精品解析：山东省枣庄市第一中学2024级普通高中学业水平检测数学试题

2024级普通高中学业水平检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､考籍号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 一､选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，是单位向量，若，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 4. 不等式的解集是（ ） A B. C. ，或 D. ，或 5. 下列是减函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 三棱台 D. 三棱锥 7. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C D. 8. 设为直线，为平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 数据分位数是（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 10. 某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 3 12. 在中，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 1 13. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C. 纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 14. 如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 15. 如图是某地100户居民的月均用水量的频率分布直方图，估计众数与中位数分别是（ ） A. B. C. D. 16. 已知，则（ ） A. B. C. D. 17. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 18. 设，下列选项能推出的是（ ） A. ，且 B. ，且 C ，且 D. ，且 19. 已知是一个周期，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 20. 已知指数函数的图象过点，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 不等式的解集为 D. 若关于的方程恰有两个解，则的取值范围为 二､填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 21. 设实数，则的最小值为__________. 22. 若为纯虚数，则__________. 23. 的值为__________. 24. 底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为__________. 25. 已知定义在上的函数满足：，且，试写出的解析式__________. 三､解答题：本题共3小题，共25分. 26. 已知函数. （1）求的最大值及取最大值时的取值； （2）求的单调递增区间. 27. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 28. 甲，乙两人进行围棋比赛，采用积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则围棋比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立. （1）求第三局结束后乙获胜的概率； （2）求甲获胜的概率. 参考：1.如果两两互斥，则； 2.如果事件相互独立，则， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级普通高中学业水平检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､考籍号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 一､选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则求解. 【详解】， 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集定义求解即得. 【详解】因，则. 故选:D. 3. 设，是单位向量，若，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律将展开，再结合单位向量的模长和向量垂直的性质进行计算. 【详解】，， 是单位向量，， 故选：A 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. ，或 D. ，或 【答案】B 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，注意分母不为0的情况. 【详解】将不等式转化为， 解得. 故选：B. 5. 下列是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可； 【详解】对于A，的定义域为，函数在上为单调递减，在上单调递增,故A不正确； 对于B，的定义域为,函数在上单调递减，在上单调递减,故B不正确； 对于C，的定义域为,根据指数函数单调性可知在上为单调递增函数； 对于D，的定义域为，由于在上单调递增，所以在上单调递减，即在定义域上为减函数，故D正确； 故选：D 6. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 三棱台 D. 三棱锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据四棱锥的概念进行判断. 【详解】由图可知：三棱台中，截去三棱锥， 则剩余部分是以为顶点，以四边形为底面的四棱锥. 故选：B 7. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为不共线， 且都是非零向量，所以A符合题意； 对于B，因为，所以与共线，故B不符合题意； 对于C，因为为零向量，所以C不符合题意； 对于D，因为，所以与共线，所以D不符合题意； 故选：A 8. 设为直线，为平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由线面的位置关系及充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或与相交，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9. 数据的分位数是（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】应用百分位数的定义及求法求分位数. 【详解】由，则分位数是中第5个数值，即为5. 故选：B 10. 某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案. 【详解】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先走后跑，所以关于的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确. 故选：C 11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，计算函数值即可. 【详解】由题意可知. 故选：B 12. 在中，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出角，再利用正弦定理即可求得结论. 【详解】因，则， 由正弦定理，，则. 故选：B. 13. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C. 纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象的伸缩变换依次判断选项即可. 【详解】由于， 所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）； 故选：C 14. 如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用平面向量基本定理，结合图象即可得到问题答案. 【详解】根据图象， 根据平面向量基本定理，可知：， 所以，， ， 故选：D. 15. 如图是某地100户居民的月均用水量的频率分布直方图，估计众数与中位数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图，根据众数与中位数的定义列式求解即得. 【详解】由频率分布直方图可得众数为； 因中位数是频率为时对应的样本数据，由，而， 故中位数在第二组，中位数. 故选：D. 16. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，然后求出，最后根据二倍角的正切公式求出结果即可. 【详解】因为，， 所以，所以. 所以. 故选：D. 17. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行、面面垂直的判定和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，可能平行，也可能异面，所以A错误； 对于选项B： 若，则可能平行，也可能相交，所以B错误； 对于选项C： 若，则可能平行，可能垂直，可能异面，所以C错误； 对于选项D： 若，那么经过的平面与垂直，所以，所以D正确. 故选：D. 18. 设，下列选项能推出的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】AB选项，当时，在上单调递增， 所以，所以A选项错误，B选项正确. CD选项，当时，在上单调递减， 所以，所以CD选项错误. 故选：B 19. 已知是的一个周期，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数的表达式，进而根据最小正周期可得，根据正弦函数的性质，结合范围即可得解. 【详解】，最小正周期为， 则，故， 所以, 由于故 故使得, 则，解得，由于，故最小取2，因此的最小值为8， 故选：B 20. 已知指数函数的图象过点，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 不等式的解集为 D. 若关于的方程恰有两个解，则的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，待定系数法求出的值即可判断；对于B，分别求出和时的函数值域，然后取并集即可判断；对于C，分别求出当和当时不等式的解集，取并集后即可判断；对于D，作出的图象，根据方程恰有两个解等价于函数的图象与直线有两个交点，即可判断. 【详解】对于A，设且，因为的图象过点， 所以，解得，所以，故A错误； 对于B，当时，，所以， 当时，，所以的值域为，B错误； 对于C，当时，由得，，因此， 当时，由得，因此， 于是不等式的解集为，故C错误； 对于D，依题意，，如图作出的图象， 所以方程恰有两个解等价于函数的图象与直线有两个交点， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：D. 二､填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 21. 设实数，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据均值不等式，代入计算即可. 【详解】因为,所以,当且仅当时成立，即当时， 故答案为： 22. 若为纯虚数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用虚数的概念计算参数，再计算模长即可. 【详解】由题意可知，即， 则. 故答案为： 23. 的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数、对数运算求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 24. 底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱柱的性质可得，体对角线为外接球的直径，代入数据，求出外接球半径R，代入面积公式，即可得答案. 【详解】由题意，该正四棱柱的体对角线为外接球的直径，设外接球半径为R， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故答案为： 25. 已知定义在上的函数满足：，且，试写出的解析式__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，结合已知函数的性质写出一个满足要求的函数解析式即可. 【详解】根据对数函数的性质知，的定义域为，且， 显然满足题设中定义域为且， 令，又，可得， 所以满足要求的函数为. 故答案为： 三､解答题：本题共3小题，共25分. 26. 已知函数. （1）求的最大值及取最大值时的取值； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的最值结合整体思想即可得解； （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案. 【小问1详解】 当，即时，， 所以，此时； 【小问2详解】 令， 则， 所以的单调递增区间为. 27. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得平面. （2）根据线面垂直的判定定理证得平面. 【小问1详解】 因为四边形是正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为四边形是正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以， 由于平面，， 所以平面. 28. 甲，乙两人进行围棋比赛，采用积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则围棋比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立. （1）求第三局结束后乙获胜的概率； （2）求甲获胜的概率. 参考：1.如果两两互斥，则； 2.如果事件相互独立，则， ， . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），根据独立事件的乘法公式即可求解； （2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式求解概率，最后相加得到结果. 【小问1详解】 设事件为“第三局结束乙获胜”， 由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为. 若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 故. 【小问2详解】 设事件为“甲获胜”． 若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时概率． 若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 此时概率． 若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）． 此时的概率， 若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）． 此时的概率. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $