专题4.4 一次函数的应用（2大知识点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题4.4 一次函数的应用 教学目标 1. 能根据图象、表格或实际问题等信息，用待定系数法确定一次函数表达式。 2. 学会从实际问题中抽象出一次函数模型，并用其解决简单问题，培养建模能力。 3. 能通过函数图象获取信息，体会数形结合思想及函数与方程、不等式的联系。 教学重难点 1.重点 （1）核心是掌握用待定系数法确定一次函数表达式的方法。 （2）关键是能建立一次函数模型，结合其性质或图象解决实际问题。 2.难点 （1）难以从复杂实际问题中准确分析变量关系，抽象出对应的一次函数模型。 （2）不易灵活结合函数的“数”（表达式）与“形”（图象），解决决策类等综合问题。 知识点01 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件． (1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式； (2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？ (3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？ 【答案】(1)； (2)2310元； (3)总费用最多是2650元． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定函数关系式是解本题的关键； （1）由总费用等于购买两种奖品的费用之和建立函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式计算即可； （3）利用一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：根据题意，得： ， 即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为； （2）当时，， 答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元； （3）由题意，得， 由（1）可知为， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为， 答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元． 2．（24-25八年级下·广东广州·期末）某建筑公司现有，两工地需要租车运土，工地需要12台，工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如右表． 甲型车租金 乙型车租金 工地 800元/台 600元/台 工地 600元/台 300元/台 (1)设工地租甲型车台，租乙型车______台；则工地租甲型车______台，租乙型车______台（用含的式子表示）． (2)设该公司每天的总租金为元，请求出与的函数解析式并写出的取值范围． (3)在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)工地租甲型车10台，租乙型车2台；则工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是14600元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用代数式表示式 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据A，B两工地租车方案，即可求解； （2）根据租金等于每天的租金价格乘以车的数量，列出函数的关系式，即可求解； （3）根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设工地租甲型车台，租乙型车台；则工地租甲型车台，租乙型车台； 故答案为：；； （2）解：， 即与的函数解析式为； （3）解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， 当时，y取得最小值，最小值为14600， 即工地租甲型车10台，租乙型车2台；则工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是14600元． 知识点02 一元一次方程与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 【即学即练2】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：①，；②随的增大而减小；③关于的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图像和性质，利用数形结合的思想解答是解题关键．根据一次函数图像所在象限及与坐标轴的交点可判断①②错误，③正确，根据一次函数图像在轴上方时与轴交点横坐标可判断④正确，综上即可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴，，随的增大而增大，故①②错误， ∵一次函数与轴交于点， ∴关于的一元一次方程的解为，当时，，故③④正确， 故选：B． 题型01 一次函数的应用之分配方案问题 【典例1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料， (1)设从A城调运x吨肥料到C乡（），补充完整下列表格 A地 B地 C地 x ② D地 ① ③ ①     ②     ③ (2)怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程 【答案】(1)①；②；③ (2)从A城乡运往C乡吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡吨，运往D乡吨，此时总运费最少为元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格结合题意求解即可； （2）先求出运费关于的函数关系式，再由一次函数的性质分析求解． 【详解】（1）解：由题意得A地向D地调运，则乡还需要，则地调运到C地，则地剩余调运到D地， 故答案为：①；②；③； （2）解：设总运费为y元，由题意得： （）， ∵在函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∴时，总运费y有最小值， 此时，，，， 答：从A城乡运往C乡吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡吨，运往D乡吨，此时总运费最少，最小值为元． 【变式1】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）“工欲善其事，必先利其器”．某校为开好劳动教育课准备购置一批劳动工具，学校与店主商量后，店主给出了以下两种购买方案（二选一）： 方案一劳动工具元件，运费元； 方案二劳动工具元件，免费送货上门． 若学校购买件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数解析式； (2)请你为该学校选择合适的购买方案． 【答案】(1)，； (2)当购买劳动工具少于件时，选择方案二；当购买劳动工具等于件时，两种方案均可；当购买劳动工具超过件时，选择方案一． 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． （）根据题意列出函数关系式即可； （）令，即，解得，再分和进行分析即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：令，即， 解得：； 令，即，解得：； 令，即，解得：； ∴当购买劳动工具少于件时，选择方案二； 当购买劳动工具等于件时，两种方案均可； 当购买劳动工具超过件时，选择方案一． 【变式2】（24-25八年级下·全国·假期作业）某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）： (1)求对应的函数表达式． (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ (3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 【答案】(1) (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元 (3)当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多 【分析】（1）设对应的函数表达式为，由待定系数法就可以求出解析式； （2）由题意得方案二中每件商品的销售提成为元，设对应的函数表达式为，利用待定系数法求得，因此方案二中每月付给销售人员的底薪为3600元； （3）由建立方程，先求出两种工资方案所得到的工资数额相等时x的值，再观察图像即可得出销售方案． 【详解】（1）解：设对应的函数表达式为． 由题图，得， 解得， 对应的函数表达式为． （2）（2）方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元， 设对应的函数表达式为． 把代入，得， 解得， 方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元． （3）（3）由（1）知，．由（2）知，． 令，解得． 当销售数量为120件时，两种方案所得到的月工资相等． 由题图可得，当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图像的意义是关键． 【变式3】（24-25八年级下·北京大兴·期末）某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 【答案】(1) (2)当时，选传统燃油车总费用较低；当时，两种车总费用一样；当时，选氢能源车总费用较低 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键． （1）根据两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象， （2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式，，当两种车总费用相等时，即，得到行驶路程，结合图形判定即可求解． 【详解】（1）解：，即当时，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元， ∴传统燃油车购车费用是万元； （2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 当时，， 解得，， ∴当时，选传统燃油车总费用较低； 当时，两种车总费用一样； 当时，选氢能源车总费用较低． 题型02 一次函数的应用之最大利润问题 【典例2】（24-25八年级下·山西大同·期末）“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)该花店如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1) (2)购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润 【分析】（1）根据利润=销售康乃馨的利润+销售玫瑰的利润计算即可； （2）根据一次函数的增减性和x的取值范围计算即可． 本题考查一次函数的应用，写出y与x之间的函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴y与x之间的函数关系式． （2）解：y与x之间的函数关系式，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时y值最大， （枝）． 答：购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润． 【变式1】（2024九年级·陕西西安·专题练习）港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表： 种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩） 柏树苗 2.4 3 松树苗 2 2.5 设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元． (1)求y与x的函数表达式； (2)今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70万元，若每亩的种植成本和销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益＝销售额﹣成本） 【答案】(1) (2)他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益 【分析】本题考查了一次函数的应用，表示出与总收益的函数关系式，找出题中等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设种植柏树苗x亩，则种植松树苗亩，根据收益=销售额-成本列出函数解析式； （2）根据总成本列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设种植柏树苗x亩，则种植松树苗亩， ， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：根据题意得，， 解得：， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，获得最大收益． 答：他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益． 【变式2】（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）某商场计划用不超过1800元购进甲、乙两种不同品牌的水杯共50个，已知甲、乙两种品牌水杯的进价和售价如下表所示： 价格\品牌 甲品牌水杯 乙品牌水杯 进价（元/个） 40 30 售价（元/个） 50 35 设购进甲品牌水杯x个，两种品牌的水杯全部销售完后可获利y元． (1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)采用怎样的购进方案可以使获利最多，最多为多少? 【答案】(1)；且为整数 (2) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，函数的区间最值问题，能够根据实际情况列出一次函数是解决本题的关键． （1）根据题意可知：总利润=甲品牌销售利润＋乙品牌销售利润，根据等量关系列出函数关系式即可； （2）根据计划用不超过1800元，计算出最多可购入的甲品牌数量，根据一次函数的增减性可计算出利润的最高值． 【详解】（1）解：由题意得； 与的函数关系式为:； 由题意得， 解得 ， ∴ 且为整数； （2）解：中， 随的增大而增大， 当时，y最大， 最大值为，此时， 当购进甲品牌30个，购进乙品牌20个时获利最多，最多为400元． 【变式3】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题． 内容 材料一 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总金额（单位：元）与进货量（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐． 材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于150罐，且不高于400罐． 任务一 （1）根据图像求出与的函数关系式． 任务二 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量（单位：罐）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 【答案】（1）（2），甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐时，获得的利润最大 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设与的函数表达式为，代入即可求解； （2）设乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐，用含的式子表示利润，根据一次函数的性质分析其最大值即可． 【详解】解：（1）依题意，设与的函数表达式为， 把代入解析式， 得， ∴与的函数表达式为； （2）依题意，乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐， ∵乙品牌的收购量不低于150罐，且不高于400罐， ∴， 由（1）得， 则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大值为元， （罐）， 即甲品牌酸奶的进货量为罐，乙品牌酸奶的进货量为罐时，获得的利润最大． 题型03 一次函数的应用之行程问题 【典例3】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）汽车由南京驶往相距的上海，它的平均速度为． (1)写出汽车距上海的路程s（单位：）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式； (2)指出自变量t的取值范围； (3)当汽车行驶时，汽车距离上海多远？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出s与t的函数关系式． （1）根据汽车与上海的距离南京与上海的距离汽车的行驶时间速度列出函数关系式即可； （2）根据南京与上海的距离以及汽车行驶速度求出汽车到达上海所需的时间，结合实际意义进一步确定t的取值范围即可； （3）将代入（1）的函数关系式中进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴t的取值范围是：． （3）解：当时，． 答：当汽车行驶时，汽车距离上海． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)求甲在的时间段内的函数关系式； (2)在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 【答案】(1) (2)当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲在的时间段内y与x之间的函数关系式； （2）根据题意，可知存在两种情况甲、乙两人相距5千米，然后分别计算出即可． 【详解】（1）解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在该函数图象上， ， 解得， 即甲在时，y与x之间的函数关系式是； （2）解：设乙在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在函数图象上， ∴， 解得． 即乙在时，y与x之间的函数关系式是， 相遇之前两人相距，则， 解得． 相遇之后且甲到达C地之前相距，则， 解得． 答：当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）一辆轿车从A地驶往B地，到达B地后立即返回A地，返回速度是原来的倍，往返共用t小时．一辆货车同时从A地驶往B地，速度是到达B地后停止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为，两车离开A地的距离为，轿车行驶过程中y与x之间的函数图象如图所示． (1)轿车从A地驶往B地的速度为 ， ； (2)在图中画出货车从A地行驶到B地的函数图象，并求货车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式；（写出自变量取值范围） (3)当轿车从B地返回A地的途中与货车相遇时，求相遇处到A地的距离． 【答案】(1)80，5 (2)见解析， (3)相遇处到A地的距离为 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，正确理解题意，根据图象得到做题所需信息是解题关键． （1）由图象可知，轿车从A地驶往B地一共行驶了，所用时间为，根据速度路程时间即可求出轿车从A地驶往B地的速度，根据图象即可得到t的值； （2）根据时间路程速度可求出货车到达B地所需时间，以此确定函数图象过和两点，根据路程速度时间即可写出y与x之间的函数关系式； （3）由题意可得轿车返回速度为，设a小时后，轿车从B地返回A地的途中与货车相遇，根据“货车走过的路程轿车从B地出发后的路程”列出方程，求得a，则相遇处到A地的距离就是货车走过的路程． 【详解】（1）解：由图象可知，轿车从A地驶往B地一共行驶了，所用时间为， ∴轿车从A地驶往B地的速度为， 由图象可知，轿车往返共用； 故答案为：80，5； （2）∵货车同时从A地驶往B地，速度是到达B地后停止， ∴货车到达B地所需时间为， ∴货车从A地行驶到B地的函数图象过和， ， 函数图象如图所示， （3）∵轿车返回速度是原来的倍， ∴轿车返回速度为， 设a小时后，轿车从B地返回A地的途中与货车相遇， 根据题意得：， 解得：， ∴相遇处到A地的距离为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）如图①，一条直的公路上依次有A，B，C三个汽车站，，，一辆汽车上午8：00 从距离A站的P地出发，匀速向C站行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站．设汽车出发 后离A站，图②中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为 ； (2)求线段 对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）； (3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高到多少可按时到达？请说明理由． 【答案】(1)80 (2) (3)不能，速度至少提高到，理由见解析 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键 （1）由图象可知，休息前汽车行驶的路程为千米，时间为小时，根据速度路程时间解题． （2）先求出点G的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为小时，由，判断并求出速度即可． 【详解】（1）解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为：（千米/小时）． （2）解：休息后按原速度继续前进行驶的时间为：， 点的坐标为， 设线段所表示的与之间的函数关系式为， 则：，解得， 线段所表示的与的函数关系式为：． （3）解：若汽车按原速行驶，则不能按时到达，速度至少提高到 ． 理由如下：由（1），得接到通知前汽车行驶的速度为． 接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶， 则行完全程所需时间为 ． 因为，且， 所以若汽车仍按照原来的速度行驶，则不能按时到达． 若要使其能按时到达，则速度至少提高到 ． 【变式4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离和货车行驶时间之间的函数图象如图①所示． (1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ； (2)求线段表达式； (3)在图②中，画出货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数图象． 【答案】(1)60；80 (2) (3)见解析 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中信息，找出对应的时间、路程，即可求出速度； （2）求出点D，E的坐标，利用待定系数法求解； （3）求出，时对应的s的值，以及货车到达乙地的时间，画出分段函数即可． 【详解】（1）解：由图象可知，货车的速度为， 轿车的速度为； （2）解：根据题意知，轿车出现故障时行驶了， 轿车修好后到达甲地所需时间为， ， ， 货车2小时行驶的路程为， ， ， 设线段的函数表达式为， 把，坐标代入解析式得：， 解得， 线段的函数表达式为； （3）解：由题意得，货车到达乙地的时间为， 时，， 时，， 货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数． 图象如图②： 题型04 一次函数的应用之几何问题 【典例4】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止．设运动时间为秒，的面积为． (1)直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)直接写出的面积为3时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及动点问题，三角形面积等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）分两种情况∶当时，D在边上，； 当时，D在边上，； （2）描点画出图象即可； （3）在和中，分两种情况列方程可解得答案． 【详解】（1）解：当时，D在边上， ； 当时，D在边上， ； （2）解：当时，， 当时，； 当时，； 描点画出图象如下∶ （3）解：在中，令得， 解得； 在中，令得， 解得． 综上所述，t的值为或3． 【变式1】（25-26八年级上·重庆渝北·开学考试）如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点、点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求及图②中的值； (2)当点出发______秒时，点的运动路程为； (3)设点离开点的路程为（cm），点到点还需要走的路程为（cm），请分别写出改变速度后，、与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点、点相遇时的值． 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【分析】（）由图象②可得，当时，，求出的值，进而可求出和的值； （）求出的值，设当点出发秒时，点的运动路程为，进而列出方程即可求解； （）根据题意求出、与出发后的运动时间（秒）的关系式，进而可知点、点相遇时，解方程即可求解； 本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，一次函数的应用。看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象②可得，当时，， 解得， ∴， ∴； （2）解：由题意可得，， 解得， 设当点出发秒时，点的运动路程为， 则， 解得， ∴点出发秒时，点的运动路程为， 故答案为：； （3）解：由题意得，，， 即，， 当点、点相遇时，， 解得． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在长方形中，．延长BC到，使，连接DE，由直角三角形的性质可知．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，____________； (2)当____________时，点运动到的角平分线上； (3)请用含的代数式表示的面积； (4)当时，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值． 【答案】(1)10 (2)当时，点运动到的角平分线上 (3) (4)或5或时，点到四边形相邻两边距离相等 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线定理、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识． （1）根据题意，列式计算即可； （2）根据角平分线定义可得，得，进而可得的值； （3）根据题意分3种情况讨论：①当点在上运动时，②当点在上运动时，③当点在上运动时，分别用含的代数式表示的面积即可； （4）当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论：①当点在上，点到边的距离为8，点到边的距离也为8，②当点在上，点到边的距离为8，点到边的距离也为8，③当点在上且到与距离一样时，分别求解即可． 【详解】（1）解：，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动， ∴点P运动的路径长为， ∵， ∴， 故答案为：10． （2）如图，作的角平分线交于， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ，解得． 当时，点运动到的角平分线上； 故答案为：14； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点在上运动时，， ； ②当点在上运动时， ； ③当点在上运动时， ； 综上，； （4）解：当时，点在边上运动，根据题意分情况讨论： ①当点在上，且点到与距离一样时， 点到边的距离为8， 点到边的距离也为8， 即， ，解得； ②当点在上，且到与距离一样时，如图，过作于点， 则，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ③当点在上，则到与距离一样时，如图，过点作于点， 设，则， ， ， 解得：， ， ． 综上所述：或5或时，点到四边形相邻两边距离相等． 题型05 一次函数的应用之梯度计费问题 【典例5】（25-26八年级上·全国·期中）某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【答案】(1)（）； (2)21元． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式． （1）根据出租车收费标准，当（为整数）时，计算车费与行驶路程的函数关系式； （2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费． 【详解】（1）解：当（为整数）时，起步价9元，超过2公里的部分为公里，这部分每公里2元． 所以车费，化简可得， 答：车费与行驶路程的函数关系式（）； （2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2公里按照8公里计算， 把代入中，可得（元）． 答：应付给司机21元． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)该户居民用水20立方米 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是； （2）解：∵， ∴该户居民用水超过12立方米， 设该户居民用水a立方米， 则， 解得， 答：该户居民用水20立方米． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过部分 元 超过，不超过部分 元 超过部分 元 小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准． (1)小明同学家年用水，应交水费元．写出与之间的关系式； (2)小明家年交了元水费，求年小明家用了多少 (3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式是解题的关键． （1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯与之间的关系式，当时，求出对应的值即可； （3）适当调整各阶梯的水量标准，既能减轻居民经济负担，又能引导居民合理用水，从这方面提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：当时，与之间的关系式为． （2）当时，与之间的关系式为， 当时，与之间的关系式为， 当时，解得舍去)， 当时，解得， 年小明家用了水． （3）建议：适当调整各阶梯的水量标准； 原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水量增长较快．若阶梯水量标准过低，大量家庭易进入高收费阶梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水意识，既减轻负担又引导合理用水． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 【答案】(1) (2)这个家庭本月的实际用电量为210度 (3)小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式； （2）先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解； （3）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，则 ， 答：当时，与之间的函数关系式为； （2）解：∵度电费为：， 度电费为：， ， 该家庭本月用电量属于第二档，令，则， 解的， 答：这个家庭本月的实际用电量为210度． （3）解：当时，则； ， 把代入得元； 当时，则， 当时，则元． 答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元． 题型06 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例6】（25-26八年级上·全国·单元测试）一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为0时对应的的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的图象与x轴的交点的横坐标为的解，由此可解． 【详解】解：关于x的方程的解为， 一次函数的图象与x轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）一次函数，当时， ，这条直线与x轴的交点的坐标是 ，因此，方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．代入求出的值，进而可得出这条直线与轴的交点坐标，于是得到方程的解． 【详解】解：当时，， 解得：， 这条直线与轴的交点是． 方程的解是， 故答案为：；，． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）关于的方程的解为 ； （2）关于的方程的解为 ； （3）关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图知，一次函数过点， 则（1）关于的方程的解为； （2）关于的方程的解为； （3）关于的方程的解为． 故答案为：；；． 题型07 利用图象法解一元一次方程 【典例7】（24-25八年级下·陕西安康·期末）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想求解． 结合函数图象得出一次函数图象经过点，即可求解． 【详解】解：方程的解就是一次函数函数值为时，自变量x的值，观察图象可知一次函数图象经过点， ∴的解为 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键．先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：把代入得， 解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的综合应用，解题关键是理解方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值．结合图像可知，方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，即可获得答案． 【详解】解：直线与相交于点， 方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值， 方程的解为． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，两一次函数图象的交点满足两函数解析式．利用P点坐标满足两函数解析式，从而得到为关于x的方程的解． 【详解】解：一次函数与的图象交于点， 即时，， 关于x的方程的解为 故答案为： 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于x的方程的解， 故选：D． 2．（2025·江苏淮安·二模）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A．17 B．17.5 C．18 D．18.5 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是求出弹簧长度与重物质量的关系式．根据表格观察可发现：重量每增加1千克，弹簧增长2厘米，满足一次函数关系，根据待定系数法求解析式即可得解． 【详解】解：设L与x的关系式为：， 把，代入解析式得， 解得， ∴L与x的关系式为， 当时，， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用围成的另外三边的总长恰好为，设边的长为，边的长为（），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数表达式，解题关键是掌握找准等量关系．根据题中等量关系列出一次函数表达式，即可求解． 【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为， 即， 所以， 由得，，即， 当时，即，解得， 所以， 故选：B． 5．（2025·青海玉树·模拟预测）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：）．两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系．下列结论：；普通列车出发与动车相遇；普通列车行驶时，动车到达终点乙地；经过或两车相距，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图像的应用，熟练掌握图像相关数据是解题的关键. 折线分三段：第一段两车相向而行，第二段背向而行至动车到达乙地，第三段普通列车行至甲地（动车停止）． ①t时刻是相遇后两车相距180千米的时刻，用3小时加两车共行驶180千米的时间即可. ②初始时刻，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻； ③全程除以动车速度即为动车到达终点时间； ④设经过，两车相距，列方程解答验证是否是或． 【详解】解：由图象可得， 普通列车的速度为：， 动车的速度为：， ，故正确，符合题意； 普通列车出发与动车相遇，故正确；符合题意； ， 即普通列车行驶时，动车到达终点乙地，故错误，不符合题意； 设经过，两车相距， 相遇前：，得； 相遇后：，得； 即经过或两车相距，故正确，符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若关于的方程的解为，则直线一定经过点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据方程可知当，，从而可判断直线经过点． 【详解】解：由方程可知：当时，， 故将代入直线，得， ∴直线的图象一定经过点． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）某水库的水位在一个时间段内持续上涨，初始水位高度为，水位以每小时的速度匀速上升，则水库的水位与上涨时间之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数关系式，根据题中水位以每小时的速度匀速上升列出关系式为解题的关键． 根据“高度等于速度乘以时间加上初始高度”列出关系式即可． 【详解】解：根据题意可得：． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 根据交点作答即可． 【详解】解：一次函数为常数且与正比例函数（为常数且的图象交于点， 关于的方程的解是， 即关于的方程的解是． 故答案为：． 10．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）我国是世界上严重缺水的国家之一，为了增强居民节约用水意识，某市准备实行新的水费收费标准：每户每月用水量不超过10吨的部分，按每吨3元收费，超过10吨的部分，按每吨5元收费，设某户月用水量为吨，应交水费为元． (1)求出应交水费（元）与用水量（吨）之间的函数关系式； (2)已知居民甲上个月交水费40元，求居民甲上月用水多少吨？ 【答案】(1)； (2)吨 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）根据每吨3元和总水费=前10吨的水费+超出10吨部分的水费两种情况就可以表示出y（元）与x（吨）之间的函数关系式； （2）先判断居民甲上月用水超过吨，在根据总费用为40元建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， 由题意，得：， ∴． （2）∵， ∴居民甲上月用水超过吨， 由题意，得：， 解得：， 即居民甲上月用水吨． 13．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨． (1)若从城运往乡所需运费是从城运往乡所需运费的一半，求从A城运往D乡的肥料为多少吨？ (2)怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】(1)从城运往乡的化肥为110吨 (2)从城运往乡化肥0吨，从A城运往乡化肥200吨，从城运往乡化肥240吨，从城运往乡化肥60吨时，总运费最少，为10040元 【分析】本题考查了一次函数的应用，难点在于表示出运往各地的化肥吨数． （1）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，根据题意得：，求解即可． （2）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，总运费为y，然后根据总运费的表达式列式整理，再根据运往各地的肥料数不小于0列式求出x的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可.. 【详解】（1）解：设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨； 由题意得：，解得：， （吨） 答：从A城运往D乡的化肥为110吨： （2）解：设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨； 由题意得：利润， ，随增大而增大． 又 当时，总运费最少，最少为（元） 答：从A城运往C乡化肥0吨，从A城运往D乡化肥200吨，从B城运往C乡化肥240吨，从B城运往D乡化肥60吨时，总运费最少，为10040元． 14．（24-25八年级下·江苏南通·期中）某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元和18元． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）分两种情况，利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设， 根据题意可得，， 解得， ∴； 当时，设， 根据题意可得，， 解得， ∴． ∴综上所述，y关于x的函数解析式为； （2）解：根据题意可知，设购进乙种产品x千克，则购进甲种产品千克， 当时，乙种产品进价为 (元/千克)， ， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，w的最大值为 (元)； 当时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为 (元)， 综上，购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为秒，的面积为y． (1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于4时，结合函数图像，求的值． 【答案】(1) (2)图像见解析，函数的一条性质：该函数的最大值为6 (3)2或 【分析】本题考查了一次函数的应用、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． （1）分两种情况：①，先求出的长，再利用三角形的面积公式即可得；②，先求出的长，再利用三角形的面积公式可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先根据（1）的结论，画出两段一次函数的图像，再写出一条性质即可得； （3）分两种情况：和，求出时，的值即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， ①当时，点在上运动， 则， ∴的面积； ②如图，当时，点在上运动， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 综上，． （2）解：在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像如下： 该函数的一条性质：该函数的最大值为6． （3）解：当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 综上，的值为2或． 16．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面长为，小球与木块（大小、厚度忽略不计）同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块后又被反弹向挡板，如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题． (1)小球第一次到达挡板的时间是______s，小球的速度为______，木块的速度为______； (2)小球第一次返回时，求与的函数关系式； (3)当小球从出发至第一次、相遇时，小球与木块距离为时，直接写出的值为______． 【答案】(1)16；； (2) (3)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，求出速度和，然后计算出点的速度，故可判断得解； （2）先求解，再利用待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和（2）中解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，观察函数图象，可得， 小球P第一次到达挡板l的时间是， ∴小球P的速度为， 由题意，， 又， ∴， ∴木块Q的运动速度． 故答案为：16；； （2）解：由（1）得：， 设小球P第一次返回时，， 将，代入得， 解得， ∴． （3）解：由题意，设小球P运动前的函数关系式为， 函数过， ∴， ∴， ∴此时函数为， ，又令， ∴， 又当小球运动到后，结合（3）函数关系式为， ∴令， 解得， 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 17．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习），两地相距千米．早上货车甲从地出发将一批物资运往地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与地联系．地收到消息后立即派货车乙从地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往地．两辆货车离开各自出发地的路程千米与时间小时的函数关系如图所示．(通话等其他时间忽略不计) (1)求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式． (2)因实际需要，要求货车乙到达地的时间比货车甲按原来的速度正常到达地的时间晚个小时，问货车乙返回地的速度为每小时多少千米？ 【答案】(1) (2)75 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． （1）设函数表达式为，把，代入可解得答案； （2）求出货车甲、货车乙的速度，，两地相距千米，货车甲在出发后千米处出现故障，可求出货车乙赶往事故地所需时间，再算出原计划和实际的时间，进而算出货车乙返回的时间，根据路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：设货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式， 把，代入得： 解得：， 货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式为； （2）由图可得：货车甲的速度为千米时，货车乙的速度为千米时，货车甲在出发后千米处出现故障， ，两地相距千米，， 货车乙赶往事故地所需时间为小时； ， 原计划是小时， 因实际需要，要求货车乙到达地的时间比货车甲按原来的速度正常到达地的时间晚个小时， ∴乙返回的时间为：小时； (千米/时) 答：货车乙返回B地的速度为每小时是千米 18．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为． 19．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；②0.075；③ (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可. （2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社， ∴张华的骑行速度为， ∴张华离家时，张华离家， 张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是， 张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是． 故答案为：. ②, 故答案为：． ③当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 当时，． （2）解：张华爸爸的速度为：， 设张华爸爸距家，则， 当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有， 解得：， ∴， 故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是． 20．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： (1)求轿车出发时，货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)货车行驶多少时间，两车相距30千米？ 【答案】(1)90千米 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，从函数图象中正确获取信息是解题关键． （1）根据函数图象可得货车5小时行驶了300千米，则可得货车的行驶速度，再利用速度乘以时间即可得； （2）利用待定系数法求解即可得； （3）设货车行驶小时，两车相距30千米，先求出直线的解析式，则可得当货车行驶小时，货车与轿车相遇，再分五种情况：①、②、③、④和⑤，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由函数图象可知，货车的行驶速度为（千米/小时）， ∵轿车比货车晚出发小时， ∴（千米）， 答：轿车出发时，货车与甲地的距离为90千米． （2）解：设线段对应的函数表达式为， 将点和代入得：，解得， 所以线段对应的函数表达式为． （3）解：设货车行驶小时，两车相距30千米， 由函数图象可知，货车的行驶速度为（千米/小时）， 在段，轿车的行驶速度为（千米/小时）， 在段，轿车的行驶速度为（千米/小时）， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 所以直线的解析式为， 联立，解得， 即当货车行驶小时，货车与轿车相遇， ①当时，则，解得，符合题设； ②当时，则，解得，不符题设，舍去； ③当时，则， 解得，符合题设； ④当时，则， 解得，符合题设； ⑤当时，则，解得，不符题设，舍去； 综上，当或或时，两车相距30千米， 答：货车行驶小时或小时或小时，两车相距30千米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.4一次函数的应用 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01一次函数的实际应用 知识清单 知识点02一元一次方程与一次函数的关系 题型01一次函数的应用之分配方案问题 题型02一次函数的应用之最大利润问题 一次函数的应用 题型03一次函数的应用之行程问题 题型04一次函数的应用之几何问题 题型精讲 题型05一次函数的应用之梯度计费问题 题型06已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型07利用图象法解一元一次方程 强化训练 教学目标、教学重难点 1.能根据图象、表格或实际问题等信息，用待定系数法确定一次函数表达式。 教学目标 2.学会从实际问题中抽象出一次函数模型，并用其解决简单问题，培养建模能力。 3.能通过函数图象获取信息，体会数形结合思想及函数与方程、不等式的联系。 1.重点 (1)核心是掌握用待定系数法确定一次函数表达式的方法。 (2)关键是能建立一次函数模型，结合其性质或图象解决实际问题。 教学重难点 2.难点 (1)难以从复杂实际问题中准确分析变量关系，抽象出对应的一次函数模型。 (2)不易灵活结合函数的“数”（表达式）与“形”（图象），解决决策类等综合问题。 1/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 知识点01一次函数的实际应用 1)数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略在建模的过程中，为了既 合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、 抽象、综合、表达能力的体现函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型 2)正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后 根据函数的性质综合方程（组）不等式（组）及图象求解 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点 3)选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等， 寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用： 【即学即练1】 1.(24-25八年级上·江苏扬州期末)在期中考试总结会议上，学校决定购买A,B两种奖品共120件，对表 现优异的学生进行奖励.已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件. (1)请直接写出购买两种奖品的总费用y(元)与购买A种奖品的数量x(件)之间的关系式： (2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？ (3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？ 2.(24-25八年级下广东广州期末)某建筑公司现有A,B两工地需要租车运土，A工地需要12台，B工 地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如右表， 甲型车租金 乙型车租金 A工地 800元/台 600元/台 B工地 600元/台 300元/台 (1)设A工地租甲型车x台，租乙型车台；则B工地租甲型车台，租乙型车台（用含x的 式子表示) (2)设该公司每天的总租金为y元，请求出y与x的函数解析式并写出x的取值范围， (3)在(2)条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由. 知识点02一元一次方程与一次函数的关系 1)一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2)一次函数为：y+b的形式；当y0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解： y0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 【即学即练2】 1.(24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习)如图，一次函数y=x+b的图象与x轴的交点坐标为(-2,0)，则 下列说法：①k<0,b>0;②y随x的增大而减小；③关于x的一元一次方程kx+b=0的解为x=-2;④ 当x>-2时，y>0.其中正确的是() 以 y=kx+b (←2,0)/ A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 题型精讲 题型01一次函数的应用之分配方案问题 【典例1】(24-25八年级下·安徽芜湖·期末)A城有肥料200t,B城有肥料300t.现要把这些肥料全部运往 C,D两乡.从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为25元/t和20元t;从B城往C,D两乡运肥料的费用 分别为24元L和15元L.现C乡需要肥料240t,D乡需要肥料260t, (1)设从A城调运x吨肥料到C乡(0≤x≤200)，补充完整下列表格 A地(200t B地300t C地(240t) ② D地(260t ① ③ ①_②_③ (②)怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程 【变式1】(24-25八年级下·河南安阳阶段练习)“工欲善其事，必先利其器”.某校为开好劳动教育课准备购 置一批劳动工具，学校与店主商量后，店主给出了以下两种购买方案（二选一）： 方案一劳动工具13元/件，运费30元 方案二劳动工具18元/件，免费送货上门. 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为y元，按方案二购买的付款总金额为元 (1)请分别写出y,2与x之间的函数解析式： 3/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)请你为该学校选择合适的购买方案 【变式2】(24-25八年级下·全国假期作业)某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案.方案一： 没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成.设x(件)是销售商品的数量，y(元)是销售人员 的月工资.如图，为方案一的函数图像，☑为方案二的函数图像.己知方案二中每件商品的销售提成比方 案一少30元.根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数 量的费用)： 个以元 8400 6000 40 可件 (1)求对应的函数表达式 (②)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ (3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 【变式3】(24-25八年级下·北京大兴期末)某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源 车两种选型方案，该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费 用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃 料使用费用)，调研信息如下： 设车辆行驶路程为x(单位：万公里)，总费用为y(单位：万元) ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程x(万公里) 10 10 总费用y(万元) 23 28 ②两类车型各自的总费用y与行驶路程x的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点P,且与y轴分别 交于点A0,15),点B(0,25) 4/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y/万元 传统燃油车 50 40 氢能源车 35A 3 20 15A 10F 051015202530354045505560x/万公里 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是 万元： (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低。 题型02一次函数的应用之最大利润问题 【典例2】(2425八年级下山西大同期末)“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫 瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划 购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝.设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后 可获利润y元. (1)求出y与x之间的函数关系式 (2)该花店如何进货才能获得最大利润？ 【变式1】(2024九年级·陕西西安.专题练习)港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树苗 和松树苗，有关成本、销售额见下表： 种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩） 柏树苗 2.4 3 松树苗 2 2.5 设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元. (I)求y与x的函数表达式： (②)今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过0万元，若每亩的种植成本和 销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益=销售额-成本） 【变式2】(24-25八年级下.宁夏吴忠期末)某商场计划用不超过1800元购进甲、乙两种不同品牌的水杯 共50个，已知甲、乙两种品牌水杯的进价和售价如下表所示： 价格品牌 甲品牌水杯 乙品牌水杯 进价（元/个） 40 30 5/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 售价（元/个） 50 35 设购进甲品牌水杯x个，两种品牌的水杯全部销售完后可获利y元. (I)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)采用怎样的购进方案可以使获利最多，最多为多少？ 【变式3】(24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末)“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业 书写城市传奇、铸就辉煌，其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一.某超市销售甲、乙两种品牌酸奶， 结合以下材料解决问题. 内容 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总 金额y(单位：元)与进货量x(单位：罐)之间的关系如图所示，经过试销，甲、 乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐. 材 y(元) 料 1500 500- 50 150x(罐) 材 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于 料 150罐，且不高于400罐。 任 务 (1)根据图像求出y与x的函数关系式， 任 (2)若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利 务 润为w元，求出w(单位：元)与乙种品牌酸奶的进货量x(单位：罐)之间的函 数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案. 题型03一次函数的应用之行程问题 【典例3】(24-25七年级下江苏南京·开学考试)汽车由南京驶往相距300km的上海，它的平均速度为 100km/h. (I)写出汽车距上海的路程s(单位：km)与行驶的时间t(单位：h)的函数关系式： (2)指出自变量t的取值范围： 6/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)当汽车行驶2h时，汽车距离上海多远？ 【变式1】(24-25八年级上·甘肃兰州·期末)如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑 车前往C地，两人行驶的路程y(km与甲行驶的时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息 解答下列问题： y/km 60---- -入甲 50 30H 20 6 x/h (1)求甲在0≤x≤6的时间段内的函数关系式： (2)在0≤x≤6的时间段内，当x(h)为何值时甲、乙两人相距5千米， 【变式2】(24-25八年级下·安徽合肥：开学考试)一辆轿车从A地驶往B地，到达B地后立即返回A地， 返回速度是原来的1.5倍，往返共用t小时.一辆货车同时从A地驶往B地，速度是60kmh到达B地后停止， 两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为x(h),两车离开A地的距离为ykm),轿车行驶过程中y 与x之间的函数图象如图所示， 个ykm) 240 o十2346x) (1)轿车从A地驶往B地的速度为_km/h,t=-; (2)在图中画出货车从A地行驶到B地的函数图象，并求货车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式； (写出自变量取值范围) (3)当轿车从B地返回A地的途中与货车相遇时，求相遇处到A地的距离. 【变式3】(25-26八年级上·全国·期末)如图①，一条直的公路上依次有A,B,C三个汽车站， AB=250km,BC=60km,一辆汽车上午8：00从距离A站10km的P地出发，匀速向C站行驶，途中休 息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站.设汽车出发xh 后离A站km,图②中折线D一E一F一G表示接到通知前y与x之间的函数关系. 7/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y个 250 P B EF 90 D 011.5 ① ② (I)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为_km； (②)求线段FG对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）： (3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高 到多少可按时到达？请说明理由 【变式4】(24-25八年级上·辽宁沈阳·期末)一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公 路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地.行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿 车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶.两车之间的距离y(km)和货车行 驶时间x(h)之间的函数图象如图①所示. y/km As/km 320外---7 320 240 160 80 40-- 0 28D 5 /h 0 12345/h 3 ① ② (1)货车的速度为 km/h,轿车的速度为 km/h (②)求线段DE表达式： (3)在图②中，画出货车离乙地的距离s(km)和行驶时间x(h)之间的函数图象. 题型04一次函数的应用之几何问题 【典例4】(24-25八年级下·河北唐山期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=4,动点D 以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→B→C方向运动到点C停止.设运动时间为(1≥0)秒， △ADC的面积为S. 8/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 5 3 2 012345677 (I)直接写出S关于t的函数表达式及自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象， (3)直接写出△ADC的面积为3时t的值. 【变式1】(25-26八年级上·重庆渝北开学考试)如图①，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=8cm,点P 从点A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A的路线运 动，到点A停止.若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm,点Q的速度为每秒2cm,a秒时，点P 、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm,点Q的速度变为每秒dcm.图②是点P出发x秒后 △APD的面积S,(cm)与时间x(秒)的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与时 间x(秒)的函数关系图象. Dg→ ◆S(cm2) 个S2(cm2) 40 40 3 AP a 8 c文（秒） 22x商 图① 图② 图③ (I)参照图②，求a、b及图②中c的值： (2)当点Q出发秒时，点Q的运动路程为25cm; (3)设点P离开点A的路程为y(cm),点？到点A还需要走的路程为(cm),请分别写出改变速度后， 、与出发后的运动时间x(秒)的关系式，并求出点P、点)相遇时x的值 【变式2】(24-25八年级下·吉林长春·阶段练习)如图，在长方形ABCD中， ∠A=∠B=∠BCD=90°，AB=DC=8,AD=BC=14.延长BC到E,使CE=6,连接DE,由直角三角形的 性质可知DE=10.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动 的时间为t秒.(t>0) 9/19 厨学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D Bh B▣ 备用图 (1)当t=5时，BP= (2)当t= 时，点P运动到∠B的角平分线上； (3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S; (④)当0<t<11时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值. 题型05一次函数的应用之梯度计费问题 【典例5】(25-26八年级上全国期中)某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不 超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公 里按照3公里收费)，设出租车行驶路程为x,应付车费为y, (I)写出当x为整数(2≤x≤8)时，车费y与行驶路程x的函数关系式： (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【变式1】(24-25八年级上江苏盐城阶段练习)某市自来水采用分段收费标准.设居民每月应交水费y(元)， 用水量x(立方米). 用水量x(立方米) 应交水费y(元) 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)求每月应交水费y(元)与用水量x(立方米)之间的函数关系式： (2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 【变式2】(2425七年级下·河南郑州期末)为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价” 收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过180t部分 4.40元/t 超过180t,不超过300t部分 5.95元/t 超过300t部分 10.60元/t 小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准， (1)小明同学家2023年用水xt(x<180),应交水费y元.写出y与x之间的关系式； 10/19