专项突破08 用提公因式法和因式法因式分解（期末复习-知识回顾+13个重难点培优题型+真题演练 共41题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册精讲练（新教材）

该初中数学讲义通过知识梳理与技巧点拨系统构建因式分解知识体系，以框架图呈现从定义到提公因式法、公式法等方法的完整脉络，明确“一提二套三查”步骤，突出各方法内在联系与重难点分布，培养学生抽象能力与符号意识。 讲义亮点在于13种分层培优题型设计，从基础判断到综合应用，如题型10结合有理数简算、题型13解决几何问题，培养运算能力与应用意识。精讲与变式题结合，助力不同学生提升，为教师精准教学提供支持。

专项突破08 用提公因式法和因式法因式分解 （知识回顾+13种重难点培优题型+真题演练 共41题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：因式分解 2 知识点梳理02：用提公因式法分解因式 2 知识点梳理3：用平方差公式分解因式 3 知识点梳理4：用完全平方公式分解因式 3 知识点梳理5：系数为1的二次三项式的因式分解 3 重点难点 培优讲练 4 题型1 判断是否是因式分解 4 题型2 已知因式分解的结果求参数 4 题型3 公因式 5 题型4 提公因式法分解因式 6 题型5 判断能否用公式法分解因式 6 题型6 平方差公式分解因式 6 题型7 完全平方公式分解因式 7 题型8 综合运用公式法分解因式 8 题型9 综合提公因式和公式法分解因式 10 题型10 因式分解在有理数简算中的应用 11 题型11 十字相乘法 12 题型12 分组分解法 13 题型13 因式分解的应用 15 期末真题 实战演练 16 知识点梳理01：因式分解 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式． 可以看出，因式分解和整式乘法是方向相反的变形． （1）因式分解的对象：一个多项式． （2）因式分解的结果：几个整式的积． （3）因式分解的程度：每一个因式都不能再分解． （4）因式分解的本质：一种恒等变形，即只变形，不变值． 知识点梳理02：用提公因式法分解因式 1．公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式． 2．公因式的确定： （1）定系数：取各项系数的最大公因数． （2）定字母：取各项中的相同字母． （3）定指数：取相同字母的最低指数． 3．提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 4．提公因式法分解因式的一般步骤： （1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； （2）提取公因式：依据为乘法分配律 （3）确定另一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因数； （4）写成乘积的形式：相同因式的乘积写成幂的形式． 解题技巧提炼 1．因式分解 （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 2．提公因式法 （1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 知识点梳理3：用平方差公式分解因式 1．用平方差公式分解因式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即 ． 2．能用平方差公式分解因式的多项式的特点 多项式是二项式，每一项都能写成平方的形式，且符号相反． 知识点梳理4：用完全平方公式分解因式 1．完全平方式：我们把和这样的式子叫作完全平方式． 2．用完全平方公式分解因式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即 ，． 3．能用完全平方公式分解因式的多项式的特点 多项式是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同，中间一项是这两个数（或这两个式子）的积的2倍，符号正负都可以． 4．公式法： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法． 知识点梳理5：系数为1的二次三项式的因式分解 用十字相乘法分解因式 解题技巧提炼 1．因式分解的步骤 一提：有公因式的先提公因式． 二套：套用公式，两箱式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式． 三查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底． 2．当多项式中的某一项与公因式相同时，提取公因式后，要在该项相应的位置写1，切勿遗漏． 3．先局部展开，再因式分解 当多项式不能直接因式分解，但含有单项式与多项式的乘积或多项式与多项式的乘积时，一般先将乘积项展开，合并同类项后，再根据多项式的特点选用适当的方法进行因式分解． 4．利用因式分解可以解决整除问题，拼图问题，判断三角形的形状等． （1）利用因式分解解决整除问题，就是设法将已知的代数式利用乘法公式进行因式分解，写成几个因式乘积的形式，在几个因式中凑出想要整除的那部分，即可解决问题． （2）因式分解与拼图的结合，是将几何图形与代数的解法结合起来，数形结合更利于学生对因式分解和乘法公式的理解，用图形去演绎某个代数式因式分解的结果，体现了逆向思维． （3）因式分解还可能与三角形等知识点结合进行综合考查．将等式化为右边等于0，左边（或左边的部分代数式）进行因式分解，结合题意判断三角形的形状． 题型1 判断是否是因式分解 【精讲】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型2 已知因式分解的结果求参数 【精讲】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【变式】（24-25八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 题型3 公因式 【精讲】（22-23七年级下·湖南娄底·期中）下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式】（23-24七年级上·广东茂名·期末）已知，则 ． 题型4 提公因式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·四川广安·期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【变式】（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 题型5 判断能否用公式法分解因式 【精讲】（20-21八年级上·重庆彭水·期末）下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型6 平方差公式分解因式 【精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）因式分解： （2）先化简，再求值：，其中． 【变式】（25-26八年级上·广西贵港·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：_______； (2)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，面积为S，用配方法求S的最大值； (3)已知，求的值． 题型7 完全平方公式分解因式 【精讲】（25-26八年级上·河南开封·期中）在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 【变式】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）先阅读材料，再解答问题： 因式分解：， 解：将“”看成一个整体，设，则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 题型8 综合运用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)若，则M有最______值，为______． (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：_______平方米； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【变式】（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）教科书中这样写道∶"形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式"，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如∶分解因式∶． 解∶原式； 再如∶求代数式的最小值． 解∶； ∵，∴原式，即当时，原式有最小值． 学以致用∶ (1)用配方法分解因式∶；(其他方法不得分) (2)用配方法求多项式的最大值？并求出此时x的值． (3)若，求的值． 题型9 综合提公因式和公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·河南周口·期中）一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解的题目． ①； ②； ③； ④． (1)小红做错的或过程不完整的题目是______（填序号）． (2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面． 【变式】（25-26八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 题型10 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解计算： (1) ； (2)． 【变式】（24-25八年级下·山西太原·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)利用因式分解计算：． 题型11 十字相乘法 【精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期中）[阅读理解]将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足其常数项q是两个因数（m、n）的积（即），而一次项系数p恰好是这两个因数的和（即），则可以把因式分解成．例如，分解因式 ①， ②． 如上，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图①、②），这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们就可以得到： ① ； ②． [迁移运用] (1)请模仿上例，用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式（画出图示）： ①     ② (2)若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，则的最大值为______． 【变式】（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到“整体思想”，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用． 下面是小龙同学用“整体思想”对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小龙同学的解法中，第二步运用了因式分解的______； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)你认为小龙同学的结果正确吗？______（填“正确”或“不正确”），若不正确，请直接写出你认为正确的结果； (3)请你用“整体思想”对多项式进行因式分解． 题型12 分组分解法 【精讲】（25-26八年级上·广西贵港·期中）阅读理解： 当一个多项式既不能用提公因式法又不能用公式法因式分解时，这里再介绍一种因式分解的方法，叫分组分解法．比如： 这种分组法是分组后用提公因式法分解．又比如： ． 这种分组后用公式法分解．根据以上信息分解下列因式： (1) ； (2)． 【变式】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述方法的其中一种无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，再次提取公因式就可以完成整个式子的因式分解．具体过程如下： ． 像这种将一个多项式适当分组后，进行因式分解的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)已知，且，求的值． 题型13 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级上·河南开封·期中）观察下面的等式：，，，，…… (1)尝试：________． (2)归纳：________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【变式】（25-26八年级上·福建泉州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．    (1)    情境一： ①如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如图1，请你用含、的式子表示一块等腰梯形木片的高________； ②请将这4块完全相同的等腰梯形木片拼出另一个图形，并画出该图形，使得与图1结合可验证乘法公式； (2)情境二：如图2，乙同学用12张纸片及若干张的纸片、纸片是否能拼成一个大正方形（不重叠、无缝隙）？如果不能拼成，请说明理由；如果能拼成，请写出所有能拼成的大正方形的边长（用含、的式子表示）； (3)情境三：丙同学声称自己用图2的三种纸片，2块纸片，5块纸片，8块纸片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，还需要从中增加3块纸片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致）． 1．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱河南 B．爱河南 C．我爱学 D．河南数学 2．（23-24八年级上·甘肃天水·期末）将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·重庆·期末）在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）一个两位数，其中，、为正整数，下列说法 ①的最大值为； ②若，则的值可能为； ③当为质数时，不存在，使． 其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖北黄石·期中）分解因式： ． 7．（21-22八年级上·浙江台州·期末）已知，则的值为 ． 8．（24-25八年级下·全国·期末）若实数，，，满足，，则 ． 9．（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 10．（24-25八年级上·山西长治·期末）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 11．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： ． 12．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）分解因式： (1)； (2)． 13．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现式子可以因式分解为______． (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积． 14．（24-25八年级下·江西吉安·期末）下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 15．（25-26八年级上·湖南永州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） (2)若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破08 用提公因式法和因式法因式分解 （知识回顾+13种重难点培优题型+真题演练 共41题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：因式分解 2 知识点梳理02：用提公因式法分解因式 2 知识点梳理3：用平方差公式分解因式 3 知识点梳理4：用完全平方公式分解因式 3 知识点梳理5：系数为1的二次三项式的因式分解 3 重点难点 培优讲练 4 题型1 判断是否是因式分解 4 题型2 已知因式分解的结果求参数 5 题型3 公因式 7 题型4 提公因式法分解因式 8 题型5 判断能否用公式法分解因式 9 题型6 平方差公式分解因式 10 题型7 完全平方公式分解因式 12 题型8 综合运用公式法分解因式 14 题型9 综合提公因式和公式法分解因式 17 题型10 因式分解在有理数简算中的应用 18 题型11 十字相乘法 20 题型12 分组分解法 22 题型13 因式分解的应用 25 期末真题 实战演练 28 知识点梳理01：因式分解 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式． 可以看出，因式分解和整式乘法是方向相反的变形． （1）因式分解的对象：一个多项式． （2）因式分解的结果：几个整式的积． （3）因式分解的程度：每一个因式都不能再分解． （4）因式分解的本质：一种恒等变形，即只变形，不变值． 知识点梳理02：用提公因式法分解因式 1．公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式． 2．公因式的确定： （1）定系数：取各项系数的最大公因数． （2）定字母：取各项中的相同字母． （3）定指数：取相同字母的最低指数． 3．提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 4．提公因式法分解因式的一般步骤： （1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； （2）提取公因式：依据为乘法分配律 （3）确定另一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因数； （4）写成乘积的形式：相同因式的乘积写成幂的形式． 解题技巧提炼 1．因式分解 （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 2．提公因式法 （1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 知识点梳理3：用平方差公式分解因式 1．用平方差公式分解因式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即 ． 2．能用平方差公式分解因式的多项式的特点 多项式是二项式，每一项都能写成平方的形式，且符号相反． 知识点梳理4：用完全平方公式分解因式 1．完全平方式：我们把和这样的式子叫作完全平方式． 2．用完全平方公式分解因式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即 ，． 3．能用完全平方公式分解因式的多项式的特点 多项式是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同，中间一项是这两个数（或这两个式子）的积的2倍，符号正负都可以． 4．公式法： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法． 知识点梳理5：系数为1的二次三项式的因式分解 用十字相乘法分解因式 解题技巧提炼 1．因式分解的步骤 一提：有公因式的先提公因式． 二套：套用公式，两箱式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式． 三查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底． 2．当多项式中的某一项与公因式相同时，提取公因式后，要在该项相应的位置写1，切勿遗漏． 3．先局部展开，再因式分解 当多项式不能直接因式分解，但含有单项式与多项式的乘积或多项式与多项式的乘积时，一般先将乘积项展开，合并同类项后，再根据多项式的特点选用适当的方法进行因式分解． 4．利用因式分解可以解决整除问题，拼图问题，判断三角形的形状等． （1）利用因式分解解决整除问题，就是设法将已知的代数式利用乘法公式进行因式分解，写成几个因式乘积的形式，在几个因式中凑出想要整除的那部分，即可解决问题． （2）因式分解与拼图的结合，是将几何图形与代数的解法结合起来，数形结合更利于学生对因式分解和乘法公式的理解，用图形去演绎某个代数式因式分解的结果，体现了逆向思维． （3）因式分解还可能与三角形等知识点结合进行综合考查．将等式化为右边等于0，左边（或左边的部分代数式）进行因式分解，结合题意判断三角形的形状． 题型1 判断是否是因式分解 【精讲】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的定义，判断每个选项的变形是否满足定义． 【规范解答】根据因式分解要求左边是多项式，右边是整式的乘积， 选项A：左边是乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 选项B：左边是多项式，右边是乘积形式，且等式成立，符合因式分解的定义，故符合题意； 选项C：左边是乘积，右边是乘积，但属于恒等变形，并非因式分解，故不符合题意； 选项D：右边不是乘积形式，而是和的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 故选：B． 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据分解因式把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解即可． 【规范解答】解：A、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、等式右边是整式积的形式，故是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； D、因为 ，所以该等式不成立，不是正确的变形，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 题型2 已知因式分解的结果求参数 【精讲】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)，另一个因式是 (3)，另一个因式是 【思路引导】本题考查了因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． （1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解． 【规范解答】（1）解：， ，， ， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 则， ，解得，， 另一个因式是； （3）解：设另一个因式是，则 ， 则，解得，， 另一个因式是． 【变式】（24-25八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【思路引导】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【规范解答】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 题型3 公因式 【精讲】（22-23七年级下·湖南娄底·期中）下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【思路引导】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【规范解答】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【考点剖析】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【变式】（23-24七年级上·广东茂名·期末）已知，则 ． 【答案】-3 【思路引导】先由题意将式子2b−a+3=0，进行变形，变成a-2b=3的形式，然后再将要求的式子化简，使每一项都含有因式a-2b，再代入求值即可得出. 【规范解答】∵， ∴， ∴ 【考点剖析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是，要把整式化成含有公因式a-2b的形式，再代入求值． 题型4 提公因式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·四川广安·期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【思路引导】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用和三角形三边关系的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 通过因式分解给定方程，得出只有符合三角形三边关系，进而即可判断． 【规范解答】解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 【变式】（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 【答案】A 【思路引导】此题考查因式分解的应用，根据题意得到，代入所求代数式因式分解后的因式中计算即可 【规范解答】解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2， ∴， ∴， 故选：A 题型5 判断能否用公式法分解因式 【精讲】（20-21八年级上·重庆彭水·期末）下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据乘法公式：分别进行判断即可． 【规范解答】解：A、，故该选项不合题意； B、不能进行因式分解，故该选项不合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不合题意； 故选：C． 【考点剖析】本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 【规范解答】解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 题型6 平方差公式分解因式 【精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）因式分解： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），8 【思路引导】本题考查了因式分解以及整式的化简求值， （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法、平方差公式进行化简计算，再根据代值计算即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【变式】（25-26八年级上·广西贵港·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：_______； (2)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，面积为S，用配方法求S的最大值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解一分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）原式常数项3化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可； （2）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ，根据，确定出最大值即可； （3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18； （3）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 题型7 完全平方公式分解因式 【精讲】（25-26八年级上·河南开封·期中）在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 【答案】(1) (2) (3)，小， 【思路引导】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式，最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）结合材料，用换元法进行分解因式； （3）利用换元法把原式变形分解，由即可得解． 【规范解答】（1）解： 设， 原式 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ∵ ∴ ∴当时，多项式存在最小值，为． 故答案为：，小，． 【变式】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）先阅读材料，再解答问题： 因式分解：， 解：将“”看成一个整体，设，则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）利用完全平方进行因式分解； （2），则，利用完全平方进行因式分解得到，则，，进而可求得长方形的周长． 【规范解答】（1）解：设，则原式可化为， 则， 再把代入，得到原式； （2）解：先把变形为， 则原式变为， 设，则， 则，即， 解得． 因为长方形的周长， 把代入，得到． 题型8 综合运用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)若，则M有最______值，为______． (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：_______平方米； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)大， 2 (3)①②当时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米 【思路引导】本题主要考查了因式分解，完全平方公式的应用， （1）先提出4，再配方得出完全平方公式，然后根据平方差公式分解； （2）先提出，再配方，根据完全平方公式的非负性讨论最大值； （3）根据长方形的面积公式表示，再配方讨论极值即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ ∴， 所以M有最大值，为2； 故答案为：大，2； （3）解：①（平方米）． 故答案为：； ② ∵ ∴ ∴， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米． 【变式】（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）教科书中这样写道∶"形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式"，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如∶分解因式∶． 解∶原式； 再如∶求代数式的最小值． 解∶； ∵，∴原式，即当时，原式有最小值． 学以致用∶ (1)用配方法分解因式∶；(其他方法不得分) (2)用配方法求多项式的最大值？并求出此时x的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值13 (3)5 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）仿照题干所给的方法，进行因式分解即可； （2）配方法求最值即可； （3）配方法结合非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【规范解答】（1）解：； （2）由题意，∵， ∴当时，多项式有最大值13； （3）， ， ， ， ， ∴． 题型9 综合提公因式和公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·河南周口·期中）一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解的题目． ①； ②； ③； ④． (1)小红做错的或过程不完整的题目是______（填序号）． (2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据题意判断即可； （2）根据取公因式和公式法因式分解即可． 【规范解答】（1）解：小红做错的或过程不完整的题目是； （2）解：①， ② ， ③ ， ④ ． 【变式】（25-26八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先利用多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用完全平方公式法进行因式分解即可； （3）先提公因式，再利用公式法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 题型10 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查因式分解的应用， （1）将原式转化为，然后利用完全平方公式进行因式分解，再进行有理数的乘方运算； （2）将原式利用结合律进行分组，然后利用平方差公式进行因式分解，再进行乘法和加法运算； 掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【变式】（24-25八年级下·山西太原·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)利用因式分解计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再计算加减即可； （3）逆用完全平方公式计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式    ； （3）解：原式    ． 题型11 十字相乘法 【精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期中）[阅读理解]将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足其常数项q是两个因数（m、n）的积（即），而一次项系数p恰好是这两个因数的和（即），则可以把因式分解成．例如，分解因式 ①， ②． 如上，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图①、②），这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们就可以得到： ① ； ②． [迁移运用] (1)请模仿上例，用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式（画出图示）： ①     ② (2)若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，则的最大值为______． 【答案】(1)（1）①，图见解析 ②，图见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法分解因式． （1）各个小题均根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式求解即可． 【规范解答】（1）解：① ② （2）解：若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，要使得取得的最大值，则取得最大值，考虑m，n为正整数时， ，，， 当时，为最大值， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到“整体思想”，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用． 下面是小龙同学用“整体思想”对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小龙同学的解法中，第二步运用了因式分解的______； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)你认为小龙同学的结果正确吗？______（填“正确”或“不正确”），若不正确，请直接写出你认为正确的结果； (3)请你用“整体思想”对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不正确， (3) 【思路引导】本题考查了因式分解等知识，熟知因式分解相关知识，理解整体思想是解题关键． （1）根据完全平方公式法即可求解； （2）利用完全平方式分解彻底即可求解； （3）把看作一个整体，利用十字相乘法分解即可． 【规范解答】（1）解：小龙同学的解法中，第二步运用了完全平方公式分解因式． 故选：C （2）解：小龙的结果不正确，没有分解彻底． 设 原式 ； （3）解：把作为一个整体， ∴ ． 题型12 分组分解法 【精讲】（25-26八年级上·广西贵港·期中）阅读理解： 当一个多项式既不能用提公因式法又不能用公式法因式分解时，这里再介绍一种因式分解的方法，叫分组分解法．比如： 这种分组法是分组后用提公因式法分解．又比如： ． 这种分组后用公式法分解．根据以上信息分解下列因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查分组分解法因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）前两项一组，后两项一组，第一组提公因式之后，再提取两组的公因式即可分解； （2）前三项一组，最后一项单独一组，第一组用完全平方公式进行因式分解，然后两组再用平方差公式因式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述方法的其中一种无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，再次提取公因式就可以完成整个式子的因式分解．具体过程如下： ． 像这种将一个多项式适当分组后，进行因式分解的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查因式分解的应用，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组． （1）根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案； （2）先分组，然后完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解； （3）对进行因式分解，可得，则可得，两边同时乘以即可解答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ，即， 两边同时乘以可得， ． 题型13 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级上·河南开封·期中）观察下面的等式：，，，，…… (1)尝试：________． (2)归纳：________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)9 (2)n (3)见解析 【思路引导】此题考查了数字类的变化规律，因式分解的应用，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键． （1）根据题目中的例子，可以直接得到结果； （2）根据题目中给出的式子，可以直接得到答案； （3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得： 故答案为：n； （3）解： 所以结论正确． 【变式】（25-26八年级上·福建泉州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．    (1)    情境一： ①如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如图1，请你用含、的式子表示一块等腰梯形木片的高________； ②请将这4块完全相同的等腰梯形木片拼出另一个图形，并画出该图形，使得与图1结合可验证乘法公式； (2)情境二：如图2，乙同学用12张纸片及若干张的纸片、纸片是否能拼成一个大正方形（不重叠、无缝隙）？如果不能拼成，请说明理由；如果能拼成，请写出所有能拼成的大正方形的边长（用含、的式子表示）； (3)情境三：丙同学声称自己用图2的三种纸片，2块纸片，5块纸片，8块纸片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，还需要从中增加3块纸片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致）． 【答案】(1)①，②图见详解 (2)能拼成，大正方形的边长是或或或 (3)赞同丁同学的说法，所拼长方形的两边长为，，图见详解 【思路引导】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． （1）①作出梯形木片的高，根据上底和下底的长度即可求解；②先结合①中计算的高将图1中平行四边形的面积表示出来，再根据要验证的推断出所作图形是边长为a的正方形减去一个边长为b的正方形，结合梯形木片上底和下底长度即可求解． （2）先设大正方形的边长为，算出面积，再分析构成图形的个纸片数量，再结合用了12张纸片C，即可求解． （3）能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【规范解答】（1）解：①如图，设等腰梯形的高为h， 由图形可知，， ②如图 图1中平行四边形由四块梯形木片拼接而成，底边长度为，由①可知高为，故面积为， 所做图形由四块梯形木片和一个边长为b的正方形构成一个边长为a的大正方形，故四块梯形木片的面积为， 综上所述，可得． （2）设构成的大正方形边长为，则面积为， 由图2可知纸片A的面积为，纸片B的面积为，纸片C的面积为，故大正方形是由块纸片A、块纸片B、块纸片C构成， 根据题意可得，解得或或或， 综上可知，能拼成大正方形，大正方形的边长为或或或． （3）赞同丁同学的说法，增加3块C之后， 该情况下所拼长方形的两边长为和，长方形如下图所示． 1．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱河南 B．爱河南 C．我爱学 D．河南数学 【答案】A 【思路引导】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 本题考查了因式分解，选择适当的方法分解因式是解题的关键． 【规范解答】解： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵对应密码字：我， 爱，河，南， ∴密码信息为“我爱河南”， 故选：A． 2．（23-24八年级上·甘肃天水·期末）将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键． 直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【规范解答】解：． 故选：B． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·重庆·期末）在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题考查了因式分解，涉及等腰三角形的判定，构成三角形的条件：将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【规范解答】解： ， ，故正确； 由得， ∴， 即 ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形．故正确； 由 得 ∴ ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上，正确的有，共2个． 故选：． 5．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）一个两位数，其中，、为正整数，下列说法 ①的最大值为； ②若，则的值可能为； ③当为质数时，不存在，使． 其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，由可得，进而可得，即得是合数，得到，即得到的最大值为，即可判定①和③；由得，得到，可得是的倍数，即可判定②，据此即可求解，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴是合数， ∵， ∴， ∵的最大值为， ∴的最大值为，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的倍数， ∴的值不可能为，故②错误； ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴是合数， ∴当为质数时，不存在，使，故③正确； ∴正确的个数为个， 故选：． 6．（25-26九年级上·湖北黄石·期中）分解因式： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了多项式的因式分解．先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【规范解答】解： ． 故答案为： 7．（21-22八年级上·浙江台州·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了因式分解，已知式子的值，求代数式的值，利用提公因式法分解因式，然后再代入进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴ 故答案为： 8．（24-25八年级下·全国·期末）若实数，，，满足，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 把和合并，利用完全平方公式化简后求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴可得：， 整理可得：， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【答案】84 【思路引导】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【规范解答】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山西长治·期末）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【规范解答】解： ． 12．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用提取公因式法分解即可； （2）整理后用完全平方公式分解即可． 【规范解答】（1） ； （2） ． 13．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现式子可以因式分解为______． (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了因式分解的几何意义以及完全平方公式的应用，解决本题的关键是观察图形，找到a与b与面积的关系． （1）通过长方形的面积表示，将长方形拆解为2块大正方形，2块小正方形，5块小长方形的面积和，由此可因式分解； （2）根据完全平方公式结合长方形的周长，面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：观察图形可知，表示的是长方形的总面积， ∴， 故答案为：； （2）解：∵阴影部分的面积为，大长方形的周长为， ∴，， 化简可得，， ∵， ∴， ∴空白部分的面积为． 答：图中空白部分的面积为． 14．（24-25八年级下·江西吉安·期末）下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【答案】(1)，； (2)分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； (3)． 【思路引导】本题考查了分解因式． （1）先利用平方差公式把第三步式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可； （2）根据所给因式分解过程即可得到答案； （3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可． 【规范解答】（1）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 故答案为：，； （2）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； 故答案为：分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； （3）解： ． 15．（25-26八年级上·湖南永州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） (2)若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】(1) (2) (3)，图见解析 【思路引导】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是运用数形结合的思想进行因式分解． （1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）由得，，代入数据计算即可； （3）作出图形，根据图形进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． 故答案为：． （2）， ． ． ， ． （3）如图所示． ． 故答案为：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $