精品解析：湖北省随州市高中教联体2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题

2025年秋随州高中教联体高一期中考试 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，、则集合的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 幂函数在上单调递增，则过定点（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 4 7. 已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 10. 若正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 已知函数的定义域为，且 若 ，则（ ） A. B. C. 函数 是偶函数 D. 函数 是减函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 计算：__________. 13. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 14. 定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 函数是定义在上的奇函数，且． （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于的不等式． 17. 2024年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的32岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2小时41分03秒，马拉松比赛的标准长度是42.195千米，可测算黄雪梅在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7千米／时. 长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以分钟／千米来表示，例如：当某位跑步者的配速为5分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长为5分钟，换算后相应的时速为（千米／时），配速越小速度越快. （1）计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为千米／时对应的配速分钟／千米的解析式； （2）经统计，业余长跑爱好者不同的配速（分钟／千米）与血氧饱和度有如下关系：，（，为常数），且配速为5分钟／千米时的血氧饱和度为，配速为4分钟／千米时的血氧饱和度为，求和的值； （3）业余长跑者在血氧饱和度低于时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字） （参考数值：，） 18. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知，试判断是否为“类函数”. （2）设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； （3）若为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围. 19. 函数的定义域为，若对于任意的，都有，成立，则称为阶伸缩函数. （1）若函数为2阶伸缩函数，且当时，，求； （2）若函数为3阶伸缩函数，且当时，求证：函数在上无零点； （3）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在上的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋随州高中教联体高一期中考试 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，、则集合的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算得，再得子集的个数. 【详解】当时，为奇数， ∴共2个元素， ∴集合的子集的个数个， 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式解得，根据“”与“”的关系，即可得解. 【详解】由可得，解得. 因为由“”推不出“”，且由“”推不出“”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以，所以，所以， 所以，故. 故选：D 4. 幂函数在上单调递增，则过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用已知条件得到求出的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可. 【详解】由题意得： 或， 又函数在上单调递增， 则， 则， 当时， ， 则过定点. 故选：D. 5. 若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解. 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 6. 若，，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由变形可得，利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 因为，，所以，同理， 又， 因为，，， 由基本不等式就可得， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7. 已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，的值域，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由题意先研究其奇偶性，再判断其单调性，最后利用单调性求解抽象不等式即可. 【详解】设，由是定义在上的偶函数， 则， 所以是定义在上的奇函数. 由题意得，若，且，都有， 所以是上的减函数，又 是上的奇函数， 所以图象关于原点对称，则是上的减函数. 由不等式可知. ①当时，不等式可化为， 即，由，则 解得（舍），或； ②当时，不等式可化为， 即，由，则 解得，或（舍）； 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 10. 若正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可判断A；利用基本不等式1的代换可求得的最小值可判断B；利用可求最大值可判断C；根据，结合二次函数可求最小值. 【详解】由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； ，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故B错误； ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是，故C正确； ， 当时，取得最小值，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且 若 ，则（ ） A. B. C. 函数 是偶函数 D. 函数 是减函数 【答案】AD 【解析】 【分析】本题采用赋值法求解：对于A，先令得到，再令便可得到；对于C，令便可得到的解析式，然后便可以判断奇偶性，对于B，再令便可得到的值；对于D，由的解析式，令得到的解析式，从而判断函数的单调性. 【详解】令，则，即，因为所以 ； 令 ，则， 因为，所以，即， 又因为所以，选项A正确； 令 ，所以，即 又因为是奇函数，所以是奇函数，选项C错误； 由，令得到，选项B错误； ，即，即函数是减函数，选项D正确； 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数和对数的运算法则求解即可. 【详解】由题可得：， 故答案为： 13. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数单调性结合定义域列式计算求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以或， 所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由知，列出不等式组，解得的取值范围； （2）知两个集合存在交集，分情况列出不等式组，解得的取值范围. 【小问1详解】 由集合， 因为，可得，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 16. 函数是定义在上的奇函数，且． （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） 函数在上为增函数，证明如下： 由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 经检验，时，， 所以是上的奇函数，满足题意， 又，解得，故，. 且，则， 因为，所以，，，， 所以，即，故在上为增函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质求b，由可得a，然后利用单调性定义证明即可； （2）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，结合定义域求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为奇函数，所以， 不等式可化为， 又在上是增函数，所以，解得， 所以关于t的不等式解集为. 17. 2024年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的32岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2小时41分03秒，马拉松比赛的标准长度是42.195千米，可测算黄雪梅在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7千米／时. 长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以分钟／千米来表示，例如：当某位跑步者的配速为5分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长为5分钟，换算后相应的时速为（千米／时），配速越小速度越快. （1）计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为千米／时对应的配速分钟／千米的解析式； （2）经统计，业余长跑爱好者不同的配速（分钟／千米）与血氧饱和度有如下关系：，（，为常数），且配速为5分钟／千米时的血氧饱和度为，配速为4分钟／千米时的血氧饱和度为，求和的值； （3）业余长跑者在血氧饱和度低于时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字） （参考数值：，） 【答案】（1）3.82（分钟／千米），. （2）. （3）3.11分钟／千米. 【解析】 【分析】（1）根据配速定义直接代入公式计算可得； （2）利用给定解析式代入列方程组，即可解得结果； （3）由（2）中的解析式构造不等关系，解指数不等式并利用参考数据计算即可. 【小问1详解】 由题意，黄雪梅的平均配速为（分钟／千米） 时速为千米／时，配速. 【小问2详解】 因为， 代入数值可得， 解得. 【小问3详解】 由（2）得. 令，则有， 可得， 所以.因此， 即配速的最小值为3.11分钟／千米. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据提供函数模型代入对应数值，求出函数解析式，再构造不等关系解决实际问题进行实际应用. 18. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知，试判断是否为“类函数”. （2）设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； （3）若为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围. 【答案】（1）是“类函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得：，解得的值，可得结论； （2）若是定义在上的“类函数”，则存在实数满足，即方程在上有解，进而可得实数的最小值； （3）若为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足，进而可得实数的取值范围． 【小问1详解】 函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足，则， 解得或1，所以是“类函数”； 【小问2详解】 因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数满足， 即方程在上有解， 令，则， 因为在上递增，在上递减， 所以当或时，取最小值； 【小问3详解】 由对恒成立，得， 因为若为其定义域上的“类函数”， 所以存在实数，满足 ①当时，， 所以，所以， 因为函数是增函数，所以； ②当时，，所以，矛盾； ③当时，，所以，所以， 因为函数是减函数，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 19. 函数的定义域为，若对于任意的，都有，成立，则称为阶伸缩函数. （1）若函数为2阶伸缩函数，且当时，，求； （2）若函数为3阶伸缩函数，且当时，求证：函数在上无零点； （3）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在上的取值范围. 【答案】（1）； （2） 当，则，又， 所以， 令，则，可得， 故或， 显然、都不在区间内， 故在上无零点； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义求函数值即可； （2）由题意，则，进而有，应用方程法判断零点的个数即可； （3）根据阶缩放函数成立的条件建立条件关系即可求出结论． 【小问1详解】 由题设； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设，，且， 当，且，，使，所以， 即，故，则，， 当时，的取值范围是， 当时，，且， 则，所以， 所以在上的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $