专项突破06 整式的乘法（期末复习-知识回顾+17个重难点培优题型+真题演练 共49题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册精讲练（新教材）

该初中数学单元复习讲义通过梳理单项式乘除、多项式乘除等7个核心知识点，结合表格对比（如同底数幂乘除法法则比较）和解题技巧提炼，构建清晰知识脉络，突出重难点内在联系，培养学生抽象能力与几何直观。 讲义亮点在于17种分层题型设计，如“多项式乘多项式与图形面积”题型融合几何直观培养模型意识，“规律性问题”题型发展推理意识，搭配真题演练助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

专项突破06 整式的乘法 (知识回顾+17种重难点培优题型+真题演练 共49题) 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01:单项式与单项式相乘 2 知识点梳理02:单项式与多项式相乘 2 知识点梳理03:多项式与多项式相乘 3 知识点梳理04:同底数幂的除法 3 知识点梳理05:零指数幂的意义 4 知识点梳理06:单项式除以单项式 4 知识点梳理07:多项式除以单项式 4 重点难点 培优讲练 5 题型1 计算单项式乘多项式及求值 5 题型2 单项式乘多项式的应用 6 题型3 利用单项式乘多项式求字母的值 9 题型4 计算多项式乘多项式(x+p)(x+q)型 10 题型5 多项式乘法 11 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值 13 题型7 多项式乘多项式—化简求值 14 题型8 多项式乘多项式与图形面积 15 题型9 多项式乘法中的规律性问题 16 题型10 整式乘法混合运算 18 题型11 同底数幂的除法运算 20 题型12 同底数幕除法的逆用 22 题型13 零指数冪 23 题型14 计算单项式除以单项式 24 题型15 用科学记数法表示数的除法 25 题型16 多项式除以单项式 26 题型17 整式四则混合运算 27 期末真题 实战演练 30 知识点梳理01:单项式与单项式相乘 1、 单项式与单项式相乘法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 【注意】①系数:积的系数等于系数的积; ②相同字母:相同字母的幂相乘; ③单独字母:连同它的指数作为积的一个因式. 解题技巧提炼 (1)单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. (2)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式; (3) 此性质对于多个单项式相乘仍然成立. 知识点梳理02:单项式与多项式相乘 1、单项式与多项式相乘法则:一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 2、用式子表示:p(a + b + c)=pa + p b + p c. 3、法则逆用:幂的乘方性质可以逆用,即am n = (am )n = (an )m(m,n是正整数). 【注意】(1)依据是乘法分配律; (2) 积的项数与多项式的项数相同. 解题技巧提炼 1、单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 2、在做乘法运算时,一定要注意单项式和多项式中每一项的符号,不要乘错 知识点梳理03:多项式与多项式相乘 1、多项式与多项式相乘法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 2、用式子表示:(a+b)(m+n)=am+an+b m+bn. 3、法则逆用:同底数幂的乘法性质可以逆用,即am+n=am•an(m,n是正整数). 【注意】多项式与多项式相乘的结果仍为多项式,若有同类项一定要及时合并同类项,在合并同类项之前,积的项数应该是两个多项式的项数之积. 解题技巧提炼 1、多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 2、注意:(1) 不要漏乘;(2) 符号问题;(3) 最后结果应化成最简形式 (是同类项的要合并). 知识点梳理04:同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减. 字母表示为:am an=am﹣n(a≠0,m,n是正整数,m>n). 2、同底数幂的除法性质的推广:三个及以上的的同底数幂相除,即am an a p=am-n-p(a≠0,m,n,p都是正整数,并且m>n+p). 3、同底数幂除法性质的逆用:am﹣n=am an(m,n是正整数). 4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am an=am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n) 不变 相减 【注意】 ①底数a≠0,因为0不能做除数; ②单独的一个字母,其指数是1,而不是0; ③应用同底数幂除法的法则时,底数a可是单项式,也可以是多项式,但必须明确底数是什么,指数是什么. 解题技巧提炼1 1、同底数幂相除,底数不变,指数相减. 2、计算同底数幂的除法时,先判断底数是否相同或变形为相同,若底数为多项式,可将其看作一个整体,再根据法则计算. 解题技巧提炼2 1、单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 2、在做乘法运算时,一定要注意单项式和多项式中每一项的符号,不要乘错. 知识点梳理05:零指数幂的意义 性质:任何不等于0 的数的0次幂都等于1. 即:a0 = 1 (a≠0). 【注意】1、只有当底数不为零时,它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式,也可以是多项式,但不能为0. 解题技巧提炼 1、多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 2、注意:(1) 不要漏乘;(2) 符号问题;(3) 最后结果应化成最简形式 (是同类项的要合并). 知识点梳理06:单项式除以单项式 1、单项式除以单项式法则:单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连它的指数一起作为商的一个因式. 2、单项式除以单项式分为三个步骤: (1)把系数相除,所得结果做为商的系数; (2)把同底数幂分别相除,所得结果作为商的因式; (3)把只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式. 解题技巧提炼 掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键,注意在计算过程中,有乘方的先算乘方,再算乘除. 知识点梳理07:多项式除以单项式 1、多项式与多项式相乘法则:多项式除以单项式,就是用多项式的除以这个单项式,再把所得的 商相加. 2、关键:应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 3、用式子表示:(am+an) m=am m+b m n=a+b. 【注意】 1、计算时要注意符号问题,多项式中每一项都包含它前面的符号,同时还要注意单项式的符号. 2、计算时不要漏项,多项式除以单项式的结果是一个多项式,其项数与被除式的项数相同. 解题技巧提炼1 多项式除以单项式,实质是利用乘法的分配律,将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决.计算过程中,要注意符号问题. 解题技巧提炼2 在进行每一种运算时,要弄清它的运算法则,不要混淆整式加减法、整式乘除法则与幂的各种运算性质,同时要注意运算顺序,计算过程中或结果中若有同类项,要注意合并同类项. 题型1 计算单项式乘多项式及求值 【精讲】(25-26八年级上 辽宁大连 期中)(1)计算:; (2)先化简,再求值:,其中. 【答案】(1);(2),10 【思路引导】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值,正确掌握相关运算法则是解题关键. (1)利用多项式除以单项式法则计算即可; (2)先利用单项式乘多项式法则展开,再合并同类项,最后把已知数据代入计算得出答案. 【规范解答】解:(1) ; (2) , 当时,原式. 【变式】(25-26八年级上 四川宜宾 期中)计算或化简 (1); (2); (3); (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】此题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算,正确掌握相关运算法则是解题关键. (1)利用算术平方根、立方根、乘方、绝对值的性质分别化简,进而得出答案; (2)直接利用幂的运算法则法则计算得出答案; (3)先计算积的乘方,再利用单项式乘多项式计算得出答案; (4)直接利用多项式乘多项式计算得出答案. 【规范解答】(1)解:原式 . (2)原式 . (3)原式 . (4)原式 . 题型2 单项式乘多项式的应用 【精讲】(25-26八年级上 吉林长春 期中)如图,某体育训练基地有一块长米,宽米的长方形空地,现准备在这块长方形空地上建一个长米,宽米的长方形游泳池,剩余部分全部修建成休息区(结果需要化简). (1)求休息区的面积; (2)休息区比游泳池的面积大多少平方米? 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式混合运算的应用等知识. (1)用长方形空地面积减去游泳池的面积,列式计算即可求解; (2)用休息区面积减去游泳池的面积,列式计算即可求解. 【规范解答】(1)解: . 答:休息区的面积为平方米; (2)解: . 答:休息区比游泳池的面积大平方米. 【变式】(25-26八年级上 北京 期中)请仔细阅读以下学习任务卡,并完成相应的任务. 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式,根据法则,可知,那么再根据除法是乘法的逆运算,可得,这就是多项式除以多项式. 两个多项式相除,可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列,然后再仿照两个多位数相除的计算方法,用竖式进行计算. 例如,可仿照用竖式计算(如图). 因此,多项式除以多项式可借助竖式进行计算. (1)任务一:补全材料中的两个空①:_,②:_. (2)任务二:仿照例子的做法计算: ①_; ②_. (3)任务三:若的商为整式,求的值和商式(请列出竖式并回答). 【答案】(1); (2)①;② (3),商式为,竖式见解析 【思路引导】本题考查了多项式除以多项式、多项式乘多项式,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)根据多项式乘多项式法则得,则,即可作答. (2)①模仿题干的竖式计算过程作答即可;②模仿题干的竖式计算过程作答即可; (3)模仿题干的竖式计算过程作答即可; 【规范解答】(1)解:; , 故答案为:;; (2)解:①如图所示: ; 故答案为:; ②如图所示: , 故答案为:; (3)如图所示: ∵的商为整式,且结合上图的竖式过程, ∴,即, ∴此时. 题型3 利用单项式乘多项式求字母的值 【精讲】(24-25八年级上 河南周口 期中)要使的展开式中不含的项,则的值是( ) A.0 B.2 C. D. 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了整式的乘法,先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果,再根据的展开式中不含的项,即含的项的系数为0进行求解即可. 【规范解答】解: , ∵的展开式中不含的项, ∴ ∴, 故选:B. 【变式】若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4,则m,n,k的值分别为( ) A.6,3,1 B.3,6,1 C.2,1,3 D.2,3,1 【答案】B 【思路引导】先根据单项式与多项式相乘的运算法则进行计算,根据题意列出算式,计算即可. 【规范解答】a3(3an-2am+4ak)=3a3+n-2am+3+4a3+k, 则3+n=9,3+m=6,3+k=4, 解得,n=6,m=3,k=1, 故选B. 【考点剖析】本题考查的是单项式与多项式相乘的运算法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 题型4 计算多项式乘多项式(x+p)(x+q)型 【精讲】(25-26八年级上 湖北荆门 期中)先化简,再求值:,其中. 【答案】, 【思路引导】本题考查了整式的混合运算及化简求值,先利用整式的运算法则进行化简,再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解,掌握整式的运算法则是解题的关键. 【规范解答】解:原式 , 当时, 原式 . 【变式】(25-26八年级上 湖北荆门 期中)计算: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】()先进行同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方运算,再合并同类项即可; ()先计算多项式乘以多项式,单项式乘以多项式,再合并同同类项即可; 本题考查了整式的混合运算,掌握整式的运算法则是解题的关键. 【规范解答】(1)解:原式 ; (2)解:原式 . 题型5 多项式乘法 【精讲】(25-26八年级上 山西长治 阶段练习)综合与实践 数学活动-探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历,亮亮在其中任意画的方框,方框内的数字分别用表示(如图②),他准备计算“”的值,并探索其运算结果的规律. 【特例探究】(1)计算图①中方框内的结果:_, _; 【推理演绎】(2)亮亮通过特例分析,猜想所有日历中,方框内“”的结果都不变,请你将他的证明过程补充完整; 证明:设,则. ...... 【类比应用】(3)乐乐学习亮亮的方法,借助2025年8月份的日历,继续进行如下探究:在日历中用“十字框”框住五个数(字母表示如图③所示),再探究“”的值的规律.请你帮他写出结论,并说明理由. 、 【答案】(1)7;7;(2)见详解;(3)的值保持不变,始终为,理由见详解 【思路引导】本题主要考查整式的运算,熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键; (1)根据题意直接进行求解即可; (2)由题意可知,然后进行求解即可; (3)设,则有,然后计算的值即可. 【规范解答】解:,; 故答案为7;7; (2)证明:设,则, ∴ ; ∴方框内“”的结果都不变; (3)设,则有, ∴ ; ∴的值保持不变,始终为. 【变式】(24-25八年级下 湖北武汉 开学考试)若,则 . 【答案】3 【思路引导】本题考查多项式乘多项式,展开等式左边建立关于m,n的方程组是求解本题的关键.将等式左边展开,建立关于m,n的方程,然后解方程求得m、n即可解答. 【规范解答】解:. ∵, ∴, ∴, ∴. 故答案为:3. 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【精讲】(25-26八年级上 河北邯郸 期中)若的积中不含x的二次项和一次项,则的值分别为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了多项式乘以多项式,解题的关键是正确得出含x的二次项和一次项的系数. 展开多项式乘积,根据不含二次项和一次项的条件,令对应系数为零,求解即可. 【规范解答】解:∵ , ∵积中不含的二次项和一次项, ∴,, 解得,. 故选:D. 【精讲】(25-26八年级上 吉林松原 期中)下面两道小题小明不会做,请你帮他写出解答过程. (1)如果,求m的值; (2)已知的结果中不含项,求m的值. 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查同底数幂的乘除法,多项式乘以多项式法则, (1)根据同底数幂乘除法法则变形,即可得到关于m的方程,由此求出m的值; (2)先计算多项式乘以多项式,再根据不含项的系数为零求出m的值. 【规范解答】(1)解:由题意,得, ∴, ∴. (2)解:原式, ∵结果中不含项, ∴, 解得:. 题型7 多项式乘多项式—化简求值 【精讲】(25-26八年级上 北京 期中)若,求代数式的值. 【答案】 【思路引导】本题考查整式的乘法运算与代数式求值,运用整体代入思想,先化简代数式,再结合已知条件整体代入. 先将代数式化简为含的形式,再由已知条件得出的值,整体代入化简后的式子求值. 【规范解答】解: ∵ ∴ 则原式 . 【变式】(25-26八年级上 河南周口 阶段练习)先化简,再求值: (1),其中,. (2)已知,求的值. 【答案】(1), (2), 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值,正确化简各式是解题的关键. (1)先去括号,然后合并同类项化简,最后代值计算即可; (2)先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号,然后合并同类项化简,最后代值计算即可. 【规范解答】(1)解: , 当,时,原式; (2)解: , ∵, ∴原式. 题型8 多项式乘多项式与图形面积 【精讲】(25-26七年级上 福建福州 期中)某建筑物的地面结构如图所示(图中各图形均为长方形或正方形),请根据图中的数据(单位:米),解答下列问题: (1)用含,的代数式表示地面总面积为_平方米; (2)图中空白部分铺浅色地砖,阴影部分铺深色地砖,浅色地砖每平方米的平均费用为80元,深色地砖每平方米的平均费用为100元,若,,则铺地砖的总费用为多少元? 【答案】(1) (2)11280元 【思路引导】本题主要考查了列代数式,求代数式的值、整式的加减. (1)利用长方形和正方形的面积公式分别表示出四个图形的面积,再相加即可; (2)利用代数式分别表示出两部分阴影面积,将,代入计算得出两部分的面积,再分别乘以铺地砖每平方米的平均费用80元和100元,即可得出结论. 【规范解答】(1)解:根据题意图形由四部分组成, 地面的面积为:平方米, 故答案为:; (2)解:当,时, 白色部分面积为:(平方米), 阴影部分的面积为:(平方米), ∴铺地砖的总费用为:(元), 答:铺地砖的总费用为11280元. 【变式】(25-26八年级上 吉林松原 期中)如图所示的是人民公园的一块长为米,宽为米的长方形空地.工作人员计划在空地上建造一个网红打卡观景台,如图中阴影部分所示. (1)根据图中标注的数据,请用含m、n的代数式表示观景台的面积(结果化为最简); (2)已知修建观景台每平方米的费用为100元.若,,求修建观景台的费用为多少元? 【答案】(1)观景台的面积为平方米 (2)修建观景台的费用为32600元 【思路引导】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用,代数式求值: (1)用最大的长方形面积减去三块空白部分的面积即可得到答案; (2)根据(1)所求结合,求出观景台的面积,进而求出费用即可. 【规范解答】(1)解:观景台的面积. 答:观景台的面积为平方米. (2)解:当,时, 修建观景台的费用为:(元). 答:修建观景台的费用为32600元. 题型9 多项式乘法中的规律性问题 【精讲】(25-26八年级上 辽宁营口 期中)探究应用 (1)计算:_. (2)_. (3)上面的整式乘法计算结果很简洁,你又发现一个新的乘法公式_.(请用含a、b的字母表示). (4)直接用公式计算: ①_. ②_. 【答案】(1) (2) (3) (4)① ;② ; 【思路引导】本题主要考查了多项式乘多项式、探索规律题等知识点,熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键. (1)两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答; (2)两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答; (3)根据(1)(2)归纳总结得到一般性规律即可; (4)利用(3)得出的公式计算即可. 【规范解答】解:(1) . (2) . (3)由(1)(2)可归纳出:. (4)① ; ②中间应补上:, ; . 【变式】(25-26八年级上 黑龙江哈尔滨 期中)观察下列式子的因式分解的做法: ① ② ③_. ④ …… (为正整数,且) (1)观察以上结果,直接写出_. (2)根据以上结论,则_. (3)根据以上结论,求(为常数)的值. 【答案】(1) (2)63 (3) 【思路引导】本题考查数字类规律探究,因式分解的应用. (1)根据已有等式,推出规律进行求解即可; (2)根据已有等式,推出规律进行求解即可; (3)根据已有等式,推出规律进行求解即可. 【规范解答】(1)解:由题意可知:; 故答案为; (2)解:由题意可知:; 故答案为63; (3)解:由题意可知,; 故答案为. 题型10 整式乘法混合运算 【精讲】(25-26八年级上 北京 期中)阅读下列材料: 如果整数满足,其中都是整数,那么一定存在整数,使得. 例如,或 根据上述材料,解决下列问题: (1)已知或若,则_; (2)已知,(为整数),.若,求;(用含的式子表示) (3)一般地,上述材料中的可以用含的式子表示,请直接写出一组满足条件的(用含的式子表示). 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路引导】本题考查了列代数式的变化,读懂题意,正确对代数式进行变形是解题的关键. (1)根据示例,可以得到,从而得到的值; (2)由题意,得到,化简整理可得到,从而得到结果; (3)由题意,得到,从而得到的式子. 【规范解答】(1)解:, , , 解得, , , 故答案为:; (2)解:∵(为整数),,, , , 或; (3)解: , ∴或. 【变式】(2023八年级上 浙江台州 竞赛)如图,在一个大长方形中放入三个边长互不相等的小正方形、、,现只知道正方形的面积,对于两个阴影部分周长的差及面积的差是否为定值,甲乙两位同学分别进行了探究甲的观点:一定能求出两个阴影部分周长的差;乙的观点:一定能求出两个阴影部分面积的差,则下列说法正确的是( ) A.甲不正确,乙正确 B.甲正确,乙不正确 C.甲乙都不正确 D.甲乙都正确 【答案】B 【思路引导】此题主要考查整式的加减、列代数式、去括号,解题的关键是根据图形的特点列出代数式求解. 设三个正方形的边长依次为a,b,c,重叠的小长方形的长和宽分别为,知道的面积可求出边长,表示出阴影部分的周长差即可. 【规范解答】解:如图,设三个正方形的边长依次为,重叠的小长方形的长和宽分别为, 阴影部分的周长差为: . 阴影部分面积的差为: . 所以甲的观点正确,乙的观点不正确. 故选:B. 题型11 同底数幂的除法运算 【精讲】(25-26八年级上 福建泉州 期中)规定两数,之间的一种运算,记作:如果,那么.例如:因为,所以. (1)填空: _; (2)已知,,,若,求的值. (3)若,,求的值. 【答案】(1)4 (2)2 (3) 【思路引导】本题考查了新定义运算,同底数幂的运算,幂的乘方以及逆运算,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题. (1)根据规定计算即可; (2)根据新定义可得,再根据同底数幂除法法则,即可求解; (3)根据新定义可得,再根据幂的乘方法则解答即可. 【规范解答】(1)解:因为,所以; 故答案为:4 (2)解:因为,,, 所以, ∴, ∵, ∴, ∴; (3)解:∵,, ∴, ∴. 【变式】(25-26八年级上 全国 课后作业)计算: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式的混合运算,属于基础题型,计算时注意运算法则的准确运用. (1)先计算幂的乘方和积的乘方,再计算单项式的乘除; (2)原式变形为,将看成整体,根据同底数幂的除法法则计算解答即可. 【规范解答】(1)解: ; (2)解: . 题型12 同底数幕除法的逆用 【精讲】(25-26八年级上 福建福州 期中)已知,,则的值是( ) A. B. C. D.4 【答案】A 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘除法逆运算,幂的乘方运算,解题的关键是熟练掌握运算法则. 利用指数运算性质,将已知条件转化为以9为底的幂,然后代入所求表达式求解. 【规范解答】解: 故选:A. 【变式】.(25-26八年级上 四川宜宾 期中)(1)已知的两个平方根是与,且的算术平方根是3.求的立方根; (2)已知,,求的值. 【答案】(1)2;(2) 【思路引导】本题考查平方根,算术平方根及立方根的定义,幂的乘方和同底数幂的除法. (1)根据平方根与算术平方根的定义即可求得,的值,将,的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案; (2)根据幂的乘方和同底数幂的除法法则计算即可求解. 【规范解答】(1)解:的两个平方根是与,且的算术平方根是3, ,, 解得:,; , 的立方根是2. (2)∵, ∴, ∵, ∴. 题型13 零指数冪 【精讲】(25-26八年级上 江苏盐城 期中)计算: (1); (2). 【答案】(1)6 (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算、有理数的乘方、绝对值、零次幂及的运算,熟悉相关运算法则是解题的关键. (1)利用算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可; (2)利用算术平方根的定义,绝对值的性质,零指数幂计算后再算加减即可. 【规范解答】(1)原式; (2)原式 . 【变式】(25-26八年级上 江苏无锡 期中)计算: (1); (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解题的关键. (1)先根据算术平方根、有理数的乘方、立方根的运算法则计算,再根据有理数的混合运算法则计算即可; (2)先根据算术平方根、零指数幂、绝对值化简,再计算加减即可. 【规范解答】(1)解: ; (2) . 题型14 计算单项式除以单项式 【精讲】(25-26八年级上 湖南岳阳 期中)解答题: (1)计算: (2)化简:. 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算、绝对值化简、负整指数幂的除法,关键是熟练应用运算法则进行运算; (1)根据运算法则先算乘方、绝对值化简,最后算加减即可; (2)根据单项式除单项式的运算法则求解即可. 【规范解答】(1)解:原式; (2)解:原式. 【精讲】(25-26八年级上 江苏南通 期中)计算: (1) (2). 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的混合运算,熟练掌握相关运算法则是解题的关键. ()先进行积的乘方运算,然后进行单项式的除法即可得到结果; ()根据多项式乘以多项式的运算法则展开计算,再合并同类项即可得到结果. 【规范解答】(1)解: ; (2)解: . 题型15 用科学记数法表示数的除法 【精讲】(24-25七年级下 江苏泰州 月考)五月七日,印度和巴基斯坦发生冲突引发空战,巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机,扬我国威,已知一架阵风战机约亿美元,一架歼-10C约5500万美元,阵风战机价格是歼-10C的 倍. 【答案】5 【思路引导】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式,先把数据用科学记数法表示,根据题意列出算式,再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可. 【规范解答】解: ,, , 阵风战机价格是歼-10C的5倍. 故答案为:5. 【变式】某银行去年新增加居民存款10亿元人民币. (1)经测量,100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米,如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来,大约有多高? (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时,按每天点钞5小时计算,如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币,点钞机大约要点多少天? 【答案】(1)厘米 (2)天 【思路引导】(1)先算出10亿元人民币的张数,然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可; (2)用10亿元人民币的张数除以速度,再根据同底数幂相除,底数不变指数相减进行计算. 【规范解答】(1)10亿, ∴10亿元的总张数为张, (厘米); 答:大约高厘米; (2), , (天). 答:点钞机大约要点25天 【考点剖析】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法,根据题意列出算式是解题的关键,需要注意先求出10亿元人民币的总张数. 题型16 多项式除以单项式 【精讲】(25-26八年级上 福建泉州 期中)计算:. 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式与多项式除以单项式的运算,解题的关键是正确运用运算法则展开式子并合并同类项. 先展开;再计算;最后合并同类项. 【规范解答】解: . 【变式】(25-26八年级上 重庆 期中)先化简,再求值:,其中,. 【答案】,. 【思路引导】本题考查了整式的混合运算,先算单项式乘以多项式,多项式乘以多项式,再合并同类项,然后算多项式除以单项式化成最简,再根据算术平方根,零指数幂,幂的乘方逆用分别求出的值,最后代入即可求解,掌握相关运算法则是解题的关键. 【规范解答】解: , ∵,, ∴原式 . 题型17 整式四则混合运算 【精讲】(24-25七年级下 全国 单元测试)如图是某一工件横截面的形状,由图中所标数据可知,该工件横截面的面积为 . 【答案】 【思路引导】本题考查列代数式及整式混合运算,数形结合表示出工件横截面的面积代数式是解决问题的关键. 可将题图补全,变成一个大长方形,则题图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积,再由整式混合运算法则化简即可得到答案. 【规范解答】解:如图所示, 该工件横截面的面积为 , 故答案为:. 【变式】(25-26九年级上 重庆 月考)定义:关于x的两个多项式A、B,若满足,则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”.例如:若,,则,所以多项式与是关于x的凤鸣多项式. 根据上述定义,判断以下结论的正确性: ①若,,则A与B是关于x的凤鸣多项式. ②若,,,则与C是关于x的凤鸣多项式. ③已知是正整数),A与B是关于x的凤鸣多项式,若当时,多项式的值是小于45的整数,则满足条件的所有m的值之和为6. 其中正确的结论个数有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【思路引导】本题考查了整式混合运算——化简求值,理解已知中与是关于x的凤鸣多项式,并准确地进行计算是解题的关键. ①根据已知计算出 的值即可判断;②根据已知计算出 的值即可判断;③根据已知可得,再利用当时,多项式的值是小于的整数,确定出的值即可解答. 【规范解答】解:①,, , 与是关于x的凤鸣多项式,故①正确; ②∵,,, ∴, 则 , ∴,不满足定义, 则与C不是关于x的凤鸣多项式,故②错误; ③与是关于x的凤鸣多项式, , , (m是正整数), , , , ∵当时,多项式的值是小于45的整数, , , , , , ,, ∴满足条件的所有m的值之和为6,故③正确. 综上,正确的结论有①③,共2个, 故选:C. 1.(22-23七年级下 河北石家庄 期末)如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.下列判断正确的是( ) 结论I:若n的值为5,则y的值为1; 结论 :的值为定值; 结论 :若,则y的值为4或1. A.I, 均对 B. 对, 错 C. 错, 对 D.I, 均错 【答案】B 【思路引导】先由题意得到,,然后解方程组得到,当时,,则此时,即可判断I;得,即可判断②;根据1的任何次方为1,的偶次方为1,非零底数的0次方为1,三种情况讨论求解即可判断 . 【规范解答】解:由题意得,,, 得,解得, 把代入①得,解得, ∴方程组的解为, ∵, ∴当时,,则此时,故结论I正确; 得, ∴,故结论 正确; 当时,,此时满足; 当时,则,此时, ∴,,此时满足; 当时,则, 此时, ∴,此时满足, 综上所述,若,则y的值为4或3或1,故结论 错误, 故选B. 【考点剖析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解,零指数幂和负整数指数幂,熟练掌握相关知识是解题的关键. 2.(22-23八年级上 吉林 期末)若,,则 . 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式,代数式求值,先进行多项式的乘法运算,再把已知代入计算即可求解,掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键. 【规范解答】解:∵,, ∴, 故答案为:. 3.(24-25八年级上 湖北襄阳 期末)已知,则的值为 . 【答案】12 【思路引导】本题主要考查了多项式乘多项式、代数式求值等知识点,掌握多项式乘多项式法则是解题的关键. 根据多项式乘多项式法则将等式左侧展开,然后利用对应系数法即可求出和,然后整体代入计算即可. 【规范解答】解:∵. ∴, ∴. 故答案为:12. 4.(24-25八年级上 湖北襄阳 期末)若,则a= . 【答案】或2或0 【思路引导】本题主要考查了零次幂、有理数乘方等知识点,灵活运用相关运算法则成为解题的关键. 根据任何非零数的零次幂为1、1的任何次幂均为1、的偶次方为1成为解题的关键. 【规范解答】解:由题意可得或,解得或; 当时,. 综上,a可取值或2或0. 故答案为:或2或0. 5.(22-23八年级上 吉林长春 期末)如图,有个形状大小完全相同的小长方形构造成一个大长方形(各小长方形之间不重叠且不留空隙),图中阴影部分的面积为,则每个小长方形的对角线为 . 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理,多项式乘多项式,整式的混合运算,直接利用整式的混合运算法则结合已知阴影部分面积进而得出答案,正确掌握整式的混合运算法则是解题的关键. 【规范解答】设小长方形的宽为,长为,则大长方形的宽为,长为, 根据题意可得:, 整理得:,即, ∴每个小长方形的对角线为, 故答案为:. 6.(21-22八年级上 山东滨州 期末)在一次综合复习能力检测中,爱国同学的填空题的答卷情况如下,他的得分应是 分. 姓名:爱国 得分_ 填空题(每题2分,共10分) 1.点关于y轴对称点的坐标在(三)象限. 2.已知,则(2023). 3.一个n边形的内角和是,那么(5). 4.计算(). 5.如果是一个完全平方式,则a的值是(6). 【答案】4 【思路引导】根据关于y轴对称点的坐标特征:横坐标互为相反数,纵坐标不变,求出点的对称点坐标即可判定1题;将变形为a2+a=1,再将变形为a(a2+a)+a2+2022代入得a+a2+2022,再次代入即可求解,从而可判定2题;利用多边形内角和公式列方程(n-2) 180=540,求解即可判定3题;利用多项式除以单项式法则计算判定4题;利用完全平方式概念求出a值即可判定5题;从而可计算器他的得分. 【规范解答】解:点关于y轴对称点的坐标为(2,3),在第一象限,故1题错误; ∵, ∴a2+a=1, ∴a3+a2+a2+2022=a(a2+a)+a2+2022=a+a2+2022=1+2022=2023,故2题正确; ∵(n-2) 180=540, ∴n=5,故3题正确; 16x3 (-4x)-8x2 (-4x)+12x (-4x)=-4x2+2x-3,故4题错误; ∵x2-ax+9是一个完全平方式, ∴x2-ax+9=(x 3)2=x2 6x+9, ∴-a= 6, ∴a= 6,故5题错误; ∴爱国同学做正确了2题,所以他的得分是2 2=4(分), 故答案为:4. 【考点剖析】本题考查关于y轴对称点的坐标变换,代数式求值,多边形内角和,多项式除以单项式,完全平方式概念,熟练掌握相关运算法则是解题的关键. 7.(25-26八年级上 全国 期末)计算: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式的运算法则,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础题型. (1)利用多项式乘法法则计算,再合并同类项即可. (2)利用多项式除单项式法则计算即可; 【规范解答】(1)解: . (2)解: . 8.(24-25八年级上 吉林 期末)有一块边长为的正方形铁皮,计划制成一个有盖的长方体铁盒,使得盒盖与相对的盒底都是正方形.如图(1)、(2)给出了两种不同的裁剪方案(其中实线是剪开的线迹,虚线是折叠的线迹,阴影部分是余料),问哪一种方案制成的铁盒体积更大些?说明理由.(接缝的地方忽略不计) 【答案】图(2)比图(1)的体积更大,理由见解析 【思路引导】本题考查了长方体的体积公式,长方体的展开图,单项式乘单项式的应用,根据展开图分别计算出图(1)、(2)的体积,比较即可. 【规范解答】解:图(2)比图(1)的体积最大,理由如下: 图(1)中长方体铁盒的长为,则宽为,高为, 则体积为; 图(2)中长方体铁盒的长为,则宽为,高为, 则体积为; ∵,且, ∴, ∴, ∴图(2)比图(1)的体积更大. 9.(24-25八年级上 吉林 期末)老师布置了这样一道作业题:“先化简,再求值,其中”小明同学把“”错抄成“”,但他的计算结果却是正确的,你知道原因吗? 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了多项式乘多项式化简求值,熟练掌握相关运算法则是解题关键.利用多项式乘多项式,单项式乘多项式运算法则化简原式,可知该式的结果与的值无关,即可说明他的计算结果是正确的. 【规范解答】解: ; 则该式的结果与的值无关, ∴无论取何值,结果都为, ∴小明的计算结果是正确的. 10.(20-21八年级上 陕西渭南 期末)如图,有一块长为米,宽为米的长方形空地,计划修筑横向、纵向的两条道路,其余进行绿化(空白部分),已知道路宽为a米,则绿化的面积是多少平方米?并求出当,时的绿化面积. 【答案】 平方米;当,时,绿化面积为平方米. 【思路引导】本题考查多项式乘法与图形的面积. 根据长方形的面积计算方法列式,再根据多项式乘多项式的法则进行计算,然后把,代入计算即可. 【规范解答】解:根据题意得: (平方米) ∴绿化面积是平方米. 当,时, (平方米) ∴当,时,绿化面积为平方米. 11.[核心素养]在一次测试中,甲、乙两同学计算同一道整式乘法:,甲由于抄错了第一个多项式中的符号,得到的结果为;乙由于漏抄了第二个多项式中的系数,得到的结果为. (1)试求出式子中a,b的值; (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果. 【答案】(1), (2) 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点,根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算,求出与的值是解题的关键. (1)根据题意将错就错,分别列出两个等式,整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程,再求出与的值; (2)把a与b的值代入原式,进而确定出正确的算式及结果即可. 【规范解答】(1)解:由题意,得,, 所以①;② 由②得,代入①得, 所以, 所以, 所以. (2)解:由(1)得. 12.(25-26八年级上 北京朝阳 期中)(1)计算:; (2)计算:. 【答案】(1);(2) 【思路引导】本题考查了整式的混合运算,熟练掌握相关运算法则是解题的关键. (1)先根据积的乘方法则计算,再根据同底数幂的乘法法则计算即可; (2)先根据幂的乘方与积的乘方法则计算,再合并同类项即可. 【规范解答】解:(1) ; (2) . 13.(25-26八年级上 四川眉山 期中)计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了积的乘方,同底数幂相乘,同底数幂相除,单项式乘单项式,多项式乘多项式,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)先运算积的乘方,再合并同类项,即可作答. (2)先去括号,再根据同底数幂相乘进行计算,即可作答. (3)先运算单项式乘单项式,同底数幂相乘,同底数幂相除,再合并同类项,即可作答. (4)根据多项式乘多项式的运算法则进行计算,即可作答. 【规范解答】(1)解: ; (2)解: ; (3)解: ; (4)解: . 14.(25-26八年级上 河南洛阳 阶段练习)(1)已知,求代数式的值. (2)先化简,再求值:,其中. 【答案】(1);(2),. 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值,解决本题的关键是根据整式的去处法则,把代数式化简,再把字母的值代入化简后的代数式中计算求值. (1)根据单项式乘以单项式的法则计算,可得:原式,再把代入化简后的代数式计算即可; (2)根据单项式乘以多项式的法则和合并同类项的法则计算,可得:原式,再把代入化简后的代数式计算求值即可. 【规范解答】(1)解: , 当时, 原式; (2)解: , 当时, 原式. 15.已知关于,的方程组与方程组的解相同,试确定的值. 【答案】 【思路引导】首先把和联立方程组,求得x、y的数值,再进一步代入原方程组的另一个方程,联立关于m、n的方程组,解方程组得m、n的值,代入求得答案即可. 【规范解答】解:由题意得, 解得,代入原方程组得, , 解得, 把,代入得 . 【考点剖析】此题考查方程组解的意义以及单项式乘多项式求代数式的值,利用两个方程组的解相同联立方程组,进一步利用方程组解决问题,熟练求解二元一次方程组是解题的关键. 第 1 页 共 11 页 学科网(北京)股份有限公司 $ 专项突破06 整式的乘法 （知识回顾+17种重难点培优题型+真题演练 共49题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：单项式与单项式相乘 2 知识点梳理02：单项式与多项式相乘 2 知识点梳理03：多项式与多项式相乘 3 知识点梳理04：同底数幂的除法 3 知识点梳理05：零指数幂的意义 4 知识点梳理06：单项式除以单项式 4 知识点梳理07：多项式除以单项式 4 重点难点 培优讲练 5 题型1 计算单项式乘多项式及求值 5 题型2 单项式乘多项式的应用 6 题型3 利用单项式乘多项式求字母的值 7 题型4 计算多项式乘多项式(x+p）(x+q）型 7 题型5 多项式乘法 8 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值 9 题型7 多项式乘多项式—化简求值 9 题型8 多项式乘多项式与图形面积 10 题型9 多项式乘法中的规律性问题 11 题型10 整式乘法混合运算 12 题型11 同底数幂的除法运算 13 题型12 同底数幕除法的逆用 13 题型13 零指数冪 14 题型14 计算单项式除以单项式 14 题型15 用科学记数法表示数的除法 15 题型16 多项式除以单项式 15 题型17 整式四则混合运算 16 期末真题 实战演练 17 知识点梳理01：单项式与单项式相乘 1、 单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 【注意】①系数：积的系数等于系数的积； ②相同字母：相同字母的幂相乘； ③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式． 解题技巧提炼 (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. (2)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式； (3) 此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点梳理02：单项式与多项式相乘 1、单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、用式子表示：p(a + b + c)=pa + p b + p c． 3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】（1）依据是乘法分配律； （2） 积的项数与多项式的项数相同. 解题技巧提炼 1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2、在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错 知识点梳理03：多项式与多项式相乘 1、多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+b m+bn． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，若有同类项一定要及时合并同类项，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积． 解题技巧提炼 1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、注意：(1) 不要漏乘；(2) 符号问题；(3) 最后结果应化成最简形式 (是同类项的要合并). 知识点梳理04：同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． 2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． 3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． 4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ·aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n) 不变 相减 【注意】 ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 解题技巧提炼1 1、同底数幂相除，底数不变，指数相减． 2、计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算． 解题技巧提炼2 1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2、在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错． 知识点梳理05：零指数幂的意义 性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1. 即：a0 = 1 (a≠0). 【注意】1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 解题技巧提炼 1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、注意：(1) 不要漏乘；(2) 符号问题；(3) 最后结果应化成最简形式 (是同类项的要合并). 知识点梳理06：单项式除以单项式 1、单项式除以单项式法则：单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式. 2、单项式除以单项式分为三个步骤： （1）把系数相除，所得结果做为商的系数； （2）把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式； （3）把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 解题技巧提炼 掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算乘方，再算乘除． 知识点梳理07：多项式除以单项式 1、多项式与多项式相乘法则：多项式除以单项式，就是用多项式的除以这个单项式，再把所得的 商相加． 2、关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式． 3、用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+b m÷n=a+b． 【注意】 1、计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 2、计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同． 解题技巧提炼1 多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决．计算过程中，要注意符号问题. 解题技巧提炼2 在进行每一种运算时，要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，计算过程中或结果中若有同类项，要注意合并同类项. 题型1 计算单项式乘多项式及求值 【精讲】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【变式】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）计算或化简 (1) ； (2)； (2) ； (4)． 题型2 单项式乘多项式的应用 【精讲】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）． (1)求休息区的面积； (2)休息区比游泳池的面积大多少平方米？ 【变式】（25-26八年级上·北京·期中）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算． 例如，可仿照用竖式计算（如图）．   因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． (1)任务一：补全材料中的两个空①：__________，②：__________． (2)任务二：仿照例子的做法计算： ①__________； ②__________． (3)任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）． 题型3 利用单项式乘多项式求字母的值 【精讲】（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【变式】若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4，则m，n，k的值分别为（    ） A．6，3，1 B．3，6，1 C．2，1，3 D．2，3，1 题型4 计算多项式乘多项式(x+p）(x+q）型 【精讲】（25-26八年级上·湖北荆门·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式】（25-26八年级上·湖北荆门·期中）计算： (1) (2) 题型5 多项式乘法 【精讲】（25-26八年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践 数学活动--探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历，亮亮在其中任意画的方框，方框内的数字分别用表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． 【特例探究】（1）计算图①中方框内的结果：___________， ___________； 【推理演绎】（2）亮亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整； 证明：设，则． ．．．．．． 【类比应用】（3）乐乐学习亮亮的方法，借助2025年8月份的日历，继续进行如下探究：在日历中用“十字框”框住五个数（字母表示如图③所示），再探究“”的值的规律．请你帮他写出结论，并说明理由． 、 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·开学考试）若，则 ． 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【精讲】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）若的积中不含x的二次项和一次项，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【精讲】（25-26八年级上·吉林松原·期中）下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程． (1)如果，求m的值； (2)已知的结果中不含项，求m的值． 题型7 多项式乘多项式—化简求值 【精讲】（25-26八年级上·北京·期中）若，求代数式的值． 【变式】（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)已知，求的值． 题型8 多项式乘多项式与图形面积 【精讲】（25-26七年级上·福建福州·期中）某建筑物的地面结构如图所示（图中各图形均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：    (1)用含，的代数式表示地面总面积为________平方米； (2)图中空白部分铺浅色地砖，阴影部分铺深色地砖，浅色地砖每平方米的平均费用为80元，深色地砖每平方米的平均费用为100元，若，，则铺地砖的总费用为多少元？ 【变式】（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．工作人员计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． (1)根据图中标注的数据，请用含m、n的代数式表示观景台的面积（结果化为最简）； (2)已知修建观景台每平方米的费用为100元．若，，求修建观景台的费用为多少元？ 题型9 多项式乘法中的规律性问题 【精讲】（25-26八年级上·辽宁营口·期中）探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【变式】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察下列式子的因式分解的做法： ① ② ③_____． ④ …… （为正整数，且） (1)观察以上结果，直接写出_____． (2)根据以上结论，则_____． (3)根据以上结论，求（为常数）的值． 题型10 整式乘法混合运算 【精讲】（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得． 例如，或 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知或若，则___________； (2)已知，（为整数），．若，求；（用含的式子表示） (3)一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）． 【变式】（2023八年级上·浙江台州·竞赛）如图，在一个大长方形中放入三个边长互不相等的小正方形、、，现只知道正方形的面积，对于两个阴影部分周长的差及面积的差是否为定值，甲乙两位同学分别进行了探究甲的观点：一定能求出两个阴影部分周长的差；乙的观点：一定能求出两个阴影部分面积的差，则下列说法正确的是（ ） A．甲不正确，乙正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲乙都不正确 D．甲乙都正确 题型11 同底数幂的除法运算 【精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ________； (2)已知，，，若，求的值． (3)若，，求的值． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型12 同底数幕除法的逆用 【精讲】（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【变式】．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）（1）已知的两个平方根是与，且的算术平方根是3．求的立方根； （2）已知，，求的值． 题型13 零指数冪 【精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【变式】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算： (1) ； (2) 题型14 计算单项式除以单项式 【精讲】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）解答题： (1)计算： (2)化简：． 【精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算： (1) (2)． 题型15 用科学记数法表示数的除法 【精讲】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 【变式】某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？ 题型16 多项式除以单项式 【精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期中）计算：． 【变式】（25-26八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型17 整式四则混合运算 【精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为 ． 【变式】（25-26九年级上·重庆·月考）定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式． 根据上述定义，判断以下结论的正确性： ①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式． ②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式． ③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6． 其中正确的结论个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论I：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则y的值为4或1． A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错 2．（22-23八年级上·吉林·期末）若，，则 ． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若，则a＝ ． 5．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，有个形状大小完全相同的小长方形构造成一个大长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为，则每个小长方形的对角线为 ． 6．（21-22八年级上·山东滨州·期末）在一次综合复习能力检测中，爱国同学的填空题的答卷情况如下，他的得分应是 分． 姓名：爱国     得分__________ 填空题（每题2分，共10分） 1．点关于y轴对称点的坐标在（三）象限． 2．已知，则（2023）． 3．一个n边形的内角和是，那么（5）． 4．计算（）． 5．如果是一个完全平方式，则a的值是（6）． 7．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）有一块边长为的正方形铁皮，计划制成一个有盖的长方体铁盒，使得盒盖与相对的盒底都是正方形．如图（1）、（2）给出了两种不同的裁剪方案（其中实线是剪开的线迹，虚线是折叠的线迹，阴影部分是余料），问哪一种方案制成的铁盒体积更大些？说明理由．（接缝的地方忽略不计） 9．（24-25八年级上·吉林·期末）老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？ 10．（20-21八年级上·陕西渭南·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑横向、纵向的两条道路，其余进行绿化（空白部分），已知道路宽为a米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． 11．[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 12．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）（1）计算：； （2）计算：． 13．（25-26八年级上·四川眉山·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 14．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段练习）（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 15．已知关于，的方程组与方程组的解相同，试确定的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $