精品解析：山东省菏泽市郓城县2024-2025学年上学期期中学业水平测试 九年级数学试题

2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学试题 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂到答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. 2x+1=0 C. D. 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 菱形的对角线长分别为和，它的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，垂直平分，，交于点．关于四边形的形状，甲、乙、丙三人的说法如：甲：若，则四边形是菱形；乙：若，则四边形是矩形；丙：若，则四边形是正方形．则说法正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙 5. 在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被6整除的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①②③ 7. 小明测量旗杆高度的示意图，如图所示．他首先在旗杆的右边点处放置了一平面镜，并测得米．然后小明沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），则旗杆的高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（　　） A. （0，0） B. （1，0） C. （0，﹣1） D. （0，1） 9. 按照如下步骤进行作图：如图，已知线段，过点作，使，连接，在上截取，在上截取．则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接，，与相交于点，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ②③④⑤ D. ①②④⑤ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则_____． 12. 根据下列表格对应值： 0 0.5 1 2 1 2 可求得关于的方程的解是______． 13. 一个密闭不透明的口袋中有5个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计其中的白球数，采用了如下方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，不断重复上述过程．小亮共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，可估计口袋中白球的个数大约是_____个． 14. 如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡(看作一个点)，它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为米_____． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值为____． 16. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为____________. 三、解答题（共72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）用配方法解方程：； （2）用适当方法解方程：； （3）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的范围． 18. 甲口袋装有编号为1，2的两张卡片，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五张卡片，两口袋中的卡片除编号外都相同．小刚先从甲口袋中随机抽出一张卡片，小颖再从乙口袋中随机抽出一张卡片，若两张卡片编号之和为奇数，则小刚获胜；若两张卡片编号之和为偶数，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 19. 如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 20. 已知：如图1，四边形是平行四边形，点、在对角线所在直线上，且． （1）求证：； （2）如图2，连接、，若平分，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由． 21. 学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm． （1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值； （2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？ 23. 如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 当时，______；当时，______． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学试题 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂到答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. 2x+1=0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，依次判断四个选项，即可求解，本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是：明确一元二次方程判定的三个关键点，未知数的数量，未知数的最高次数，整式方程． 【详解】解：、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； 、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； 、分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：． 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 3. 菱形的对角线长分别为和，它的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，进行解答． 【详解】解：菱形的对角线长分别为和， ∴菱形的面积为：． 故选：A． 4. 如图，在四边形中，垂直平分，，交于点．关于四边形的形状，甲、乙、丙三人的说法如：甲：若，则四边形是菱形；乙：若，则四边形是矩形；丙：若，则四边形是正方形．则说法正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线，矩形，正方形，菱形的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，矩形，正方形，菱形的判定，依次进行判断，即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； ∴甲正确； 若，无法证明其余角是直角， ∴无法得到四边形是矩形； ∴乙错误； 若， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴丙正确； 故选：B． 5. 在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被6整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及这个两位数能被6整除的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中啊这两个两位数能被6整除的结果有：12，24，42，共3种， 这个两位数能被6整除的概率为． 故选：C． 6. 做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可． 【详解】解：由于频率不等于概率，故当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，“正面向上”的概率不一定是，故①错误； 大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，故随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确； 故选：A． 7. 小明测量旗杆高度的示意图，如图所示．他首先在旗杆的右边点处放置了一平面镜，并测得米．然后小明沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），则旗杆的高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 故选：D． 8. 如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（　　） A. （0，0） B. （1，0） C. （0，﹣1） D. （0，1） 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，-1）． 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似的两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点是解题的关键． 9. 按照如下步骤进行作图：如图，已知线段，过点作，使，连接，在上截取，在上截取．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的混合运算；由勾股定理求得的长，由题意可得的长，从而得的长，再计算即可． 【详解】解：∵，设， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接，，与相交于点，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ②③④⑤ D. ①②④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识． 由是等边三角形和，得出，从而证明，进而得到，，再根据含角的直角三角形的性质，得到，即，故①正确；根据等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，得出，可判定②正确；由得到，因此，而与同高，可知，则判定③错误．过点P作于点M，作于点N，则，，根据三角形的面积公式得，可判定④正确．由，得，则，可判定⑤正确． 【详解】∵是等边三角形， ∴，， ∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴，， ∵在正方形中，， ∴， ∴在中，， ∴． 故①正确． ∵在等边中，， 在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故②正确． ∵， ∴， ∴， ∵和同高， ∴． 故③错误． 过点P作于点M，作于点N， ∴， ∴． 故④正确． ∵在正方形中，， 又， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故⑤正确． 综上，正确的为①②④⑤． 故选：D 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值．利用分式的性质，将所求表达式拆分为，再代入已知条件进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ． 故答案为：． 12. 根据下列表格对应值： 0 0.5 1 2 1 2 可求得关于的方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的解，关键是观察表格，确定时x的值． 从表格中的数据可以看出，当时，；当时，，则关于x的方程的解是：或。 【详解】解：∵当时，； 当时，， ∴关于x的方程的解是：或， 故答案为：． 13. 一个密闭不透明的口袋中有5个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计其中的白球数，采用了如下方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，不断重复上述过程．小亮共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，可估计口袋中白球的个数大约是_____个． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了用概率求数量，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为；即可计算出白球数，即可解答，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球， ∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为， ∵这个口袋中有5个黑球， ∴共有白球个， 故答案为：20． 14. 如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡(看作一个点)，它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为米_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先根据题意画出几何模型如图，米、（米）、米、，可得，即，然后将相关数据代入即可解答． 【详解】解：构造几何模型如图： 依题意知：米，（米），米， ∵, ∴ ∴ ，即，解得：， 故：灯泡距离桌面3米． 故答案为：3． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值为____． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，通过对完全平方公式变形求值．由“邻根方程”定义可得，由根与系数的关系可得，，再根据即可求出m的值． 【详解】解：中， ， 方程有两个实数根， 设是“邻根方程”的两个根，， 则，，， ， ， ， 解得或， m的值为0或． 故答案为：0或． 16. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为____________. 【答案】24； 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果． 【详解】 解：如图所示：∵菱形ABCD的两条对角线的长分别为12和8， ∴菱形ABCD的面积 ， ∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形， ∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为24． 【点睛】本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 三、解答题（共72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）用配方法解方程：； （2）用适当方法解方程：； （3）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的范围． 【答案】（1），；；（2），；（3）且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根的判别式，解题时要注意二次项系数不为0． （1）用公式法解方程即可； （2）先化成，再根据平方差公式即可求解； （3）根据根的判别式即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）； 配方得：，即， 开方得， ∴， ∴，； （2）； ∴， ∴， ∴， 解得，； （3）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ， 解得且． 18. 甲口袋装有编号为1，2的两张卡片，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五张卡片，两口袋中的卡片除编号外都相同．小刚先从甲口袋中随机抽出一张卡片，小颖再从乙口袋中随机抽出一张卡片，若两张卡片编号之和为奇数，则小刚获胜；若两张卡片编号之和为偶数，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】图见解析，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查了游戏公平性．画树状图展示所有10种等可能的结果，再找出其中两张卡片编号之和为奇数的结果数和两张卡片编号之和为偶数的结果数，然后计算小刚获胜的概率和小颖获胜的概率，则通过比较两概率的大小可判断游戏是否公平． 【详解】解：这个游戏对双方是公平的．理由如下， 画树状图为： 共有10种等可能的结果，其中两张卡片编号之和为奇数的结果数为5，两张卡片编号之和为偶数的结果数为5， 所以小刚获胜的概率，小颖获胜的概率， 而， 所以这个游戏对双方是公平的． 19. 如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）证出．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 已知：如图1，四边形是平行四边形，点、在对角线所在直线上，且． （1）求证：； （2）如图2，连接、，若平分，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ； （2） 解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接交于点， ， ，， ∴， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质． （1）根据可得： （2）连接交于点，证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm． （1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值； （2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解； （2）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ， 不合题意舍去， ． 答：当苗圃园的面积为60时，x的值为． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， 解得：， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 不合题意舍去， ． 答：当苗圃园的面积为60时，x的值为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定，菱形的判定，勾股定理和动点问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【小问1详解】 解∶P，Q两点同时出发，它们的速度都是， ， ， 四边形是矩形 ，即， 解得； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 在中，， 即 ， ． 解得． 23. 如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 当时，______；当时，______． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______． 【答案】（1）； （2） 没有， 证明：如图， 当时，的大小没有变化， ， ， ， ， ； （3）满足条件的的长为或 【解析】 【分析】（1）当时，在Rt中，勾股定理，可求的长，然后根据点分别是边的中点，分别求出的大小，即可求出的的值；当时，可得，然后根据，可求的值； （2）首先判断出，再根据，判断出，然后由相似三角形的对应边成比例，可求解； （3）分两种情形：当点在的延长线上时；当点在线段上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时， Rt中，， ， 点分别是边的中点， ，， ， 故答案为：； 如图， 当时，可得， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点在的延长线上时， 在Rt中，，， ， ， ， ； 如图，当点在线段上时， 在Rt中，，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $