精品解析：辽宁省兴城市第二初级中学等校2024-2025学年九年级上学期阶段检测数学试卷

2024—2025学年度第一学期九年级阶段检测（二） 数学试卷 （本试卷共23道题试卷，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．下列每题的备选答案中，只有一个选项符合题意） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．化简后能得到形式的整式方程是一元二次方程，解决本题的关键根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，整理得：， 方程不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：，整理得：， 方程是一元二次方程，故B选项符合题意； C选项：是分式方程不是整式方程， 方程：不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：中含有二个未知数， 方程不是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 3. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 4. 已知和关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵和关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：． 5. 如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理．连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】解：连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 6. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键； 先移项，然后两边同时加9，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 7. 某校在社会实践活动中，小亮同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可． 【详解】解：定滑轮直径为， ∴半径为， ∵重物上升高度为， 故选：B． 8. 某商品原价为323元，经连续两次降价后售价为267元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该商品经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 9. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，由旋转的性质求出，，，由等腰三角形的性质求出的度数，由平行线的性质可求出，则可求出答案．解题的关键要明确旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，与轴交点的纵坐标为，根据图象判断以下结论：①；②；③；④方程无实数根；⑤当时，；⑥；⑦；其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．由图象开口及与轴的交点可判断的符号，再根据对称轴判断的符号即可判断①；由抛物线的对称轴可推出的关系结合，可判断②，③；由二次函数的最小值小于，由图象与的一个交点及对称轴可推出图象与的另一个交点结合图象可判断④⑤⑥，由二次函数的最小值为，结合可判断⑦． 【详解】解：图象开口向上， ， 图象与轴的交点在负半轴， ， 抛物线的对称轴是直线， ， ， ，故①正确； 抛物线的对称轴是直线 ，即， ∵函数与轴的一个交点为， ∴， ∴， ∴；即；故②正确； ∵即，而， ∴，而， ∴，故③正确； ∵二次函数的最小值小于， ∴的图象与直线有两个交点， ∴方程有实数根；故④错误； 抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为， 图象与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，或；故⑤错误； ∵当时，二次函数的最小值为， ∴， ∴，故⑥正确； ∵，， ∴， ∴，即，故⑤错误． 综上，正确的是①②③⑥． 故选：C． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则的值______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数是2且系数不为零列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：1． 12. 如图，某幢建筑物从2米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，水流下落点离墙的距离，则最高点距离地面高度______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．根据题意可以求得抛物线的解析式，从而得到顶点M的坐标，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的横坐标是1，， 设抛物线的解析式为：, ， 解得， ， 答：最高点M距离地面高度为， 故答案为：． 13. 若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆．根据正多边形的半径与边心距的夹角为，求得正多边形的中心角为，于是得到结论． 【详解】解：∵正多边形的半径与边心距的夹角为， ∴正多边形的中心角为， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 14. 如图，点，，，都在直径为4的上，若，，则阴影部分扇形的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，垂径定理，圆周角定理，利用数形结合是解题的关键． 根据垂径定理得到，再由圆周角定理得到，从而求出扇形的面积得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵的直径为4 ， ∴． 故答案为：． 15. 如图，线段，点为线段外一点，．连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置变化，线段的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．过点A作，取，连接，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，根据相似三角形的判定和性质定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过点A作，取，连接， ∵将绕点B逆时针旋转得到线段， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法． 首先把常数项移到等号的右边，两边直接开平方得到：，然后再移项、合并同类项求出方程的解即可； 利用求根公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 直接开平方得：， 可得：或， 解得：，； 【小问2详解】 解： ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点顺时针旋转后的； （3）在旋转到的过程中，则扫过的面积为______． 【答案】（1） 如图， 即为所求， （2） 如（1）所示，即为所作； （3） 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的变换（对称、旋转）的性质，以及面积公式的应用，理解图轴对称、旋转的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质作图即可求解； （2）根据旋转变换的性质作出图形即可； （3）在旋转到的过程中，则扫过的面积为扇形的面积的面积，据此回答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 旋转到的过程中，，， ， 扫过的面积为：， 故答案为：． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系，完全平方公式，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，求出k的值即可． 【小问1详解】 关于的一元二次方程有实数根 即，解得：； 【小问2详解】 方程的两个实数根分别为 ，． 整理得： 解得：， 又， 19. 在某地一村民，2020年承包种植某种果树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2022年共种植144亩． （1）求该村民这两年种植亩数的平均增长率； （2）某水果批发店销售该种水果，市场调查发现，当售价为50元/千克时，每月能售出100千克，根据销售经验，降低销售单价会导致销售量增加，即售价每降低4元，销售量相应增加20千克．为了减少库存，该店决定降价促销，已知该水果的成本价为20元/千克，当降价多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）该村民这两年种植亩数的平均增长率为 （2）当降价5元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是3125元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用-增长率，二次函数的实际应用-销售问题，解题的关键是理解题意，构建等量关系； （1）设该村民这两年种植果树亩数的平均增长率为x，利用“该村民2022年种植亩数=该村民2020年种植亩数（1+该村民这两年种植亩数的平均增长率）2”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价应降价y元，该店在一个月内获得的总利润元，为则每千克的销售利润为元，每月能售出千克，利用“总利润=每千克的销售利润销售量”，可列出二次函数，利用二次函数性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：设该村民这两年种植亩数的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植亩数的平均增长率为； 【小问2详解】 设售价应降价元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，则： ，抛物线开口向下， 有最大值 当时，取最大值，最大值为3125． 答：当降价5元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是3125元． 20. 如图是直径，过点作射线交于点．平分交于点．为射线上一点，连接并延长交射线于点． （1）当时，求证：为的切线； （2）在问题（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2.4 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，再由得，进而得，即可证明为的切线； （2）过点作于点M，设的半径为，则，，根据在中，，列关于x的一元二次方程，得，则，由，求得，由角平分线的性质得． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：过点作于点M， 设的半径为，则，， 由（1）可知，， 在中，， 即， 解得：， ， ， ∵， ∴， ∴， 平分，，， ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、角平分线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法． 21. 如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨．为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】（1） （2）如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 22. 已知在中，，．点、分别为、的中点．将绕点逆时针旋转得到，直线与射线相交于点，连接、． （1）当旋转到如图1所示位置时，请直接写出线段的数量关系； （2）当旋转到如图2所示位置时，且，求出的长； （3）当时，旋转过程中当点落在直线上时，请直接写出的长度． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据旋转的性质得出，，可证明，即可得到结论； （2）由题意得，根据等腰三角形的性质延长交于点，得到，根据勾股定理得到，设则，在中利用勾股定理求解即可； （3）分类讨论画出图形，利用特殊直角三角形和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：，点、分别为、的中点， ， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， 在和中， ； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点 为等腰三角形，, 平分， ， ， ， ， 设，则 在中 即， ， ； 【小问3详解】 解：或 由（1）知， ， 点、分别为、的中点， ， 如图，当点在的延长线上时， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 过点作于点， ， 设， ，，， ， ， ， 解得或（舍去）， ； 如图，当点在的延长线上时，过点作于点， ， 同理可得，， ， 综上的长度为或． 23. 在平面直角坐标系中，对于函数图像上任意一点，称点为点A的“升幂点”，称函数为函数的“升幂函数”，点在函数的图像上，例如：函数的图像上任意一点，点为点的“升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图像上． （1）点的“升幂点”的坐标为______； （2）点在函数的图像上，点的“升幂点”是点，求值； （3）点在函数的图像上，点“升幂点”为点，点在函数的“升幂函数”图像上．过点作轴的平行线，与函数的图像象交于点，与函数的图像相交于点．设点的横坐标为，若，求值． 【答案】（1） （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据“升幂点”的定义求解即可； （2）设点A的坐标为则点A的“升幂点”B坐标为，再结合点B的坐标求解即可； （3）设点A的坐标为，进而得到“升幂点”点B的坐标为，“升幂函数”为，再根据轴， 轴，得到D、C两点的坐标，进而求，，再根据得到关于m的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：点的“升幂点”B的坐标为，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设点A坐标为， ∵点A的升幂点为点B， ∴点B坐标为， ∵点B坐标为， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵点A在函数的图像上， ∴设点A的坐标为， ∴点B坐标为． ∵点D在函数上且轴， ∴点D的坐标为， ∵点C在函数上且轴， ∴点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，坐标与图形，一元二次方程的求解等知识，理解“升幂点”和“升幂函数”的定义，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期九年级阶段检测（二） 数学试卷 （本试卷共23道题试卷，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．下列每题的备选答案中，只有一个选项符合题意） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 已知和关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 7. 某校在社会实践活动中，小亮同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 8. 某商品原价为323元，经连续两次降价后售价为267元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，与轴交点的纵坐标为，根据图象判断以下结论：①；②；③；④方程无实数根；⑤当时，；⑥；⑦；其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则的值______． 12. 如图，某幢建筑物从2米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，水流下落点离墙的距离，则最高点距离地面高度______米． 13. 若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______． 14. 如图，点，，，都在直径为4的上，若，，则阴影部分扇形的面积是______． 15. 如图，线段，点为线段外一点，．连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置变化，线段的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点顺时针旋转后的； （3）在旋转到的过程中，则扫过的面积为______． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 19. 在某地一村民，2020年承包种植某种果树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2022年共种植144亩． （1）求该村民这两年种植亩数的平均增长率； （2）某水果批发店销售该种水果，市场调查发现，当售价为50元/千克时，每月能售出100千克，根据销售经验，降低销售单价会导致销售量增加，即售价每降低4元，销售量相应增加20千克．为了减少库存，该店决定降价促销，已知该水果的成本价为20元/千克，当降价多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 20. 如图是直径，过点作射线交于点．平分交于点．为射线上一点，连接并延长交射线于点． （1）当时，求证：为的切线； （2）在问题（1）的条件下，当，时，求的长． 21. 如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨．为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 22. 已知在中，，．点、分别为、的中点．将绕点逆时针旋转得到，直线与射线相交于点，连接、． （1）当旋转到如图1所示位置时，请直接写出线段的数量关系； （2）当旋转到如图2所示位置时，且，求出的长； （3）当时，旋转过程中当点落在直线上时，请直接写出的长度． 23. 在平面直角坐标系中，对于函数图像上任意一点，称点为点A的“升幂点”，称函数为函数的“升幂函数”，点在函数的图像上，例如：函数的图像上任意一点，点为点的“升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图像上． （1）点的“升幂点”的坐标为______； （2）点在函数的图像上，点的“升幂点”是点，求值； （3）点在函数的图像上，点“升幂点”为点，点在函数的“升幂函数”图像上．过点作轴的平行线，与函数的图像象交于点，与函数的图像相交于点．设点的横坐标为，若，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $