4.1　函数 教案 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦函数概念这一核心知识点，通过复习七年级变量、自变量等已有知识，结合摩天轮高度与时间关系等生活实例导入，搭建从变量认知到函数概念的学习支架，梳理前后知识脉络。 以摩天轮、圆柱形堆放等实例引导学生用数学眼光观察变量关系，通过抽象概括共同特征形成函数概念发展数学思维，用表格、关系式、图象三种表示方法强化数学语言表达，促进学生主动探究，助力教师高效落实概念教学，提升学生抽象能力与模型意识。

1　函数 课题 1　函数 授课人 教 学 目 标 1.初步掌握函数的概念,能判断两个变量间的关系是否可以看成函数;根据两个变量之间的关系式,给定其中一个量,会求出另一个量的值;了解函数的三种表示方法. 2.经历具体实例的抽象概括过程,进一步发展学生的抽象思维能力;初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识. 3.在函数概念形成的过程中,培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神. 4.经历函数概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想;让学生主动地参与观察、操作、交流、归纳等探索活动,促进学生对数学知识的理解,形成有效的学习模式. 教学 重点 　　理解函数的概念,会判断两个变量间的关系是不是函数关系. 教学 难点 　　经历函数概念的形成过程,能把实际问题抽象概括为函数问题. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 我们生活在一个变化的世界中,很多东西都在悄悄地发生着变化.我们在七年级已经学习了变量及因变量和自变量,你还记得它们的概念吗?让我们一起来回顾一下吧! 课件展示: 问题: (1)什么叫作变量、自变量和因变量? (2)什么叫作常量? 函数是刻画变量之间关系的常用模型,了解变量之间的关系可以帮助我们更好地认识世界,服务于我们的生活.因此,让我们一起走进函数的天地吧!(板书课题:1　函数) 　　以复习的形式引导学生回顾知识,加深学生对概念的理解,同时为后面的学习做铺垫. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 函数及其相关概念 你坐过摩天轮吗?想一想,如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离地面的高度是如何变化的? 学情预设:坐在摩天轮上,随着时间的变化,离地面的高度逐渐升高,然后又逐渐降低,反复运动. 图4-1-6反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度h(单位:m)与旋转时间t(单位:min)之间的关系. 图4-1-6 　　1.通过摩天轮,让学生理解离地高度与时间的关系,任取一个时间,都有唯一一个离地高度与之对应;同时为学习函数概念提供素材. 活动 二: 探究 与 应用 在这个变化过程中,有几个变量?自变量是什么?因变量是什么? 处理方式:教师指名回答,学生不难得出整个变化过程中,有两个变量,其中旋转时间是自变量,某一点离地面的高度是因变量,教师出示如下两个问题. (1)根据图4-1-6填写下表: t/min 0 1 2 3 4 5 … h/m … (2)对于给定的时间t,相应的高度h确定吗? 师生活动:问题(1)让学生根据图4-1-6进行填表,问题(2)在学生填完表格后进行思考,体会两个变量的对应关系. 【操作·思考】 1.圆柱形物体常常像图4-1-7那样堆放,随着层数的增加,物体的总数是如何变化的? 图4-1-7 请填写下表: 层数n 1 2 3 4 5 … 物体总数y … 处理方式:让学生观察物体总数与层数的变化情况,然后填写表格,并指名回答. 学情预设:随着层数的增加,物体的总数也随之增加,物体总数分别为1,3,6,10,15. 追问: (1)在这个问题中有几个变量?分别是什么? (2)对于给定的每一个层数n,物体的总数y唯一确定吗? 结论:有两个变量,分别是层数和物体的总数,对于给定的每一个层数n,物体的总数y唯一确定. 2.一定质量的气体在体积不变时,若温度降低到-273.15 ℃,则气体的压强为零.因此,物理学中把-273.15 ℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(单位:K)与摄氏温度t(单位:℃)之间有如下数量关系:T=t+273.15,T≥0. (1)当t分别为-43 ℃,-27 ℃,0 ℃,18 ℃时,相应的热力学温度T是多少? (2)给定一个大于-273.15 ℃的t值,你都能求出相应的T值吗? 处理方式:教师让学生自己独立计算后指名回答,有问题时其他同学进行纠正. 解:(1)当t分别等于-43 ℃,-27 ℃,0 ℃,18 ℃时,相应的热力学温度T分别是230.15 K,246.15 K,273.15 K,291.15 K. (2)能.如当t=-273.13 ℃时,T为0.02 K. 【思考·交流】 上面三个问题都研究了两个变量之间的关系,它们有什么相同点和不同点?与同伴进行交流. 学生思考后得出结论,在上面各题中,都有两个变量,给定其中某一个变量的值,相应地就确定了另一个变量的值. 2.通过圆柱形物体的堆放问题,让学生明确:随着层数n的增加,物体的总数y也增加,并且对于给定的每一个层数n,物体的总数y有唯一的值与它对应,由此让学生感悟函数的内涵. 3.通过学生分析探究活动中的例子的共同特点,让学生用自己的语言概括函数的概念,加深学生对函数概念本质特征的理解. 活动 二: 探究 与 应用 【概括新知】 一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量. 说明:理解函数概念应把握三点: (1)有两个变量; (2)一个变量的值随着另一个变量的值的变化而变化; (3)自变量每确定一个值,另一个变量就有唯一确定的值与之对应. 表示函数的三种方法:表格、关系式和图象. 【尝试·思考】 上述问题中,自变量能取哪些值? 处理方式:教师让学生回顾刚才的三个问题,从而确定时间t≥0,层数n为正整数,摄氏温度t≥-273.15. 【概括新知】 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. 【应用】 例　图4-1-8是某物体的抛射曲线图,其中s表示物体与抛射点之间的水平距离,h表示物体的高度. 图4-1-8 (1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系? (2)根据图象填写下表: s/m 0 1 2 3 4 5 6 h/m (3)当水平距离s取0至6 m之间的一个确定的值时,相应的高度h确定吗? (4)高度h可以看成水平距离s的函数吗? 变式 如图4-1-9①,梯形的下底是10 cm,高是6 cm,设梯形的上底为x cm,面积为y cm2,面积y随上底x的变化而变化. 图4-1-9 (1)在这个变化过程中,　　　　是自变量;  (2)y与x之间的关系式为　　　　;  (3)小亮用图②的图象来表示面积y与上底x的变化规律,请观察图②回答:梯形的面积y随上底x的增大而　　　　.  　　4.通过教师追问,让学生初步感悟自变量的取值范围及函数值. 5.让学生理解自变量的取值是有范围的,能根据自变量的值求出函数值,体会与代数式的值的区别与联系. 6.对所学知识进行应用,促进学生巩固知识. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 图4-1-10是弹簧挂上重物后,弹簧的长度y(厘米)与所挂物体的质量x(千克)之间的变化关系图(在弹簧弹性限度内).根据图象,回答问题: 图4-1-10 (1)不挂重物时,弹簧长多少厘米? (2)当所挂物体的质量分别为5千克、10千克、15千克、20千克时,弹簧的长度分别是多少厘米? (3)弹簧长度y可以看成是物体质量x的函数吗?若能,请你用关系式表示出来. 　　通过拓展提升,对函数概念进行更深入的探究,再次揭示函数概念的本质特征. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.长方体的底面积为4 cm2,高x(cm)可变化,则其体积(单位:cm3)V=4x.关系式中有　　　　个变量,当x=2 cm时,V=　　　　cm3.我们可以把　　　　看成是　　　　的函数.  2.一蓄满水的水池正在放水,剩余水量y与放水时间t之间的关系式为y=600-50t,其中自变量是　　　　,　　　　是　　　　的函数.  给定了t值,请你完成下表: 放水时间t 0 1 2 3 4 … 剩余水量y … 3.等腰三角形ABC的周长为10 cm,底边BC长为y cm,腰AB长为x cm,写出y与x之间的关系式. 　　考查本节课的基础知识和基本技能,检查不同层次学生掌握知识的情况,为以后改进教学提供依据. 【板书设计】 1　函数 1.函数概念:一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量. 简写:“每一”对“唯一” 2.函数的三种表示方式: (1)表格; (2)关系式; (3)图象. 3.函数值的定义:对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 承接上一学期变量关系的学习,让学生感受到变量之间的关系是通过多种形式表现出来的,感受研究函数的必要性.通过生活实例,激发学生的研究热情,起到很好的导入效果. 活动 三: 课堂 总结 反思 ②[讲授效果反思] 通过大量的函数关系的展示,让学生经历函数概念的抽象概括过程,初步掌握函数概念.通过函数概念,学生可初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.体会函数的模型思想.让学生主动地参与观察、操作、交流、归纳等探索活动,可促进学生对数学知识的理解,形成有效的学习模式. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　  错题题号　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $