吉林省四平市实验中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

四平实验中学2025~2026学年度月考试题·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.C数列7,25,79,241，…的各项都加上2后为9,27,81,243，…，因此一个通项公式为an=3+1一2.故选C. 2.B因为双前线号一芳=1。>0,6>0)的新近线方程为)y=士名，所以双曲线号一学-1的渐近线方程为 y一土号红故选以 3.C由题设a4十a6=2a=20→a5=10,而a1=2,所以a1十a5=2a=12→a3=6.故选C. 4.D由题意得(4一m)(m-6)>0,解得4<m<6.故选D. 5.B⊙C的圆心为C(1,一2)，半径n=1,⊙C2的圆心为C2(-3,1),半径3=4，因为CC2|= /(一3-1)2+(1+2)=5=n1十2，所以⊙C与⊙C2外切.故选B. 6.A如图，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标 系，则P0,03,B2,00,D0,20,C2,20.M00,2,所以0（号号，1）， Oi=（-专，青，-1)，D7=(0,-2,2),故点0到直线DM的距离为 A D 市-·离)√得（婴-故迹 7.A 根据题意可知，从点P射入的光线经反射后，一定经过抛物线y=4x的焦点F(1,0),设反射光线与抛 物线的交点为M(x1,y1),Q(x2,2),其中y1=6,2<0,直线MQ的方程为x=y十1，联立{ x=my叶1得 y2=4x, y一4my一4=0，所以为=一4，因为1=6，所以为=一号，所以点Q的纵坐标为一子放选A 8.B设椭圆C的焦距为2c,设B(m,n),A(0,-b),F(c,0),所以AF=(c,b),FB=(m-c,n),因为AF= 3 2FB,所以 c=2(m-c) 2c, 3)()月 即 =1,所 1b=21, 6 即B(号c,合名)，因为点B在椭圆C上，所以 a 以号方，所以C的离心率为e=。-散远R 9.BC因为抛物线经过（一2,1），所以抛物线开口向左或开口向上，设开口向左的抛物线方程为y=一2px (p>0),将点（一2,1D代入，得=子，所以开日向左的抛物线方程为=一子，放B正确：设开口向上的 抛物线方程为x2=2y(p>0),将点（一2,1）代入，得p=2,所以开口向上的抛物线方程为x2=4y,故C正 确.故选BC 10.AC由|PF1|+PF2|=2a=6,|PF1=4,得|PF2|=2.|FF2|2=4c2 4(a2-)=4(9-),由n∠EPF,=压，得s∠F,PF,=土，在△FPE 中，由余弦定理得|FF|2=|PF1+|PF|-2|PFPF|Os∠FPF2,得 8=5或2=3，所以b=√5或√3.故选AC 11.ACD对于A,当过P(一1,5)的直线的斜率不存在时，直线方程为x=一1，此时x=一1与圆C相切，符 合题意，当切线的斜率存在时，设切线方程为y一5=k(x+1),即k红一y十k十5=0，所以+1十十5 √+1 2,解得=-专，所以切线方程为4红十3y-11=0,综上所述，PM,PN的方程为x=-1和4x十3y-11= 【高二月考试题·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-293B 0,放A正确：对于B,IPM=√PC-7=PC-4,1PClm=d=1++6l=42,所以 √2 IPM1m=√(4V2)-4=2F,故B错误；对于C,Sa彩mev=2Samc=2X号1PM×|CM= 2|PM|,因为PM|m=2√7，所以(S边形mcv)m=2|PMmn=4V7,故C正确；设P(a,a十6)，以PC为 直径的圆的方程为(x-a)(x一1)+(y-a-6)(y+1)=0,与C:(x-1)2十(y十1)2=4相减，得直线 x+y=0, MN的方程为：(a-1)x+(a+7)y+4=0,即(x+y)a+(-x+7y+4)=0,令 得 1-x+7y十4=0， 即直线MN过定点(？，一)，故D正确.故选ACD. y= 29 12子（或5们由直线1经过A(一3,2)，B1,6)两点，得直线1的斜*=号=1，设直线1的领斜角 为a(0≤a<x),所以iana=1,解得a=不。 13.56因为{an}是等差数列，所以Sn,S2m一Sm,S3m一S2m成等差数列，即2(S2m一Sm)=Sm十S3m一Sm,所以 2(S2m-23)=23+99-S2m,解得Sm=56. 14.[8-42,8+42]取DB的中点O,易得|OD=IOB=号1DB|=2,5,所以P市.P= (P0+Oi)·(Pò+OB)=(PO+Oi)·(Pò-O苑)=Pò-O亦=P-(23)2=-10,所以 |PO=√，即P在以O为球心，W2为半径的球面上，过点P作直线AB的垂线，垂足为P1,所以AB·AP =AB.(AP+PP)=Ai.AP,所以A访.AP=4X(2-√2)=8-42，A范.A2x=4X(2+2)= 8+42,即AB.AP的取值范围是[8-4√2,8+42]. 10明：直线的方整可变形为-1+1-》=08则二所以宜线过定点1，。 …3分 因为12+12-4X1=一2<0，… …5分 所以点(1,1)在⊙C内部… …6分 (2)解：⊙C的方程可化为(x-2)2+y2=4, 所以⊙C的圆心为C(2,0),半径r=2. …8分 因为AB=22,所以圆心C到直线1的距离d=√P-(A了-反， 10分 即2h-0十1=2，解得k=1 12分 √k2+1 所以直线l的方程为x一y=0.………… 13分 16（1i证明：因为a1=。4a=号所以=+1，即2=1,3分 antl an an+1 an 所以数列 是公差为1的等差数列. …6分 (2)解：因为数列{}是公差为1的等差数列，=2.所以=2+(n-1)X1=十1，…9分 a 1 1 所以a:=n市6，=a,au1=(n十1)(n+2)-n中厂n+2 12分 设数列{b}的前n项和为Ta, 则=-号+++中22 15分 【高二月考试题·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-293B 17.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD.… 1分 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,ABC平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD.…3分 又PDC平面PAD,所以AB⊥PD,…4分 又PALPD,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以PDL平面PAB,…6分 又PDC平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.…7分 (2)解：分别取AD,BC的中点O,E,连结OP,OE, 因为PA=PD,PALPD,.所以OPLAD,且OP=2AD=1, 8分 因为四边形ABCD是正方形，O,E分别是AD,BC的中点，所以AO=BE,AO∥BE,所以四边形ABEO是 平行四边形，EO∥AB,又AB⊥平面PAD,POC平面PAD,所以AB⊥PO,即EO⊥PO,又AB⊥AD,所以 OE⊥AD, 以点O为坐标原点，直线OA,OE,OP分别为x轴，y轴，之轴建立如图所示 的空间直角坐标系。 …9分 则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0), PA=(1,0,-1),PB=(1,2,-1),PC=(-1,2,-1).…11分 m·PA=a-c=0, 设m=(a,b,c)为平面PAC的一个法向量，则 m.P心=-a+2b-c=0, 令a=1,得b=1,c=1,所以m=(1,1,1). … 13分 设直线PB与平面PAC所成角为0，则sim0=osm,P店1=m·P L=1+2-1=2 mPB √3×√6 3 即直线PB与平面PAC所成角的正弦值为马 3 15分 18.(1)解：联立 V- 31 ”得了x-2p=0,解得x=0或x=6p, 2分 y=2px, 所以O(0,0),A(6p,2√3p). 3分 因为|OA|=√(6)2+(23)=85，解得p=2, 5分 所以C的方程是y2=4x.… 7分 (2)证明：由(1)，得O0,0),A(6p,25p), 所以OA的中点为B(3p√3)，… 8分 所以直线m的方程为y=√3卫.… 9分 将y=5p代入y2=2px(p>0),得x=多p,即点D(p,5p), 10分 设过点A且与C相切的直线n的方程为y一25p=k(x一6p)(k≠0)， 与抛物线y=2x联立，得y-3+4 2-12p2=0. 12分 因为A=(-)°-4（色至-12p）=0,解得k- …… 6 14分 所以直线n的方程为y一25p=(x一6p),即y=得 6x十/3p,… 15分 令y=3p,得x=0,即E(0,w3p). 16分 因为0十3p=2X号p,所以点B与点E关于点D对称… 17分 【高二月考试题·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-293B a十c=3, 19.(1)解：设椭圆C的焦距为2c,则由题意得 1分 a=2, 解得 2分 c=1 所以=a2-c2=4-1=3, 3分 所以C的方程为行+苦=1. 4分 (2)证明：由(1)得F(1,0),若直线AB与直线DE的斜率一个为0，另一个不存在时， AB=4,DE-蓝=3或AB1=3,DE=).此时B十Da- …5分 若直线AB与直线DE的斜率都存在时， 设直线AB的方程为y=k(x1),A(),B(x2y), y=k(x-1), 由 得(3+42)x2-8k2x十4k2-12=0, 所以x1十x2= 8k2 3+4k202= 4k2-12 3+4k2 6分 所以|AB|=√I+|-2|=V√1+k√(+)-4x （3+4k -4×42卫2=121+2) 3+4k2 3+4k2 7分 因为ABLDE.将换成士得1DE111+()门 12(k2+1) …8分 3+4(-) 4+3k2 1 3+4k2 4+3k 7(k2+1)7 所以TAB+TDE21十e)十2(2牛1-2(+T2 9分 综上所述，TAB十TDE的值为定值.… 10分 (3)证明：由(2)得x十2= 8k2 3千4胶1十为=b(西十9-2)= 一6k +4k 因为P是AB的中点所以P(3装 一3k 11分 4(-) -3(-) 4 将k换成一 得Q 3k 3+4(-)'3+4(-6) ,即Q(4十3·4+3) 12分 3k 3k 若直线PQ的斜率存在，则直线PQ的斜率为kQ= 4+3kF3+4k 7k 4 4k2 4(1-k2),…13分 4+3k23+4k 所以直线PQ的方程为y叶3行(3）.即y（。一号). 3k 7k 4k2 …14分 所以直线PQ过定点（号，0）： 15分 若直线PQ的斜率不存在，期产解得：=-1， 4 此时直线PQ的方程为x=号，直线PQ也过定点（号，0）. 16分 所以直线PQ过定点（号，0）： …17分 【高二月考试题·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-293B四平实验中学2025~2026学年度月考试题 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节~第 2节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.数列7,25,79,241，…的一个通项公式为 A.an=3"-2 B.an=3"十4 C.an=3m+1-2 D.an=3+1+4 2,双曲线号-苦-1的渐近线方程为 Ay= 22 By=士号x cy-±x 3.已知等差数列{an}满足a1=2,a4十a6=20,则a3= A10 B.8 C.6 D.4 _y2 4若方程之61表示双曲线，则实数m的取值范围是 A（-∞，4) B.(6,+∞) C.(-∞，4)U(6,+∞) D.(4,6) 5.⊙C1:(x-1)2+(y+2)2=1与⊙C2:(x+3)2+(y-1)2=16的位置关系是 A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心， PM=号PA,且PA=3,AB=2,则点O到直线DM的距离为 A66 B.66 6 4 c D33 【高二月考试题·数学第1页（共4页）】 26-T-293B 7.抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射人一条光线，经抛物线反射后，光 线一定经过抛物线的焦点.已知从点P(m,6)(m>9)沿平行于x轴的方向射人一条光线，经 抛物线C:y2=4z反射后交抛物线C于另外一点Q,则点Q的纵坐标为 A-号 B.-1 c-号 D.-2 8已知点A是椭圆C若+芳=1a>6>0)的下顶点，F是C的右焦点，延长AP交C于点B, 若AF=2FB,则C的离心率为 A号 B号 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点（一2,1）的抛物线的标准方程是 A.y=z B=一司x C.x2=4y D.x2=-4y 10.已知R,R,分别是椭圆M:亏+片=1(0<b<3)的左，右焦点，点P在M上，且PF,=4, sim∠RPF=平，则b的值可能为 A.5 B.2 C.√3 D.√2 11.已知点P是直线1：x一y十6=0上一动点，过点P作圆C:(x一1)2+(y+1)2=4的切线， 切点分别为M,N,则下列说法正确的是 A.若P的坐标为（一1,5），则PM,PN的方程为x=一1和4x十3y一11=0 B.线段PM的长度的最小值为4√2 C.四边形PMCN的面积的最小值为4√7 D直线MN过定点（合，一） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线L经过A（一3,2)，B(1,6)两点，则直线1的倾斜角为 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=23,S3m=99,则S2m= 14.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为4，空间中的一点P满足PD·PB,=-10,则 AB·AP的取值范围是 【高二月考试题·数学第2页（共4页）】 26-T-293B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知直线L:kx-y十1一k=0和⊙C:x2+y2一4x=0. (1)求证：直线L过定点，且此定点在⊙C内； (2)若直线L与⊙C相交于A,B两点，且|AB引=2√2，求直线1的方程. 16.(本小题满分15分) 在数列{a,中，a=at1=。,n∈N), (1)证明{公}是等差数列， (2)设bn=anam+1,求数列{bn}的前n项和。 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA=PD,PA⊥PD,平 面PAD⊥平面ABCD, (1)求证：平面PAB⊥平面PCD; (2)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值， 【高二月考试题·数学第3页（共4页）】 26-T-293B 18.(本小题满分17分) 已知直线y-写：与抛物线C:y=2pz(p>0)交于0，A两点(0为坐标原点)，0A的中点 为B,过点B作y轴的垂线m,交C于点D,过点A且与C相切的直线n交直线m于点E. (1)若|OA=8√3，求C的方程； (2)求证：点B与点E关于点D对称， 19.(本小题满分17分) 已知点F是椭圆C答+芳 =1(a>b>0)的右焦点，0为坐标原点，若C上的点与点F距离 的最大值为3，最小值为1，过点F作C的两条互相垂直的弦AB,DE. (1)求C的方程； (2求证品十D记的值为定值： (3)设AB,DE的中点分别为P,Q,求证：直线PQ过定点. 【高二月考试题·数学第4页（共4页）】 26-T-293B