第十讲 函数（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十讲 函数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：函数的概念 函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.例如y=2 x， y= 等， y 是 x 的函数 . 知识点02：函数的三种表示方法 1. 函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 关系式法 用数学式子表示函数关系的方法叫做关系式法. 其中的等式叫做函数关系式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系 从函数关系式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用关系式法表示出来 图象法 用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 2.列函数关系式 根据实际问题列函数关系式的方法类似于列方程解应用题，只要找出自变量与函数值之间存在的等量关系，列出等式即可. 但要整理成用含自变量的代数式表示函数值的形式. 知识点03：函数的自变量与函数值 1. 函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数的自变量的取值范围 . 2. 确定自变量的取值范围需要从两个方面考虑 (1)使函数表达式本身有意义； (2)实际问题中还需要使实际问题有意义 . 3. 函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值 . 考点1：函数的概率 【典型例题】 下列各图中表示y是x的函数的是（　  　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的概念，由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数，因此D选项中的图象表示是的函数，其他三个选项均不表示是的函数． 故选：D． 【变式训练1】 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义和函数图象，根据“自变量的每一个值，因变量有唯一的值与之对应”判定即可． 【详解】解：从A、C、D选项中的图象可知，每一个，都有唯一的值与之对应，因此能表示y是x的函数，不符合题意； B选项中，当时，每一个，都有两个值与之对应，因此不能表示y是x的函数，符合题意； 故选：B． 【变式训练2】 下列关系中，y不是x的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，能表示y是x的函数，故此选项不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，能表示y是x的函数，故此选项不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，如，，所以y不是x的函数，故此选项符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，能表示y是x的函数，故D不符合题意； 故选：C． 考点2：函数的表示方法 【典型例题】 下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是(　　) ①圆的周长是半径的函数；②表达式中，是的函数； ③如表，是的函数；④如图，曲线表示是的函数． n A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数，每一个半径都只有一个周长C与之对应，表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数，每一个都只有一个与之对应，表述正确，故②符合题意； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 某剧院观众的座位数按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 30 33 36 39 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时y的值为（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 【答案】B 【分析】找出排数x与座位数y之间的变量关系，然后代入即可求得y的值． 【详解】解：当x＝1时，y＝30， 当x＝2时，y＝30＋3， 当x＝3时，y＝30＋3×2， 当x＝4时，y＝30＋3×3， ∴当x＝8时，y＝30＋3×7＝51， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，通过例举，总结归纳出规律是解题的关键． 考点3：函数的解析式 【典型例题】 已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数关系式，理解“剩余油量总油量流出油量”是正确解答的前提． 根据“剩余油量总油量流出油量”，用代数式表示流出油量即可． 【详解】解：根据“剩余油量总油量流出油量”可得， ， 故选：B． 【变式训练1】 有一个皮球从高处下落，第一次落地后反弹起，以后每次落地后的反弹高度都减半．则表示反弹高度（单位：）与落地次数的对应关系的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式．由题意可知，每次落地后的反弹高度都减半，依次可得表示反弹高度与落地次数的对应函数关系． 【详解】解：根据题意得，表示反弹高度h（单位：）与落地次数n的对应关系的函数解析式：（n为正整数）． 故选：D 【变式训练2】 如图，某链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，节链条的总长度为，则与的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形和数字类规律探究、列函数解析式，根据题意找规律是解题的关键． 先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意得： 1节链条的长度为， 2节链条的总长度为， 3节链条的总长度， …… x节链条总长度为， 即y与x的关系式是． 故选：D． 考点4：函数图象提供的信息解答 【典型例题】 将甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量（单位：）分别记为、，它们随温度（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度的范围应控制在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象提供的信息解答即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据题意以及函数的图象获取的信息可得，当时，温度的范围应控制在， 故选：C． 【变式训练1】 小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接骑自行车到学校，如图是他们家到学校的距离（米）和小明离家时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（    ） A．小明家和学校距离米 B．小华骑自行车的速度是米/分 C．小华与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为米/分 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，解题关键是正确理解图象信息． 根据题意，结合图象可得小华和小明的家到学校的距离，小华骑自行车从家到达学校所用时间，小明从家到学校的时间，根据行程问题相关公式，计算可得小华和小明的速度，相遇时间，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：由图象可知，小华和小明的家离学校米， 故选项说法正确，不符合题意； 根据图象，小华骑自行车从家到达学校共用了（分钟）， ∴骑自行车的速度为（米/分）， 故选项说法正确，不符合题意； 小明先出发分钟然后停下来吃早餐， 由图象可知，在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明， ∴二人相遇所用的时间是（分钟）， 即，相遇， 故选项说法正确，不符合题意； 小明从家到学校的时间为分钟， ∴小明的平均速度为（米/分）， 故选项说法错误，符合题意． 故选：． 【变式训练2】 嘉嘉和琪琪住在同一小区，星期六嘉嘉和琪琪相约去体育场，嘉嘉骑车前往，路过一个超市购买了一些食品，然后以相同速度继续前行；琪琪直接乘公交车前往目的地．如图所示是两人从小区到体育场所走路程（米）与所用时间（分钟）之间的关系图象，则嘉嘉比琪琪晚到（    ） A．5分钟 B．6分钟 C．7分钟 D．8分钟 【答案】C 【分析】先求出嘉嘉骑车的速度，再根据速度算出嘉嘉到达体育场的时间，接着确定琪琪到达的时间，最后计算嘉嘉比琪琪晚到的时间．本题主要考查函数图象的实际应用，熟练掌握从图象中获取信息、计算速度和时间是解题的关键． 【详解】解：嘉嘉骑车速度：速度（米/分钟） 嘉嘉到达体育场的时间：嘉嘉总共用时分钟． ∴晚到分钟． 故选：C ． 一、单选题 1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，ABD曲线中y是x的函数，而C曲线中y不是x的函数， ∴ABD不符合题意，C符合题意． 故选：C． 2．某型号汽车油箱的剩余油量与行驶时间之间的关系为如图所示的一次函数关系，根据图象可知，这辆汽车行驶时每小时的耗油量与能行驶的最长时间分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的应用，根据函数图象中的数据，可以计算出每小时的耗油量和行驶的最长时间． 【详解】解：由图象可得， 每小时耗油量为：， 行驶的最长时间为：， 故选：A． 3．已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数关系式、等腰三角形三边关系的性质、三角形三边关系定理，得出不等式组是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系得： ， 解得：． 故选：B． 4．变量y与x的关系为，当时，y的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求函数值；将已知的x值代入表达式，直接计算对应的y值． 【详解】解：当时， 故选：B． 5．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 6．“体重管理年”是国家卫生健康委等多部门于2024年6月联合启动的为期三年的全民健康行动，旨在通过科学干预和社会协同降低超重与肥胖率，提升全民健康水平．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列函数关系是，根据题意，初始体重为，每天减少，建立与的函数关系式即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：小丽的初始体重为，每天减少，则天后减少的总重量为， 因此，天后的体重可表示为初始体重减去减少的总重量，即， 故选：B． 7．纯电动汽车（）续航里程取决于车载动力电池容量的大小．某品牌汽车采用智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低并保持匀速充电模式．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率随充电时间变化的函数图象，据图下列说法错误的是（   ） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B．汽车电池含电率达到时充电用时 C．本次充电持续时间是 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，则本次充电耗电70千瓦时 【答案】D 【分析】本题考查了由函数图象读取信息，仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可． 【详解】解：A．由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，说法正确，不符合题意； B．由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，说法正确，不符合题意； C．由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，说法正确，不符合题意； D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是80千瓦时，则到的电量变化对应的耗电量为：（千瓦时），原说法错误，符合题意， 故选：D． 8．如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中的面积和函数图象，求出和的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积，点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4，当点P在上运动时， 的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且运动路程由4到9，说明的长为5，然后求出矩形的面积． 【详解】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y随x的增大而增大，当P点在上运动时，的面积不变， 得出， 所以矩形的面积为：． 故选：D． 二、填空题 9．在圆的面积公式中，是常量，当半径为自变量时， 是 的函数． 【答案】 S r 【分析】本题考查函数，在一个变化过程中，有两个变量x、y，当给x一个值时，y有唯一的一个值与之对应，则把y叫x的函数． 掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念解答即可． 【详解】解：公式中，是常量，当半径为自变量时， 则S是r的函数． 故答案为：S；r． 10．某公交车每月的支出为2200元，每月利润随着乘车人数的变化而变化，在这个变化中，自变量是 ． 【答案】乘车人数 【分析】此题考查的是函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．根据函数的定义结合题意即可确定自变量． 【详解】解：根据函数的定义可知，利润随着乘车人数的变化而变化，则乘车人数是自变量， 故答案为：乘车人数． 11．函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式意义的条件，由二次根式有意义的条件得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 12．小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间满足关系式，当电阻时，此时温度 ． 【答案】20 【分析】本题考查函数的应用，当时，代入关系式求出对应t的值即可． 【详解】解：当时，得， 解得， ∴此时温度． 故答案为：20． 13．声音在空气中传播的速度（米/秒）（简称音速）与气温（℃）之间的关系如下： 气温（℃） 0 5 10 15 20 … 音度（米/秒） 331 334 337 340 343 … 从表中可知音速随温度的升高而 ；在气温为15℃的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.3秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 【答案】 加快 102 【分析】从表格可以看到y随x的升高而加快；15℃时，音速为343米/秒，距离为340×0.3=102米； 【详解】解：从表格可以看到y随x的升高而加快； 15℃时，音速为340米/秒，340×0.3=102米， 这个人距离发令点102米； 故答案为：加快；102； 【点睛】本题考查变量之间的关系，函数的表示方法；能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算距离是解题的关键． 14．某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的应用．利用已知批发价为每千克元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果，求得解析式，根据批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元，至多可以买，求出自变量的取值范围． 【详解】解：由已知批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果得y与x的函数关系式：， ∵批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元， ∴， ∴至多可以买． 故自变量x的取值范围：． 故答案为： 15．小东早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行驶的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示，若小东返回时上、下坡的速度仍保持不变，则他从学校骑车回家用的时间是 分． 【答案】42 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．观察图象求出上下坡的速度以及上下坡的路程，即可求解． 【详解】解：观察图象得：上坡的速度为千米/分，下坡的速度为千米/分，上坡的路程为千米，下坡的路程为千米， ∴分， 即他从学校骑车回家用的时间是42分． 故答案为：42 16．如图，中，，点为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为 ．    【答案】10 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理．由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12，此时，所以，再结合勾股定理，利用完全平方公式变形求得即可． 【详解】解：由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12． 点是的中点， 当点运动到点时，， ， ， ， 故答案为：10． 三、解答题 17．某童装店购进某种品牌的童装若干件，销售了一部分后，剩下的童装每件降价10元销售，全部售完．销售总额y（元）与销售量x（件）之间的函数关系如图所示，请完成下列问题： (1)降价前该童装的销售单价是______元/件； (2)求m的值． 【答案】(1)55 (2)3100 【分析】（1）某种品牌的童装40件销售额是2200元，每件服装销售金额=销售服装总额÷服装销售件数计算即可； （2）利用降价后的销售额÷降价后销售件数=降价后的售价即可求出； 【详解】（1）解：销售某种品牌的童装40件，销售额为2200元，每件服装销售金额元/件， 故答案为：55； （2）依题意，得： ， ； 【点睛】本题考查服装的售价，降价后总销售额，掌握服装的售价的求法，降价后总销售额的计算，利用降价后的销售额÷降价后销售件数=降价后的售价构造方程是解题关键． 18．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了（休息前后的速度一致），如图是甲、乙两车行驶的路程与时间的函数图象． (1)图中_______，________； (2)求甲、乙两车的行驶速度． 【答案】(1)， (2)甲车速度为，乙车速度为 【分析】本题主要考查了函数图象，正确理解题意，从函数图象中读取信息是解题的关键． （1）根据“路程、时间、速度”以及函数图象就求出甲的速度，进而完成解答； （2）由（1）知甲车的速度，再根据“路程、时间、速度”以及函数图象即可求出乙的速度． 【详解】（1）解：由题意得， 甲车小时距出发地， 甲车速度为， ， 故答案为：，； （2）解：由（1）知甲车速度为， 乙车速度为， 答：甲车速度为，乙车速度为． 19．草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量 1 2 3 4 …… 销售总价y（元） … (1)表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ (2)请写出销售总价y（元）关于销售数量的函数解析式； (3)丽丽一家共摘了草莓，应付多少钱？ 【答案】(1)表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数 (2) (3)元 【分析】（1）根据函数的定义判断解答即可； （2）销售数量x每增加，销售总价y增加8元，其中元是必须要支付的，由此确定解析式即可； （3）根据解析式计算即可． 本题考查了函数的定义，函数的表达式，求函数值，熟练掌握定义，表达式确定，求函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数． （2）解：销售数量x每增加，销售总价y增加8元，其中元是必须要支付的，由此销售总价y关于销售数量x的函数解析式为：． （3）解：根据题意得，， 应付的钱数为：（元）． 20．“清明节”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求汽车行驶路程x（千米）与剩余油量y（升）之间的函数关系式； (2)当汽车行驶280千米时，求油箱中还剩多少升油？ (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1) (2)17升 (3)能在汽车报警前回到家，理由见解析 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，有理数除法的实际应用，根据数量关系列出关系式是解题的关键． （1）根据单位耗油量耗油量行驶里程，剩余油量油箱内油的升数行驶路程的耗油量即可解答； （2）把千米代入剩余油量公式，计算即可； （3）计算出升油能行驶的距离，与来回400千米比较大小即可得． 【详解】（1）解：（升/千米）， 关系式为； （2）解：当时，（升）， 答：油箱中还剩17升油； （3）解：他们能在汽车报警前回到家，理由如下： ， ∴他们能在汽车报警前回到家． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十讲 函数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：函数的概念 函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.例如y=2 x， y= 等， y 是 x 的函数 . 知识点02：函数的三种表示方法 1. 函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 关系式法 用数学式子表示函数关系的方法叫做关系式法. 其中的等式叫做函数关系式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系 从函数关系式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用关系式法表示出来 图象法 用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 2.列函数关系式 根据实际问题列函数关系式的方法类似于列方程解应用题，只要找出自变量与函数值之间存在的等量关系，列出等式即可. 但要整理成用含自变量的代数式表示函数值的形式. 知识点03：函数的自变量与函数值 1. 函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数的自变量的取值范围 . 2. 确定自变量的取值范围需要从两个方面考虑 (1)使函数表达式本身有意义； (2)实际问题中还需要使实际问题有意义 . 3. 函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值 . 考点1：函数的概率 【典型例题】 下列各图中表示y是x的函数的是（　  　　） A．B． C． D． 【变式训练1】 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 【变式训练2】 下列关系中，y不是x的函数是（   ） A． B． C． D． 考点2：函数的表示方法 【典型例题】 下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是(　　) ①圆的周长是半径的函数；②表达式中，是的函数； ③如表，是的函数；④如图，曲线表示是的函数． n A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式训练1】 某剧院观众的座位数按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 30 33 36 39 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时y的值为（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 考点3：函数的解析式 【典型例题】 已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 有一个皮球从高处下落，第一次落地后反弹起，以后每次落地后的反弹高度都减半．则表示反弹高度（单位：）与落地次数的对应关系的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，某链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，节链条的总长度为，则与的关系式是（   ） A． B． C． D． 考点4：函数图象提供的信息解答 【典型例题】 将甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量（单位：）分别记为、，它们随温度（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度的范围应控制在（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接骑自行车到学校，如图是他们家到学校的距离（米）和小明离家时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（    ） A．小明家和学校距离米 B．小华骑自行车的速度是米/分 C．小华与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为米/分 【变式训练2】 嘉嘉和琪琪住在同一小区，星期六嘉嘉和琪琪相约去体育场，嘉嘉骑车前往，路过一个超市购买了一些食品，然后以相同速度继续前行；琪琪直接乘公交车前往目的地．如图所示是两人从小区到体育场所走路程（米）与所用时间（分钟）之间的关系图象，则嘉嘉比琪琪晚到（    ） A．5分钟 B．6分钟 C．7分钟 D．8分钟 一、单选题 1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 2．某型号汽车油箱的剩余油量与行驶时间之间的关系为如图所示的一次函数关系，根据图象可知，这辆汽车行驶时每小时的耗油量与能行驶的最长时间分别为（   ） A． B． C． D． 3．已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 4．变量y与x的关系为，当时，y的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 5．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 6．“体重管理年”是国家卫生健康委等多部门于2024年6月联合启动的为期三年的全民健康行动，旨在通过科学干预和社会协同降低超重与肥胖率，提升全民健康水平．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 7．纯电动汽车（）续航里程取决于车载动力电池容量的大小．某品牌汽车采用智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低并保持匀速充电模式．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率随充电时间变化的函数图象，据图下列说法错误的是（   ） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B．汽车电池含电率达到时充电用时 C．本次充电持续时间是 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，则本次充电耗电70千瓦时 8．如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 二、填空题 9．在圆的面积公式中，是常量，当半径为自变量时， 是 的函数． 10．某公交车每月的支出为2200元，每月利润随着乘车人数的变化而变化，在这个变化中，自变量是 ． 11．函数中，自变量x的取值范围是 ． 12．小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间满足关系式，当电阻时，此时温度 ． 13．声音在空气中传播的速度（米/秒）（简称音速）与气温（℃）之间的关系如下： 气温（℃） 0 5 10 15 20 … 音度（米/秒） 331 334 337 340 343 … 从表中可知音速随温度的升高而 ；在气温为15℃的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.3秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 14．某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为 ． 15．小东早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行驶的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示，若小东返回时上、下坡的速度仍保持不变，则他从学校骑车回家用的时间是 分． 16．如图，中，，点为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为 ．    三、解答题 17．某童装店购进某种品牌的童装若干件，销售了一部分后，剩下的童装每件降价10元销售，全部售完．销售总额y（元）与销售量x（件）之间的函数关系如图所示，请完成下列问题： (1)降价前该童装的销售单价是______元/件； (2)求m的值． 18．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了（休息前后的速度一致），如图是甲、乙两车行驶的路程与时间的函数图象． (1)图中_______，________； (2)求甲、乙两车的行驶速度． 19．草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量 1 2 3 4 …… 销售总价y（元） … (1)表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ (2)请写出销售总价y（元）关于销售数量的函数解析式； (3)丽丽一家共摘了草莓，应付多少钱？ 20．“清明节”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求汽车行驶路程x（千米）与剩余油量y（升）之间的函数关系式； (2)当汽车行驶280千米时，求油箱中还剩多少升油？ (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$