4.4　一次函数的应用 第1课时　确定一次函数表达式 教案 2025-2026学年 北师大版数学八年级上册

4　一次函数的应用 第1课时　确定一次函数表达式 课题 第1课时　确定一次函数表达式 授课人 教 学 目 标 1.了解由两个条件可确定一次函数;能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式;能利用所学知识解决简单的实际问题. 2.经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,让学生掌握用待定系数法求一次函数表达式的方法,进一步体会数形结合的思想方法. 3.经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会解决问题的多样性,拓展学生的思维. 4.体会数学与生活的联系,了解数学的价值,增强学生对数学的理解和学好数学的信心. 教学 重点 　　由两个条件确定一次函数;待定系数法的应用. 教学 难点 　　在实际问题情境中寻找条件,确定一次函数的表达式. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 回顾一次函数和正比例函数的图象和性质(多媒体出示问题). 问题1:一次函数和正比例函数的表达式分别是什么? 问题2:一次函数和正比例函数的图象是什么? 问题3:同学们能画出函数v=2.5t与y=0.5x+14.5的图象吗? 问题4:这两个函数的图象有什么相同点和不同点? 处理方式:前两个问题较容易,找学生口答完成,第三个问题可小组交流讨论,然后请两名同学黑板板演,老师巡视并随时批阅,第四个问题学生回答可能不全面,特别是对于不同点,可以多找学生回答,并提示学生可以结合函数图象思考,最后由老师补充完善. 　　学生回顾一次函数和正比例函数的相关知识,使学生深信确定了两点一次函数图象也就确定了,为下面根据题意(或图象)确定函数表达式做好铺垫. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 一次函数表达式的确定 某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(单位m/s)与其下滑时间t(单位:s)之间的关系如图4-4-5所示. 图4-4-5 (1)写出v与t之间的关系式; (2)物体下滑3 s时速度是多少? 处理方式:问题(1)引导学生观察发现此函数是正比例函数,并且过点(2,5),从而发现物体下滑的速度每秒增加2.5米,从而确定出关系式.问题(2)把t=3代入关系式中即可求出v的值. 解:(1)v=2.5t.(2)当t=3 s时,v=7.5(m/s). 　　1.利用函数图象求函数表达式的目的是让学生能根据从图象中获取的信息求正比例函数的表达式,进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型. 活动 二: 探究 与 应用 【思考·交流】 确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢?与同伴进行交流. 师生活动:让学生讨论交流,根据正比例函数和一次函数的一般式确定需要的条件,从而得出结论,最后师生共同总结. 【概括新知】 正比例函数表达式的待定系数有一个,需要将除原点外的一个点的坐标代入求解;一次函数表达式的待定系数有两个,需要将两个点的坐标代入求解. 说明:根据图象求函数表达式时,所取的点必须是函数图象上的点. 【应用】 例1　(教材例1)在弹性限度内,弹簧的长度y(单位:cm)是所挂物体质量x(单位:kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度. 处理方式:指导学生先设一次函数的一般形式,然后根据已知条件代入,求出待定字母的值,从而确定函数关系式,最后将自变量x=4代入,求出对应的弹簧长度. 说明:指名板演过程,其他同学独立完成后互相交流,最后教师讲评板演过程,规范解题步骤. 解:设y=kx+b,根据题意,得 14.5=b,① 16=3k+b.② 将①代入②,得k=0.5. 所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5. 当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5. 因此,当所挂物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm. 想一想:根据例题的解题过程,你能总结出这种求一次函数表达式的方法吗? 指导学生根据步骤互相交流自己的想法,然后选派代表进行发言. 【概括新知】 求一次函数表达式的步骤: 1.设——一次函数表达式y=kx+b或者y=kx; 2.代——将点的坐标代入所设表达式中,列出关于k,b的方程; 3.解——解方程求出k,b的值; 4.定——把求出的k,b的值代回到函数表达式中即可. 【应用】 例2　某根蜡烛燃烧前长30 cm;燃烧时,剩下的长度y(单位:cm)是燃烧时间x(单位:h)的一次函数.当这根蜡烛燃烧2 h时,剩下的长度为12 cm. (1)写出y与x之间的关系式; (2)这根蜡烛最多能燃烧多长时间? 说明:问题(1)可以利用前面例题的方法,也可先确定蜡烛的燃烧速度,再根据剩下的长度=原长度-燃烧的长度,直接列出y与x之间的关系式;问题(2)帮助学生理解,要求蜡烛的燃烧时间,即求当y=0时,自变量x的值. 　　2.经过讨论交流,发现正比例函数与一次函数的解题思路,适当渗透一次函数与一元一次方程的关系,体现知识间的紧密联系. 3.通过例题,使学生掌握求函数表达式的方法和步骤,同时进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型,体会一次函数的应用价值. 4.让学生体会函数关系式确定的不同方法,要根据实际情况灵活加以应用,提高学生解决实际问题的能力. 活动 二: 探究 与 应用 解:(1)方法一:设y=kx+b,根据题意,得b=30,2k+b=12, 解得k=-9, 所以y=-9x+30. 方法二:根据题意,这根蜡烛的燃烧速度是9 cm/h, 所以y=-9x+30. (2)当y=0时,-9x+30=0, 解得x=, 故蜡烛最多能燃烧 h. 【拓展提升】 若直线y=kx+b经过点(0,2),且与坐标轴围成等腰直角三角形,试求该直线的函数表达式. 　　拓展提升,提高学生应用知识的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.一次函数y=kx+b的图象经过点(1,2),(0,-1),则其函数表达式为　　　　.  2.如图4-4-6所示的直线是某一次函数的图象,点A(-1,7),B(4,-4)是否在该函数的图象上? 图4-4-6 3.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)是行李质量x(千克)的一次函数,其图象如图4-4-7所示. 图4-4-7 (1)写出y与x之间的函数关系式; (2)旅客最多可免费携带多少千克的行李? 　　学以致用,当堂检测,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高. 【知识总结】 待定系数法步骤: 1.设一次函数表达式; 2.根据已知条件列出有关方程; 3.解方程; 4.把求出的k,b代回表达式即可. 　　提纲挈领,重点突出. 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 巩固上节课所学内容的核心思想,启动学生的数学学习的思维,调动学生学习的兴趣,从而由兴趣促生动机,由动机进而探索,由探索到成功,在成功的快感中延伸兴趣,使学生积极主动地投入到探索学习中去,为引出下一环节做好铺垫. ②[讲授效果反思] 探究的过程由浅入深,并利用了丰富的实际情境,既增加了学生学习的兴趣,又让学生深切体会到一次函数就在我们身边,应用非常广泛.教学中注意到利用问题串的形式,层层递进,逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法.教学中还注意到尊重学生的个体差异,使每个学生都学有所获. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　  错题题号　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $