专题01 丰富的图形世界（期末复习讲义，知识必备+8大重难题型+过关验收）七年级数学上学期新教材北师大版

专题01 丰富的图形世界（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 常见立体图形的识别与分类 精准识别且正确分类常见立体图形 基础必考题，多以小题形式呈现 点、线、面、体的关系 阐释点、线、面、体间的转化逻辑 高频考点，小题中频繁考查 正方体的展开与折叠 辨识正方体展开图，准确判断相对面 高频考点，常以小题形式出现 用平面截几何体的截面形状 判断常见几何体被平面截取后的截面形状 高频考点，多为小题考查，易遗漏正方体可截得三角形、五边形等截面 从三个方向看物体的形状 会从三个方向看立体图并画出图形，由从正、左、上面看的图象推几何体、算小立方块个数 多题型均有涉及，易出现漏画虚线、立方块个数计算错误的问题 知识点01常见几何体的分类 1．柱体 （1）圆柱：以矩形一边所在的直线旋转轴，其余各边围绕它旋转而形成。 （2）棱柱：①两底面是相同的多边形；②侧面是平行四边形；③侧棱长都相等。 n棱柱：有（n+2）个面，2n个顶点，3n条棱 2．锥体 （1）圆锥：以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转而形成 （2）棱锥：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形 n棱锥：有(n+1)个面，(n+1)个顶点，2n条棱 3．球：半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面所围成的几何体。 示例：①四棱柱：有6个面，8个顶点，12条棱；②五棱锥：有6个面，6个顶点，10条棱 知识点02 立体几何的展开图 1．正方体的展开图 第一类：简称“1-4-1型”，有6种。 第二类：简称“1-3-2型”，有3种。 第三类：简称“2-2-2型”，仅1种。 第四类：简称“3-3型”，仅1种。 注意：“田”字格、“凹”字格、“7”字形不是正方体的展开图 2．几何体的展开图 柱体：①圆柱的展开图：1个长方形形+2个圆；②棱柱的展开图：2个n边形+个长方形 锥体：①圆锥的展开图：1个扇形+1个圆；③棱锥的展开图：1个n边形+n个三角形 ·示例： 四棱柱展开图： 圆柱展开图： 知识点3截面 1．截面的规律：截面边数几何体面数，用平面截棱柱，截面为边形，则平面经过个面 2．正方体的截面可能是：①三角形、②四边形、③五边形、④六边形，最多只能是六边形 ·示例： 3．常见几何体的截面 圆柱：圆、长方形、椭圆 圆锥：圆、三角形、椭圆 三棱柱：三角形、长方形、五边形。 知识点04从不同方向看几何体 从正面看的图形、从左面看的图形、从上面看的图形：长对正，宽相等，高平齐 ·示例： 几何体 由俯视图判断其他图形的规律 正面图：根据俯视图中的列数画，有几列画几列，每一列按列数中最大的数字画； 左面图：根据俯视图中的行数画，有几行画几列，每一列按行数中最大的数字画 题型一 常见几何体的特征及分类 【例1】下面四个立体图形中，属于圆柱的是（    ） A．底面是椭圆，侧面是曲面的立体图形 B．上下两个完全相同的圆形底面，侧面是曲面，且两个圆形底面圆心连线垂直于圆形底面的立体图形 C．上下两个大小不同的圆形底面，侧面是曲面的立体图形 D．底面是正方形，侧面是长方形的立体图形 【答案】B 【详解】解：圆柱有两个平行且相等的圆形底面，侧面是曲面，且两个底面的圆心连线垂直于底面； 选项A：底面是椭圆，不符合圆柱的圆形底面要求； 选项B：上下两个完全相同的圆形底面，侧面是曲面，且圆心连线垂直于圆形底面，符合圆柱定义； 选项C：上下两个圆面大小不同，不符合圆柱的底面相等要求； 选项D：底面是正方形，不符合圆柱的圆形底面要求； 故选：B． 【例2】关于下列几何体，说法错误的是（   ） A．图1由两个面围成，且其中一个面是曲面 B．图2由一个曲面围成 C．四个几何体中，含有平面最多的是图4 D．只有一个顶点的几何体是图1和图4 【答案】D 【详解】解：A、圆锥：由一个平面和一个曲面围成，此项正确； B、球：由一个曲面围成，此项正确； C、图1：有1个平面；图2：没有平面；图3：有2个平面；图4：有4个平面，此项正确； D、图1：有1个顶点；图4：有4个顶点，此项错误； 故选：D． 【变式1-1】一个几何体只有一个顶点，一个侧面，一个底面，则这个几何体可能是（    ） A．棱柱 B．球 C．棱锥 D．圆锥 【答案】D 【详解】解：一个几何体只有一个顶点，一个侧面，一个底面，这个几何体可能是圆锥， 故选：． 【变式1-2】下面图形中是圆柱的是 ．圆柱的底面都是 ，并且大小一样． 【答案】 ②⑤ 圆 【分析】 【详解】 解：、、上下粗细不一样，不是圆柱； 、符合圆柱的特征，是圆柱； 两个底面不一样，不是圆柱． 所以上面图形中是圆柱的是②⑤；圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样． 