精品解析：河南省南阳市镇平县2025-2026学年期中考试九年级数学试卷

2025年秋期九年级学业质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小明从家出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的是（ ） A. 向北偏西行走400米 B. 向南偏东行走400米 C. 向南偏东行走400米 D. 向南偏西行走600米 3. 如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为的顶点均为格点，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 4 4. 已知关于x的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 6. 2025年南阳市92号汽油价格波动显著，秋季价格持续走低，八月底是7.12元/升，十月底是6.85元/升，设这两个月92号汽油价格平均每月的下降率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用如下图这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取的中点，连接；以点E为圆心，以的长为半径作弧，交的延长线于点M；作，交的延长线于点N，则下列矩形是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形 8. 如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图1，在矩形中，，点P从矩形的边上一点出发，沿直线运动到矩形内一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则矩形的面积为（ ） A. B. 27 C. 36 D. 54 二、填空题（每题3分，共15分） 10. 写出一个使在实数范围内有意义的整数x的值_______． 11. 折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．如图是一个三层折叠花架，已知，，，，则的长为________． 12. 以为根的一元二次方程是________． 13. 在锐角三角形中，的长度为，若，则的长度为________． 14. 定义：三个内角的度数之比为的三角形叫做“朔望三角形”．如图，中，，点是边上任意两点（点M在点的N左侧），连接．若为“朔望三角形”，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 15. 计算 （1）； （2）． 16. 解方程： （1）（用配方法） （2）（用适当方法） 17. 如图，与交于点，且交于交于G． （1）求证：． （2）如果，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向右平移1个单位，再向上平移1个单位后的，并写出的坐标； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的，并写出的坐标； （3）判断：与的面积比为________，的面积是________． 19. 小明家的客厅有一张圆桌，它的直径为米，桌高为米，其示意图如图所示．在点A处有一盏灯，它到地面的距离为2米，圆桌在地面上的影子的直径是，图中的各点均在同一平面内．若点D到点O的距离为21米，求点E到点O的距离． 20. 如图，综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H，经测量，点A距地面，到树的距离．求树的高度． 21. 在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带． （1）若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出10件，请求出该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为14000元． 22. 如图1，在中，，点分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 ①当时，________；②当时，________． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期九年级学业质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减，只有被开方数相同的二次根式才能合并．将各选项的二次根式进行化简，再判断被开方数是否与的被开方数相同，即可解答． 【详解】解：A、与的被开方数相同，它们能合并； B、，不能与合并； C、，能与合并； D、，能与合并． 故选：B． 2. 如图，小明从家出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的是（ ） A. 向北偏西行走400米 B. 向南偏东行走400米 C. 向南偏东行走400米 D. 向南偏西行走600米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置．依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息即可进行解答． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴， 以家为观测点，小明从家出发去少年宫的方向是南偏东， 由图可知，比例尺为1个单位长度代表200米，从小明家到少年宫有2个单位长度， 所以距离为米， 综上，小明从家出发去少年宫的行走路线是向南偏东行走400米． 故选：C． 3. 如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为的顶点均为格点，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查网格中求角的三角函数值，根据网格特点，结合正切值的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴； 故选D． 4. 已知关于x的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据点在数轴上的位置，求出的符号，进而求出判别式的符号，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∵， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根； 故选A． 5. 如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：A：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； B：∵，对应边， 即：，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故该选项符合题意； C：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； D：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意． 故选：B． 6. 2025年南阳市92号汽油价格波动显著，秋季价格持续走低，八月底是7.12元/升，十月底是6.85元/升，设这两个月92号汽油价格平均每月的下降率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设这两个月92号汽油价格平均每月的下降率为x，则九月份的价格为元/升，十月份的价格为元/升，又十月底价格为6.85元/升，即可列出方程． 【详解】解：设这两个月92号汽油价格平均每月的下降率为x，根据题意，得 ． 故选：C． 7. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用如下图这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取的中点，连接；以点E为圆心，以的长为半径作弧，交的延长线于点M；作，交的延长线于点N，则下列矩形是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 设正方形的边长为，根据勾股定理得，易得，即矩形是黄金矩形，据此即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形，、的中点E、F， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，即四边形是黄金矩形． 故选：D． 8. 如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出的长，再根据线段的数量关系、和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 9. 如图1，在矩形中，，点P从矩形的边上一点出发，沿直线运动到矩形内一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则矩形的面积为（ ） A. B. 27 C. 36 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，动点的函数图象，根据函数图象可知，当时，，即点在的中垂线上运动，当时，点运动到点的位置，作的中垂线，设当时，点运动到点的位置，连接，易得，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据，求出的长，再利用面积公式求面积即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 故，即点在的中垂线上运动， 当时，点运动到点的位置， 作的中垂线，设当时，点运动到点的位置，连接，则：， ∴， ∴， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； 故选D． 二、填空题（每题3分，共15分） 10. 写出一个使在实数范围内有意义的整数x的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求解． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得， 使在实数范围内有意义的整数可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．如图是一个三层折叠花架，已知，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，由，可得与的比等于与的比，代入已知数据求出，再求． 【详解】解：∵， ∴ ，即，解得． ∴ ． 故答案为：． 12. 以为根的一元二次方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟练掌握求根公式式解题的关键． 通过对比给定的求根公式与标准求根公式，确定一元二次方程的系数，从而得到方程． 【详解】解：给定的求根公式为，标准求根公式为， 对比可得：，因此， ，因此， 根号内部表达式为，得， 因此一元二次方程为，即 故答案为：． 13. 在锐角三角形中，的长度为，若，则的长度为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，锐角三角函数，熟练掌握正弦的定义以及特殊角的正弦值是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，可得和的值，从而求出和的度数，作，过点作于点，再在直角三角形中，利用正弦求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， 如图，作，过点作于点， 在中，，， ， 在中，， ， 故答案为：2． 14. 定义：三个内角的度数之比为的三角形叫做“朔望三角形”．如图，中，，点是边上任意两点（点M在点的N左侧），连接．若为“朔望三角形”，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据新定义，得到“朔望三角形”的三个内角的度数分别为，根据三角形的外角的性质，推出，进而得到，分别求出的长，根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵三个内角的度数之比为的三角形叫做“朔望三角形”， ∴“朔望三角形”的三个内角的度数分别为， ∵中，，点是边上任意两点（点M在点的N左侧），连接， ∴， ∵为“朔望三角形”， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 15. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算零次幂，计算二次根式的乘法，最后计算减法即可； （2）先将完全平方式展开、利用平方差公式进行化简，最后去括号计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）（用配方法） （2）（用适当方法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）通过配方法改写成完全平方式，进行开方，求解即可； （2）先将式子展开，再通过因式分解进行解方程即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 令或 解得，． 17. 如图，与交于点，且交于交于G． （1）求证：． （2）如果，求的长． 【答案】（1） 解：∵，且， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角相似模型是解题的关键： （1）利用两组对应角相等的三角形的相似，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向右平移1个单位，再向上平移1个单位后的，并写出的坐标； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的，并写出的坐标； （3）判断：与的面积比为________，的面积是________． 【答案】（1） 如图，即为所求， 的坐标为； （2） 如图，即为所求， （3）；10 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换，作图-平移变换，位似的性质，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． （1）根据平移规律，画图即可； （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可； （3）根据平移的性质和位似的性质，结合已知得与的位似比为，再根据面积比等于位似比平方解答；利用割补法求三角形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵由平移得到，与的位似比为， ∴与的位似比为， ∴与的面积比为， 的面积：， 故答案为：；10． 19. 小明家的客厅有一张圆桌，它的直径为米，桌高为米，其示意图如图所示．在点A处有一盏灯，它到地面的距离为2米，圆桌在地面上的影子的直径是，图中的各点均在同一平面内．若点D到点O的距离为21米，求点E到点O的距离． 【答案】23米 【解析】 【分析】本题考查中心投影，正确将中心投影相关问题转化为相似三角形的问题是解题关键． 根据相似三角形的相似比等于对应高的比，求出即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点F， 由题意可得米，米，米，米，， ∴（米）， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴米， ∴（米）． ∴点E到点O的距离是23米． 20. 如图，综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H，经测量，点A距地面，到树的距离．求树的高度． 【答案】树的高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解，得到是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 答：树的高度约为． 21. 在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带． （1）若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出10件，请求出该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为14000元． 【答案】（1） （2）80元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）设丝绸条带的宽度为，根据“丝绸条带的面积等于该工艺品的面积减去除丝绸条带外白色部分的面积”列出方程，求解即可． （2）设该公司每天把销售单价降低y元，根据当日所获利润为14000元列出方程，求解后即可求出定价． 【小问1详解】 解：设丝绸条带的宽度为， 根据题意，得． 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：丝绸条带的宽度为． 【小问2详解】 解：设该公司每天把销售单价降低y元时，当日所获利润为14000元， 由题意得：， 整理，得， 解得：． ∴销售单价为（元）， 答：该公司每天把销售单价定为80元时，当日所获利润为14000元． 22. 如图1，在中，，点分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 ①当时，________；②当时，________． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①2；②2 （2） 不变，证明如下： 如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即， ∵， ∴， ， ， ∴当时，的大小不变； （3）1或3 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）①当时，由三角形的中位线定理得到，从而有； ②当时，同理①可得； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故，，的大小无变化； （3）点A，C，E三点共线时，或，根据线段的和差分别求解即可． 【小问1详解】 解：①当时， 点分别是的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2； ②当时，如图所示： 则三点共线，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：2． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当在如图位置时，点A，C，E三点共线，此时， ∵，点D是的中点， ∴． ②当旋转到如图位置时，，，E三点共线，此时， ∴点B，C，D三点也共线， ∵，， ∴． 综上所述，的长为1或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $