第十七讲：单项式与单项式、多项式相乘（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十七讲：单项式与单项式、多项式相乘 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：单项式与单项式相乘 1.单项式乘单项式法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式. 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 知识点02：单项式与多项式相乘 1.一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ＝pa＋pb＋pc (p，a，b，c都是单项式） 2. 单项式与多项式相乘的几何解释：如图16.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)，也可以视为三个小长方形的面积之和，表示为pa＋pb＋pc. 所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc. 考点1：单项式与单项式相乘 【典型例题】 计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 计算（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 计算的结果是（　　） A． B． C． D． 考点2：利用单项式的乘法求字母的值 【典型例题】 已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1】 设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【变式训练2】 一个长方体箱子的长、宽、高分别为：2、x、，则这个箱子的体积是（    ） A． B． C． D． 考点3：单项式与多项式相乘 【典型例题】 计算：（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 学习情境·墨迹污染  今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小梦拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（   ） A． B． C． D． 考点4：利用单项式的乘法求字母的值 【典型例题】 若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式训练1】 要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若，则“（    ）”内应填的单项式是（    ） A． B． C． D． 3．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 4．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．计算：（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 7．若长方形的长为n，宽为2n﹣1．则此长方形的面积为（　　） A．4n2+2n B．4n2﹣1 C．2n2﹣n D．2n2﹣2n 8．若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10．计算的结果是 ． 11．若（mx4）·（4xk）＝12x12，则m＝ ，k＝ ． 12．若单项式与的积为，则 ． 13．计算： ． 14．若的计算结果中不含有项，则a的值为 ． 15．一个矩形的边长分别为与，则这个矩形的面积为 ． 16．有一块三角形的铁板，其中一边的长为，这边上的高为a，那么此三角形板的面积是 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1) (2) 19．先化简，再求值：，其中． 20．已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 21．一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)该包装箱的体积为 　　立方米． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十七讲：单项式与单项式、多项式相乘 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：单项式与单项式相乘 1.单项式乘单项式法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式. 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 知识点02：单项式与多项式相乘 1.一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ＝pa＋pb＋pc (p，a，b，c都是单项式） 2. 单项式与多项式相乘的几何解释：如图16.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)，也可以视为三个小长方形的面积之和，表示为pa＋pb＋pc. 所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc. 考点1：单项式与单项式相乘 【典型例题】 计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D． 【变式训练1】 计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式相乘的运算， 需分别计算系数和字母的乘积． 【详解】解：原式． 故选：D． 【变式训练2】 计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的乘法、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．先算积的乘方、再运用单项式乘单项式的运算法则计算，最后结合选项判定即可． 【详解】解：． 故选 D． 考点2：利用单项式的乘法求字母的值 【典型例题】 已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 【变式训练1】 设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式训练2】 一个长方体箱子的长、宽、高分别为：2、x、，则这个箱子的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的应用．先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【详解】解：这个箱子的体积为： ， 故选：D． 考点3：单项式与多项式相乘 【典型例题】 计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法运算．运用分配律进行计算出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：A． 【变式训练1】 学习情境·墨迹污染  今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小梦拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边， 右边， ∴内应填， 故选：B． 考点4：利用单项式的乘法求字母的值 【典型例题】 若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式训练1】 要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握其法则，根据单项式乘单项式运算法则，可知系数相乘，相同的字母指数相加即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 2．若，则“（    ）”内应填的单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴（    ）”内应填的单项式是， 故选：C． 3．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 4．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘以多项式，利用单项式乘以多项式的法则进行计算即可．熟练掌握单项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 5．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，单项式乘多项式的乘法法则∶ 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解： 故选：A． 6．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题的关键． 7．若长方形的长为n，宽为2n﹣1．则此长方形的面积为（　　） A．4n2+2n B．4n2﹣1 C．2n2﹣n D．2n2﹣2n 【答案】C 【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽，列出式子计算即可． 【详解】解：长方形的面积为：n（2n﹣1）＝2n2﹣n， 故选：C． 【点睛】本题主要考查列代数式，整式乘法，解答的关键是熟记长方形的面积公式． 8．若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，单项式乘法，先计算积的乘方运算，再进行单项式乘法运算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为： 10．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，涉及多项式乘以单项式、单项式乘以单项式及同底数幂的乘法运算法则等知识，熟练掌握整式的乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．若（mx4）·（4xk）＝12x12，则m＝ ，k＝ ． 【答案】 3 8 【分析】由单项式乘以单项式的乘法法则得到，由此可得，从而求得结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：3；8 【点睛】本题考查利用单项式乘以单项式求字母的值，牢记相关知识点是解题的关键． 12．若单项式与的积为，则 ． 【答案】-2 【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】由题意，得，， 则． 故答案为：-2． 【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．若的计算结果中不含有项，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故答案为：． 15．一个矩形的边长分别为与，则这个矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】直接根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：该矩形的面积为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．有一块三角形的铁板，其中一边的长为，这边上的高为a，那么此三角形板的面积是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式底高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据三角形的面积公式得： ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式，掌握三角形的面积公式底高和单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）先算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； 本题考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项，最后代入数值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式 20．已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 21．一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)该包装箱的体积为 　　立方米． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 【答案】(1) (2)共需喷上平方米的油漆 【分析】本题考查了几何体的表面积，关键是掌握几何体的表面积公式． （1）根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵长方体的长为米，宽为米，高为米， ∴该长方体的体积为立方米， 故答案为：； （2）解：长方体的表面积为： 平方米， 答：共需喷上平方米的油漆． 学科网（北京）股份有限公司 $$