精品解析：江西省赣州市赣县区白鹭中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷 一、选择题 1. 汉字是中华文明的标志，下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 4 C. 13 D. 5 4. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 5. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点F．则下列说法错误的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤若，则是的高． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 二、填空题 7. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 8. 已知点与点关于轴对称，则____． 9. 如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是__________． 10. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中______． 11. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 12. 如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若中，有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，则的度数是 __________________． 三、解答题 13. 如图，和关于直线l对称．若，求的度数． 14. 如图，．求证：． 15. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 16. 已知为等腰三角形，若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数． 17. 如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作出四边形的对称轴l； （2）如图2，，过点D作的垂线． 四、解答题 18. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，2，伞圈D沿着伞柄滑动时，且，， （1）求证：平分； （2）如图2，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上，若，，求的度数． 19. 如图，是的高线，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的面积． 20. 如图所示，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，并写出点的坐标． 五、解答题 21. 如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）若，，，求的长． （2）与有怎样的关系？证明你的结论． 22. 如图，，，，、交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）求的度数．（用含α的式子表示） 六、解答题 23. 【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷 一、选择题 1. 汉字是中华文明的标志，下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断的形状． 【详解】解：A．，即，，为直角三角形，不符合题意； B．，即，，为直角三角形，不符合题意； C．，即，同A选项，不符合题意； D．，即，三个角没有角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 3. 若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 4 C. 13 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：设这个三角形第三边的长为， ∵这个三角形的两边长分别为4和9， ∴，即， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 4. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 5. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，即， 故选：A． 6. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点F．则下列说法错误的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤若，则是的高． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】当点D为中点时，即可判断①；由角平分线的定义和三角形内角和定理可求出．再结合三角形外角性质即得出，可判断②；在上截取，连接，易证，从而可得出，进而易证，得出，进而得出，可判断④；在④基础上作于点M，于点N，由角平分线的性质可知，再根据全等三角形的性质结合三角形面积公式即可得出，可判断③；延长至点K，使，连接，易证，得出．再证明，即得出，即是的高，可判断⑤． 【详解】解：当点D为中点时，由题意无法确定是否为中点，故①错误； ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 如图1，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 如图1，作于点M，于点N， ∵ ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴，故③正确； 如图2，延长至点K，使，连接， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即是的高，故⑤正确． 综上可知错误的有1个． 故选A． 【点睛】此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、填空题 7. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题． 8. 已知点与点关于轴对称，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 9. 如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 先由点是的中点得出，再由点是的中点计算即可得解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 10. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中______． 【答案】105 【解析】 【分析】先利用角的和差关系求出，再利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图， 由题意知，， ， ， 故答案为：105． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、三角板的度数、角的和差关系等，解题的关键是掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”． 11. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，将三角形周长转化，求出即可． 【详解】解：∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长为， 故答案为：10． 12. 如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若中，有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，则的度数是 __________________． 【答案】或1或 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，根据题意，对“有一个内角度数是另一个内角度数的2倍”这个条件进行分类讨论，结合三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ①当是的2倍时，则， ∴， ∴； ②当是的2倍时，则点C与点B重合，不符合题意； ③当是的2倍时，则， ∴， ∴； ④当是的2倍时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为：或1或． 故答案为：或1或． 三、解答题 13. 如图，和关于直线l对称．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．先根据和关于直线对称得出，故可得出，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：和关于直线l对称，， ， ， ． 14. 如图，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先求出，进而利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等． 【详解】略 15. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 16. 已知为等腰三角形，若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数． 【答案】和或和 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和内角和定理．分类讨论运用是解答两个问题的关键．应分两种情况考虑：角是顶角时和是底角时． 【详解】解：①当角为顶角时，另外两个内角的度数都为； ②当角为底角时，顶角为． 综上所述，这个等腰三角形另外两个角的度数分别为，或，． 17. 如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作出四边形的对称轴l； （2）如图2，，过点D作的垂线． 【答案】（1）如图1， （2）如图2， 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键； （1）作直线，即为所求的直线． （2）连接交于点，作直线，交于点，则直线即为所求． 【小问1详解】 解：作直线， 则直线即为所求的直线． 【小问2详解】 解：连接交于点，作直线，交于点， 则直线即为所求． 四、解答题 18. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，2，伞圈D沿着伞柄滑动时，且，， （1）求证：平分； （2）如图2，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上，若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形的外角定义． （1）利用“”证明，得到，进而得出结论； （2）根据角的平分线定义得到的度数，再根据三角形的外角定义得出的度数，最后利用得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，是的高线，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）14 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图所示，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： ，，； （2） 如图所示，点即为所求： 点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质作图即可； （）作出点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则，所以，由两点之间线段最短可知此时的值最小，再根据点的位置写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：由图可得，，，； 【小问2详解】 解：由图可得，点的坐标为． 五、解答题 21. 如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）若，，，求的长． （2）与有怎样的关系？证明你的结论． 【答案】（1）3 （2） 解：垂直平分，证明如下： 是的角平分线，分别是和的高， ， 在与中， ， ， ， ， 垂直平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，，，由，代入计算即可； （2）由角平分线的性质得，再由，得，从而根据垂直平分线的判定即可解答． 【小问1详解】 解：是的角平分线，分别是和的高， ，，， ， ， ． 【小问2详解】 略 22. 如图，，，，、交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）求的度数．（用含α的式子表示） 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：过点作于，于， ， ， 在和中， ， ， ， 于，于， 平分； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由条件根据可证明，则结论得证； （2）过点作于，于，可证明，可证得，利用角平分线的判定可证明结论； （3）由（1）可得，再利用三角形内角及外角的性质可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 由（2）得平分， ， 即． 六、解答题 23. 【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）；（3）6 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先根据线段中点的定义可得，再利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （3）延长，交的延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得． 【详解】（1） 略 （2）解：由（1）已证：， ∴， 在中，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，即， ∴垂直平分， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $