1.3.1利用平方差公式进行因式分解 课件- 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

湘教版（2024）数学8年级上册 第1章 因式分解 1.3.1利用平方差公式进行因式分解 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想．（重点） 2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解．（难点） # 1.3.1 利用平方差公式进行因式分解（七年级数学课件+教案） ## 一、幻灯片分页内容（可直接复制制作PPT） ### 第1页：标题页 - 标题：1.3.1 利用平方差公式进行因式分解 - 副标题：——因式分解的公式法（一） - 作者：XXX（教师姓名） - 班级：七年级（X）班 - 日期：XXXX年XX月XX日 ### 第2页：学习目标 1. 理解平方差公式因式分解的推导过程，掌握公式的结构特征 2. 能准确识别符合平方差公式的多项式，熟练运用公式进行因式分解 3. 体会“逆向思维”和“转化思想”在数学中的应用，提升代数式变形能力 ### 第3页：复习回顾 1. 整式乘法中的平方差公式：$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$（两数和与两数差的积，等于这两数的平方差） 2. 因式分解的定义：把多项式化成几个整式的积的形式 3. 提问：平方差公式的逆运算是什么？（引出本节课主题） ### 第4页：公式推导与概念 1. 逆向思考：由$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，反过来可得： $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 2. 定义：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，这个公式叫做平方差公式因式分解 3. 语言描述：平方差 → 和×差（强调“逆用”的本质） ### 第5页：平方差公式的结构特征（重点） #### 公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 1. 左边（分解前）： - 是一个二项式 - 两项都是完全平方数（能写成某个数的平方形式） - 两项符号相反（一正一负） 2. 右边（分解后）： - 两个一次二项式的积 - 每个因式都是左边两项的“平方根的和”与“平方根的差” 3. 关键词：完全平方项、符号相反、和×差 ### 第6页：如何识别“$a$”和“$b$”？（难点突破） #### 技巧：把多项式的各项分别看成“某个整体的平方”，对应公式中的$a^2$和$b^2$ 1. 例1：$x^2 - 4$ - 看成：$x^2 - 2^2$ → $a = x$，$b = 2$ → 分解为$(x + 2)(x - 2)$ 2. 例2：$4a^2 - 9b^2$ - 看成：$(2a)^2 - (3b)^2$ → $a = 2a$，$b = 3b$ → 分解为$(2a + 3b)(2a - 3b)$ 3. 例3：$1 - \frac{1}{9}x^2$ - 看成：$1^2 - \left(\frac{1}{3}x\right)^2$ → $a = 1$，$b = \frac{1}{3}x$ → 分解为$\left(1 + \frac{1}{3}x\right)\left(1 - \frac{1}{3}x\right)$ 4. 例4：$(m + n)^2 - n^2$ - 看成：$(m + n)^2 - n^2$ → $a = m + n$，$b = n$ → 分解为$(m + n + n)(m + n - n) = m(m + 2n)$ ### 第7页：例题讲解（基础型） #### 例1：分解因式 $x^2 - 16$ - 步骤1：判断是否符合平方差公式：二项式、两项都是完全平方数（$x^2 = x^2$，$16 = 4^2$）、符号相反 → 符合 - 步骤2：确定$a$和$b$：$a = x$，$b = 4$ - 步骤3：代入公式：$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4)$ - 检验：$(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$，与原式一致 #### 例2：分解因式 $25m^2 - 4n^2$ - 步骤1：变形为$(5m)^2 - (2n)^2$ - 步骤2：确定$a = 5m$，$b = 2n$ - 步骤3：分解为$(5m + 2n)(5m - 2n)$ ### 第8页：例题讲解（进阶型） #### 例3：分解因式 $3x^3 - 12x$ - 分析：先提公因式，再用平方差公式（因式分解要彻底） - 步骤1：提公因式$3x$：$3x^3 - 12x = 3x(x^2 - 4)$ - 步骤2：对括号内用平方差公式：$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ - 最终结果：$3x(x + 2)(x - 2)$ #### 例4：分解因式 $(x + 2y)^2 - (3x - y)^2$ - 步骤1：确定$a = x + 2y$，$b = 3x - y$ - 步骤2：代入公式：$(a + b)(a - b)$ - 步骤3：展开并化简： $(x + 2y + 3x - y)(x + 2y - 3x + y) = (4x + y)(-2x + 3y) = (4x + y)(3y - 2x)$ ### 第9页：易错点警示 1. 混淆符号：只有“平方差”才能用公式，“平方和”（如$x^2 + 4$）不能分解 2. 漏提公因式：如$4x^2 - 16$，应先提$4$得$4(x^2 - 4)$，再分解为$4(x + 2)(x - 2)$，而非直接写成$(2x + 4)(2x - 4)$ 3. 分解不彻底：如$x^4 - 1$，应分解为$(x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$，而非只分解到$(x^2 + 1)(x^2 - 1)$ 4. 错误识别$a$和$b$：如$9x^2 - 4y^2$，误看成$x^2 - y^2$，正确应为$(3x)^2 - (2y)^2$ ### 第10页：课堂练习（分层） #### 基础题（必做） 1. 分解因式： - （1）$a^2 - 9$ → $(a + 3)(a - 3)$ - （2）$16x^2 - 25y^2$ → $(4x + 5y)(4x - 5y)$ - （3）$-m^2 + 1$ → $(1 + m)(1 - m)$（提示：先提负号，变为$-(m^2 - 1)$） 2. 下列多项式能用平方差公式分解的是（ ） A. $x^2 + y^2$ B. $-x^2 - y^2$ C. $x^2 - y^3$ D. $-x^2 + y^2$（答案：D） #### 提升题（选做） 1. 分解因式：$x^3y - xy$ → $xy(x + 1)(x - 1)$ 2. 分解因式：$(a - b)^2 - 4c^2$ → $(a - b + 2c)(a - b - 2c)$ 3. 已知$x - y = 2$，$x + y = 6$，求$x^2 - y^2$的值（提示：先因式分解再代入，结果为12） ### 第11页：课堂小结 1. 核心公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$（逆用平方差公式） 2. 适用条件：二项式、两项是完全平方数、符号相反 3. 关键步骤：识别$a$和$b$、先提公因式再用公式、分解要彻底 4. 数学思想：逆向思维、转化思想 ### 第12页：布置作业 1. 基础题：课本习题1.3 第1、2题 2. 提升题：分解因式 - （1）$4x^2 - \frac{1}{4}y^2$ → $\left(2x + \frac{1}{2}y\right)\left(2x - \frac{1}{2}y\right)$ - （2）$a^3 - ab^2$ → $a(a + b)(a - b)$ 3. 思考题：如何分解因式$x^2 - y^2 + x + y$？（提示：分组分解+平方差公式） ### 第13页：结束页 - 感谢观看！ - 疑问解答：XXX（教师联系方式） ## 二、配套教案（详细教学过程） ### 课题：1.3.1 利用平方差公式进行因式分解 ### 教学目标： 1. 知识与技能：理解平方差公式因式分解的推导，掌握公式结构特征，能熟练运用公式分解符合条件的多项式，做到分解彻底 2. 过程与方法：通过观察、类比、逆向思考等活动，培养学生的逻辑推理能力和代数式变形能力，体会“整式乘法”与“因式分解”的互逆关系 3. 情感态度与价值观：感受数学知识的内在联系，激发学习兴趣，培养严谨的思维习惯和主动探究的意识 ### 教学重难点： - 重点：平方差公式的结构特征，运用公式进行因式分解 - 难点：准确识别公式中的“$a$”和“$b$”（尤其是整体代换的情况），因式分解的彻底性 ### 教学准备： - 多媒体课件（上述幻灯片内容） - 课堂练习单（打印分层练习题） - 预习任务单（提前让学生复习平方差公式） ### 教学过程： #### 一、复习导入（5分钟） 1. 回顾旧知： - 提问：同学们，我们之前学过整式乘法中的平方差公式，谁能说出这个公式是什么？（学生口答，教师板书：$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$） - 追问：这个公式表示的是“和×差→平方差”，那反过来，如果我们知道一个多项式是“平方差”的形式，能不能把它化成“和×差”的积的形式呢？（引导学生逆向思考） 2. 引出课题： - 教师：这种逆用平方差公式进行因式分解的方法，就是我们今天要学习的内容——利用平方差公式进行因式分解（板书课题） #### 二、探究新知（20分钟） ### （一）公式推导与结构分析（7分钟） 1. 推导公式： - 教师：由整式乘法的平方差公式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，根据因式分解的定义，反过来就可以得到：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$（板书公式） - 强调：这就是平方差公式的因式分解形式，它把“平方差”转化为“和×差”的积 2. 结构特征分析： - 出示课件第5页，引导学生观察公式左右两边的结构： - 左边：二项式，两项都是完全平方数，符号相反（一正一负） - 右边：两个一次二项式的积，分别是左边两项平方根的和与差 - 举例验证：以$x^2 - 4$为例，说明其符合左边结构，分解后符合右边结构 ### （二）突破难点：识别“$a$”和“$b$”（8分钟） 1. 教师引导：公式中的$a$和$b$不仅可以是单独的字母、数字，还可以是单项式、多项式等整体，关键是把各项看成“某个整体的平方” 2. 分层次举例讲解（结合课件第6页）： - 第一层：$a$和$b$是单独字母或数字（如$x^2 - 16$） - 第二层：$a$和$b$是单项式（如$4a^2 - 9b^2$） - 第三层：$a$和$b$是分数或小数（如$1 - \frac{1}{9}x^2$） - 第四层：$a$和$b$是多项式（如$(m + n)^2 - n^2$） 3. 小组讨论：让学生分组讨论“如何快速找到$a$和$b$”，每组派代表分享技巧，教师总结：先把各项化为“平方”形式，再对应$a^2$和$b^2$，进而确定$a$和$b$ ### （三）例题讲解与规范步骤（5分钟） 1. 基础例题（例1、例2）： - 教师板书例1（$x^2 - 16$）的完整步骤，强调“判断是否符合公式→确定$a$和$b$→代入公式→检验”的流程 - 让学生尝试独立完成例2（$25m^2 - 4n^2$），指名板演，教师点评纠错，规范书写格式 2. 进阶例题（例3、例4）： - 例3（$3x^3 - 12x$）：重点强调“先提公因式，再用公式”，因为因式分解的要求是“分解彻底”，不能遗漏公因式 - 例4（$(x + 2y)^2 - (3x - y)^2$）：引导学生用整体代换的思想识别$a$和$b$，分解后再化简括号内的式子 #### 三、巩固练习（12分钟） 1. 基础题练习（8分钟）： - 出示课堂练习单上的基础题，让学生独立完成，教师巡视，重点关注学困生的解题情况 - 集体订正：针对易错题目（如符号问题、漏提公因式）进行详细讲解，强调注意事项 2. 提升题练习（4分钟）： - 让学有余力的学生尝试完成提升题，鼓励小组合作讨论 - 指名分享解题思路，教师补充讲解，拓展学生思维（如第3题的代数求值，引导学生先因式分解再代入，简化计算） #### 四、课堂小结（2分钟） 1. 学生自主总结： - 提问：今天我们学习了什么内容？平方差公式因式分解的条件是什么？关键步骤有哪些？（让学生自由发言） 2. 教师梳理升华： - 核心公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ - 适用条件：二项式、两项是完全平方数、符号相反 - 关键技巧：识别$a$和$b$（整体代换）、先提公因式、分解彻底 - 数学思想：逆向思维、转化思想 #### 五、布置作业（1分钟） 1. 基础题：课本习题1.3第1、2题（巩固公式的基本应用） 2. 提升题：分解因式$4x^2 - \frac{1}{4}y^2$和$a^3 - ab^2$（强化公因式与公式的综合应用） 3. 思考题：分解因式$x^2 - y^2 + x + y$（为下一节课分组分解法做铺垫） ### 板书设计： ``` 1.3.1 利用平方差公式进行因式分解 一、公式推导（逆用平方差公式） $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ ←→ $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 二、公式结构特征 左边：二项式、完全平方项、符号相反 右边：和×差（$a + b$）（$a - b$） 三、例题讲解 例1：$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4)$ 例2：$25m^2 - 4n^2 = (5m)^2 - (2n)^2 = (5m + 2n)(5m - 2n)$ 例3：$3x^3 - 12x = 3x(x^2 - 4) = 3x(x + 2)(x - 2)$（先提公因式，再用公式） 例4：$(x + 2y)^2 - (3x - y)^2 = (4x + y)(3y - 2x)$（整体代换） 四、易错点 1. 平方和不能分解（如$x^2 + 4$） 2. 漏提公因式、分解不彻底 3. 错误识别$a$和$b$ ``` 学习目标 如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？ a米 b米 b米 a米 (a-b)米 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 情景导入 用平方差公式进行因式分解 想一想：多项式 x2 - y2 有什么特点？你能将它因式分解吗？ 是 x，y 两数的平方差的形式 ) )( ( y x y x - + = 2 2 y x - ) )( ( 2 2 y x y x y x - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 1 探究新知 像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. x²－25＝ ＝ . 在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式： (x＋5)(x－5)＝ ＝ . x²－5² x²－25 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式 x²－25因式分解： x²－5² (x＋5)(x－5) 知识要点 探究新知 (5x)2 - (2y)2 典例精析 例1 把多项式 25x²－4y² 因式分解. = (5x+2y)(5x-2y). x x y y + ( ) ( - ) x2 - y2 = 解：原式 = 5x 2y 5x 5x 2y 2y 2y 分析 由 25x²＝(5x)² 和 4y²＝(2y)² 可知， 探究新知 √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2 - ( )2的形式. （1）a2 + b2 （2） - a2 - b2 - ( a2 + b2 ) y2 - x2 （3） - x2 + y2 （4）x2 - 25y2 ( x + 5y )( x - 5y ) （5）m2 - 1 ( m + 1 )( m - 1 ) 探究新知 方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. x x y y + ( ) ( - ) x2 - y2 = 把多项式 (x＋y)²－(x－y)² 因式分解. 解：原式＝ [(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)] ＝2x·2y＝4xy. 做一做 探究新知 例2 把多项式 x4－y4 因式分解. 解： x4－y4＝( x2 )2－( y2 )2 ＝( x2＋y2 )(x2－y2 ) ＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ). 因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 探究新知 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. 针对训练 ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n ) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续提公因式分解 探究新知 例3 把多项式 x5－x3y² 因式分解. 分析：多项式 x5－x3y² 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解. 解：x5－x3y²＝x3(x2－y²) ＝x3( x＋y )(x－y). 方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 探究新知 因式分解： (1) 5m2a4 － 5m2b4； (2) a2 － 4b2 － a － 2b. 针对训练 ＝ ( a＋2b )( a－2b－1 ). ＝ 5m2( a2＋b2)( a＋b )( a－b ). 解：(1) 原式＝ 5m2( a4－b4 ) ＝ 5m2( a2＋b2)( a2－b2 ) (2) 原式＝ ( a2－4b2 )－( a＋2b ) ＝ ( a＋2b )( a－2b )－( a＋2b ) 课堂练习 例4 把多项式 x4 － 9 因式分解. 解： x4－9＝( x2 )2－32 ＝( x2＋3 )( x2－3 ) ＝( x2＋3 )[ x2－( )2 ] ＝( x2＋3 )( x＋ )( x－ ). 方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 课堂练习 做一做：用简便方法计算： (1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882. 解：(1) 原式＝( 6.1＋3.9 )( 6.1－3.9 ) ＝10×2.2＝22. (2) 原式＝( 0.12＋0.88 )( 0.12－0.88 ) ＝1×(－0.76 )＝－0.76. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 课堂练习 例6 试说明：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除． 即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除． 解：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n • 2 = 8n. 因为 n 为整数， 所以8n 一定能被 8 整除， 方法总结：说明整除问题的基本思路，就是将代数式化为整式的乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除． 课堂练习 例7 已知 x2 - y2 ＝ - 2，x ＋ y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值． 所以 x - y＝ - 2 ②. 解：因为 x2 - y2＝( x ＋ y )( x - y )＝ - 2， x ＋ y ＝ 1 ①， 联立 ①② 组成二元一次方程组， 解得 方法总结：在与 x2 - y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立组成方程组求值. 课堂练习 1. 下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（　　） A．a2 ＋ ( - b)2 B．5m2 - 20mn C．- x2 - y2 D． - x2 ＋ 9 D 2. 因式分解 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（　　） A．3( x2 + 4x + 3 ) B．3( x2 + 2x + 3 ) C．( 3x + 3 )( x + 3 ) D．3( x + 1 )( x + 3 ) D 3. 若 a + b = 3，a - b = 7，则 b2 - a2 的值为（　　） A．- 21 B．21 C．- 10 D．10 A 课堂练习 4. 把下列各式因式分解： (1) 16a2 - 9b2 =__________________； (2) ( a + b )2 - ( a - b )2 =_______； (3) 9xy3 - 36x3y =____________________； (4) - a4 + 16 =______________________. ( 4a + 3b )( 4a - 3b ) 4ab 9xy( y + 2x )( y - 2x ) ( 4 + a2 )( 2 + a )( 2 - a ) 5. 若 ( 2x )n - 81 可分解成 ( 4x2 + 9 )( 2x + 3)( 2x - 3 )，则 n 的值是______. 4 课堂练习 6. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求 (m + 2n)2 - (3m - n)2 的值． 原式 = -40×5 = -200. 解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n) = (4m + n)(3n - 2m) = -(4m + n)(2m - 3n). 当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时， 课堂练习 7. 如图，在边长为 6.8 cm 的正方形钢板上，挖去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积． 解：根据题意，得剩余部分面积为： 6.82 - 4×1.62 ＝ 6.82 - (2×1.6)2 ＝ 6.82 - 3.22 ＝ (6.8 + 3.2)(6.8 - 3.2) ＝ 10×3.6 ＝ 36 (cm2). 答：剩余部分的面积为 36 cm2. 课堂练习 8. (1) 992 - 1 能被 100 整除吗？ 解：(1) 因为 992 - 1 = ( 99 + 1)( 99 - 1 ) = 100×98， 所以 ( 2n + 1)2 - 25 能被 4 整除. (2) n 为整数，( 2n + 1)2 - 25 能否被 4 整除？ 所以 992 - 1 能被 100 整除. (2) 原式 = ( 2n + 1 + 5 )( 2n + 1 - 5 ) = ( 2n + 6 )( 2n - 4 ) = 2( n + 3) × 2( n - 2 ) = 4( n + 3 )( n - 2 ). 课堂练习 1. 下列多项式：； ； ；； ； .能用平方差公式因式分解的有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 22 2. 若，，则 ( ) A. B. C. 3 D. 9 3. 已知,,是三角形的三边长，那么整式 的值 ( ) A. 大于零 B. 小于零 C. 等于零 D. 不能确定 A B 返回 考试考法 4.因式分解： ___________________ ____. 5.［2025宜宾月考］设， ， ，则数，， 的大小关系是__________. 【点拨】 ， .因为，所以 . 返回 考试考法 24 6.母题教材P11练习 把下列多项式因式分解： （1） ; 【解】原式 . （2） ; 原式 . （3） ； 原式 . 考试考法 25 （4） . 原式 . 返回 考试考法 26 7. 下面是明明同学把多项式 分解因式的具体步骤： 第一步 第二步 第三步 第四步 考试考法 27 （1）事实上，明明的解法是错误的，造成错误的原因是 __________________； 公因式没有提取完 （2）请给出这个问题的正确解法. 【解】原式 . 返回 考试考法 28 8. 小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了 的指数，他 只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因 式分解，他抄在作业本上的式子是（“ ”表示漏抄 的指数），则这个指数可能的结果共有( ) C A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 返回 考试考法 29 9. ［2025长沙北雅中学开学考试］若, ,则 的值为( ) A A. 12 B. 4 C. 6 D. 【点拨】 . 返回 考试考法 30 10. 若，则 的值为( ) C A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【点拨】因为 ，所以 . 返回 考试考法 31 平方差公式分解因式 公式 a2 - b2 = ( a + b )( a - b ) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解 课堂小结 谢谢观看！ $