专题14 分式及其基本性质（期末培优，15个高频易错考点训练共43题）-2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂（人教版·新教材）

该初中数学单元复习讲义以“分式及其基本性质”为核心，通过知识框架图系统梳理15个高频易错考点，从分式的判断、有意义条件到约分通分，用对比表格呈现易混点（如分式有意义与值为零的条件），清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“考点分层训练”设计，每个考点配典型例题（如分式值为零需分子为零且分母不为零的推理题），结合易错点梳理培养推理意识与抽象能力。基础题夯实概念，综合题提升运用，助力学生自主查漏补缺，也为教师精准教学提供靶向资源。

期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为人教版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题14 分式及其基本性质 （期末培优，15个高频易错考点训练共43题） 目录 考点一分式的判断 3 考点二分式无意义的条件 3 考点三分式有意义的条件 4 考点四分式值为零的条件 5 考点五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 5 考点六判断分式变形是否正确 6 考点七求使分式变形成立的条件 6 考点八利用分式的基本性质判断分式值的变化 7 考点九将分式的分子分母的最高次项化为正数 8 考点十将分式的分子分母各项系数化为整数 8 考点十一求使分式值为整数时未知数的整数值 9 考点十二约分 10 考点十三最简分式 11 考点十四最简公分母 11 考点十五通分 12 考点一分式的判断 1．下列选项中的代数式，是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．在式子，，，中，分式的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列代数式均由 和组成，其中是分式的是（　　） A． B． C． D． 考点二分式无意义的条件 4．若分式的值不存在，则x的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 0 1 2 3 的值 无意义 0 A． B． C． D． 考点三分式有意义的条件 7．在分式中，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 9．当满足什么条件，分式有意义（   ） A． B． C． D． 考点四分式值为零的条件 10．若分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．不存在 11．若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 12．下列说法正确的是（    ） A．是分式 B．分式的分子为0，则分式的值为0 C．将式子写成分数的形式是 D．对于任意实数，总有意义 考点五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 13．若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 14．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 考点六判断分式变形是否正确 16．下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 17．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 18．若，且，若“□”表示运算符号，则“□”可以是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点七求使分式变形成立的条件 19．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 20．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 21．能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 考点八利用分式的基本性质判断分式值的变化 22．如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．扩大到原来的3倍 23．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D．5 24．把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该（） A．加4 B．减4 C．乘4 D．除4 考点九将分式的分子分母的最高次项化为正数 25．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 26．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 27．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 考点十将分式的分子分母各项系数化为整数 28．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 29．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 30．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 考点十一求使分式值为整数时未知数的整数值 31．2022年是宁波外国语学校建校31周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 32．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 33．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 考点十二约分 34．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 35．下列从左到右的分式变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 36．如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 考点十三最简分式 37．下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 38．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 39．分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 考点十四最简公分母 40．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 41．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．分式与的最简公分母是 考点十五通分 42．已知，，则的值 （   ） A． B． C． D． 43．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为人教版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题14 分式及其基本性质 （期末培优，15个高频易错考点训练共43题） 目录 考点一分式的判断 3 考点二分式无意义的条件 4 考点三分式有意义的条件 5 考点四分式值为零的条件 6 考点五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 7 考点六判断分式变形是否正确 9 考点七求使分式变形成立的条件 10 考点八利用分式的基本性质判断分式值的变化 11 考点九将分式的分子分母的最高次项化为正数 13 考点十将分式的分子分母各项系数化为整数 14 考点十一求使分式值为整数时未知数的整数值 15 考点十二约分 17 考点十三最简分式 18 考点十四最简公分母 20 考点十五通分 21 考点一分式的判断 1．下列选项中的代数式，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的代数式，据此即可求解； 【解答】解：根据分式的定义可知，为分式， 故选：B ． 2．在式子，，，中，分式的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【解答】解：和的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， 和的分母中含有字母，因此是分式，共2个． 故选：B． 3．下列代数式均由 和组成，其中是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键．分母中含有变量的代数式叫做分式，根据分式的定义，依次判断即可． 【解答】解：A、是整式，不是分式，不符合题意； B、是整式，不是分式，不符合题意； C、是整式，不是分式，不符合题意； D、是分式，符合题意； 故选：D． 考点二分式无意义的条件 4．若分式的值不存在，则x的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查的是分式的值不存在的条件，分式不存在的条件中特别需要注意的是分母是0，这是经常考查的知识点． 分式的值不存在的条件是：分母为0，即，从而解决问题． 【解答】解：根据题意得： 解得：． 故选：A． 5．当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【解答】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 6．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 0 1 2 3 的值 无意义 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式．根据表格信息，当时分式无意义，说明分母在时为零；当时分式值为零，说明分子在时为零．逐一验证选项，只有选项A同时满足这两个条件． 【解答】解：∵当时，分式无意义， ∴分母含有，排除BD； ∵当时，分式值为零， ∴分子含有，排除C， ∴分式可能是A：， 故选：A． 考点三分式有意义的条件 7．在分式中，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握使分式有意义的条件是解题的关键． 分式的分母不能为零，据此列式求解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故的取值范围是． 故选：C． 8．下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，依次需判断各选项分母是否可能为零即可． 【解答】解：选项A的分母为，当时，，分母可能为零； 选项B的分母为，当时，，分母可能为零； 选项C的分母为，因为，所以，分母恒不为零； 选项D的分母为，当时，，分母可能为零； 故选：C． 9．当满足什么条件，分式有意义（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【解答】解：要使分式有意义，分母必须不等于零． 解不等式，得，即． 故选B． 考点四分式值为零的条件 10．若分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为0的条件．分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，需注意分母不为0的限制，据此进行求解即可． 【解答】解：∵分式值为0， ∴分子且分母． 解方程：，即， ∴或． 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，分式有意义． ∴． 故选：B． 11．若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【解答】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 12．下列说法正确的是（    ） A．是分式 B．分式的分子为0，则分式的值为0 C．将式子写成分数的形式是 D．对于任意实数，总有意义 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义，分式的值，根据与分式相关的概念与性质逐一分析判断即可． 【解答】解：A、不是分式，原说法错误； B、分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0，原说法错误； C、将式子 写成分数的形式是，原说法错误； D、对于任意实数，，分式总有意义，说法正确； 故选：D． 考点五求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 13．若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【解答】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 14．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【解答】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 15．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【解答】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 考点六判断分式变形是否正确 16．下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质：判断分式变形是否正确．根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 17．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断分式的变形是否正确，根据分式的基本性质，进行判断即可． 【解答】解：； 故符合题意的只有选项A； 故选A． 18．若，且，若“□”表示运算符号，则“□”可以是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 通过代入运算符号验证等式是否恒成立，乘法和除法运算使等式恒成立，而加法和减法不一定成立． 【解答】解：∵若“□”为“”，则 ，∴等式成立； 若“□”为“”，则，∴等式成立； 若“□”为“”或“”，则等式不一定成立，例如当时，，且 ，分母为零无意义； ∴ “□”可以是“”或“”，对应选项B． 故选：B． 考点七求使分式变形成立的条件 19．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【解答】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 20．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、分式的基本性质等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先用a表示b，然后代入运用分式的基本性质计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 21．能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保分母不为零，从而确定k的取值范围． 【解答】解：若，则分子和分母可同时约去，得到，此时等式成立． 若，分母变为，分式无意义， 因此，k的取值范围是， 故选：B． 考点八利用分式的基本性质判断分式值的变化 22．如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．扩大到原来的3倍 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．将和同时扩大为原来的3倍后，代入原分式计算，比较新分式与原分式的关系即可． 【解答】解：∵扩大后分式为， 又∵， ∴分式的值扩大到原来的3倍． 故选：D． 23．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了分式值的变化情况，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数． 当和都扩大为原来的3倍时，分母也扩大3倍，因此分子必须也扩大3倍才能保持分式的值不变．只需验证哪个选项的在和扩大3倍时值也扩大3倍即可． 【解答】∵和都扩大为原来的3倍， ∴分母，即分母扩大3倍．为保持分式值不变，分子也必须扩大3倍． 选项A：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，符合题意． 选项B：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，不符合题意． 选项C：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，不符合题意． 选项D：，分子的取值与和无关，是常数，不符合题意． 故选A． 24．把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该（） A．加4 B．减4 C．乘4 D．除4 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分式的值不变．本题中分母乘4，因此分子也需乘4才能使分式的值保持不变． 【解答】解：∵原分式为，分母乘4后变为， ∴要使分式的值不变，分子也需乘4，即分子变为， ∴分子应该乘4． 故选C． 考点九将分式的分子分母的最高次项化为正数 25．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【解答】解：． 故选：D 26．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【解答】解：． 故选B． 【点评】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 27．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【解答】解：=== 故选B． 【点评】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 考点十将分式的分子分母各项系数化为整数 28．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一排除即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【解答】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 29．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【解答】解：． 故选：C 30．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【解答】解：， 故选：A． 考点十一求使分式值为整数时未知数的整数值 31．2022年是宁波外国语学校建校31周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为整数，根据题意求出建校n周年对应年份为，列出式子，化为，则要使得能够整除，则n为1991的因数，据此即可解答． 【解答】由题可知，建校n周年对应年份为， 则年份除以建校周年n为， 要使得能够整除，则n为1991的因数， ∵， ∴或或或，共4个， 故选：B． 32．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【解答】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 33．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【解答】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 考点十二约分 34．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，进行约分即可． 【解答】解：； 故选B． 35．下列从左到右的分式变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质以及因式分解的应用，熟练掌握分式的基本性质（分子分母同乘或除以不为的整式，分式值不变）是解题的关键． 依次对每个选项依据分式的基本性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变）以及因式分解、分式化简等知识进行分析判断． 【解答】解：的分子分母同时乘以，应为，故A项错误． 当时，的分母为，分式无意义，不满足分式基本性质中“乘以同一个不为的整式”，故B项错误． ∵（，即），分子分母同时约去， ∴，故C项正确． 与没有公因式，不能约分，，故D项错误． 故选：． 36．如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体体积公式在实际问题中的应用，解题的关键是明确饮料瓶正放时饮料的体积与倒放时空置部分的体积均可用“底面积高度”表示，且瓶的容积等于饮料体积与空置部分体积之和． 设瓶底底面积为，先根据圆柱体体积公式分别求出正放时饮料体积为、倒放时空置部分体积为，进而得出瓶的容积为，最后计算饮料体积与容积的比值即可得到结果． 【解答】解：设瓶底的底面积为S，正立时，饮料的体积，倒立时， 空置部分的体积， 则瓶子的总体积， 所以瓶内剩余饮料的体积占总体积的比例为：． 故选：A． 考点十三最简分式 37．下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【解答】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 38．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，先把分母因式分解，然后根据最简分式的定义进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解：， 根据题意可得可以表示的式子是， 故选：C． 39．分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是分式的约分，最简分式，因式分解，解题关键是熟练掌握最简分式的定义． 将每个选项的分子和分母分别进行因式分解，然后进行约分化简，如果无法继续进行化简则选项是最简分式，如果可以继续化简，则选项不是最简分式． 【解答】解：的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式； ，即不是最简分式； ，即不是最简分式； 的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式． 综上，最简分式的个数是个． 故选：． 考点十四最简公分母 40．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．最简公分母是分母系数的最小公倍数与各变量最高次幂的乘积． 【解答】解：分母和的系数4和6的最小公倍数为12，变量的最高次幂为，变量的最高次幂为， 最简公分母为， 故选：A． 41．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．分式与的最简公分母是 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分式值为0，及分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法依次判断即可． 【解答】解：A．当时，分母为0，分式无意义，正确，不符合题意； B．当时，分母大于0，与分子同号，故分式的值为正数，正确，不符合题意； C．当分式时，即，解得，当时，分母无意义，故错误，符合题意； D．分式与的最简公分母是，正确，不符合题意； 故选：C． 考点十五通分 42．已知，，则的值 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键是熟练掌握异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减． 根据分式的加减法则“异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减”得原式等于，再根据进行完全平方即可得，进行计算即可得． 【解答】解：∵， ∴ ∴ ． 故选C． 43．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【解答】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 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