故答案为：②⑤；圆 【变式1-3】观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：② ；⑥ ； （2）在以上几何体中，是柱体的有 （填序号）；含曲面的有 （填序号）． 【答案】 圆锥 五棱柱 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ 【分析】 【详解】（1）解：②圆锥，⑥五棱柱， 故答案为：圆锥，五棱柱； （2）①是圆柱，②是圆锥，③是长方体，④是正方体，⑤是四棱柱，⑥是五棱柱，⑦是球，⑧是三棱柱， 所以在以上几何体中，是柱体的有①③④⑤⑥⑧；含曲面的有①②⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧，①②⑦． 题型二 利用棱柱的特征求顶点、面和棱的条数 解｜题｜技｜巧 n棱柱：有（n+2）个面，2n个顶点，3n条棱 【例3】五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为；；； 故选：C． 【例4】若一个直n棱柱有15条棱，有a个面，有b个顶点，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵这个直n棱柱有15条棱， ∴， 又∵直五棱柱有7个面，有10个顶点， ∴，， ∴的值为：． 故答案为：． 【变式2-1】如果一个棱柱总共有条棱，那么这个棱柱有 个顶点． 【答案】 【详解】解：棱柱有条棱，由题意得， 解得． 棱柱有个顶点， 因此顶点数为． 故答案为：． 【变式2-2】若一个棱柱的侧棱长之和是，每条侧棱长为，则该棱柱有 个面． 【答案】9 【分析】 【详解】解：侧棱长之和为，每条侧棱长为，则侧棱数量为． 棱柱的侧棱数量等于底面边数，故底面为七边形，有7个侧面． 因此，总面数为2个底面加上7个侧面，即9个面． 故答案为：9． 【变式2-3】如图中的几何体由 个面， 条棱， 个顶点组成． 【答案】 9 16 9 【详解】解：图中的几何体由9个面，16条棱，9个顶点组成． 故答案为：9，16，9． 题型三 点、线、面、体的关系 解｜题｜技｜巧 点动成线，线动成面，面动成体 【例5】下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（    ） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 【答案】C 【详解】解：A.粉笔写字是点动成线；故不符合题意； B.流星划过夜空是点动成线；故不符合题意； C.硬币在桌上旋转是面动成体；故符合题意； D.汽车雨刷转动是线动成面；故不符合题意； 故选C． 【例6】《哪吒之魔童闹海》中哪吒挥舞火尖枪时，枪尖在空中形成的轨迹是一条线，从数学的角度解释为 ． 【答案】 点动成线 【分析】 【详解】解：从数学角度，点移动形成线，枪尖作为点，挥舞时移动轨迹为线，故用“点动成线”解释． 故答案为：点动成线． 【变式3-1】画家在画布上用画笔作画，用数学知识可解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：∵画笔尖端是点， ∴移动画笔时点运动，形成线， 即画家在画布上用画笔作画，用数学知识可解释为点动成线． 故选：A 【变式3-2】李白的《望庐山瀑布》中描写瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，瀑布从山崖顶端倾泻而下形成水流的过程，蕴含以下哪个道理（    ） A．两点之间，线段最短 B．点动成线 C．线动成面 D．面动成体 【答案】B 【详解】解：∵ 诗句描述瀑布水流从顶端倾泻而下，是由水滴（点）的运动形成的连续线条， ∴ 蕴含了“点动成线”的道理， 故选：B． 【变式3-3】如图，你见过一种折叠灯笼吗？它折叠起来是一张圆形的纸，打开后就变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用 的数学原理来解释． 【答案】面动成体 【详解】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体， 故答案为：面动成体． 题型四 从不同方向看立体图 解｜题｜技｜巧 从正面看：画出可见轮廓线（实线） 从左面看：保证与正面图“高平齐”，可见线画实线 从上面看：保证与正面图“长对正”、与左面图“宽相等” 补细节：看不见的轮廓线用虚线表示，避免漏画或错画对齐关系 【例7】篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示： 故选：B． 【例8】我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图从上面看的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为构成正六棱柱的两个底面积是正六边形，所以从上面看的形状就是正六边形， 故选：D． 【变式4-1】从正面、上面、左面三个不同的方向看到的形状、大小完全一样的几何体是 ．（写出一个即可） 【答案】正方体（或球体） 【详解】解：正方体从正面看、从上面看、从左面看，得到的视图都是正方形，且由于正方体的棱长相等，这些正方形的大小也完全相同． 因此，正方体满足从三个方向看到的形状和大小完全一样的条件． （球体从正面看、从上面看、从左面看，得到的视图都是圆形，由于圆的半径一致，则这些圆形的大小也完全相同． 因此，球体满足从三个方向看到的形状和大小完全一样的条件．） 故答案为：正方体（或球体）． 【变式4-2】如图所示的几何体从正面看到的形状图为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：从正面看到的形状图为 ． 故选D． 【变式4-3】某几何体看到的图形如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从前面看是三角形和长方形，从左面看是三角形和长方形，从上面看是圆，由此可知该几何体下半部分是圆柱，上半部分是圆锥， 故选：． 题型五 确定正方体的个数 解｜题｜技｜巧 ①先看从上往下看的图，确定底层正方体分布，格子数即底层最少个数，标注行列； ②结合从正面看的图，看每列最大层数，对应标到上视图同列格子； ③再对照从左面看的图，看每行最大层数，修正上视图同行格子数（取较小值）； ④把所有格子的数相加，检查是否有隐藏正方体，避免漏算或多算。 【例9】一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图所示的是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体最少需要 个，最多需要 个． 【答案】 【详解】解：如图， ∴搭成这个几何体的小正方体最多需要个， 结合从正面看在从上面看的视图中：第二列减少个，第三列减少个，如图， ∴搭成这个几何体的小正方体最少需要（个）． 故答案为：， 【例10】一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)请你在对应网格中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)若要使得从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加 个小立方体． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：从上面看中，在左侧第二列的位置最多添加2个小立方体，中间第二列的位置最多添加1个小立方体，中间第三列的位置最多添加1， 故最多可以再添加个小立方体， 故答案为：4． 【变式5-1】如图所示，该几何体是由6个完全相同的棱长为1的小正方体搭成的． (1)请在方格纸中分别画出它从正面看与从左面看的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加______个小正方体． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：由图可知，第一排和第三排最下面各添加2个小正方体，可保持从正面看和从左面看的形状图不变， ∴最多可添加个小正方体． 【变式5-2】小颖将几盒粉笔整齐地摞在讲台桌上，同学们发现从正面、左面、上面三个方向看到的粉笔形状如图所示，那么这摞粉笔一共有 盒． 【答案】 【详解】解：根据从正面看到的图形可知，这摞粉笔由两层，根据从上面看到的图形可知，第一层粉笔有5盒，根据从左边看到的图形可知，第二层有1盒， 如图， 所以，共有6盒． 故答案为：6． 【变式5-3】一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其从三个不同方向观察到的形状如图所示，则这个几何体最多可由 个这样的正方体组成． 【答案】16 【分析】 【详解】解：最多的情况如下图： ． 故答案为： 16． 题型六 正方体的展开图问题 【例11】一个正方体盒子的展开图如图所示，如果把它粘成一个正方体，那么与A点重合的是（    ） A．D点和I点 B．D点和E点 C．D点和F点 D．E点和F点 【答案】C 【详解】解：结合已知图形，将正方体展开图粘成正方体后如图所示，则与点A重合的点是D、F．   故选：C． 【例12】如图：已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是 ． 【答案】c 【分析】 【详解】解：将正方体展开图按对应顶点还原，棱在立体图中对应的相邻棱关系与线段完全匹配． 故答案为：． 【变式6-1】如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】 【详解】如图所示， 根据正方体展开图得，④的对面是⑤， ∴不能裁掉④． 故选：D． 【变式6-2】如图，在由标有不同数字的个同样大小的小正方形组成的图形中，剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形所对应的数字是 ． 【答案】 【详解】解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形对应的数字是． 故答案为：． 【变式6-3】如图是一个正方体的展开图，每个面上写有一个汉字，将其折成正方体后，与“风”字相对面上的汉字是 ． 【答案】逐 【分析】 【详解】解：观察正方体的展开图，得出与“风”字相对面上的汉字是“逐”， 故答案为：逐 题型七 判断柱体、锥体的展开图 【例13】下面图中，_________是三棱柱的展开图．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是圆锥的展开图，故不符合题意； B、是圆柱的展开图，故不符合题意； C、是三棱柱的平面展开图，符合题意； D、是长方体的平面展开图，故不符合题意； 故选：C． 【例14】如图是某个几何体的平面展开图，则该几何体是（   ） A．长方体 B．三棱柱 C．正方体 D．三棱锥 【答案】B 【详解】解：∵该几何体的上下底面是三角形，侧面是三个长方形， ∴该几何体是三棱柱， 故选：B． 【变式7-1】一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱 【答案】C 【分析】 【详解】解：仔细观察几何体的展开图，根据底面正方形的形状可以确定它是四棱锥． 故选C 【变式7-2】如图，这是某几何体的展开图，对于该几何体的说法正确的是（   ） A．几何体是四棱柱 B．几何体的底面是长方形 C．几何体有9条棱 D．几何体有4个侧面 【答案】C 【分析】 【详解】解：展开图为三棱柱特征，底面为三角形，有9条棱，有3个侧面． 故选：C． 【变式7-3】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    【答案】25 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 则底面正方形的面积是 故答案为： 题型八 几何体的截面 【例15】用一个平面截下列几何体，①正方体②三棱柱③圆柱④圆锥，截面可能是长方形的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解： ①正方体：当平面与一对对面平行时，截面可为长方形； ②三棱柱：若为直三棱柱（侧棱垂直于底面），且平面与侧棱平行，截面可为长方形； ③圆柱：当平面与圆柱的轴平行时，截面为长方形； ④圆锥：截面可能为圆、椭圆、抛物线或三角形，但不可能为长方形； 故截面可能是长方形的是①②③， 故选A． 【例16】用一个平面去截一个几何体，它的截面中有长方形，但没有圆，这个几何体可能是 ．（写一个即可） 【答案】长方体（答案不唯一） 【详解】解：长方体是由六个长方形的面组成的多面体，没有曲面，用一个平面截长方体时，截面可以是长方形，但由于几何体没有曲面，截面不可能为圆形，因此符合条件． 故答案为：长方体（答案不唯一）． 【变式8-1】用一个平面截一个几何体，截面出现了如图所示的四种形状，该几何体是下列选项中（   ） A．圆锥 B．五棱柱 C．长方体 D．圆柱 【答案】D 【分析】 【详解】解：因为能截出圆的截面的几何体有球、圆柱、圆锥，而球和圆锥截不出矩形，所以原几何体是圆柱． 故选：D． 【变式8-2】若用平面分别截下列几何体：①五棱柱；②圆锥；③球，得到的截面不可能是三角形的是 ．（填序号） 【答案】③ 【详解】①用平面截五棱柱时，如果截面通过三个顶点，可以得到三角形截面； ②用平面截圆锥时，如果截面通过顶点且与底面相交，可以得到三角形截面； ③用平面截球时，无论什么方向截取，截面都是圆，不可能是三角形． 故答案为：③． 【变式8-3】如图1，一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)这个五棱柱共多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？ (2)如图2，图3，用一个平面去截该五棱柱，分别写出图2，图3中截面的形状．用任意一个平面去截五棱柱，写出一个你认为截面不可能出现的平面图形． 【答案】(1)7个面：2个五边形底面和5个矩形侧面，底面形状相同，侧面形状相同 (2)图2中截面的形状为三角形，图3中截面的形状为五边形；；不可能出现圆形截面 【分析】 【详解】（1）解：这个五棱柱共7个面， 包括2个五边形底面和5个矩形侧面， 其中2个五边形底面形状、面积完全相同， 5个矩形侧面形状、面积完全相同； （2）解：图2中截面的形状为三角形，图3中截面的形状为五边形； 用任意一个平面去截五棱柱，不可能出现圆形截面． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．用一个平面去截几何体，截面形状既能是三角形，又能是圆，则这个几何体可能是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．正六棱柱 【答案】A 【详解】解：选项A，圆锥的截面通过顶点且与底面相交时，截面为三角形；当平面平行于底面时，截面为圆，符合题意； 选项B，圆柱的截面不能是三角形，不符合题意； 选项C，球的截面只能是圆或点，不能是三角形，不符合题意； 选项D，正六棱柱的截面不能是圆，不符合题意． 故选A． 2．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由原正方体可知，带图案的三个面相交于一点，A、B、D都不符合题意，C符合题意. 故选：C． 3．小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（ 2024·25七年级上·山东青岛·期末）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，是属于（    ） A．点动成线的实际应用 B．线动成面的实际应用 C．面动成体的实际应用 D．以上答案都不对 【答案】B 【详解】解：汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面， 故选：B． 5．如图所示是一个正方体的展开图，它所有相对的面上两数互为相反数，则x的值为 ． 【答案】 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“x”与“4”是相对面， ∵所有相对的面上两数互为相反数， ∴， 接得． 故答案为：． 6．如图，图1是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上，按图2方式将三个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由图1可知：相对的数字之和为7，由图2可知：被遮住的两面的数字之和也为7， 要使该几何体能被看到的点数之和最大，则被遮住的面上的点数尽可能小， 所以该几何体能被看到的点数之和最大是． 故答案为：． 7．由若干个完全相同的小正方体组成一个几何体，从它的左面和上面看到的形状图如图所示，则小正方体的个数最少是 个． 【答案】5 【详解】解：由从该几何体的左面和上面看到的形状图可得第一层有4个小正方体，第二层最少有1个小正方体， 那么搭成这个几何体的小正方体最少为 个． 故答案为：5 8．如图，6个相同的小立方体组成一个几何体，分别画出从正面、上面看到的形状图． 【答案】见解析 【详解】解：如图所示： 9．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】 【详解】解：如图所示， 10．（ 2024·25七年级上 广东惠州·期末）在炎炎夏日，椰青含有丰富的电解质，清热解渴，可改善干咳无痰，肺热等症状．一般采摘后会切成图1的样子，商家会用保鲜膜包装后装箱售卖，图2是“椰青”的形状图． (1)该“椰青”的形状图可以由图3中的图________旋转一周后得到； (2)商家用保鲜膜对每个椰青表面进行包装，9个椰青为一箱，考虑到保鲜膜在包装过程中会出现损耗，需要多准备，包装一箱椰青需要至少准备多少平方厘米保鲜膜？（精确到个位） 【答案】(1)① (2)包装一箱椰青需要至少准备平方厘米保鲜膜 【分析】 【详解】（1）解：根据“椰青”的形状图，上部分是圆锥，下部分是圆锥， ∴可以由图3中的图①旋转一周后得到 故答案为：①． （2）解：表面积为：平方厘米 平方厘米 答：包装一箱椰青需要至少准备平方厘米保鲜膜． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为 ． 【答案】5 【详解】解：由图可知：与相邻，与相邻， ∴5的对面数字是1，3的对面数字是6，2的对面的数字是4， ∵记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b， ∴，， ∴； 故答案为：5． 2．把两个长、宽、高的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它切分成两个大小相同的小长方体，最后一个小长方体的表面积最多可能比最初的一个小长方体的表面积大 ． 【答案】10 【分析】 【详解】由题知，原小长方体的表面积， 把两个长方体的的面粘在一起，新的长方体长6cm、宽2cm、高1cm， ∵要切出最大面，∴切面， ∴最后一个小长方体的表面积为， ∴现在面积比原面积大； 把两个长方体的的面粘在一起，新的长方体长4cm、宽3cm、高1cm， ∵要切出最大面，∴切面， ∴最后一个小长方体的表面积为， ∴现在面积比原面积大； 把两个长方体的的面粘在一起，新的长方体长3cm、宽2cm、高2cm， ∵要切出最大面，∴切面， ∴最后一个小长方体的表面积为， ∴现在面积比原面积大， 故最后一个小长方体的表面积最多可能比最初的一个小长方体的表面大． 故答案为：10． 3．数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)共有9个面；侧面是长方形 (2)21，14 (3)这个棱柱的侧面积之和是 (4)直n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】 【详解】（1）这个直七棱柱有7个侧面，2个底面，共有9个面；侧面是长方形； （2）七棱柱一共有21条棱，一共有14个顶点． 故答案为：21，14； （3）， 故这个棱柱的侧面积之和是； （4）直n棱柱共有个顶点，共有条棱． 4．如图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)该圆柱的截面有以下4种不同的形状 (2)能，截得的最大的长方形的面积为 【分析】 【详解】（1）解：该圆柱的截面有以下4种不同的形状，如图①所示． （2）解：能．过两底面圆的直径的长方形截面的面积最大，如图②所示． 此时长方形的面积为， 故截得的最大的长方形的面积为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 丰富的图形世界（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 常见立体图形的识别与分类 精准识别且正确分类常见立体图形 基础必考题，多以小题形式呈现 点、线、面、体的关系 阐释点、线、面、体间的转化逻辑 高频考点，小题中频繁考查 正方体的展开与折叠 辨识正方体展开图，准确判断相对面 高频考点，常以小题形式出现 用平面截几何体的截面形状 判断常见几何体被平面截取后的截面形状 高频考点，多为小题考查，易遗漏正方体可截得三角形、五边形等截面 从三个方向看物体的形状 会从三个方向看立体图并画出图形，由从正、左、上面看的图象推几何体、算小立方块个数 多题型均有涉及，易出现漏画虚线、立方块个数计算错误的问题 知识点01常见几何体的分类 1．柱体 （1）圆柱：以矩形一边所在的直线旋转轴，其余各边围绕它旋转而形成。 （2）棱柱：①两底面是相同的多边形；②侧面是平行四边形；③侧棱长都相等。 n棱柱：有（n+2）个面，2n个顶点，3n条棱 2．锥体 （1）圆锥：以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转而形成 （2）棱锥：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形 n棱锥：有(n+1)个面，(n+1)个顶点，2n条棱 3．球：半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面所围成的几何体。 示例：①四棱柱：有6个面，8个顶点，12条棱；②五棱锥：有6个面，6个顶点，10条棱 知识点02 立体几何的展开图 1．正方体的展开图 第一类：简称“1-4-1型”，有6种。 第二类：简称“1-3-2型”，有3种。 第三类：简称“2-2-2型”，仅1种。 第四类：简称“3-3型”，仅1种。 注意：“田”字格、“凹”字格、“7”字形不是正方体的展开图 2．几何体的展开图 柱体：①圆柱的展开图：1个长方形形+2个圆；②棱柱的展开图：2个n边形+个长方形 锥体：①圆锥的展开图：1个扇形+1个圆；③棱锥的展开图：1个n边形+n个三角形 ·示例： 四棱柱展开图： 圆柱展开图： 知识点3截面 1．截面的规律：截面边数几何体面数，用平面截棱柱，截面为边形，则平面经过个面 2．正方体的截面可能是：①三角形、②四边形、③五边形、④六边形，最多只能是六边形 ·示例： 3．常见几何体的截面 圆柱：圆、长方形、椭圆 圆锥：圆、三角形、椭圆 三棱柱：三角形、长方形、五边形。 知识点04从不同方向看几何体 从正面看的图形、从左面看的图形、从上面看的图形：长对正，宽相等，高平齐 ·示例： 几何体 由俯视图判断其他图形的规律 正面图：根据俯视图中的列数画，有几列画几列，每一列按列数中最大的数字画； 左面图：根据俯视图中的行数画，有几行画几列，每一列按行数中最大的数字画 题型一 常见几何体的特征及分类 【例1】下面四个立体图形中，属于圆柱的是（    ） A．底面是椭圆，侧面是曲面的立体图形 B．上下两个完全相同的圆形底面，侧面是曲面，且两个圆形底面圆心连线垂直于圆形底面的立体图形 C．上下两个大小不同的圆形底面，侧面是曲面的立体图形 D．底面是正方形，侧面是长方形的立体图形 【例2】关于下列几何体，说法错误的是（   ） A．图1由两个面围成，且其中一个面是曲面 B．图2由一个曲面围成 C．四个几何体中，含有平面最多的是图4 D．只有一个顶点的几何体是图1和图4 【变式1-1】一个几何体只有一个顶点，一个侧面，一个底面，则这个几何体可能是（    ） A．棱柱 B．球 C．棱锥 D．圆锥 【变式1-2】下面图形中是圆柱的是 ．圆柱的底面都是 ，并且大小一样． 【变式1-3】观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：② ；⑥ ； （2）在以上几何体中，是柱体的有 （填序号）；含曲面的有 （填序号）． 题型二 利用棱柱的特征求顶点、面和棱的条数 解｜题｜技｜巧 n棱柱：有（n+2）个面，2n个顶点，3n条棱 【例3】五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A． B． C． D． 【例4】若一个直n棱柱有15条棱，有a个面，有b个顶点，则的值为 ． 【变式2-1】如果一个棱柱总共有条棱，那么这个棱柱有 个顶点． 【变式2-2】若一个棱柱的侧棱长之和是，每条侧棱长为，则该棱柱有 个面． 【变式2-3】如图中的几何体由 个面， 条棱， 个顶点组成． 题型三 点、线、面、体的关系 解｜题｜技｜巧 点动成线，线动成面，面动成体 【例5】下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（    ） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 【例6】《哪吒之魔童闹海》中哪吒挥舞火尖枪时，枪尖在空中形成的轨迹是一条线，从数学的角度解释为 ． 【变式3-1】画家在画布上用画笔作画，用数学知识可解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【变式3-2】李白的《望庐山瀑布》中描写瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，瀑布从山崖顶端倾泻而下形成水流的过程，蕴含以下哪个道理（    ） A．两点之间，线段最短 B．点动成线 C．线动成面 D．面动成体 【变式3-3】如图，你见过一种折叠灯笼吗？它折叠起来是一张圆形的纸，打开后就变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用 的数学原理来解释． 题型四 从不同方向看立体图 解｜题｜技｜巧 从正面看：画出可见轮廓线（实线） 从左面看：保证与正面图“高平齐”，可见线画实线 从上面看：保证与正面图“长对正”、与左面图“宽相等” 补细节：看不见的轮廓线用虚线表示，避免漏画或错画对齐关系 【例7】篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【例8】我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图从上面看的形状图是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】从正面、上面、左面三个不同的方向看到的形状、大小完全一样的几何体是 ．（写出一个即可） 【变式4-2】如图所示的几何体从正面看到的形状图为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】某几何体看到的图形如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 题型五 确定正方体的个数 解｜题｜技｜巧 ①先看从上往下看的图，确定底层正方体分布，格子数即底层最少个数，标注行列； ②结合从正面看的图，看每列最大层数，对应标到上视图同列格子； ③再对照从左面看的图，看每行最大层数，修正上视图同行格子数（取较小值）； ④把所有格子的数相加，检查是否有隐藏正方体，避免漏算或多算。 【例9】一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图所示的是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体最少需要 个，最多需要 个． 【例10】一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)请你在对应网格中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)若要使得从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加 个小立方体． 【变式5-1】如图所示，该几何体是由6个完全相同的棱长为1的小正方体搭成的． (1)请在方格纸中分别画出它从正面看与从左面看的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加______个小正方体． 【变式5-2】小颖将几盒粉笔整齐地摞在讲台桌上，同学们发现从正面、左面、上面三个方向看到的粉笔形状如图所示，那么这摞粉笔一共有 盒． 【变式5-3】一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其从三个不同方向观察到的形状如图所示，则这个几何体最多可由 个这样的正方体组成． 题型六 正方体的展开图问题 【例11】一个正方体盒子的展开图如图所示，如果把它粘成一个正方体，那么与A点重合的是（    ） A．D点和I点 B．D点和E点 C．D点和F点 D．E点和F点 【例12】如图：已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是 ． 【变式6-1】如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式6-2】如图，在由标有不同数字的个同样大小的小正方形组成的图形中，剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形所对应的数字是 ． 【变式6-3】如图是一个正方体的展开图，每个面上写有一个汉字，将其折成正方体后，与“风”字相对面上的汉字是 ． 题型七 判断柱体、锥体的展开图 【例13】下面图中，_________是三棱柱的展开图．（    ） A． B． C． D． 【例14】如图是某个几何体的平面展开图，则该几何体是（   ） A．长方体 B．三棱柱 C．正方体 D．三棱锥 【变式7-1】一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱 【变式7-2】如图，这是某几何体的展开图，对于该几何体的说法正确的是（   ） A．几何体是四棱柱 B．几何体的底面是长方形 C．几何体有9条棱 D．几何体有4个侧面 【变式7-3】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    题型八 几何体的截面 【例15】用一个平面截下列几何体，①正方体②三棱柱③圆柱④圆锥，截面可能是长方形的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【例16】用一个平面去截一个几何体，它的截面中有长方形，但没有圆，这个几何体可能是 ．（写一个即可） 【变式8-1】用一个平面截一个几何体，截面出现了如图所示的四种形状，该几何体是下列选项中（   ） A．圆锥 B．五棱柱 C．长方体 D．圆柱 【变式8-2】若用平面分别截下列几何体：①五棱柱；②圆锥；③球，得到的截面不可能是三角形的是 ．（填序号） 【变式8-3】如图1，一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)这个五棱柱共多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？ (2)如图2，图3，用一个平面去截该五棱柱，分别写出图2，图3中截面的形状．用任意一个平面去截五棱柱，写出一个你认为截面不可能出现的平面图形． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．用一个平面去截几何体，截面形状既能是三角形，又能是圆，则这个几何体可能是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．正六棱柱 2．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（       ） A． B． C． D． 3．小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 4．（ 2024·25七年级上·山东青岛·期末）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，是属于（    ） A．点动成线的实际应用 B．线动成面的实际应用 C．面动成体的实际应用 D．以上答案都不对 5．如图所示是一个正方体的展开图，它所有相对的面上两数互为相反数，则x的值为 ． 6．如图，图1是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上，按图2方式将三个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是 ． 7．由若干个完全相同的小正方体组成一个几何体，从它的左面和上面看到的形状图如图所示，则小正方体的个数最少是 个． 8．如图，6个相同的小立方体组成一个几何体，分别画出从正面、上面看到的形状图． 9．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． 10．（ 2024·25七年级上 广东惠州·期末）在炎炎夏日，椰青含有丰富的电解质，清热解渴，可改善干咳无痰，肺热等症状．一般采摘后会切成图1的样子，商家会用保鲜膜包装后装箱售卖，图2是“椰青”的形状图． (1)该“椰青”的形状图可以由图3中的图________旋转一周后得到； (2)商家用保鲜膜对每个椰青表面进行包装，9个椰青为一箱，考虑到保鲜膜在包装过程中会出现损耗，需要多准备，包装一箱椰青需要至少准备多少平方厘米保鲜膜？（精确到个位） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为 ． 2．把两个长、宽、高的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它切分成两个大小相同的小长方体，最后一个小长方体的表面积最多可能比最初的一个小长方体的表面积大 ． 3．数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 4．如图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $