专项突破09 分式的乘除法与加减法运算（期末复习-知识回顾+12个重难点培优题型+真题演练 共39题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册精讲练（新教材）

该初中数学分式运算单元复习讲义通过知识框架系统梳理分式乘除、乘方、加减混合运算的全体系，涵盖8个核心知识点，每个知识点均以法则归纳、步骤分解的方式呈现，清晰呈现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于12种分层题型设计，从基础运算到实际应用（如加油问题）、最值探究，培养运算能力与应用意识。真题演练结合变式训练，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

专项突破09 分式的乘除法与加减法运算 （知识回顾+12种重难点培优题型+真题演练 共39题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：分式的乘法 2 知识点梳理02：分式的除法 2 知识点梳理03：分式的乘除混合运算 2 知识点梳理04：分式的乘方 2 知识点梳理05：分式的乘除、乘方混合运算 3 知识点梳理06：同分母分式的加减法 3 知识点梳理07：异分母分式的加减法 3 知识点梳理08：分式的混合运算 4 重点难点 培优讲练 4 题型1 分式乘除混合运算 4 题型2 分式乘方 5 题型3 含乘方的分式乘除混合运算 5 题型4 同分母分式加减法 6 题型5 异分母分式加减法 6 题型6 整式与分式相加减 7 题型7 已知分式恒等式，确定分子或分母 8 题型8 分式加减混合运算 8 题型9 分式加减的实际应用 10 题型10 分式加减乘除混合运算 11 题型11 分式化简求值 12 题型12 分式最值 13 期末真题 实战演练 14 知识点梳理01：分式的乘法 1、分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.　 2、分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定即的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式的要带括号. 第三步：约分，将结果化成最简分式或整式. 知识点梳理02：分式的除法 1、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.　 2、分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分. 第二步：将除法转化为乘法. 第三步：利用分式的乘法法则计算，注意运算结果化为最简分式或整式. 知识点梳理03：分式的乘除混合运算 1、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. 2、运用分式的乘除混合运算的基本步骤： （1）先确定积的符合，数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负. （2）把除法运算转化为乘法运算，先约分，后相乘. （3）运算结果化成最简分式或整式. 知识点梳理04：分式的乘方 1、分式的乘方法则：分式乘方把分子、分母分别乘方． 用字母表示为：（n 是正整数，b≠0）． 2、分式乘方的计算步骤： （1）分式乘方时，先确定乘方结果的符合. 正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. （2）把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. （3）当分式中含多项式的乘方时，要先分解因式，转化为积的乘方，不能分解因式时，将多项式看成整体分别乘方. 知识点梳理05：分式的乘除、乘方混合运算 1、分式的乘除、乘方混合运算顺序：分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 2、分式乘除、乘方混合运算的解题步骤： （1）在分式乘除、乘方的混合运算中，先计算乘方，再计算乘除. （2）乘、除是同一级运算，要按照从左到右的顺序计算. （3）当分式中的分子、分母是多项式且能分解因式时，还要分解因式，以达到约分的目的. 知识点梳理06：同分母分式的加减法 1、同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为： 2、同分母分式的加减法一般步骤： （1）分母不变，分子相加减，如果分子是多项式，则先将分子括上括号再加减, （2）分子去括号时，如果括号前有“﹣”号，在去掉括号前面的“﹣”号及括号后，原括号内的各项都要变号； （3）分子合并同类项. （4）约分，把结果化为最简分式或整式. 知识点梳理07：异分母分式的加减法 1、异分母分式的加减法法则： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为： 2、异分母分式的加减法一般步骤： （1）分母不变，分子相加减，如果分子是多项式，则先将分子括上括号再加减, （2）分子去括号时，如果括号前有“﹣”号，在去掉括号前面的“﹣”号及括号后，原括号内的各项都要变号； （3）分子合并同类项. （4）约分，把结果化为最简分式或整式. 知识点梳理08：分式的混合运算 分式的混合运算顺序 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左往右的顺序进行. 2、计算结果要化为最简分式或整式. 题型1 分式乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1) ； (2)． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，“惠民1号”玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民2号”玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆剩下的部分，两块试验田都收获了的玉米．“惠民1号”玉米试验田的单位面积产量是“惠民2号”玉米试验田的 倍． 题型2 分式乘方 【精讲】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： ． 【变式】下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3 含乘方的分式乘除混合运算 【精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)； 【变式】（25-26八年级上·山东烟台·阶段练习）计算： (1) (2)； (2) (4) 题型4 同分母分式加减法 【精讲】（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）． 【变式】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”．求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 题型5 异分母分式加减法 【精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）计算： (1) ； (2)． 【变式】（25-26八年级上·山东·课后作业）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 题型6 整式与分式相加减 【精讲】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 题型7 已知分式恒等式，确定分子或分母 【精讲】（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知，，为常数，求的值． 【变式】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 题型8 分式加减混合运算 【精讲】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【变式】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）观察下列分式及其变形过程， ① ② ③ ④ …… 我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题： (1)下列式子中，属于“奇妙分式”的是______；（只填写字母代号） A．        B．        C．        D．        E． (2)若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值； (3)已知分式是奇妙分式， ①把其化成一个整式与一个真分式和的形式； ②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值． 题型9 分式加减的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【变式】（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 题型10 分式加减乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知（且），，，…，，若，则x的值为 ． 【变式】（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并填空： (2)化简：． (3)探究并作答： 计算：； 题型11 分式化简求值 【精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2) ，其中x，y满足． 【变式】（25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 题型12 分式最值 【精讲】（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）要使等式成立，其中a为任意非零常数，则“□”内的运算符号是（   ） A．+ B．－ C． D． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若式子有意义，则x满足的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且且 3．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（　　） A．① B．② C．③ D．④ 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）已知，其中A、B为常数，则的值为（    ） A．6 B．7 C． D． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若为正整数，则化简的结果可以是（   ） A．0 B． C． D．2 6．（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 7．（23-24八年级上·北京顺义·期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． 8．（21-22八年级上·河北秦皇岛·期中）已知，则分式的值为 ． 9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）化简的结果是 ． 10．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 11．（23-24八年级上·河南许昌·期末）计算： (1) (2) 12．（24-25八年级上·全国·期末）已知，求的值． 13．（23-24八年级上·山西·期末）小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 14．（22-23八年级上·全国·期末）先化简：，再从，0，2中选择一个合适的数代入求值． 15．（23-24八年级上·河南·期末） 阅读下列资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如： 这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： ． (1)分式 是 （选填“真分式”或“假分式）； (2)将假分式 分别化为带分式； (3)如果分式 的值为整数，求所有符合条件的整数x 的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破09 分式的乘除法与加减法运算 （知识回顾+12种重难点培优题型+真题演练 共39题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：分式的乘法 2 知识点梳理02：分式的除法 2 知识点梳理03：分式的乘除混合运算 2 知识点梳理04：分式的乘方 2 知识点梳理05：分式的乘除、乘方混合运算 3 知识点梳理06：同分母分式的加减法 3 知识点梳理07：异分母分式的加减法 3 知识点梳理08：分式的混合运算 4 重点难点 培优讲练 4 题型1 分式乘除混合运算 4 题型2 分式乘方 6 题型3 含乘方的分式乘除混合运算 6 题型4 同分母分式加减法 9 题型5 异分母分式加减法 10 题型6 整式与分式相加减 12 题型7 已知分式恒等式，确定分子或分母 15 题型8 分式加减混合运算 16 题型9 分式加减的实际应用 20 题型10 分式加减乘除混合运算 22 题型11 分式化简求值 24 题型12 分式最值 28 期末真题 实战演练 31 知识点梳理01：分式的乘法 1、分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.　 2、分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定即的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式的要带括号. 第三步：约分，将结果化成最简分式或整式. 知识点梳理02：分式的除法 1、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.　 2、分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分. 第二步：将除法转化为乘法. 第三步：利用分式的乘法法则计算，注意运算结果化为最简分式或整式. 知识点梳理03：分式的乘除混合运算 1、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. 2、运用分式的乘除混合运算的基本步骤： （1）先确定积的符合，数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负. （2）把除法运算转化为乘法运算，先约分，后相乘. （3）运算结果化成最简分式或整式. 知识点梳理04：分式的乘方 1、分式的乘方法则：分式乘方把分子、分母分别乘方． 用字母表示为：（n 是正整数，b≠0）． 2、分式乘方的计算步骤： （1）分式乘方时，先确定乘方结果的符合. 正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. （2）把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. （3）当分式中含多项式的乘方时，要先分解因式，转化为积的乘方，不能分解因式时，将多项式看成整体分别乘方. 知识点梳理05：分式的乘除、乘方混合运算 1、分式的乘除、乘方混合运算顺序：分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 2、分式乘除、乘方混合运算的解题步骤： （1）在分式乘除、乘方的混合运算中，先计算乘方，再计算乘除. （2）乘、除是同一级运算，要按照从左到右的顺序计算. （3）当分式中的分子、分母是多项式且能分解因式时，还要分解因式，以达到约分的目的. 知识点梳理06：同分母分式的加减法 1、同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为： 2、同分母分式的加减法一般步骤： （1）分母不变，分子相加减，如果分子是多项式，则先将分子括上括号再加减, （2）分子去括号时，如果括号前有“﹣”号，在去掉括号前面的“﹣”号及括号后，原括号内的各项都要变号； （3）分子合并同类项. （4）约分，把结果化为最简分式或整式. 知识点梳理07：异分母分式的加减法 1、异分母分式的加减法法则： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为： 2、异分母分式的加减法一般步骤： （1）分母不变，分子相加减，如果分子是多项式，则先将分子括上括号再加减, （2）分子去括号时，如果括号前有“﹣”号，在去掉括号前面的“﹣”号及括号后，原括号内的各项都要变号； （3）分子合并同类项. （4）约分，把结果化为最简分式或整式. 知识点梳理08：分式的混合运算 分式的混合运算顺序 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左往右的顺序进行. 2、计算结果要化为最简分式或整式. 题型1 分式乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握因式分解和分式乘除运算法则是解题的关键． （1）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． （2）先利用平方差公式对因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，“惠民1号”玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民2号”玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆剩下的部分，两块试验田都收获了的玉米．“惠民1号”玉米试验田的单位面积产量是“惠民2号”玉米试验田的 倍． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆的面积公式以及分式的运算相关知识点，掌握圆的面积公式以及分式的除法运算是解题的关键． 本题根据圆的面积公式分别得出两个试验田的面积；再结合“单位面积产量 = 总产量面积”，得出两个试验田的单位面积产量；最后通过分式除法运算即可解决倍数的问题． 【规范解答】解：“惠民1号”试验田的面积： ， “惠民2号”试验田的面积： ， ∵两块试验田都收获了kg玉米， ∴“惠民1号”试验田的单位面积产量： ， “惠民2号”试验田的单位面积产量： ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型2 分式乘方 【精讲】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查分式的乘除，分式的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可解答． 【规范解答】解： ． 【变式】下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了分式的性质，分式的乘方运算，根据分式的性质，分式的乘方运算逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 题型3 含乘方的分式乘除混合运算 【精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查含乘方的分式的乘除混合运算，因式分解，掌握相关知识点是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，再约分化简即可； （2）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可； （3）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可． 【规范解答】（1）解： ． （2） ． （3） ． 【变式】（25-26八年级上·山东烟台·阶段练习）计算： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握算理是解决问题的关键． （1）将除法转化为乘法后约分即可； （2）先将分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分即可； （3）先进行幂的运算，然后将除法转化为乘法后约分即可； （4）先将分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分即可． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 题型4 同分母分式加减法 【精讲】（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）． 【答案】②③ 【思路引导】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【规范解答】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 【变式】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”．求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4或10或 【思路引导】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式相加并计算即可； （2）将两式相加并计算，根据E与F关于C的“合值”为1求得a的值即可． （3）根据与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，可得，从而得到，再由分式的值为正整数，可得取1或7或，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵分式，是“合分式”， ∴， ∴与关于的“合值”为3； 故答案为：3 （2）解： ∵与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， （3）解：， ∵与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， ∴， ∴， ∴， ∵分式的值为正整数，为整数， ∴7是的整数倍， ∴取1或7或， 此时x的值为4或10或． 题型5 异分母分式加减法 【精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的混合运算法则计算即可得解； （2）先将分母化为相同的，再计算加减即可得解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（25-26八年级上·山东·课后作业）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【思路引导】本题考查了新定义，分式的混合运算，分式有意义的条件，解题的关键是正确理解“和谐分式”的定义． 对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），先将原式化简为，再根据和谐分式的定义整理为，然后讨论得出答案． 【规范解答】（1）解：①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式． 故答案为：①③④． （2）， 故答案为∶． （3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 题型6 整式与分式相加减 【精讲】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【思路引导】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【规范解答】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解： ， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 【变式】（24-25八年级下·四川眉山·期中）定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)，，， 【思路引导】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：①， ②， ③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ，或， 或或或． 题型7 已知分式恒等式，确定分子或分母 【精讲】（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知，，为常数，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【规范解答】解： ， ， ，解得， ． 【变式】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）1；（2）等边三角形，理由见解析 【思路引导】（1）将等式的右边通分计算，化成左边的形式，左右对比列出关于A、B的二元一次方程组，求解方程组即可得到A、B的值，代入代数式求解即可； （2）将方程配成两个完全平方式之和，根据完全平方公式的非负性求出a、b、c关系即可判断三角形的形状． 本题考查了分式的加法计算、列二元一次方程组解决问题、完全平方公式的应用，等边三角形的判定等． 【规范解答】解：（1）， ， ， 解得， ； （2）是等边三角形，理由如下： 即， ∴是等边三角形． 题型8 分式加减混合运算 【精讲】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）甲船返航先返回A港 【思路引导】本题主要考查行程问题，整式的混合运算，分式加减混合运算的综合，理解行程中的数量关系，掌握整式的混合运算的方法，“作差法”的计算与比较方法是解题的关键． （1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）根据题意可得甲、乙船顺流速度与路程，分别求出返航时间，再用“作差法”比较即可求解． 【规范解答】解：（1）①由题意得：由于， 则， ， 故答案为：； ②由于，，则 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由题意得： ， 则； （3）甲船返航先返回A港，理由如下： 由题意得：甲船顺流速度为，则甲船顺流的路程为， 乙船顺流速度为，则乙船顺流的路程为， 返航时甲船速度为，则， 返航时乙船速度为，则， ， 由于， ， ， 则甲船返航先返回A港． 【变式】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）观察下列分式及其变形过程， ① ② ③ ④ …… 我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题： (1)下列式子中，属于“奇妙分式”的是______；（只填写字母代号） A．        B．        C．        D．        E． (2)若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值； (3)已知分式是奇妙分式， ①把其化成一个整式与一个真分式和的形式； ②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值． 【答案】(1)A、B (2)2 (3)①；② 【思路引导】（1）根据“奇妙分式”定义，判断每个选项能否化为整式与真分式和的形式，逐一分析选项． （2）先将变形为整式与真分式的和，再依据值为整数的条件，确定的取值，进而求出正整数． （3）①通过对分子进行变形，将拆分为整式与真分式的和；②先确定①中整式部分、真分式分母，代入式子化简，根据可化简为整式的条件求 ． 【规范解答】（1）解：A选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． B选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． C选项：分子次数分母次数，是真分式，不能拆出整式，不属于奇妙分式． D选项：是整式（为常数，分式可化为整式形式 ），不属于奇妙分式． E选项：（），是整式，不属于奇妙分式． 