精品解析：内蒙古自治区 巴彦淖尔市衡越实验学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中学业质量监测试卷 初三年级 数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程，根的判别式中的表示的数是（　　） A. 1 B. C. D. 5 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 2020年赛季中国男子篮球职业联赛，采用循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程（　　） A. B. C. D. 5. 如图绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间 8. 关于x的二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 二次函数的图象与轴的交点是______． 10. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为______（用“”连接）． 11. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 12. 如图，正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为______． 三、解答题（共64分） 13. 解方程： （1）． （2）． 14. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度）． （1）若与关于原点成中心对称，画出，并写出点的坐标为______； （2）以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，则点的坐标为______； （3）求出的面积． 15. 如图，夏宇家一段长10m的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长18m的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．” （1）夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为______； （2）请利用所学知识，判断爸爸和夏宇谁的说法是正确的？并说明理由． 16. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 17. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 18. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点，使得的面积等于，若存在求出点坐标，若不存在说明理由； （3）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中学业质量监测试卷 初三年级 数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，关键是熟练应用定义进行判断； 根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：∵将一平面图形旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形， ∴只有C选项符合， 故选：C． 2. 关于的一元二次方程，根的判别式中的表示的数是（　　） A. 1 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可． 【详解】解：根据题意得． 故选：C． 【点睛】此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式，不要盲目套用，要看具体方程中的，，的值．代表二次项系数，代表一次项系数，是常数项． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：D． 4. 2020年赛季中国男子篮球职业联赛，采用循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设参赛队伍有x支，根据采用循环制共需比赛380场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设参赛队伍有x支， 根据题意，可得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，正确列出一元二次方程是解题关键． 5. 如图绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识点，由旋转的性质得，，再根据三角形内角和即可求解，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质是解决此题的关键． 【详解】∵绕点A逆时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 7. 已知二次函数，y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得， 该函数的对称轴是直线，有最大值， 抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时，， 抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意； 和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意； 方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 8. 关于x的二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键． 二次函数为顶点式，开口向上，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，由题意时，y随x的增大而增大，故需满足． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， 又∵当时，y随x的增大而增大， ∴， 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 二次函数的图象与轴的交点是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的联系，关键是图象与轴交点的横坐标为； 求二次函数图象与轴的交点，令，代入函数解析式计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ∴图象与轴的交点为． 故答案为：． 10. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为______（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的函数值计算，熟练掌握“将点的横坐标代入函数解析式求纵坐标”是解题的关键．将三点的横坐标代入抛物线解析式，计算出对应的纵坐标，再比较大小． 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ ； ∵ 点在抛物线上， ∴ ； ∵ 点在抛物线上， ∴ ； ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 11. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最小值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 12. 如图，正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，由等腰三角形的性质可求出． 【详解】解：正方形， ， ， ， ， ， ， 故要使有最小值，即求的最小值， 当时，有最小值，， ， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（共64分） 13. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），； （2）无实数根 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法（直接开平方法）及判别式的应用，熟练掌握一元二次方程的解法和判别式的意义是解题的关键． （1）先将方程两边同时除以2，再利用直接开平方法求解； （2）通过计算判别式判断方程根的情况． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∵， ∴此方程无实数根． 14. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度）． （1）若与关于原点成中心对称，画出，并写出点的坐标为______； （2）以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，则点的坐标为______； （3）求出的面积． 【答案】（1） 解：如图所示即为所求， （2） 如图所示即为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称、旋转的作图，关键是掌握中心对称及旋转的定义及性质； （1）分别作出各点关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）分别作出各点旋转后的对应点，顺次连接即可； （3）利用网格通过割补法求得三角形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示： ． 15. 如图，夏宇家一段长10m的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长18m的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．” （1）夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为______； （2）请利用所学知识，判断爸爸和夏宇谁的说法是正确的？并说明理由． 【答案】（1）40 （2） 解：夏宇的说法是正确的，理由如下， 设夏宇方法所围成的矩形鸡舍的宽为，则长为，夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为， 由题意可得：，， 解得：， 此时夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为， ∵， ∴当时，最大，为， 故夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）求出夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍的宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解； （2）设夏宇方法所围成的矩形鸡舍的宽为，则长为，夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为，由题意可得求出，再由二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍的长为，宽为， 故夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为； 故答案为：40； 【小问2详解】 略 16. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m； （2）可以通过， （3）两排灯的水平距离最小是． 【解析】 【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标； （2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过； （3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值． 【详解】解：（1）由题知点在抛物线上 所以， 解得， ∴， ∴当时， ∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米； （2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）） 当x=2或x=10时，， 所以可以通过； （3）令，即，可得，解得 答：两排灯的水平距离最小是 17. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】（1） 解：成立，证明如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明； （2）由即可得到，则，先勾股定理求出，再在中，运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴，， 同上可得， ∴， ∴，； ∴． 18. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点，使得的面积等于，若存在求出点坐标，若不存在说明理由； （3）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长． 【答案】（1） （2）存在，坐标为、、、； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求的长度，再结合三角形面积公式得点的纵坐标，代入抛物线解析式求横坐标； （3）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于,与轴交于点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，即， 解得或 则点的坐标为， ， 设，则 即，解得 当时，即 解得或 的坐标为或； 当时，即 解得或 的坐标为或； 所以存在点使得的面积等于，坐标为、、、； 【小问3详解】 解：∵已知点与， ∴设直线的解析式为， 则． 解得． ∴直线的解析式为． 设，且， 则． ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． ∴． 依题意得， 解得或． ∵ ∴（舍去） ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数综合．熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，再通过面积公式列方程找抛物线上的点和一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和矩形的性质，二次函数的对称性，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $