定义，将方程化成一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式列不等式解题即可． 【小问1详解】 由题可知：， ， ， 解得：或； 【小问2详解】 由题意得，▲， ∴， ∵关于的方程▲有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 19. 近年来，兴城泳装行业蓬勃发展，泳装销量逐年提升，为进一步扩大市场，某商店在“泳装节”期间对一款泳装进行降价出售，这款泳装原来的价格是200元/套，经两次降价后变为162元/套． （1）若该商店两次降价的百分率相同，求该款泳装价格每次下降的百分率； （2）活动结束后，经市场调研发现，当这种款式泳装每套盈利10元时，月销售量为500套，如果调整销售单价，每涨价1元，则月销售量就减少25套，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该款式泳装每套应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）4元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据题意，根据降价前的价格降价后的价格列方程求解即可． （2）设该款式泳装每套涨价元，根据月销售利润达到5600元列方程，解方程后根据让顾客得到实惠确定结果． 【小问1详解】 解：设该款泳装价格每次下降的百分率为， 根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：该款泳装价格每次下降的百分率； 【小问2详解】 解：设该款式泳装每套涨价元， 根据题意得：， 整理得， 解得，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该款式的泳装每套应涨价4元． 20. 如图，抛物线（为常数，）与轴交于点，两点，点为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5． （1）求的取值范围； （2）若为等腰直角三角形，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数有最大值可得，将二次函数解析式配成顶点式，根据最大值不超过5可得，即可求出的取值范围； （2）分别求出三点坐标即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ∵二次函数有最大值， ∴， ∵函数最大值不超过5， ， 解得： ， 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， ， ， 过点作轴于点 ， 为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 解得： ∴的值为． 21. 为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 （1）求火星运行路线所在抛物线的解析式； （2）如图1，火星刚好落在操场围栏和地面的交界处，求火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； （3）为安全接住火星，在操场围栏旁沿图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为米，为米．为确保火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且火星运行的抛物线形状保持不变，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，求出对应的x即可得出答案． （3）分别求出对应D点和E点的抛物线解析式，进而可求出答案． 【小问1详解】 解：由题可知：抛物线的顶点为 ∴设抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为，或． 【小问2详解】 解：令，得＝0， 解得：，， ∴， ∴， ∴火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离为； 【小问3详解】 解：如图所示： ∵，， ∴， 设， 把代入得， 解得： 由平移可知，发射装置顶端上升高度最小值为， 设， 把代入得：， 解得：， 由平移可知，发射装置顶端上升高度最大值为， ∴当火星落在回收箱内时，的取值范围为． 22. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图1，当点落在的延长线上时，则线段的长为____________； （2）如图2，的延长线交线段于点，求； 【拓展延伸】 （3）在绕点旋转过程中，当时，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）如图：作于点，，交的延长线于点， 由旋转可知，，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质； （1）由直角三角形的性质和勾股定理得到，，，再旋转得到，，证明，得到，，即可得到、、三点共线，则； （2）作于点，，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得到； （3）过作交直线于，过作交直线于，根据在右边或左边分情况讨论，由平行得到，，则，，即可求出和的值，最后结合图形求出的面积即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， 当点落在的延长线上时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即、、三点共线， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）由旋转可得，，，，，，， 过作交直线于，过作交直线于， 当，在右边时，如图， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ； 当，在左边时，如图， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ； 综上所述，的面积为或． 23. 如图，函数的图象向右平移个单位，再向下平移若干个单位长度，得到的新抛物线经过原点． （1）求，的值； （2）已知点在抛物线上，过点作轴交抛物线于点，轴交抛物线于点，以，为邻边构造矩形．设点的横坐标为（且）． ①若，求的值； ②设矩形面积为，求与的关系式，并写出自变量取值范围； ③在②的条件下，若时，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）①，；②；③且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的平移、二次函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先得到平移后的解析式为，再将原点坐标代入求得k，然后再化成一般式即可解答； （2）如图：设点的横坐标为（且），则，，由二次根式的对称性可得，易得；①由列绝对值方程求解即可；②，然后根据绝对值分两种情况确定函数解析式即可；③分和两种情况，分别利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：函数化为顶点式为， 将函数向右平移个单位后可得：， 设向下平移k个单位，则， ∵新抛物线经过原点， ∴，解得：， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：如图：设点的横坐标为（且），则，， ∵函数化为顶点式为， ∴对称轴为， ∴， ∴， ①∵， ∴， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上，或． ②矩形的面积：， 当时，； 当时，． 综上，． ③当时，， ∴当时，S的最大值为； 令，即，解得：或， ∵且， ∴． 当时，，S随m的增大而增大， 令，解得：（已舍去负值）． ∵， ∴． 综上，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴城市初中2025-2026学年第一学期同步测试 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是四个高校校徽的主体标识，其图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象过，，三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥寥数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．二次函数的图象如图所示，无论为何值，函数值恒为负数的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点，的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若抛物线的开口向上，则的取值范围是____________． 12. 若点与点关于原点对称，则____________． 13. 如图，该图案绕它的中心至少旋转____________后可以和自身完全重合． 14. 如图，抛物线（，，，为常数）的顶点坐标为，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________． 15. 在中，，，点为延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，当时，则的长为____________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程∶ （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标为，，． （1）画出，使与关于轴对称，并写出点的坐标； （2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出，并写出点的坐标； （3）在（1）、（2）的基础上，请直接写出的长度． 18. 我们规定：对于任意实数，，，有▲，其中等式右边按照乘法和加法进行运算，如▲． （1）若▲，求的值； （2）若关于的方程▲有两个不相等的实数根，求的取值范围． 19. 近年来，兴城泳装行业蓬勃发展，泳装销量逐年提升，为进一步扩大市场，某商店在“泳装节”期间对一款泳装进行降价出售，这款泳装原来的价格是200元/套，经两次降价后变为162元/套． （1）若该商店两次降价的百分率相同，求该款泳装价格每次下降的百分率； （2）活动结束后，经市场调研发现，当这种款式泳装每套盈利10元时，月销售量为500套，如果调整销售单价，每涨价1元，则月销售量就减少25套，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该款式泳装每套应涨价多少元？ 20. 如图，抛物线（为常数，）与轴交于点，两点，点为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5． （1）求的取值范围； （2）若为等腰直角三角形，求的值． 21. 为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 （1）求火星运行路线所在抛物线的解析式； （2）如图1，火星刚好落在操场围栏和地面的交界处，求火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； （3）为安全接住火星，在操场围栏旁沿图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为米，为米．为确保火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且火星运行的抛物线形状保持不变，求的取值范围． 22. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图1，当点落在的延长线上时，则线段的长为____________； （2）如图2，的延长线交线段于点，求； 【拓展延伸】 （3）在绕点旋转过程中，当时，连接，请直接写出的面积． 23. 如图，函数的图象向右平移个单位，再向下平移若干个单位长度，得到的新抛物线经过原点． （1）求，的值； （2）已知点在抛物线上，过点作轴交抛物线于点，轴交抛物线于点，以，为邻边构造矩形．设点的横坐标为（且）． ①若，求的值； ②设矩形面积为，求与的关系式，并写出自变量取值范围； ③在②的条件下，若时，，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $