2026年安徽中考数学一轮复习考点全突破 第2讲实数的运算

☒02 ☒☒ 第02讲实数的运算. .1 【知识点1】比较实数的大小…。 1 【题型1】实数的大小比较.… .2 【知识点2】平方根、算术平方根、立方根 .4 【题型2】平方根、算术平方根、立方根… 6 【知识点3】实数的分类： .7 【知识点4】实数的运算… 8 【题型3】实数的运算。 .11 【题型4】数与式规律探索. .12 知识梳理 【知识点1】比较实数的大小 1)法则比较法 一般地，正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.异号两数比较 大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值 例如：-1和-2.5比较大小：|-1川<|-2.5引→-1>-2.5. 2)数轴比较法：在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的 顺序，即左边的数小于右边的数 例如：如图，-3<-2<-1<0<1<2<3. -3-2 -10123 3)作差比较法：a,b是任意两个实数，若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b. 4)作商比较法：a、b为正数，若1，则a>b;若1，则a=b;若1，则a<b 5)倒数比较法： 已知a,正，0若甘则a<a②若甘则：合③若甘则a>0 a b' a b 6)平方比较法：a、b为正数，若a2>b2,则a>b.a、b为负数，若a2>b2,则a<b. 【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小， 7)特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小这里需要我们记住三 个常用的近似值：√2≈1.414，V3≈1.732，V5≈2.236 【题型1】实数的大小比较 1.(2025·安微蚌埠模拟预测)下列四个实数中，最大的是（) A.-2025 B.-π c.号 D.6 2.(2025·安微淮北一模)下列四个实数中，最大的是() A.-3 B.- C.-V2 D.-元 3.(2025安微二模)下列各数中，最大的是（) A.V2 B.0 C.-2025 D.|-1川 4.(2025安徽宣城一模)下列各数中，绝对值最大的是() A.-5 B.0 C.2 D.-√5 5.(2025安徽合肥二模)在实数-1，-5,0，V3四个数中，最小的是() A.-1 B.-5 C.0 D.3 6.(2025安徽安庆·三模)在实数-π，-3,0，-√2四个数中，最小的是（) A.- B.-3 C.0 D.-V2 7.(2025安徽毫州三模)下面四个实数中，最小的是（) A.3 B.-3 C.π D.-2 8.(2025安徽马鞍山三模)-2,0,2，-5中，最小的是（) A.-2 B.0 C.2 D.-5 2 9.(2024安徽安庆·二模)在实数-π，-3,0，V2四个数中，最小的是（) A.-π B.-3 C.2 D.0 10.(2024:安微合肥一模)在实教1，-1,0，-这四个数中，最小的是（) A.1 B.-1 C.0 D.-0 11.(2025安微模拟预测)下列各数中，比-2小的是（) A B.-π C.-1 D.0 12.(2025安微芜湖·三模)下列实数比-1小的是（) A.3 B.0 c.-月 D.- 13.(2025安微宿州三模)下列实数比0小的是() A.-3 B.0 C.3 D. 14.（2025·安微淮北三模)下列各数中，比-5小1的数是（） A.-6 B.-4 C.4 D.6 15.(2025·安微合肥一模)比较大小7-1 (境>，=，支<) 16.(2025安徽芜湖三模)比较下列实数的大小（填“>"<”或“=”）：-V26-5. 17.(2025安微芜湖·二模)黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21， 34,55随着项数的增加，相邻两数之问的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小：5 2 是（频 “>”，“<”或“=”) 18.(2025·安徽合肥·二模)我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的 一种实教的有理通近算法，使用一次“调日法”计算V5的一个更为精确的近似分教为 .请比较大小：5一 器 (填“>”或“<") 19.(2025·安微滁州三模)我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等 于月长平方除以12.而现代根招国的月长C=2m推号出的面积公式5-会当C>0时，比校大小：号 君（或< 20.(2025安微合肥一模)比较大小：√5-23-√5（填“”或“<”）. 3 21.(2025安徽淮南二模)比较大小：-（-2)3一--9（填“<">”或”=”） 22.(2025安微涂州二模)比较大小：V5一（填“>”或“<”）. 【知识点2】平方根、算术平方根、立方根 算术平方根与平方根的区别和联系 算术平方根 平方根 概念 一般地，如果一个正数x的平 一般地，如果一个数的 方等于a,即x2=a,那么这个 平方等于a,那么这个 正数x叫作a的算术平方根. 数叫作a的平方根或 规定：0的算术平方根是0 二次方根 表示方法 va 士Va 读法 根号a 正、负根号a 个数 1个 2个 举例 16的算术平方根是4，即 49的平方根是±7 16=4 取值范围 正数的算术平方根一定为正数 正数的平方根为一正 一负，且互为相反数 求法 开平方后取非负的平方根 开平方 联系 (1)平方根中包含了算术平方根，平方根中正的那一个即为算术 平方根；(2)只有非负数才有平方根和算术平方根，并且非负数的 算术平方根只有一个；(3)平方根等于它本身的数是0，算术平方 根等于它本身的数是0和1 1.Va具有双重非负性： (1)被开方数a≥0； (2)其本身非负，即Va≥0. 2.√既表示一种运算，又表示一个运算结果.当表示一个运算时，就是求的算术平方根；当表示 运算结果时，就是指a的算术平方根为√a 2.立方根的概念 一般地，如果一个数的立方等于a,那么这个数叫作a的立方根或三次方根，这就是说，如果x3=a, 那么x叫作a的立方根，用符号“a”表示，读作“三次根号a” 例如：求27的立方根.27=33，.27的立方根是3. 立方根 根指数→→被开方数 3.立方旅的性质 (1)正数的立方根是正数； (2)负数的立方根是负数； (3)0的立方根是0； (4)任何实数都只有一个立方根，其符号与被开方数相同； (5)立方根等于本身的数是0，+1. 4.开平方、开立方 开平方：求一个数的平方根的运算 开立方：求一个数的立方根的运算。 例如：8开立方为8=2. 5 高分必刷 【题型2】平方根、算术平方根、立方根 23.(2025安微·模拟预测)若Vx-1与-2互为相反数，则x的值是() A.1 B.2 C.5 D.-5 24.(2015湖北黄石一模)√9的值为（) A.±3 B.3 C.-3 D.9 25.(2020安微合肥.二模) V16 的平方根是() A. c.± D. 26.(2011四川泸州.中考真题)化简： V(-2)2= 27.(2025安微一模)计算：1-V5= 28.(2024安微池州三模)计算：√4+|-3引= 29.16的平方根是 30.81的平方根是 31.(2024安微模拟预测)8的平方根为，√64的立方根为 32.(2022安徽三模)已知x+1的平方根是士2，则x的值为 33.(2024安徽模拟预测)计算：8-2= 34.(2025安微二模)计算：-8-V5-3+(3.14-π)°= 35.(2025·安微模拟预测)给出一种运算：对于函数y=x”,规定y=nx1-1.例如：若函数y=x，则有 y=3x2.已知函数y=x4,若y=32,则x的值为 36.(2025安微阜阳·三模)计算：27+1= 37.(2025安微安庆三模)计算：8+（目-— 38.(2025安徽合肥二模)计算：(-2)°+V一27= 6 知识梳理 【知识点3】实数的分类 (1)按定义划分： 正整数 整数0 有理数 负整数 实数 正分数 分数 有限小数或无限循环小数 负分数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 考法解读 常在选填题中考查，多为①直接估计无理数在哪两个相邻整数之间（一般地，被开方数不超过50； ②判断无理数离哪个整数最近或判断无理数的小数或整数部分；③结合数轴，表示无理数的，点在 数轴上的位置。 新考法解读 本题以结论开放的形式考查无理数的估值，和常规考法不同的是答案不唯一，给学生留了答题的空 间；同时答案又是有限个，不会给阅卷造成负担 方法总结 常见无理数的四种形式：(1)开方开不尽的数.例如：√2，V5,5等 (2)化简后含有根式或部分三角函数值.例如：si60°，tan30°等.注：带根号的数不一定是无理数，例 如：√9，⑧是有理数 (3)有规律但不循环的无限小数. 例如：0.1010010001.（相邻两个1之间依次多一个0）等 (4)n及化简后含π的数 7 例如：乏π+3等 (2)按大小划分： 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数 实数0 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 5.无理数的估值 先对二次根式平方 例：(7)2=7 找出与平方后所得数字相邻 的两个开得尽方的整数 4<7<9 对以上两个整数开方 N4<7<g 确定这个根式的值在开方后 所得的两个整数之间 2<7<3 【知识点4】实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除除数不为 0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时， 有理数的运算法则及性质等同样适用. 1.实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝 对值. 2.实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数 3.实数的乘方法则：1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2)任何数同0相乘，都得0. 【补充】1)正数的任何次幂都是正数；2)0的任何正整数次幂都是0；3)负数的奇次幂是负数， 负数的偶次幂是正数 4.实数的除法法则：1)除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2)0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的 运算， 6.运算律 类别 表示 加法交换律 a+b=b+a 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 【易混易错】 1.有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交 换律、乘法结合律、乘法分配律。 2.在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号， 1.实数的运算 (1)运算法则 在进行实数运算时，有理数的加减乘除以及乘方运算和运算性质同样适用于实数. 注：有理数的加减乘除详见P7,有理数的乘方详见P9. (2)常见的实数运算： 0次幂 a0=1(a≠0) 负整数指数幂 ap=(a≠0，p为正整教)，特别地，a1=(a≠0)（注：指数的符号与 结果的正负无关) 1的奇偶次幂 (-10”= 1(血为偶数)如(-1)2024=1 -1(n为奇数)，如(-1)2025=-1 去绝对值符号 (a-b(a>b) la-bl 0(a=b),先通过大小比较判断a-b的符号，再利用绝对 (b-a(a<b) 值的非负性去绝对值符号 常见开方数 V4=2,V8=2W2,V9=3,V12=2V3,V16=4,V25=5,8=2,V-8 =-2,64=4 特殊角的三角 sin30°=c0s60°=sim45°=c0s45-号，sin60°=6os30°-号 2 函数值 tan0°-9：tam45=1a60=Vg 自我总结 2.实数运算的顺序 (1)先计算每一小项的值，如0次暴、负整数指数幂、去绝对值符号、特殊角的三角函数值、开方 等； 第02讲 实数的运算 第02讲 实数的运算 1 【知识点1】比较实数的大小 1 【题型1】实数的大小比较 2 【知识点2】平方根、算术平方根、 立方根 4 【题型2】平方根、算术平方根、 立方根 6 【知识点3】实数的分类 7 【知识点4】实数的运算 8 【题型3】实数的运算 11 【题型4】数与式规律探索 12 1 学科网（北京）股份有限公司 【知识点1】比较实数的大小 1）法则比较法 一般地，正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小. 异号两数比较大小,要考虑它们的正负; 同号两数比较大小,要考虑它们的绝对值. 例如: -1 和 -2.5 比较大小: . 2）数轴比较法：在水平的数轴上表示有理数, 数学中规定: 它们从左到右的顺序, 就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数. 例如:如图, . 3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b. 4）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b 5）倒数比较法： 6）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a<b. 【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小. 7）特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 【题型1】实数的大小比较 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B． C． D．6 2．（2025·安徽淮北·一模）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·二模）下列各数中，最大的是（    ） A． B．0 C． D． 4．（2025·安徽宣城·一模）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·二模）在实数，，，四个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽安庆·三模）在实数，，，四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽亳州·三模）下面四个实数中，最小的是（    ） A．3 B． C． D． 8．（2025·安徽马鞍山·三模），0，2，中，最小的是（   ） A． B．0 C．2 D． 9．（2024·安徽安庆·二模）在实数，，0，四个数中，最小的是（   ） A． B． C． D．0 10．（2024·安徽合肥·一模）在实数1，，0，这四个数中，最小的是（    ） A．1 B． C．0 D． 11．（2025·安徽·模拟预测）下列各数中，比小的是（    ） A． B． C． D．0 12．（2025·安徽芜湖·三模）下列实数比小的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·安徽宿州·三模）下列实数比0小的是（   ） A． B．0 C．3 D． 14．（2025·安徽淮北·三模）下列各数中，比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．6 15．（2025·安徽合肥·一模）比较大小 （填＞，＝，或＜） 16．（2025·安徽芜湖·三模）比较下列实数的大小（填“”“”或“”）： ． 17．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 18．（2025·安徽合肥·二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 19．（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 20．（2025·安徽合肥·一模）比较大小： （填“>”或“<”）． 21．（2025·安徽淮南·二模）比较大小： （填“”“”或“”）． 22．（2025·安徽滁州·二模）比较大小： （填“”或“”）． 【知识点2】平方根、算术平方根、 立方根 算术平方根与平方根的区别和联系 算术平方根 平方根 区别 概念 一般地,如果一个正数 的平方等于 ,即 ,那么这个正数 叫作 的算术平方根. 规定:0的算术平方根是 0 一般地，如果一个数的平方等于 ,那么这个数叫作 的平方根或二次方根 表示 方法 读法 根号 正、负根号 个数 1 个 2 个 举例 16 的算术平方根是 4，即 49 的平方根是±7 取值范围 正数的算术平方根一定为正数 正数的平方根为一正一负, 且互为相反数 求法 开平方后取非负的平方根 开平方 联系 (1)平方根中包含了算术平方根，平方根中正的那一个即为算术平方根; (2)只有非负数才有平方根和算术平方根，并且非负数的算术平方根只有一个; (3)平方根等于它本身的数是 0，算术平方根等于它本身的数是 0 和 1 1. 具有双重非负性: (1)被开方数 ； (2)其本身非负，即 . 2. 既表示一种运算，又表示一个运算结果. 当表示一个运算时,就是求 的算术平方根; 当表示运算结果时,就是指 的算术平方根为 . 2. 立方根的概念 一般地,如果一个数的立方等于 ,那么这个数叫作 的立方根或三次方根,这就是说,如果 ,那么 叫作 的立方根,用符号 “ ” 表示, 读作“三次根号 ”. 例如: 求 27 的立方根. 的立方根是 3 . 立方根 根指数 被开方数 3. 立方根的性质 (1)正数的立方根是正数； (2)负数的立方根是负数； (3)0 的立方根是0 ； (4)任何实数都只有一个立方根，其符号与被开方数相同； (5)立方根等于本身的数是 0，+1. 4. 开平方、开立方 开平方: 求一个数的平方根的运算. 开立方: 求一个数的立方根的运算. 例如: 8 开立方为 . 【题型2】平方根、算术平方根、 立方根 23．（2025·安徽·模拟预测）若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．5 D． 24．（2015·湖北黄石·一模）的值为（    ） A． B．3 C． D．9 25．（2020·安徽合肥·二模）的平方根是（　　） A． B． C． D． 26．（2011·四川泸州·中考真题）化简： ． 27．（2025·安徽·一模）计算： ． 28．（2024·安徽池州·三模）计算： ． 29．16的平方根是 ． 30．81的平方根是 ． 31．（2024·安徽·模拟预测）的平方根为 ，的立方根为 ． 32．（2022·安徽·三模）已知的平方根是，则x的值为 ． 33．（2024·安徽·模拟预测）   计算： ． 34．（2025·安徽·二模）计算：= 35．（2025·安徽·模拟预测）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，若，则的值为 ． 36．（2025·安徽阜阳·三模）计算： ． 37．（2025·安徽安庆·三模）计算： ． 38．（2025·安徽合肥·二模）计算： ． 【知识点3】实数的分类 (1)按定义划分: 考法解读 常在选填题中考查, 多为①直接估计无理数在哪两个相邻整数之间(一般地，被开方数不超过 50 )；②判断无理数离哪个整数最近或判断无理数的小数或整数部分；③ 结合数轴, 表示无理数的点在数轴上的位置. 新考法解读 本题以结论开放的形式考查无理数的估值, 和常规考法不同的是答案不唯一, 给学生留了答题的空间; 同时答案又是有限个, 不会给阅卷造成负担. 方法总结 常见无理数的四种形式: (1)开方开不尽的数. 例如: 等. (2)化简后含有根式或部分三角函数值. 例如: 等. 注:带根号的数不一定是无理数，例如:. 是有理数. (3)有规律但不循环的无限小数. 例如: 0.1010010001... (相邻两个 1 之间依次多一个0)等. (4)π及化简后含 的数. 例如: 等. (2)按大小划分: 5. 无理数的估值 【知识点4】实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 6.运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 【易混易错】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 1. 实数的运算 (1)运算法则 在进行实数运算时, 有理数的加减乘除以及乘方运算和运算性质同样适用于实数. 注:有理数的加减乘除详见 ，有理数的乘方详见 . (2)常见的实数运算: 0 次幂 负整数指数幂 ,特别地, (注:指数的符号与结果的正负无关) -1 的奇偶次幂 去绝对值符号 ,先通过大小比较判断 的符号, 再利用绝对值的非负性去绝对值符号 常见开方数 特殊角的三角函数值 自我总结 2. 实数运算的顺序 (1)先计算每一小项的值，如 0 次幂、负整数指数幂、去绝对值符号、特殊角的三角函数值、开方等; (2)再根据实数的运算顺序计算:先乘除，后加减；有括号时先计算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行运算； (3)得出最终结果. 助记口诀 实数运算不要慌， 有理法则来帮忙. 运算首先开、乘方， 乘除加减后开张. 同级运算左到右, 括号先算不多想. 【题型3】实数的运算 39．（2025·安徽淮南·二模）计算： ． 40．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算： ． 41．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）计算： ． 42．（2025·安徽蚌埠·三模）计算： 43．（2025·江苏·中考真题）计算： ． 44．（2025·安徽黄山·模拟预测）计算： ． 45．（2025·安徽合肥·二模）计算： ． 46．（2025·广东汕头·一模）计算： ． 47．（2025·安徽安庆·模拟预测）计算： ． 48．（2024·安徽·模拟预测）计算：． 49．（2025·安徽淮南·一模）计算：． 50． （2021·安徽安庆·三模）计算：． 【题型4】数与式规律探索 51．（2023·安徽宣城·二模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，回答下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 52．（2025·安徽宿州·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________． (2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示）．并证明． 53．（2025·安徽安庆·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式用含n的等式表示，并证明其正确性． 54．（2024·安徽·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：； 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______ (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 55．（2025·安徽滁州·二模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 56．（2024·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） 57．（2024·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）； (3)计算：． 58．（2025·安徽滁州·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式∶ ． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 59．（2025·安徽芜湖·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 60．（2025·安徽宣城·二模）观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式：________________． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 61．（2025·安徽安庆·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 62．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 63．（2025·安徽·一模）观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 64．（2025·安徽淮北·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 65．（2025·安徽滁州·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 66．（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 67．（2025·安徽芜湖·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： …． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_______； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明． 68．（2024·安徽池州·三模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 69．（2022·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 根据上述规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 70．（2023·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)利用你发现的规律可知_______；（填具体数字） (2)写出第（为正整数）个等式：_______， (3)计算的值． $ 第01讲 实数的运算 第01讲 实数的运算 1 【知识点1】比较实数的大小 1 【题型1】实数的大小比较 2 【知识点2】平方根、算术平方根、 立方根 11 【题型2】平方根、算术平方根、 立方根 13 【知识点3】实数的分类 18 【知识点4】实数的运算 20 【题型3】实数的运算 23 【题型4】数与式规律探索 26 1 学科网（北京）股份有限公司 【知识点1】比较实数的大小 1）法则比较法 一般地，正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小. 异号两数比较大小,要考虑它们的正负; 同号两数比较大小,要考虑它们的绝对值. 例如: -1 和 -2.5 比较大小: . 2）数轴比较法：在水平的数轴上表示有理数, 数学中规定: 它们从左到右的顺序, 就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数. 例如:如图, . 3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b. 4）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b 5）倒数比较法： 6）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a<b. 【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小. 7）特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 【题型1】实数的大小比较 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了实数大小比较，解题关键是将所给的数排序． 先将四个数从小到大排序，再找出最大即可． 【详解】解：将，，，6，从小到大排列为<<<6， 所以最大的是6， 故选：D． 2．（2025·安徽淮北·一模）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握绝对值越大的负数本数越小成为解题的关键． 根据实数的大小比较方法即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 3．（2025·安徽·二模）下列各数中，最大的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小． 据此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴最大的数为， 故选：A． 4．（2025·安徽宣城·一模）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的意义，计算出各项的绝对值，然后再比较大小即可． 【详解】解：，，，，， 的绝对值最大， 故选：A． 5．（2025·安徽合肥·二模）在实数，，，四个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：B． 6．（2025·安徽安庆·三模）在实数，，，四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的大小比较， 比较四个实数的大小，需先明确负数绝对值越大，数值越小判断即可． 【详解】解：， ， ， 故最小的数是． 故选：A． 7．（2025·安徽亳州·三模）下面四个实数中，最小的是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴四个实数中，最小的是， 故选：B． 8．（2025·安徽马鞍山·三模），0，2，中，最小的是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较．根据有理数大小比较法则，正数负数，比较两个负数大小时利用取绝对值的方法比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴四个数的大小关系为：， 故选：D． 9．（2024·安徽安庆·二模）在实数，，0，四个数中，最小的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】此题考查了实数的大小比较，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答． 根据实数大小比较的规则即可求出答案． 【详解】解：，， 四个数中，最小的是； 故选：A． 10．（2024·安徽合肥·一模）在实数1，，0，这四个数中，最小的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．本题考查了有理数的大小比较． 【详解】解：， 最小的数是：． 故选：B． 11．（2025·安徽·模拟预测）下列各数中，比小的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了实数大小的比较，根据实数大小的比较方法，即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 12．（2025·安徽芜湖·三模）下列实数比小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 首先根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，可排除A、B选项，然后比较和与的大小即可． 【详解】解：∵， ∴实数比小的是， 故选：D． 13．（2025·安徽宿州·三模）下列实数比0小的是（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数比较大小，掌握实数大小的比较是关键． 根据正数大于0，0大于负数即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴实数比0小的是， 故选：A ． 14．（2025·安徽淮北·三模）下列各数中，比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，有理数的加减运算． 有理数大小比较的法则∶正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解∶ A． ， 比小1，故符合题意； B． ， 比大1，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选∶A． 15．（2025·安徽合肥·一模）比较大小 （填＞，＝，或＜） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查实数的大小比较，先求出，再得到，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故答案为：＜． 16．（2025·安徽芜湖·三模）比较下列实数的大小（填“”“”或“”）： ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的性质以及算术平方根的性质，熟练掌握不等式的性质以及算术平方根的性质是解决本题的关键． 根据算术平方根的性质，由，得，然后根据不等式的性质，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 17．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割数，实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值是解题的关键． 分别运算出两数的近似值再作比较即可． 【详解】解：∵黄金分割数，， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（2025·安徽合肥·二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的大小比较，先计算，，再结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， 故答案为： 19．（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算、实数的大小比较，先估算，再利用比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2025·安徽合肥·一模）比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，不等式的性质，利用作差法得到，再证明即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（2025·安徽淮南·二模）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、乘方运算、有理数的大小比较，先计算，再比较大小即可，正确计算、比较大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， 故答案为：． 22．（2025·安徽滁州·二模）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：； 故答案为：． 【知识点2】平方根、算术平方根、 立方根 算术平方根与平方根的区别和联系 算术平方根 平方根 区别 概念 一般地,如果一个正数 的平方等于 ,即 ,那么这个正数 叫作 的算术平方根. 规定:0的算术平方根是 0 一般地，如果一个数的平方等于 ,那么这个数叫作 的平方根或二次方根 表示 方法 读法 根号 正、负根号 个数 1 个 2 个 举例 16 的算术平方根是 4，即 49 的平方根是±7 取值范围 正数的算术平方根一定为正数 正数的平方根为一正一负, 且互为相反数 求法 开平方后取非负的平方根 开平方 联系 (1)平方根中包含了算术平方根，平方根中正的那一个即为算术平方根; (2)只有非负数才有平方根和算术平方根，并且非负数的算术平方根只有一个; (3)平方根等于它本身的数是 0，算术平方根等于它本身的数是 0 和 1 1. 具有双重非负性: (1)被开方数 ； (2)其本身非负，即 . 2. 既表示一种运算，又表示一个运算结果. 当表示一个运算时,就是求 的算术平方根; 当表示运算结果时,就是指 的算术平方根为 . 2. 立方根的概念 一般地,如果一个数的立方等于 ,那么这个数叫作 的立方根或三次方根,这就是说,如果 ,那么 叫作 的立方根,用符号 “ ” 表示, 读作“三次根号 ”. 例如: 求 27 的立方根. 的立方根是 3 . 立方根 根指数 被开方数 3. 立方根的性质 (1)正数的立方根是正数； (2)负数的立方根是负数； (3)0 的立方根是0 ； (4)任何实数都只有一个立方根，其符号与被开方数相同； (5)立方根等于本身的数是 0，+1. 4. 开平方、开立方 开平方: 求一个数的平方根的运算. 开立方: 求一个数的立方根的运算. 例如: 8 开立方为 . 【题型2】平方根、算术平方根、 立方根 23．（2025·安徽·模拟预测）若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质．根据相反数的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选：C 24．（2015·湖北黄石·一模）的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根； 根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 25．（2020·安徽合肥·二模）的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：＝，的平方根是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定义． 26．（2011·四川泸州·中考真题）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．根据算术平方根定义，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 27．（2025·安徽·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，求算术平方根． 先计算算术平方根，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 28．（2024·安徽池州·三模）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义和绝对值的性质． 分别计算算术平方根和绝对值，再将结果相加． 【详解】解： ， 故答案为：5． 29．（22-23八年级上·陕西西安·期中）16的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．根据平方根的定义计算得出结论． 【详解】解：∵， ∴ 16的平方根是 ． 故答案为：． 30．（2013·江苏泰州·二模）81的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的知识，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴81的平方根是， 故答案为：． 31．（2024·安徽·模拟预测）的平方根为 ，的立方根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根及平方根的知识．解题的关键是掌握立方根及平方根的定义，属于基础题． 根据平方根及立方根的定义，进行解答即可． 【详解】解：的平方根是， ，的立方根为． 故答案为：、． 32．（2022·安徽·三模）已知的平方根是，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵x+1的平方根是±2， ∴x+1=4， ∴x=3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了平方根的定义，一个整数的平方根有两个，它们互为相反数． 33．（2024·安徽·模拟预测）   计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根的定义，若一个数x，满足，则x就是a的立方根，据此求出，再计算减法即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 34．（2025·安徽·二模）计算：= 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根的定义、绝对值的性质和零指数幂分别运算，再相加减即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 35．（2025·安徽·模拟预测）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查解求一个数的立方根、以及对新定义的理解，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用解方程的方法解答． 根据题目中的新定义，可以得到相应的方程，从而可以求得相应的x的值． 【详解】解：由题意得， ， 解得， 故答案为：． 36．（2025·安徽阜阳·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 37．（2025·安徽安庆·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根的定义和负整数指数幂分别运算，再相加即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 38．（2025·安徽合肥·二模）计算： ． 【答案】 【分析】首先计算零指数幂和立方根，然后计算加减即可． 此题考查了零指数幂和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 【知识点3】实数的分类 (1)按定义划分: 考法解读 常在选填题中考查, 多为①直接估计无理数在哪两个相邻整数之间(一般地，被开方数不超过 50 )；②判断无理数离哪个整数最近或判断无理数的小数或整数部分；③ 结合数轴, 表示无理数的点在数轴上的位置. 新考法解读 本题以结论开放的形式考查无理数的估值, 和常规考法不同的是答案不唯一, 给学生留了答题的空间; 同时答案又是有限个, 不会给阅卷造成负担. 方法总结 常见无理数的四种形式: (1)开方开不尽的数. 例如: 等. (2)化简后含有根式或部分三角函数值. 例如: 等. 注:带根号的数不一定是无理数，例如:. 是有理数. (3)有规律但不循环的无限小数. 例如: 0.1010010001... (相邻两个 1 之间依次多一个0)等. (4)π及化简后含 的数. 例如: 等. (2)按大小划分: 5. 无理数的估值 【知识点4】实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 6.运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 【易混易错】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 1. 实数的运算 (1)运算法则 在进行实数运算时, 有理数的加减乘除以及乘方运算和运算性质同样适用于实数. 注:有理数的加减乘除详见 ，有理数的乘方详见 . (2)常见的实数运算: 0 次幂 负整数指数幂 ,特别地, (注:指数的符号与结果的正负无关) -1 的奇偶次幂 去绝对值符号 ,先通过大小比较判断 的符号, 再利用绝对值的非负性去绝对值符号 常见开方数 特殊角的三角函数值 自我总结 2. 实数运算的顺序 (1)先计算每一小项的值，如 0 次幂、负整数指数幂、去绝对值符号、特殊角的三角函数值、开方等; (2)再根据实数的运算顺序计算:先乘除，后加减；有括号时先计算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行运算； (3)得出最终结果. 助记口诀 实数运算不要慌， 有理法则来帮忙. 运算首先开、乘方， 乘除加减后开张. 同级运算左到右, 括号先算不多想. 【题型3】实数的运算 39．（2025·安徽淮南·二模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先计算的化简结果和的值，然后相减． 【详解】解：． 故答案为：． 40．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 41．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，负整数指数幂，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法运算法则和负整数指数幂求解即可． 【详解】解：， 故答案为：0． 42．（2025·安徽蚌埠·三模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 首先计算有理数的乘方，然后计算加法即可． 【详解】 ． 故答案为：． 43．（2025·江苏·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 44．（2025·安徽黄山·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方． 先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，再计算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 45．（2025·安徽合肥·二模）计算： ． 【答案】10 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，直接利用负整数指数幂和零指数幂的性质化简，进而计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：10． 46．（2025·广东汕头·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，先计算算术平方根，零指数幂，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 47．（2025·安徽安庆·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、算术平方根运算，先计算乘方运算，再计算算术平方根，最后由有理数加法运算法则求解即可得到答案．熟练掌握乘方运算、算术平方根运算是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 48．（2024·安徽·模拟预测）计算：． 【答案】5 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算平方根，算术平方根和绝对值，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 49．（2025·安徽淮南·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的混合运算，二次根式的性质，零次幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先化简绝对值，利用二次根式的性质化简，零次幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解：原式． 50．（2021·安徽安庆·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 【题型4】数与式规律探索 51．（2023·安徽宣城·二模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，回答下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律、分式的加减运算等知识点，观察各个等式并从中找到规律成为解题的关键． （1）仿照提供的算式写出第5个算式即可； （2）根据规律归纳出第个等式（用含的式子表示），然后运用分式的加减运算法则证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 故答案为：． （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． …… 第n个等式：． 证明： ． 52．（2025·安徽宿州·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________． (2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示）．并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，分式的加减，解题关键是能找出规律并用字母表示出来． （1）观察前面的几个式了，从中发现规律，写出第5个等式； （2）观察前面的几个式了，从中发现规律，用字母表示出第n个等式，再利用分式的运算证明等式成立． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：． ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）第n个等式：， 证明：右边左边． 故答案为：． 53．（2025·安徽安庆·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式用含n的等式表示，并证明其正确性． 【答案】(1) (2)第n个等式：，证明见解析 【分析】本题考查规律型：数字的变化规律，列代数式，解题的关键是找到规律，正确计算． 观察已知等式结构，发现左边分数相乘等于右边的差；分子、分母的变化规律，确定分子为奇数序列，分母为等差数列； 归纳通项公式，通过代数推导验证猜想． 【详解】（1）根据规律，第n个等式左边为， 右边为， 当时：左边分子：，分母分别为4和，即， 右边为， 第4个等式为：； 故答案为：； （2）第n个等式为：， 验证：左边：， 右边：， 两边相等，猜想成立． 54．（2024·安徽·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：； 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______ (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律，分式的运算,解题的关键是从等式中找出规律． （1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后根据分式的运算证明猜想． 【详解】（1）解：根据题意得，第5个等式为：． 故答案为： （2）解：第n个等式为：， 证明：． 55．（2025·安徽滁州·二模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，积的乘方运算，了解等式的特点，是解题关键． （1）根据题目中等式的特点，写出第7个等式即可； （2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再分别计算等式左边和右边，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； ∴第7个等式：. （2）解：猜想：； 证明如下：左边， 右边， ∴左边右边， ∴成立. 56．（2024·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）根据题目中给出的等式寻找规律得到每一部分的规律总结出整个式子的规律，通过规律即可得到第5个等式； （2）根据上面得到的规律，将规律数替换成n，使之由特殊到一般规律即可； 本题考查了数与代数式中的规律，读懂题意，找出等量关系以及利用整式的乘法公式进行化简证明是解题的关键． 【详解】（1）解：第5个等式：； 故答案为： （2）解：猜想：， 证明：左边 右边． 57．（2024·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)1348 【分析】本题主要考查了数式的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律，并能灵活运用规律解题． （1）根据规律进行列出等式即可； （2）根据规律总结出代数式即可； （3）利用总结出的规律进行计算． 【详解】（1）解：根据所给出的例式得，， 故答案为：； （2）解：； （3）解： ． 58．（2025·安徽滁州·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式∶ ． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)猜想第n个等式为，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第n个等式，用字母表示出所得的规律即可． 【详解】（1）解∶通过观察前面式子可得： ， 故答案为：； （2）解：猜想第n个等式为 ． 证明∶ ． 59．（2025·安徽芜湖·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，从给定的等式中抽象出相应的规律，是解题的关键： （1）根据给定的等式，进行作答即可； （2）根据给出的等式，猜想出第个等式，根据分式的加法运算，进行证明即可． 【详解】（1）解：第5个等式为． （2）第n个等式为：． 证明：左式右式， 猜想成立． 60．（2025·安徽宣城·二模）观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式：________________． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查数字规律探究、列代数式，整式的运算； （1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 第5个等式是； 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式：， 证明：∵左边 右边． 61．（2025·安徽安庆·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律． （1）根据题意写出第个算式即可． （2）根据规律写出第n个等式，然后利用完全平方公式，平方差公式证明左边右边即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则第5个等式为：； 故答案为：； （2）第n个等式为：． 证明：左边， 右边， 左边右边， 原等式成立． 62．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2）解：第n个等式： ； ． 63．（2025·安徽·一模）观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 根据前个等式的规律可知，第个等式应是，可得等式：； 由中的规律可知，第个等式应是，分别把等式左边、右边的分式化简，可得结果都为，即可证明等式成立． 【详解】（1）解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 根据规律可得，第6个等式：； 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：左边， ， 左边右边， 故猜想成立． 64．（2025·安徽淮北·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了分式的规律性问题，异分母分式加减法，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据上述等式可知，第一个加数的分子比分母大2，第二个加数是第一个加数的倒数，减数是2，等式右边是两个分母倒数差的2倍，据此写出第5个等式即可； （2）根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式为， 故答案为：； （2）解：猜想：； 证明如下： 等式左边 ， 等式右边， 等式左边=等式右边， 猜想成立． 65．（2025·安徽滁州·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1)；（2） (2)，见解析 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知等式即可得第5个等式； （2）结合（1）即可得第n个等式，然后通过计算左边等于右边即可证明． 【详解】（1）解：根据已知等式可知，第5个等式: ，故答案为：； （2）解：第n个等式: 证明：左边 右边， 故猜想成立 66．（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，分式的加法计算，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据题目中等式的特点，可以写出第6个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 第6个等式：． （2）解：猜想第n个等式为，证明如下： 等式左边，∴此时等式左右两边相等，即等式成立． 67．（2025·安徽芜湖·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： …． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_______； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的规律变化，分式的加减运算；通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． （1）依次观察每个等式，可以发现规律：等式左边为从3开始的连续的奇数减去一个分子为序号、分母比分子大1的数，等号的右边为1加上分子为等式左边的奇数乘以序号的数；按照此规律即可求解； （2）把上面发现的规律用字母表示出来，并运用分式的加减运算法则计算等式左右两边，进而得到左右相等便可． 【详解】（1）解：第6个等式：， 故答案为：． （2）解：猜想第n个等式： 证明：∵左边 右边 右边， ∴． 故答案为：． 68．（2024·安徽池州·三模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查数字的变化类、整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． （1）根据题目中等式的特点，可以写出第4个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）第4个等式是：， 故答案为：； （2）第n个等式：． 证明：右边， ， ， ， ， ∴左边＝右边， ∴等式成立． 69．（2022·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 根据上述规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，完全平方公式，总结出等式左边的变化规律是解本题的关键． （1）根据规律直接写出第五个等式即可； （2）归纳规律写出第n个等式，检验等式左边等于等式右边恒等，可证明式子成立． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 故答案为：． （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； ∴． 证明：左边， 右边 ∴左边右边， 等式成立． 70．（2023·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)利用你发现的规律可知_______；（填具体数字） (2)写出第（为正整数）个等式：_______， (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）根据所给的式子可得，计算即可； （2）根据题目已知式子写出第个（n为正整数）等式； （3）利用（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） （3） ． $