综上，答案为A、B． （2）解： 分式值为整数，是正整数， 是的因数． 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，，（符合正整数要求），或（舍去，非正整数）； 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，（无实数解，舍去）． 正整数的值为． （3）解：① ②由①知，整式部分，真分式分母． 式子可化简为整式， 能被整除． ∴当时，， 即， 解得 ． 【考点剖析】本题主要考查了分式的新定义（真分式、奇妙分式）应用，涉及分式的变形、拆分，以及根据分式值的条件求参数、整式化简等知识，熟练掌握分式的运算、新定义的理解与运用是解题的关键． 题型9 分式加减的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【思路引导】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【规范解答】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【变式】（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 【答案】(1)， (2)“丰收2号”小麦的单位面积产量高，见解析 【思路引导】本题主要考查分式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出分式． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量； （2）根据解析（1）得出结果，先比较与的大小，再得出分式的大小即可． 【规范解答】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量为    故答案为：，； （2）“丰收2号”小麦的单位面积产量高 ，     ，     由图丙可得     .     所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高. 题型10 分式加减乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知（且），，，…，，若，则x的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数字类规律探索，分式的加减乘除混合运算；通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为3，根据周期性质，，从而建立方程求解. 【规范解答】解：∵计算序列的前几项：，，，，……， ∴此序列周期为3，即对于，有， ∵，余数为0， ∴ ∵ ∴ ∴ 经检验，，满足且 故答案为： 【变式】（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并填空： (2)化简：． (3)探究并作答： 计算：； 【答案】(1)，， (2) (3) 【思路引导】（1）根据规律计算解答即可； （2）根据规律解答即可． （3）根据，根据规律解答即可； 本题考查了规律探索，混合运算，熟练掌握探索规律是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， ， ， ………… ， 故答案为：； ， ， ， ………… ， 故 ， 故 故答案为：． ， 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 题型11 分式化简求值 【精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 【答案】(1)， (2)，6 【思路引导】本题考查分式的混合运算； （1）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相减，再计算分式除法，得出结果后，最后代入求值即可； （2）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相加，再计算分式除法，最后整体代入求值即可. 【规范解答】（1）解： . 将代入得：原式. （2）解： . ∵， ∴， ∴原式. 【变式】（25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 【答案】(1)①③④ (2)①② (3)0，2，3 【思路引导】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，分式化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据“和谐分式”定义，对所给的式子，逐一分析，再作判断； （2）①根据“和谐分式”定义求解； ②根据“和谐分式”定义求解； （3）先根据“和谐分式”定义求解，化为整式与分子为有理数的分式的和的形式，再根据化的结果，分情况讨论，分别求出相应的的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴属于“和谐分式”， 故①符合； 不属于“和谐分式”， 故②不符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故③符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故④符合； 综上所述，①③④属于“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）① ； ② ； （3） ∵， ∴，解得：且， ∵为整数，分式的值为整数， ∴的值为整数， 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ，原分式的分母为0，无意义，不符合， 综上所述，使分式的值为整数的的值为0，2，3． 题型12 分式最值 【精讲】（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【思路引导】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 【变式】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 【答案】(1)分式被拆分成了一个整式与一个分式的和 (2) (3)8 【思路引导】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键． （1）参照例题材料，设−，然后求出a、b的值，从而即可得出答案； （2）由，结合它为整数得到为整数，因此，，求解即可； （3）由得到，进而，，即可解答． 【规范解答】（1）解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立， ， ，． ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． （2）解：， ∵的值为整数， ∴为整数， ∵x为整数， ∴，， ∴ （3）解：由（1）得， 当时，， ∴，， ∴， 即， ∴的最小值为8． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）要使等式成立，其中a为任意非零常数，则“□”内的运算符号是（   ） A．+ B．－ C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了分式除法运算，能根据结果判断出是除法运算是解题的关键，根据分式除法运算法则计算即可． 【规范解答】解：， 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若式子有意义，则x满足的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了分式的除法，分式有意义的条件，正确理解定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【规范解答】解：∵分式有意义， ， 且且， 故选：D． 3．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了异分母分式的加减；先通分化为同分母分式，再相加减，根据此步骤依次检查各步即可找到错误所在． 【规范解答】解：出错在第②步，分子去括号时没有变号，导致错误； 故选：B． 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）已知，其中A、B为常数，则的值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了已知字母的值求代数式的值，异分母分式加减法，构造二元一次方程组求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将等式右边通分，根据等式两边相等，得到关于A、B的方程组求解，再代入求值． 【规范解答】解： ， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若为正整数，则化简的结果可以是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【思路引导】本题主要考查分式的化简与分式的值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据为正整数，得出原式的结果即可求解． 【规范解答】解：原式 ， ， 且且， 又为正整数， ， 即且， 选项A、C、D均不符合题意， 当时， 原式，故选项B符合题意， 故选：B． 6．（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】 【思路引导】此题考查分式的除法，将分式的分子和分母因式分解，将除法化为乘法，计算乘法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·北京顺义·期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． 【答案】 【思路引导】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可． 【规范解答】解：根据题意得； ； ； …… 根据以上规律可得：． 8．（21-22八年级上·河北秦皇岛·期中）已知，则分式的值为 ． 【答案】/0.6 【思路引导】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 由可得，再根据分式的基本性质将化为，然后整体代入计算即可． 【规范解答】解：， ，， ． ． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）化简的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式化简，利用乘法分配律计算即可，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）试卷上一个正确的式子，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 【答案】 【思路引导】代数式★为，计算即可． 本题考查了分式的除法，乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·河南许昌·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】该题考查了整式的混合运算和分式的乘除法混合运算． （1）先根据积的乘方和幂的乘方去括号，再根据分式的乘除法运算法则计算即可． （2）根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 12．（24-25八年级上·全国·期末）已知，求的值． 【答案】 【思路引导】此题考查了分式的求值，完全平方公式，首先利用分式的乘除运算将分式进行化简，再利用完全平方公式将变形为，求出a，b的值，再代入求解即可． 【规范解答】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式． 13．（23-24八年级上·山西·期末）小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【答案】有；三，，过程见解析 【思路引导】本题考查分式的加减运算，观察解答过程知该同学的解答从第三步开始出错；先通分化为同分母的分式相加减．掌握相应的运算法则及公式是解题的关键． 【规范解答】解：该计算过程有错误，第三步开始错误． 故答案为：有；三； 正确计算过程如下： 原式 ． 14．（22-23八年级上·全国·期末）先化简：，再从，0，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】； 【思路引导】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，根据分式的除法法则、加法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【规范解答】解：原式 ， 由题意得：， 当时，原式． 15．（23-24八年级上·河南·期末） 阅读下列资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如： 这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： ． (1)分式 是 （选填“真分式”或“假分式）； (2)将假分式 分别化为带分式； (3)如果分式 的值为整数，求所有符合条件的整数x 的值． 【答案】(1)假分式 (2)； (3)x的值为 【思路引导】本题考查了分式的加减法和分式的求值，理解题意是解决本题的关键 （1）按“真分式”“假分式”的定义直接判断即可； （2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式； （3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可． 【规范解答】（1）解：∵分子的次数大于分母的次数， ∴分式是假分式 故答案为假分式 （2） ； （3） 当时，分式的值为整数． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $