2026年安徽中考数学一轮复习考点全突破 第3讲整式

第03 讲 整式 第03 讲 整式 1 【知识点1】整式的运算 1 【题型1】整式的运算 5 【知识点2】因式分解 12 【题型2】因式分解 15 【知识点3】代数式的概念 18 【题型3】列代数式及其求值 20 1 学科网（北京）股份有限公司 【知识点1】整式的运算 1）同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 2. 合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 3. 去括号与添括号 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 4. 整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 5. 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） 2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） 注意：幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”． 3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数） 4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数） 5）零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 6. 整式的乘除 1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 【易错易混】 ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4）单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 5）多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 7. 乘法公式 1）平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2）平方差公式的推导 ①用多项式的乘法推导平方差公式 ②通过面积法推导平方差公式： 如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到. 【补充】常见验证平方差公式的几何图形 3）完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： ① ② ③ ④ ⑤ 4）完全平方公式的推导 ①用多项式的乘法推导完全平方公式： ②通过面积法推导完全平方公式： ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到； ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到. 8. 整式的混合运算 定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【题型1】整式的运算 1．1．（2025·安徽淮南·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则． 分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算正确，符合题意； D、，故计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·安徽·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式和单项式除以单项式的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 3．（2025·安徽合肥·三模）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式运算等知识，熟练掌握相关整式运算法则是解决问题的关键． 由积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式运算逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．（2025·安徽淮南·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，积的乘方，合并同类项以及单项式乘单项式．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，积的乘方，合并同类项，单项式乘单项式的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．（2024·安徽·二模）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，单项式除以单项式法则，合并同类项的法则逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选C． 6．（2025·安徽·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方以及同类项的概念，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．依次对每个选项根据幂运算的相关法则进行计算，判断其正确性． 【详解】解： 与不是同类项，不能合并，故 A选项错误． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故 B选项正确． 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故 C选项错误． 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故 D选项错误． 故选：B． 7．（2021·安徽安庆·三模）下列计算或运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式． 根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断可得． 【详解】A、，此选项错误； B、，此选项错误； C、，此选项正确； D、，此选项错误； 故选C． 8．（2024·安徽·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；C． 9．（2025·安徽·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方、负分数次幂、合并同类项、二次根式的乘法等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据积的乘方、负分数次幂、合并同类项、二次根式的乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，原计算错误，故该选项不符合题意；     B． ，故该选项正确，符合题意；     C． 与不是同类项，不能进行加减运算，故该选项错误，不符合题意；     D． ，原计算错误，故该选项不符合题意． 故选B． 10．（2025·安徽马鞍山·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 11．（2024·四川雅安·一模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 12．（2025·安徽滁州·二模）下列各式运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方等基本法则，熟练掌握这些法则是解题的关键．根据法则逐一判断即可． 【详解】选项A：中，与不是同类项，无法合并，故错误； 选项B：为同底数幂相乘，根据法则应指数相加，即，而非，故错误； 选项C：为同底数幂相除，根据法则应指数相减，即，而非，故错误； 选项D：为幂的乘方，根据法则应指数相乘，即，与结果一致，故正确． 13．（14-15七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，合并同类项时先确定是否为同类项，如是同类项再根据字母和字母的指数不变，系数相加合并同类项． 先确定各项是否为同类项，如为同类项根据合并同类项法则合并同类项即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 14．（2024·安徽·模拟预测）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，合并同类项，幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 15．（2025·安徽合肥·模拟预测）下列运算中，计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，涉及单项式除法、积的乘方、合并同类项及完全平方公式，根据法则及公式逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A：，计算正确，故本选项符合题意； B：，正确结果为，与原式不符，原式错误，故本选项不符合题意； C： 与不是同类项，无法合并，结果应为，原式错误，故本选项不符合题意； D：完全平方公式应为，原式错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 16．（2025·安徽·模拟预测）若，则m的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，解题的关键在于正确掌握幂的乘方的运算法则。 根据幂的乘方的运算法则对式子进行变形，得到求解，即可解题． 【详解】解：∵， ，即， ∴． 故选：A． 17．（2025·安徽合肥·二模）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解，根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故选：C． 18．（2024·安徽蚌埠·二模）若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键．由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 19．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 【知识点2】因式分解 1. 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式, 像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解, 也叫作把这个多项式分解因式. 2. 因式分解的基本方法 (1)提公因式法 公因式的概念: 多项式 ,它的各项都有一个公共的因式 ,我们把因式 叫作这个多项式各项的公因式. 提公因式法: 一般地, 如果多项式的各项有公因式, 可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法. 步骤及方法如下: 步骤 方法 举例:6 确定公因式 先确定系数,再确定字母,最后确定字母次数 公因式是 提取公因式并确定另一个因式 用原多项式除以公因式,所得的商就是提取公因式后剩下的另一个因式 (2)公式法 ①平方差公式 文字描述 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积 公式 可套用平方差公式的式子的特点 含有两部分;两部分的符号相反;每一部分的绝对值都可以写成某个数(或式子)的平方 ②完全平方公式 文字描述 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数的积的 2 倍, 等于这两个数的和(或差)的平方 公式 可套用完全平方公式的式子的特点 含有三部分;有两部分可以分别写成某个数 (或式子) 的平方,并且这两部分符号相同; 第三部分是这两个数 (或式子)乘积的±2倍 方法总结 确定公因式的步骤: 易错警示 因式分解必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止,最后的结果是乘积的形式. 例如: . 知识拓展 1. 十字相乘法: . 例如: . . 2. 分组分解法: 先将多项式分成 2 个或多个部分分别分解 (组内分解), 再考虑提公因式法或公式法整体分解 (组间分解). 例如: . 原式 . 5. 因式分解的一般步骤： 【题型2】因式分解 20．（2025·安徽阜阳·一模）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握常见的因式分解法和定义成为解题的关键． 根据因式分解的定义、提公因式法、公式法、十字相乘法进行因式分解并判断即可解答． 【详解】解：A． ，故该选项符合题意； B． ，故该选项不符合题意； C． ，故该选项不符合题意；     D． 不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意． 故选：A． 21．（24-25八年级下·山西太原·期中）下列因式分解中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法、提公因式法分解因式，运用提公因式法时，注意各项符号的变化，运用公式法的时候，注意公式的结构特征．根据完全平方公式和平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法正确，符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 22．（2025·安徽滁州·三模）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义得出即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：B． 23．（2025·江西·中考真题）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 24．（2025·安徽蚌埠·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用公式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 25．（2015·广东深圳·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可，熟练掌握提公因式和公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．（2025·安徽滁州·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 27．（2025·山东潍坊·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 先整理再提公因式，最后结合平方差公式因式分解，即可解题． 【详解】解： ； 故答案为：． 28．（2025·四川成都·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查利用提公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．提公因式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 29．（2025·安徽合肥·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可得解，熟练掌握提公因式法是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 30．（2025·安徽淮北·三模）在实数范围内，因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解．先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分解到不能分解为止． 【详解】 故答案为：． 31．（2025·安徽芜湖·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 32．（2025·安徽池州·三模）因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是找出公因式，熟悉完全平方公式．先提公因式m，再利用完全平方公式即可分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 【知识点3】代数式的概念 1.用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子, 我们称这样的式子为代数式. 例如: 都为代数式. 2. 列代数式的概念 把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来, 这就是列代数式. 例如: 原量 的 倍多 表示为 ; 原价 的八五折表示为 或 ; 每天完成的工作量为 ,则要完成 的工作量所需的天数表示为 ; 原量 增加 表示为 等. 3. 列代数式的一般步骤 一般步骤 注意事项 举例 审题 仔细分析问题中基本术语的含义 和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几、增加、增加到、减少、减少到、扩大、缩小、除、除以等 确定运算顺序 注意问题的语言叙述表示的运算顺序,一般来说,先读的先写 (1)甲、乙两数的平方和: “平方和”是指先平方,后求和,即 ; (2) 甲、乙两数和的平方: “和的平方” 是指先求和,后平方,即 字母表示 在同一问题中, 不同的数量, 必须用不同的字母表示 若甲、乙表示的数字不同，用代数式表示甲、乙两数的积减去甲、乙两数的和， 在这个问题中, 甲数和乙数必须用不同的字母来表示，即若甲数用 表示，乙数就不能用 来表示了 知识拓展 代数式中除含有数、 字母和运算符号外, 还可以有括号. 方法总结 列代数式在规律探索问题中的应用方法: (1)数式规律探索: 第一步:把所给的式子作横向和纵向比较; 第二步:观察已知的对应数值的变化, 从中发现数量关系, 即找到各部分具有的特征; 第三步:进而探究整个式子所具有的规律; (2)图形规律探索: 一般需要抓住图形数量的增减变化特点, 进行分析、猜想、归纳、验证,得出结果. 4. 代数式的书写要求 5. 代数式求值 (1)概念:一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果, 叫作代数式的值, 这个过程叫作代数式求值. (2)常见代数式求值的方法: ①直接代入法:把已知字母的值直接代入计算； ②整体代入法: 【题型3】列代数式及其求值 33．（2024·安徽·模拟预测）下列图形都是有同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为 ． 【答案】85 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，观察图形可得前三个图形的小圆圈的变化规律，进而可得第⑦个图形中小圆圈的个数． 【详解】解：观察图形可知： 第①个图形中一共有4个小圆圈，即； 第②个图形中一共有10个小圆圈，即； 第③个图形中一共有19个小圆圈，即； 按此规律排列下去， 第n个图形中小圆圈的个数为： ， 所以第⑦个图形中小圆圈的个数为： ， 故答案为：85 34．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；； ； ； 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量， 进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角 形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得 增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；； ； ； ． 35．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，用一些完全相同的正五边形纸片依次“粘连”成一条纸带，探究纸片张数与纸带周长l的关系．设每个正五边形的边长为1.    纸片张数 1 2 3 4 5 … 纸带周长 5 8 11 14 ？ … 根据以上图表规律，解答下列问题： (1)表格中“？”处应填写______；当时，______； (2)纸带周长可能等于2025吗？请说明理由． 【答案】(1)17；32 (2)纸带周长不可能等于2025，见解析 【分析】本题考查了数字规律，根据题意，找到数字规律是解题的关键． （1）根据正五边形纸片的“粘连”成一条纸带的规律，可得当时，纸带周长为，当时，； （2）根据题意，可得用张纸片“粘连”成的纸带周长，令得，求解是否整数，即可求解． 【详解】（1）解：根据图表规律可得， 当时，纸带周长， 当时，纸带周长； （2）解：纸带周长不可能等于2025． 理由：根据图表规律得，用张纸片“粘连”成的纸带周长， ，解得． 为正整数， 纸带周长不可能等于2025． 36．（2024·安徽淮北·三模）在由一些线段围成的封闭图形中，其顶点（线段的交点）数为m，边（相邻两点间的连线）数为n，围成的区域数为t，观察图形并解决问题： 序号 定点数m 边数n 区域数t 1 4 6 3 2 5 8 4 3 (1)把表格填写完整； (2)请写出顶点数m，边数n和区域数t之间的关系式； (3)如果一个图形的顶点数m和区域数t均为2024，求该图形的边数n． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4047 【分析】本题主要考查了图形规律探索，用代数式表示图形规律，解一元一次方程，解题的关键是数形结合，理解题意． （1）根据图3填表即可； （2）观察、分析表中数据得出答案即可； （3）将顶点数m和区域数t代入求出边数n即可． 【详解】（1）解：填表如下： 序号 顶点数m 边数n 区域数t 1 4 6 3 2 5 8 4 3 10 15 6 （2）解：根据表中的数值得出平面图形顶点数m，边数n和区域数t之间的关系式：； （3）解：依题意得：， 解得， 该图形的边数为4047． 37．（2024·安徽合肥·二模）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形． (1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”； (2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系． 【答案】(1)10，27 (2) 【分析】本题考查了图形类规律探索，解题的关键是找到图形的变化规律． （1）仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律写出答案即可； （2）根据（1）中的规律利用和表示出，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得： 图中“△”的个数为，“★”的个数为， 图中“△”的个数为，“★”的个数为， 图中“△”的个数为，“★”的个数为， …， ∴图中“△”的个数为，“★”的个数为， ∴图4中有个“△”，图5中有个“★”； （2）解：由（1）得：图中“△”的个数为，“★”的个数为， ∵设图中有个“△”，个“★”， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 38．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…． (1)图案5中“☆”的个数为 ； (2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示） (3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)n的值为6 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“☆”和“★”个数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，发现“☆”个数变化的规律即可解决问题； （2）根据所给图形，发现“★”个数变化的规律即可解决问题； （3根据（1）（2）中发现的规律列方程，解方程即可解决问题． 【详解】（1）第1个图案中“☆”的个数为； 第2个图案中“☆”的个数为； 第3个图案中“☆”的个数为； …… 第n个图案中“☆”的个数为； 即图案5中“☆”的个数为 故答案为： （2）由题知， 第1个图案中“★”的个数为； 第2个图案中“★”的个数为； 第3个图案中“★”的个数为； …… 第个图案中“★”的个数为； 故答案为：． （3）由题知， ， 解得或6， 因为为正整数， 所以． 故正整数的值为6． 39．（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据一直推行进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数． 曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 40．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 41．（2025·安徽·模拟预测）学科素养·实践探究 下列是用火柴棒拼出的图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图中共有___________根火柴，第7个图中共有___________根火柴； (2)第个图形中共有___________根火柴：（用含的式子表示） (3)请判断上组图形中前2026个图形火柴数的总和是否为2026的倍数，并说明理由． 【答案】(1)17，29 (2) (3)是2026的倍数，见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知，后面一个图形比前面一个图形多4根火柴，再结合前面几个图形中的火柴数可得可知第个图形中火柴有根，据此求解即可； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据（1）的规律可得前2026个图形火柴数的总和为，可证明与式子相等，据此可得结论． 【详解】（1）解：当时，火柴的根数是； 当时，火柴的根数是； 当时，火柴的根数是； 以此类推，可知第个图形中火柴有根， ∴第4个图中共有根火柴，第7个图中共有根火柴， 故答案为：；； （2）解：由（1）可得，第个图形中火柴有根； （3）解：是2026的倍数，理由如下：      ∴前个图形火柴数的总和是的倍数． 42．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，下列图形由边长为1的小正方形按照规律排列而成，观察图形，解答下列问题： (1)完成下表： 图形的名称 小正方形的个数 图形的周长 图① 2 8 图② 5 12 图③ 9 图④ 20 … … … (2)推断第n个图形中，正方形的个数为______，周长为______； (3)求第几个图形中正方形的个数为90，并求出此图形的周长． 【答案】(1)16，14； (2)，； (3)第12个图形中正方形的个数为90，此时的周长为． 【分析】本题主要考查图形规律的观察和数学归纳法的应用，一元二次方程的解法，通过观察图形中小正方形的个数和周长的变化规律，推导出第n个图形中小正方形的个数和周长的公式，并利用这些公式解决具体问题． （1）观察图形中小正方形的个数和周长的变化规律，完成表格．根据题目给出的图形，我们可以看到小正方形的个数和周长随着图形的变化而变化．对于小正方形的个数，每增加一个图形，小正方形的个数增加的数量依次为3、4、，即每次增加的数量比前一次多1，从而完成表格任务； （2）根据（1）的发现进行归纳即可； （3）根据正方形个数的公式，解这个方程可以得到n的值．将得到的n值代入周长的公式中，计算出周长即可． 【详解】（1）解：通过观察发现以下规律： 图形①，小正方形个数：，周长； 图形②，小正方形个数：，周长；； 图形③，小正方形个数：，周长；； 图形④，小正方形个数：，周长；； 填表如下： 图形的名称 小正方形的个数 图形的周长 图① 2 8 图② 5 12 图③ 9 图④ 20 … … … （2）解：根据以上规律， 第个图形的小正方形个数： ； 第个图形的周长：． （3）解：∵小正方形的个数为90， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴第12个图形中小正方形的个数为90，它的周长为． 43．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2)；． 【分析】本题考查了新定义以及规律的探究，正确理解题意，发现数字间规律是解题的关键． （1）①根据表格中信息，得到第五次构造的数列，得到的值，与表格中的值，得到的结果； ②根据题意，得到，，，，推理出规律为即可； （2）根据数字的变化规律，得到的表达式；把的表达式代入到中，结合表格中给出的，得到的表达式． 【详解】（1）解：①∵根据表格，第五次构造的数列为，，，，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵，，，，， ∴，，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵表示，，，，这列数中的第个数， ∴表示，，，，这列数中的第个数， ∴， 令（其中）， 则， 两式相减，得， 即， 故答案为：； ∵， ∴ ， ∵根据表格， ∴， 故答案为：． 44．（2025·安徽合肥·一模）【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花黑色圆点和黄梅花白色圆点，组成“中国结”系列图案． 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，，第个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现红梅花和黄梅花盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中黄梅花的盆数，发现规律即可解决问题． （2）根据题中所给规律即可解决问题． （3）结合（1）（2）中发现的规律建立关于的等式即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； ， 所以第个图案中黄梅花的盆数为盆． 当时， （盆）， 即第个图案中黄梅花的盆数为盆． 故答案为：． （2）由题知， 因为第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， ， 所以第个图案中红梅花的盆数可表示为盆． 故答案为：． （3）由（1）（2）知， 因为第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆， 所以， 解得或． 因为为正整数， 所以． 45．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 【答案】(1)19 (2) (3) 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，图形规律探索，解题的关键是根据已知图形和点的坐标得出一般规律． （1）根据给出的图形找出一般规律，得出图⑤中，正方形的总数即可； （2）根据所给出的几个图形中大正方形个数和小正方形的个数规律，得出第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形； （3）根据点的坐标为，得出小正方形的对角线长为2，从而得出，，的坐标，总结得出一般规律，从而得出的坐标． 【详解】（1）解：观察图形可知，每增加一个大正方形，则增加3个小正方形，可得第5个图形中有6个大正方形，13个小正方形，共有19个正方形； （2）解：观察图形可知：第1个图形中有个大正方形，个小正方形，共有3个正方形； 第2个图形中有个大正方形，个小正方形，共有7个正方形； 第3个图形中有个大正方形，个小正方形，共有11个正方形； ……； 第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形． （3）解：观察图2，基础图形的交点的坐标为，则小正方形的对角线长为2， ∴的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， ……， 以此类推，则的坐标为； 46．（2025·安徽淮北·三模）如图，某图案是由基本图形（由一个边长为的正方形和两个边长为的等边三角形组成）拼接而成的，每个图案外围部分（实线部分）用型材料围成，内部（虚线部分）用型材料焊接． (1)第5个图案中正三角形的个数为________；第个图案中正三角形的个数为________（用含的代数式表示）． (2)第5个图案中型材料的总长为________，型材料的总长为________． (3)当一个图案所用的型材料的总长比型材料的总长多时，求这是第几个图案． 【答案】(1)；． (2)， (3) 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加4是解题的关键． （1）根据图形找到规律，第个图案中正三角形的个数为个， （2）根据图形，分别求得前几个图案中型材料和型材料的总长，即可求解； （3）根据（2）的规律得出型材料的总长为，型材料的总长为，结合题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵第1个图案中正三角形的个数为2，其中， 第2个图案中正三角形的个数为6，其中， 第3个图案中正三角形的个数为10，其中， 第4个图案中正三角形的个数为14，其中， 第5个图案中正三角形的个数为18，其中， …… 第个图案中正三角形的个数为个， 故答案为：；． （2）解：第1个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第2个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第3个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第4个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第5个图案中型材料的总长为，其中，其中型材料的总长为，， 故答案为：，． （3）根据（2）可得第个图案中，型材料的总长为，型材料的总长为． 则， 解得． 47．（2025·安徽淮北·三模）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 【答案】(1)28 (2) (3) 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为28． （2）， 故答案为． （3）由题意，得， 即 解得（不符合题意，舍去） 答：n的值为12． 48．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 49．（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；②运用①中的结论进行解答即可； （3）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解：①∵原等边三角形的边长为1， ∴操作1次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作2次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作3次所得的小等边三角形的边长为：； …， ∴第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． （3）解： 50．（2025·安徽六安·三模）某数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：他们继续研究下列用白色圆点和黑色圆点组成的图案中两种圆点的个数问题． 将以上图案中两种圆点的个数统计如下表： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 …… 黑色圆点的个数 … 白色圆点的个数 … 根据以上信息，完成下列问题： (1)第6个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (2)请用含n的式子填空：第n个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (3)第几个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5？ 【答案】(1)， (2)， (3)9 【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据前五个图形中所求图案的个数进行解答即可； （2）根据前六个图形中所求图案的个数总结规律即可； （3）根据题意列出一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：第6个图案中，白色圆点的个数为，黑色圆点的个数为， 故答案为：， （2）第n个图案中，白色圆点的个数为， 黑色圆点的个数为， 故答案为：， （3）由题意可得，， 解得， 解得或（不合题意，舍去） 答：第个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5． 51．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 52．（2025·安徽宣城·二模）阅读材料，解决下列问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，…． (1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______； (2)总结：前行的点数之和为______（用含的式子表示，为正整数）； (3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球？ 【答案】(1)21；45 (2) (3)要悬挂25串气球 【分析】本题考查了有理数的图形类规律，解一元二次方程的应用． （1）直接把前面6行、9行点分别相加即可求解； （2）把前n行点数相加即可； （3）根据题意列出方程，利用（2）的结论解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：前6行点数和为：； 前9行点数和为：； 故答案为：21；45； （2）解：前n行点数和为：； 故答案为：； （3）解：由题意得：， 即 ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：这种装饰方案一共需要悬挂25串气球． 53．（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“□”的个数为________． （2）第1个图案中“▲”的个数可表示为，第2个图案中“▲”的个数可表示为，第3个图案中“▲”的个数可表示为，……，第n个图案中“▲”的个数可表示为________． 【规律应用】 （3）若第n个图案中“□”比“▲”多33个，求正整数n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“□”的个数为，即可作答． （2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“▲”的个数可表示为； （3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列方程，即可作答． 【详解】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“□”的个数为； 第2个图案中，“□”的个数为； 第3个图案中，“□”的个数为； ……， 以此类推，得出第n个图案中，“□”的个数为； （2）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； ……， 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （3）∵第n个图案中“□”比“▲”多33个， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴正整数. 54．（2025·安徽蚌埠·二模）我们将四个全等的菱形按图（1）所示组合的图形称为一个基本图，将此基本图复制并向右平移，使得其中一个菱形重合，得到图（2），图（3），…． (1)观察上图并完成下表： 基本图的个数 1 2 3 4 ．．． 菱形的个数 5 9 13 ①_____ ．．． 猜想：在图（n）中，菱形的个数为②_____个（用表示）； (2)如图，将图（n）放在直角坐标系中，使得第一个基本图的对称轴为直线，第二个基本图的对称轴为直线，则其中第2025个基本图的对称轴是③_____，图（2025）的对称轴为④_____． 【答案】(1)①17；② (2)③直线；④直线 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，坐标与图形，正确找到图形之间的规律是解题的关键． （1）观察可知每多一个基本图，则多4个菱形，据此规律求解即可； （2）观察可知，第n个基本图的对称轴为直线，图（n）一共有n个基本图，据此规律可得第一空答案；对于第二空，图（2025）一共有2025个基本图，那么其对称轴即为第2013个基本图的对称轴，据此可得答案． 【详解】（1）解：第1个图有个菱形， 第2个图有个菱形， 第3个图有个菱形， ……， 以此类推可知，第n个图有个菱形， ∴第4个图有个菱形； （2）解：第一个基本图的对称轴为直线， 第二个基本图的对称轴为直线， 第三个基本图的对称轴为直线， ……， 以此类推可得，第n个基本图的对称轴为直线， ∴第2025个基本图的对称轴是直线； ∵图（1）有1个基本图， 图（2）有2个基本图， 图（3）有3个基本图， ……， 以此类推，图（n）有n个基本图， ∴图（2025）一共有2025个基本图， ∴图（2025）的对称轴即为第个基本图的对称轴， ∴图（2025）的对称轴为直线． 55．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，用相同的五角星按照一定的规律拼出图形．第1幅图有4个五角星，第2幅图有7个五角星，第3幅图有10个五角星，…，按照此规律排列下去． (1)第5幅图中有_______个五角星，第幅图中有_______个五角星（用含的式子表示）； (2)若第幅图和第幅图中的五角星个数的和为188个，求的值． 【答案】(1)16； (2)30 【分析】本题考查用代数式表示图形变化的规律，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）观察所给图形，找出规律，并用代数式表示； （2）结合（1）中结论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1幅图中圆点的个数为：； 第2幅图中圆点的个数为：； 第3幅图中圆点的个数为：； …， 所以第幅图中圆点的个数为个． 当时，个， 即第5幅图中圆点的个数为16个． 故答案为：16；． （2）解：第幅图和第幅图中的五角星个数的和为188个， ， 解得， 所以的值为30． $ 第03 讲 整式 第03 讲 整式 1 【知识点1】整式的运算 1 【题型1】整式的运算 5 【知识点2】因式分解 7 【题型2】因式分解 9 【知识点3】代数式的概念 10 【题型3】列代数式及其求值 12 1 学科网（北京）股份有限公司 【知识点1】整式的运算 1）同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 2. 合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 3. 去括号与添括号 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 4. 整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 5. 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） 2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） 注意：幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”． 3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数） 4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数） 5）零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 6. 整式的乘除 1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 【易错易混】 ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4）单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 5）多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 7. 乘法公式 1）平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2）平方差公式的推导 ①用多项式的乘法推导平方差公式 ②通过面积法推导平方差公式： 如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到. 【补充】常见验证平方差公式的几何图形 3）完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： ① ② ③ ④ ⑤ 4）完全平方公式的推导 ①用多项式的乘法推导完全平方公式： ②通过面积法推导完全平方公式： ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到； ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到. 8. 整式的混合运算 定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【题型1】整式的运算 1．（2025·安徽淮南·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·三模）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽淮南·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·二模）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2021·安徽安庆·三模）下列计算或运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·安徽·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽马鞍山·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2024·四川雅安·一模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·安徽滁州·二模）下列各式运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 13．（14-15七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（2024·安徽·模拟预测）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 15．（2025·安徽合肥·模拟预测）下列运算中，计算正确的是（      ） A． B． C． D． 16．（2025·安徽·模拟预测）若，则m的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2025·安徽合肥·二模）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C． D．2 18．（2024·安徽蚌埠·二模）若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 19．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【知识点2】因式分解 1. 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式, 像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解, 也叫作把这个多项式分解因式. 2. 因式分解的基本方法 (1)提公因式法 公因式的概念: 多项式 ,它的各项都有一个公共的因式 ,我们把因式 叫作这个多项式各项的公因式. 提公因式法: 一般地, 如果多项式的各项有公因式, 可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法. 步骤及方法如下: 步骤 方法 举例:6 确定公因式 先确定系数,再确定字母,最后确定字母次数 公因式是 提取公因式并确定另一个因式 用原多项式除以公因式,所得的商就是提取公因式后剩下的另一个因式 (2)公式法 ①平方差公式 文字描述 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积 公式 可套用平方差公式的式子的特点 含有两部分;两部分的符号相反;每一部分的绝对值都可以写成某个数(或式子)的平方 ②完全平方公式 文字描述 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数的积的 2 倍, 等于这两个数的和(或差)的平方 公式 可套用完全平方公式的式子的特点 含有三部分;有两部分可以分别写成某个数 (或式子) 的平方,并且这两部分符号相同; 第三部分是这两个数 (或式子)乘积的±2倍 方法总结 确定公因式的步骤: 易错警示 因式分解必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止,最后的结果是乘积的形式. 例如: . 知识拓展 1. 十字相乘法: . 例如: . . 2. 分组分解法: 先将多项式分成 2 个或多个部分分别分解 (组内分解), 再考虑提公因式法或公式法整体分解 (组间分解). 例如: . 原式 . 5. 因式分解的一般步骤： 【题型2】因式分解 20．（2025·安徽阜阳·一模）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·山西太原·期中）下列因式分解中正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·安徽滁州·三模）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（  ） A． B． C． D． 23．（2025·江西·中考真题）因式分解： 24．（2025·安徽蚌埠·二模）因式分解： ． 25．（2015·广东深圳·三模）因式分解： ． 26．（2025·安徽滁州·三模）因式分解： ． 27．（2025·山东潍坊·一模）因式分解： ． 28．（2025·四川成都·二模）因式分解： ． 29．（2025·安徽合肥·三模）因式分解： ． 30．（2025·安徽淮北·三模）在实数范围内，因式分解： ． 31．（2025·安徽芜湖·一模）因式分解： ． 32．（2025·安徽池州·三模）因式分解： ． 【知识点3】代数式的概念 1.用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子, 我们称这样的式子为代数式. 例如: 都为代数式. 2. 列代数式的概念 把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来, 这就是列代数式. 例如: 原量 的 倍多 表示为 ; 原价 的八五折表示为 或 ; 每天完成的工作量为 ,则要完成 的工作量所需的天数表示为 ; 原量 增加 表示为 等. 3. 列代数式的一般步骤 一般步骤 注意事项 举例 审题 仔细分析问题中基本术语的含义 和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几、增加、增加到、减少、减少到、扩大、缩小、除、除以等 确定运算顺序 注意问题的语言叙述表示的运算顺序,一般来说,先读的先写 (1)甲、乙两数的平方和: “平方和”是指先平方,后求和,即 ; (2) 甲、乙两数和的平方: “和的平方” 是指先求和,后平方,即 字母表示 在同一问题中, 不同的数量, 必须用不同的字母表示 若甲、乙表示的数字不同，用代数式表示甲、乙两数的积减去甲、乙两数的和， 在这个问题中, 甲数和乙数必须用不同的字母来表示，即若甲数用 表示，乙数就不能用 来表示了 知识拓展 代数式中除含有数、 字母和运算符号外, 还可以有括号. 方法总结 列代数式在规律探索问题中的应用方法: (1)数式规律探索: 第一步:把所给的式子作横向和纵向比较; 第二步:观察已知的对应数值的变化, 从中发现数量关系, 即找到各部分具有的特征; 第三步:进而探究整个式子所具有的规律; (2)图形规律探索: 一般需要抓住图形数量的增减变化特点, 进行分析、猜想、归纳、验证,得出结果. 4. 代数式的书写要求 5. 代数式求值 (1)概念:一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果, 叫作代数式的值, 这个过程叫作代数式求值. (2)常见代数式求值的方法: ①直接代入法:把已知字母的值直接代入计算； ②整体代入法: 【题型3】列代数式及其求值 33．（2024·安徽·模拟预测）下列图形都是有同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为 ． 34．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 35．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，用一些完全相同的正五边形纸片依次“粘连”成一条纸带，探究纸片张数与纸带周长l的关系．设每个正五边形的边长为1.    纸片张数 1 2 3 4 5 … 纸带周长 5 8 11 14 ？ … 根据以上图表规律，解答下列问题： (1)表格中“？”处应填写______；当时，______； (2)纸带周长可能等于2025吗？请说明理由． 36．（2024·安徽淮北·三模）在由一些线段围成的封闭图形中，其顶点（线段的交点）数为m，边（相邻两点间的连线）数为n，围成的区域数为t，观察图形并解决问题： 序号 定点数m 边数n 区域数t 1 4 6 3 2 5 8 4 3 (1)把表格填写完整； (2)请写出顶点数m，边数n和区域数t之间的关系式； (3)如果一个图形的顶点数m和区域数t均为2024，求该图形的边数n． 序号 顶点数m 边数n 区域数t 1 4 6 3 2 5 8 4 3 10 15 6 37．（2024·安徽合肥·二模）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形． (1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”； (2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系． 38．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…． (1)图案5中“☆”的个数为 ； (2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示） (3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值． 39．（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 40．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 41．（2025·安徽·模拟预测）学科素养·实践探究 下列是用火柴棒拼出的图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图中共有___________根火柴，第7个图中共有___________根火柴； (2)第个图形中共有___________根火柴：（用含的式子表示） (3)请判断上组图形中前2026个图形火柴数的总和是否为2026的倍数，并说明理由． 42．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，下列图形由边长为1的小正方形按照规律排列而成，观察图形，解答下列问题： (1)完成下表： 图形的名称 小正方形的个数 图形的周长 图① 2 8 图② 5 12 图③ 9 图④ 20 … … … (2)推断第n个图形中，正方形的个数为______，周长为______； (3)求第几个图形中正方形的个数为90，并求出此图形的周长． 43．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 44．（2025·安徽合肥·一模）【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花黑色圆点和黄梅花白色圆点，组成“中国结”系列图案． 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，，第个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆，求的值． 45．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 46．（2025·安徽淮北·三模）如图，某图案是由基本图形（由一个边长为的正方形和两个边长为的等边三角形组成）拼接而成的，每个图案外围部分（实线部分）用型材料围成，内部（虚线部分）用型材料焊接． (1)第5个图案中正三角形的个数为________；第个图案中正三角形的个数为________（用含的代数式表示）． (2)第5个图案中型材料的总长为________，型材料的总长为________． (3)当一个图案所用的型材料的总长比型材料的总长多时，求这是第几个图案． 47．（2025·安徽淮北·三模）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 48．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 49．（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 50．（2025·安徽六安·三模）某数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：他们继续研究下列用白色圆点和黑色圆点组成的图案中两种圆点的个数问题． 将以上图案中两种圆点的个数统计如下表： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 …… 黑色圆点的个数 … 白色圆点的个数 … 根据以上信息，完成下列问题： (1)第6个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (2)请用含n的式子填空：第n个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (3)第几个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5？ 51．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 52．（2025·安徽宣城·二模）阅读材料，解决下列问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，…． (1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______； (2)总结：前行的点数之和为______（用含的式子表示，为正整数）； (3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球？ 53．（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“□”的个数为________． （2）第1个图案中“▲”的个数可表示为，第2个图案中“▲”的个数可表示为，第3个图案中“▲”的个数可表示为，……，第n个图案中“▲”的个数可表示为________． 【规律应用】 （3）若第n个图案中“□”比“▲”多33个，求正整数n的值． 54．（2025·安徽蚌埠·二模）我们将四个全等的菱形按图（1）所示组合的图形称为一个基本图，将此基本图复制并向右平移，使得其中一个菱形重合，得到图（2），图（3），…． (1)观察上图并完成下表： 基本图的个数 1 2 3 4 ．．． 菱形的个数 5 9 13 ①_____ ．．． 猜想：在图（n）中，菱形的个数为②_____个（用表示）； (2)如图，将图（n）放在直角坐标系中，使得第一个基本图的对称轴为直线，第二个基本图的对称轴为直线，则其中第2025个基本图的对称轴是③_____，图（2025）的对称轴为④_____． 55．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，用相同的五角星按照一定的规律拼出图形．第1幅图有4个五角星，第2幅图有7个五角星，第3幅图有10个五角星，…，按照此规律排列下去． (1)第5幅图中有_______个五角星，第幅图中有_______个五角星（用含的式子表示）； (2)若第幅图和第幅图中的五角星个数的和为188个，求的值． $第03讲整式 第03讲整式 【知识点1】整式的运算 .1 【题型1】整式的运算… .5 【知识点2】因式分解 .7 【题型2】因式分解.… 9 【知识点3】代数式的概念 .10 【题型3】列代数式及其求值… .12 知识梳理 【知识点1】整式的运算 1)同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可 2.合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 3.去括号与添括号 添（去）括号法则：括号外是“+”，添（去）括号不变号；括号外是“”，添（去）括号都变号 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 4.整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 5.幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式 1)同底数幂相乘底数不变，指数相加，即a皿a”=amn(m,n都是整数) 2)琴的乘方底数不变，指数相来，即(am）”=am(m,n都足整数) 注意：暴的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”.这里的“底数不变” 是指“暑”的底数“日”不变.例如：(d=a,其中，“幂”的底数是“a”,而不是“d”,指 数相乘是指“3X2”. 3)积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即(ab)”=a"b”(n为整 数) 4)同底数幂的除法底数不变，指数相减，即am÷a”=amn(a≠0，m,n都为整数) 5)零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a°=1(a≠0). 6.整式的乘除 1)单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在 一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式： 实质：乘法的交换律和同底数暴的乘法法则的综合应用 2)单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得 的积相加，即n(a+b+c)=1a+mb+C: 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 3)多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式湘乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每 一项，再把所得的积相加.即(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. 【易错易混】 ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不涌； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同 类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积. 4)单项式除以单项式运算法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数暴分别相除作为商的因式，对 于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式： 5)多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 相加. 2 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式 7.乘法公式 1)平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：(a+b)(a-b)=a2-b2 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右 边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反顷的平方差. 2)平方差公式的推导 ①用多项式的乘法推导平方差公式 (a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2 ②通过面积法推导平方差公式： 如图1所示，左侧涂色部分的面积为a2-b2，右侧涂色部分的面积为(a-b)(a+b),所以可以得 到(a+b)(a-b)=a2-b2 【补充】常见验证平方差公式的几何图形 图① 图② ① ② ① ② a 图③ 图④ 3)完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍 即(a±b)2=a2±2ab+b2 特点：左边是两数的和（或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减)这两数 之积的2倍 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： ①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b}+2ab@(a+b)2=(a-b)}'+4ab ③(a-b}2=(a+b)2-4ab④(a+b)}2+(a-b)2=2(ad2+b2) ⑤ (a+b)2-(a-b)=4ab 4)完全平方公式的推导 ①用多项式的乘法推导完全平方公式： (a+b)=(a+b)(a+b)=a+ab+ab+b2=a+2ab+b2 (a-b)=(a-b)(a-b)=a-ab-ab+b=a-2ab+b2 ②通过面积法推导完全平方公式： ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为(+b),它的面积还可以看成是由两个小正方 形与两个长方形的和，即a2+2b+b2,所以可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2; ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是（α一b),它的面积还可以看成是由大的正方形面 积减去两个小的长方形面积，即a2-ab-b（ab)=a2-2ab+b2，所以可以得到 (a-b)2=a2-2ab+b'. 甲 乙 8.整式的混合运算 定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中 括号，最后去大括号 高分必利 【题型1】整式的运算 1.(2025安徽淮南一模)下列计算正确的是（) A.4m3-2m=2m2B.m6÷m2=m3 C.m2.m4=m6D.(m2)3=m5 2.(2025·安徽模拟预测)下列运算正确的是（) A.-2m+(-3m)=5m B.3xy2-x2y =2xy2 C.xy2×(-2x2y)=-2x2y2 D.-10n8÷2n8=-5 3.(2025安徽合肥三模)下列运算中，结果正确的是（) A.2a2-a2=1B.2a2+a2=3a4 C.2a2.a=2a5D.(2a23=2a5 4.(2025·安徽淮南·二模)下列计算正确的是（) A.4a2-a2=4B.2a·3a=6a2 c.6a6÷a2=6a3D.(a23=a5 5.(2024安徽二模)下列各式中，计算正确的是() A.a3+a2=a4 B.m3,m2=m6 C.4m5÷2n3=2m2D.(3y3)2=9y9 6.(2025安徽模拟预测)下列计算正确的是() A.m2+m3=m5B.m3.m3=m6 C.m6÷m3=m2D.(m2)3=m8 7.(2021安徽安庆·三模)下列计算或运算中，正确的是（) A.a6÷a2=a3B.(-2a2)3=-8a3 C.(a-3)(3+a)=a2-9 D.(a-b)2=a2-b2 8.(2024安模拟预测)下列运算正确的是() 5 A.x3+x=x4 B.x2y°-3y3c.3xy2÷3x2=y2 D.x-y)2= x2-y2 9.(2025·安徽模拟预测)下列运算正确的是（) A.(mVm2=mm2B.2专=盟 C.x2y2-y2=x2D.V6×⑧=V14 10.(2025安微马鞍山三模)下列运算正确的是（) A.a2+a2=2a4B.a4.a6=a10 C.a12÷a3=a4D.(3ab)2=6a2b2 11.（2024四川雅安一模)下列运算正确的是() A.a5+a3=a8 B.2a2+3a2=5a4C.(ab)2=a2b2 D.a6÷a2=a3 12.(2025·安微滁州二模)下列各式运算结果正确的是（) A.x2+x3=x5 B.x2.x3=x6 C.x12÷x2=x6 D.(x33=x6 13.(14-15七年级上江苏泰州·阶段练习)下列计算正确的是（) A.7a+a=7a2 B.3x2y-2x2y=x2y C.5y-3y=2 D.3a+2b=5ab 14.（2024安微模拟预测)下列计算正确的是() A.a2.a1=a0 B.(-a3b)2=-ab2 C.a2+a2=a2 D.(a2)3=a6 15.(2025安微合肥模拟预测)下列运算中，计算正确的是() A.8m5÷2m=4m4B.(-2a34=-8a C.m2+m3=2m5D.(a-b)2=a2-b2 16.(2025·安徽模拟预测)若(3×3×3×3)m=92，则m的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 17.(2025安徽合肥二模)已知x+2y=5,2y-x=3,则代数式x2-4y2+2x-4y的值为（) A.9 B.-12 C.-21 D.2 18.(2024安微蚌埠·二模)若a2-2a-2024=0,则代数式2024+4a-2a2的值为（) A.2024 B.-2024 C.2025 D.-2025 19.(2024安微蚌埠.三模)若实数a、b满足a-2b+1=0,则代数式2024-2a+4b的值为(). 6 A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 【知识点2】因式分解 1.因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把 这个多项式分解因式 2.因式分解的基本方法 (1)提公因式法 公因式的概念：多项式p+pb+pc,它的各项都有一个公共的因式p,我们把因式p叫作这个多 项式各项的公因式. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因 式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 步骤及方法如下： 步骤 方法 举例：6a3b2- 4b3 确定公因式 先确定系数，再确定字母，最后确定字母次数 公因式是2b2 提取公因式并确定 用原多项式除以公因式，所得的商就是提取 6a3b2-4b3 另一个因式 公因式后剩下的另一个因式 =2b2(3a3 -2b) (2)公式法 ①平方差公式 文字描述 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积 7 公式 因式分解 a2-b2→(a+b)(a-b) 整式乘法 可套用平方差公式的式 含有两部分；两部分的符号相反；每一部分的绝对值都可以写成某 子的特点 个数（或式子）的平方 ②完全平方公式 文字描述 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数 的和（或差）的平方 公式 因式分解 a2±2ab+b (a±b)2 整式乘法 可套用完全平方公 含有三部分；有两部分可以分别写成某个数（或式子）的平方，并且这两 式的式子的特点 部分符号相同；第三部分是这两个数（或式子）乘积的±2倍 方法总结 确定公因式的步骤： 系数：取各项系 数的最大公约数 字母：取各项 中相同的字母 指数：取各项相同 字母的最低次幂 易错警示 因式分解必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止，最后的结果是乘积的形式.例如：3x一 6ay =3a(x -2y). 知识拓展 1.十字相乘法： 8 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 例如：x2+7x+12 4 x2+7x+12=(x+3)(x+4). 2.分组分解法 先将多项式分成2个或多个部分分别分解（组内分解），再考虑提公因式法或公式法整体分解（组 间分解). 例如：a2-2ab+b2-c2. 原式=(a2-2ab+b2)-c2=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c) 5.因式分解的一般步骤： 有 提取公 观察剩 两项 平方差 因式 余项 公式 观察是否 检查每个多 有公因式 项式是否都 没有 观察多 三项 完全平 分解彻底。 项式 方公式 一提 二套 三检查 高分必 【题型2】因式分解 20.(2025安徽阜阳·一模)下列因式分解正确的是（) A.2a2+4ab+2b2=2(a+b)2 B.4ab-8b=b(4a-8) C.a2-4=(a-2)2D.a2-6a+8=a(a-6)+8 21.(24-25八年级下·山西太原·期中)下列因式分解中正确的是（) A.a4-8a2+16=(a-42 B.-a2+4a-4=-(a-2)2 9 C.x(a-b)-y6-a)=(a-b)x-y)D.a4-b4=(a2+b2)(a2-b2) 22.(2025·安微滁州三模)下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（) A.mx2-m=m(x2-1) B.a3+a=a(a2+1) C.x3-2x2=x(x2-2x) D.(x-3)(x+2)=x2-x-6 23.(2025江西中考真题)因式分解：a2-a= 24.(2025安微蛛埠·二模)因式分解：a2-4ab+4b2= 25.(2015广东深圳三模)因式分解：Qx2-9a=一 26.(2025·安微滁州.三模)因式分解：-am2+4an2= 27.(2025山东潍坊一模)因式分解：Q2(x-y)+9y-x)= 28.（2025四川成都·二模)因式分解：mx2-2mx+4m= 29.（2025安微合肥三模)因式分解：3m2-9m= 30.(2025·安微淮北三模)在实数范围内，因式分解：3x2-15= 31.(2025安微芜湖.一模)因式分解：3a2b-6ab2+3b3= 32.(2025·安徽池州·三模)因式分解：m3-2m2+m= 知识梳理 【知识点3】代数式的概念 1.用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 例如：5，-ab,-x,a+b都为代数式. 2.列代数式的概念 把问题中的数量关系用含有数、字母和运算特号的式子表示出来，这就是列代数式. 例如：原量a的n倍多m表示为na+m;原价a的八五折表示为0.85a或85%a;每天完成 的工作量为a,则要完成m的工作量所需的天数表示为二；原量a增加10%表示为(1+ 10%)a等. 3.列代数式的一般步骤 10