4.4　一次函数的应用 第3课时　借助两个一次函数图象解决有关问题 教案 2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦借助两个一次函数图象解决实际问题，通过公司销售收入与销售成本的函数图象情境导入，衔接一次函数图象与性质旧知，搭建从图象观察到信息提取再到实际应用的学习支架。 特色是以生活情境驱动探究，问题串层层递进引导学生读取图象信息（几何直观），分析k和b实际意义深化模型意识，例题与拓展题（如行程、印刷费用）培养应用意识。小组合作与师生互动提升探究能力，结构化流程为教师提供清晰路径，助力高效课堂。

第3课时　借助两个一次函数图象解决有关问题 课题 第3课时　借助两个一次函数图象解决有关问题 授课人 教 学 目 标 1.进一步训练学生的识图能力,能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题. 2.在函数图象信息获取过程中,进一步培养学生的数形结合意识,发展形象思维. 3.在解决实际问题的过程中,进一步发展学生分析问题、解决问题的能力和数学应用意识. 4.在现实问题的解决中,使学生初步认识数学与人类生活的密切联系,从而培养学生学习数学的兴趣. 教学 重点 　　一次函数图象的应用. 教学 难点 　　从函数图象中正确读取信息. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图4-4-28,l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系,l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. 图4-4-28 思考:观察图象,你能从图象中获取哪些信息?请你在小组内进行交流. 说明:从图象中,我们可以知道这是两个一次函数图象,从图象中我们可以获取很多有用的信息,同时也能找到两个一次函数与二元一次方程组和不等式之间的关系,这节课我们就来研究它. 揭示课题:第3课时　借助两个一次函数图象解决有关问题 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 借助两个函数图象解决问题 根据上面情境中图象填空: (1)当销售量为2 t时,销售收入为　　　　元,销售成本为 　　　　元.  (2)当销售量为6 t时,销售收入为　　　　元,销售成本为 　　　　元.  (3)当销售量　　　　时,销售收入等于销售成本.  (4)当销售量　　　　时,销售收入大于销售成本,该公司赢利;当销售量　　　　时,销售收入小于销售成本,该公司亏损.  活动 二: 探究 与 应用 (5)当销售量为　　　　t时,该公司赢利1000元.  (6)l1对应的函数表达式是　　　　,l2对应的函数表达式是　　　　.  (7)你能借助(6)的结论求解(5)吗? 处理方式:让学生在小组内交流,互相发表自己的见解,逐一完成填空.教师指名回答问题时,注意让学生说出判断的理由,并提倡学生提出自己不同的解题方法和思路.教师对于重点难点问题要帮助学生结合图象进行分析. 解:(1)2000　3000　(2)6000　5000 (3)等于4 t　(4)大于4 t　小于4 t (5)6 t (6)y=1000x　y=500x+2000 (7)1000x-(500x+2000)=1000,解得x=6. 教师强调:当涉及两个函数问题时,要注意横、纵轴对于每个函数的不同意义. 【思考·交流】 图4-4-28中,设l1对应的一次函数为y=k1x+b1,k1和b1的实际意义各是什么?设l2对应的一次函数为y=k2x+b2,k2和b2的实际意义各是什么?与同伴进行交流. 学情预设:学生交流后,得出k1表示每吨产品的销售收入,b1表示产品不销售时,销售收入为0; k2表示每销售1吨产品增加的成本,b2表示固定销售成本. 【应用】 例　图4-4-29是某景区游览路线示意图.甲在观景台1联系乙,发现乙在观景台2,于是沿着游览路线追赶乙.图中l1,l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. 假设甲、乙两人保持现有的速度,根据图象回答下列问题: (1)哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系? (2)甲和乙哪个人的速度快? (3)30 min内甲能否追上乙? (4)到达观景台3后道路分岔,甲能否在到达观景台3前追上乙? (5)设l1与l2对应的两个一次函数分别为s=k1t+b1与s=k2t+b2,k1,k2的实际意义各是什么?甲、乙两人的速度各是多少? 图4-4-29 处理方式:让学生独立完成,然后教师指名回答,并说明理由.期间学生可能有不同的想法,可与其他同学一起探讨,教师进行讲评,对不同的想法教师应该给予肯定,并提出表扬. 　　1.培养学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识.通过一连串精心设计的问题,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用函数图象的特征解决问题.在此过程中渗透数形结合的思想方法,提高学生的数学应用能力. 2.使学生进一步认识到k与b在实际问题中有特定的含义,这有助于学生从图象上看出k,b的值,也为学生结合k,b的实际意义确定函数表达式奠定基础.课堂讨论的过程中,学生的思维呈开放的状态,不同的见解、不同的思路在讨论中碰撞、反馈,可以激发学生的想象力,促进学生思维的有序发展,提高思维活动的有效性,从而收到较为显著的教学效果. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 解:(1)当t=0时,甲到观景台1的路程为0 m,即s=0,故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. (2)t从0增加到20时,l1上点的纵坐标增加了1000,l2上点的纵坐标增加了600,即20 min内,甲行走了1000 m,乙行走了600 m,所以甲的速度快. (3)如图4-4-30,延长l1,l2,可以看出,当t=30时,l1上的对应点在l2上对应点的下方,这表明,30 min时甲尚未追上乙. (4)在图4-4-30中,l1与l2的交点P的纵坐标小于(800+1300=)2100,这说明,甲能在到达观景台3前追上乙. 图4-4-30 (5)k1表示甲的速度,k2表示乙的速度.甲的速度是50 m/min,乙的速度是30 m/min. 　　3.通过问题串的展示、老师几个简单的提问、重音的强调使学生从视觉、听觉等多方位感知到直线与坐标轴交点的意义、两直线交点及表达式中k,b的实际意义、利用图象比较函数值的方法,使学生在教师的引导下逐步形成良好的识图能力,进一步体会数与形的关系,建立良好的知识联系. 【拓展提升】 1.如图4-4-31,OB,AB分别表示甲、乙两人的运动图象,请根据图象回答下列问题: 图4-4-31 (1)如果用t表示时间,s表示路程,那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式是: 甲:　　　　　　　　,  乙:　　　　　　　　;  (2)甲的运动速度是　　　千米/时;  (3)两人同时出发,相遇时,甲比乙多走　　　　千米.  2.某电视机厂要印刷产品宣传材料,甲印刷厂提出:每份材料收1元印刷费,另收1500元制版费;乙印刷厂提出:每份材料收2.5元印刷费,不收制版费. (1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式. (2)在同一直角坐标系内作出它们的图象. (3)根据图象回答下列问题: ①当印制800份宣传材料时,选择哪家印刷厂比较合算? ②该电视机厂拟拿出3000元用于印刷宣传材料,找哪家印刷厂印刷宣传材料能多些? 　　拓展提升,提高学生应用知识的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.图4-4-32表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中离开甲港的距离随时间变化的图象,根据图象,下列结论错误的是 (　　) A.轮船的速度为20 km/h B.轮船比快艇先出发2 h C.快艇的速度为40 km/h D.快艇不能赶上轮船 图4-4-32 图4-4-33 2.今年春运会上,甲、乙两名同学同时参加了一项短跑比赛,路程s(m)与时间t(s)的关系如图4-4-33所示,那么: (1)这是一次　　　　m赛跑;  (2)甲、乙两人中　　　　先到达终点;  (3)乙在这次赛跑中的平均速度为　　　　.  3.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(时)的变化情况如图4-4-34所示,当成人按规定剂量服药后: 图4-4-34 (1)服药后　　　　小时,血液中含药量最高,达每毫升　　　　微克,接着逐步降低;  (2)服药后5小时,每毫升血液中含药量为　　　　微克;  (3)当0≤x≤2时,y与x之间的函数关系式是　　　　;  (4)当x≥2时,y与x之间的函数关系式是　　　　;  (5)如果每毫升血液中含药量为3微克或3微克以上时,治疗疾病最有效,那么这个有效时间范围是　　　　　　.  　　学以致用,当堂检测,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收获、有所提高. 【知识总结】 　　提纲挈领,重点突出. 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过简单的函数图象应用题,导入新知学习,让学生感受知识的连续性和延展性. ②[讲授效果反思] 本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上,对有关知识进行应用和拓展.在教学过程中,通过问题情境的创设,激发学生的学习兴趣,并注意通过有层次的问题串的精心设计,引导学生进行探究活动.在师生互动、生生互动的探究活动中,提高学生解决实际问题的能力. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　  错题题号　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $