精品解析：山东省郓城县2025—2026学年九年级上学期期中数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级数学期中试题 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂到答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　) A. 24 B. 16 C. D. 2. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加条件是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小青用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2的正方形，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 4. 将方程2x2-4x-3=0配方后所得的方程正确的是（ ） A. （2x-1）2=0 B. （2x-1）2=4 C. 2（x-1）2=1 D. 2（x-1）2=5 5. 关于一元二次方程根情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 6. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣3=0 一个根为 3，则另一个根为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣6 7. 第24届冬奥会期间，小牛收集到4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀再摸出一张，则这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，，直线，分别与这三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为（） A. B. 6 C. 12 D. 18 10. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是_________． 12. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长_______米． 13. 2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 14. 桌面上有5本书，2本为数学书，2本为物理书，1本为化学书，小明分2次从桌上抽走2本书，则小明2次抽走的都是数学书的概率为________． 15. 如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为________． 三、解答题（共75分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 18. 在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球频率 （1）当很大时，摸到黑球的频率将会趋近_________（精确到）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 19. 如图，△ABC中，DE//BC， DF//AC， AE=4， EC=2， BC=8．求 BF 和 CF 的长． 20. 在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形．请你判断四边形的形状，并说明理由． 21. 如图，佳佳同学正在使用手电筒进行物理光学实验，水平地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到平面镜的水平距离，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，求灯泡到地面的高度． 22. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接，过点A作交于点F，交于点G． （1）证明：； （2）连接，求证：． 23. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）试证明EG2＝GF•AF． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级数学期中试题 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂到答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　) A. 24 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4， ∴AC⊥BD， OA=AC=3， OB=BD=2， AB=BC=CD=AD， ∴在Rt△AOB中，AB==， ∴菱形的周长为4． 故选C． 2. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连，根据三角形中位线的性质得到，； ，，即四边形为平行四边形，当和，只能判断四边形为平行四边形；当，能判断四边形为矩形；当，能判断四边形为菱形． 【详解】解：如图所示，连， ∵、、、为四边形各中点， ∴，；，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， 而， ∴． 当和，只能判断四边形平行四边形，故A、D选项错误； 当，能判断四边形为矩形，故C选项正确； 当，可判断四边形为菱形，故B选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位线的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 3. 如图，小青用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2的正方形，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及正方形的性质是解题的关键；由题意易得菱形的边长为，然后可得正方形的边长也为，然后问题可求解． 【详解】解：连接图1中对角线，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 连接图2中的对角线，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 故选C． 4. 将方程2x2-4x-3=0配方后所得的方程正确的是（ ） A. （2x-1）2=0 B. （2x-1）2=4 C. 2（x-1）2=1 D. 2（x-1）2=5 【答案】D 【解析】 【详解】因为2x2-4x-3=0， 所以2x2-4x=3， 2（x2-2x+1）=3+5， 所以2（x-1）2=5， 故选D． 5. 关于一元二次方程根情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程中的， 则这个方程的根的判别式为， 所以这个方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣3=0 一个根为 3，则另一个根为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣6 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的另一根为x，利用根与系数的关系可得到关于x的方程，可求得答案． 【详解】解： 设方程的另一根为x， ∵方程x2+mx-3=0一个根为3， ∴3x=-3，解得x=-1，即方程的另一根为-1， 故选B． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之积等于是解题的关键． 7. 第24届冬奥会期间，小牛收集到4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀再摸出一张，则这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用树状图画出所有组合，再由概率公式计算即可； 【详解】解：单板滑雪用A表示，花样滑冰用B表示，双板滑雪用C表示，冰球用D表示， 树状图如下： 由树状图可得，一共有16种可能性，其中这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的可能有2种， 故这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的概率是， 故选： B． 【点睛】本题考查了树状图法求概率，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键． 8. 如图，，直线，分别与这三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， 故选： D. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为（） A. B. 6 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似变换，位似图形的性质，由题意得四边形与四边形的相似比为，可得四边形与四边形的面积比为，进而可得答案，熟练掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形与四边形关于点位似，， ∴四边形与四边形的相似比， ∴四边形与四边形的面积比为， ∵四边形的面积为3， ∴四边形的面积为12 故选：C． 10. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．以为对角线确定点D的位置，据此可得． 【详解】解：点A、B、C的坐标分别是、、， ∴，，， 如图所示， 当为对角线时，以点A、B、C为顶点的四边形是矩形，， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 12. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长_______米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答． 设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意， 答：生态园垂直于墙的边长为6米． 13. 2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 【答案】3.6## 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，求出这个点落在蛇形图案上的概率是解决本题的关键． 先求解这个点落在蛇形图案上的概率，再由概率乘面积求解即可． 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为． 故答案为：3.6． 14. 桌面上有5本书，2本为数学书，2本为物理书，1本为化学书，小明分2次从桌上抽走2本书，则小明2次抽走都是数学书的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图是解题的关键． 画出树状图，用符合题意的情况数除以所有等可能发生的情况数计算即可． 【详解】解：设数学为A，物理为B，化学为C，画树状图如下： 一共有20种等可能得情况，小明2次抽走的都是数学书的情况有2种， 故小明2次抽走的都是数学书的概率为． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明求出，设，则，，再证明即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 开方，得或， 解得：，； 【小问2详解】 解：, 移项，， 配方，得， 即， 开方，得或， 解得：，； 小问3详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 则或， 解得：，； 【小问4详解】 解：， 其中，，，， 所以， 所以，， 即，． 17. 一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 【答案】每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元 【解析】 【分析】设每顶头盔的售价为x元，根据商店每月获得的利润为8000元列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每顶头盔的售价为x元，则， 整理得：， 解得：， ∴每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． 18. 在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 （1）当很大时，摸到黑球的频率将会趋近_________（精确到）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、列表法求概率等知识点，掌握运用列表法求概率成为解题的关键． （1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值即可求解； （2）先根据题意列表，确定所有等可能结果数，并从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 黑 白 白 白 黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果， 所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为． 19. 如图，△ABC中，DE//BC， DF//AC， AE=4， EC=2， BC=8．求 BF 和 CF 的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，由得到，再由得到，于是计算出，根据即可求得． 【详解】, AE=4， EC=2， BC=8， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 20. 在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形．请你判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，得出，再证明四边形为平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴，， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 21. 如图，佳佳同学正在使用手电筒进行物理光学实验，水平地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到平面镜的水平距离，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，求灯泡到地面的高度． 【答案】灯泡到地面的高度为1.2m． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，得到，进行求解即可．解题的关键是证明． 【详解】解：由题意和图可知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为1.2m． 22. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接，过点A作交于点F，交于点G． （1）证明：； （2）连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到，，，即可得出； （2）延长交的延长线于H，根据，即可得出B是的中点，进而得到． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，延长交的延长线于H， ∵E是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即B是的中点， 又∵， ∴中，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 23. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）试证明EG2＝GF•AF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系． 【详解】（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF＝∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF， ∴∠DGF＝∠DFG． ∴GD＝DF． ∴DG＝GE＝DF＝EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）解：如图所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF． ∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2＝FO•AF． ∵FO＝GF，DF＝EG， ∴EG2＝GF•AF． 【点睛】考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，解答本题主要应用了菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $