精品解析：河南省漯河市召陵区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年上学期期中考试 八年级数学 时间：100分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 3. 已知等腰三角形两边长分别是和，则该三角形的周长是（ ） A. 9cm B. C. D. 或 4. 已知点关于轴的对称点的坐标是，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 3 5. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长为12，AE＝5，则△ABC的周长为（　　） A. 25 B. 22 C. 17 D. 12 6. 如图，，若用“”判定，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 在下列结论中： ①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ④有一个角是60°，且是轴对称图形的三角形是等边三角形． 其中正确的个数是（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在线段的垂直平分线上 D. 9. 如图所示，点E、F为网格中的格点，为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 9个 D. 10个 10. 如图，点为线段上一点，都是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，下列结论：①；②平分；③是等边三角形；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共15分 11. 命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”） 12. 若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为___________． 13. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 14. 如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=6，BC=4，则BD的长为________. 15. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交边，边于两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，当周长取最小值为14时，的面积为___________． 三、解答题 16. 在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并写出问题的解答过程． 问题：如图，在中，，点D在AB边上（不与点A，B重合），点E在AC边上（不与点A，C重合），连接BE，CD，相交于点F．若_________，求证：． 17. 如图，中，，． （1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）连接，求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，直线经过点且与轴平行． （1）请在坐标系中画出关于轴对称的图形． （2）请在坐标系中画出关于直线对称的图形，写出三个顶点坐标． （3）若点是内一点，则点关于直线对称的点的坐标是_________． 19. 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． （1）在中，若，，则为“ 倍角三角形”． （2）如图，在中，，与的角平分线交于点D，若为“6倍角三角形”，请求出的度数． 20. 如图，是的角平分线，， 于E，与相交于点． （1）求证：垂直平分． （2）若，三角形面积为，，求长． 21. 如图，已知等边，点在内，点在外，分别连接，，，，，. （1）连接，求证：是等边三角形； （2）连接，若是以为顶角的等腰三角形，且，求的度数. 22. 如图，在边长为的等边中，，分别是射线、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的运动速度都是，连接交于点． （1）如图1，①设点的运动时间为秒，的长为___________，的长为__________．（用含的式子表示） ②连接，当为___________时，是直角三角形？ （2）如图2，当点、分别在、边上运动时，度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图3，当点、分别在、的延长线上运动时，直线，交于点M，则请直接写出度数为___________． 23. （1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断的取值范围是___________，则中线的取值范围是___________． （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，过点D作于点交于点交于点，连接，求证． （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，角的两边分别交于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中考试 八年级数学 时间：100分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称的定义回答即可． 【详解】解：如果一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形， 所以，选项是轴对称图形， 故选：D． 2. 一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和8， 设第三边长c为奇数 ∴，即， ∴． 故选：C． 3. 已知等腰三角形两边长分别是和，则该三角形的周长是（ ） A. 9cm B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题关键是分类讨论并验证三边是否构成三角形． 根据等腰三角形的性质和三角形三边关系，分类讨论两种情况：当腰为时，三边为、、，不满足两边之和大于第三边；当腰为时，三边为、、，满足条件，即可求解周长． 【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为和， ∴可能情况： ①腰为，底为，则三边为、、， ∵，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）， ∴此情况不成立； ②腰为，底为，则三边为、、， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为， 故该三角形的周长是， 故选：C． 4. 已知点关于轴的对称点的坐标是，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，解一元一次方程，代数式求值等知识点，掌握关于y轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标相等是解决此题的关键，根据关于y轴对称的点的性质，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点的坐标是， ∴，且， 解得：， ∴， 故选：A． 5. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长为12，AE＝5，则△ABC的周长为（　　） A. 25 B. 22 C. 17 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，根据垂直平分线的性质得到两组线段相等，进行线段的等量代换后结合其它已知可得答案． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝DC，AE＝EC＝5， △ABD的周长＝AB+BD+AD＝12， 即AB+BD+DC＝12，AB+BC＝12 ∴△ABC的周长为AB+BC+AE+EC＝12+5+5＝22． △ABC的周长为22． 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键. 6. 如图，，若用“”判定，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 7. 在下列结论中： ①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ④有一个角是60°，且是轴对称图形的三角形是等边三角形． 其中正确的个数是（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定方法进行判断：三条边都相等的三角形是等边三角形、三个角都相等的三角形是等边三角形、有一个角是 的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：①有一个外角是120° 的等腰三角形是等边三角形，正确； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形，错误，比如等腰直角三角形有两个外角相等，但非等边三角形； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误； ④有一个角是 ，且是轴对称图形的三角形是等边三角形，正确． 故选：C 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题时注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 8. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在线段的垂直平分线上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，A．根据作图的过程可以判定是的角平分线；B．利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C．利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D．利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则． 【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故D错误，符合题意， 故选：D． 9. 如图所示，点E、F为网格中的格点，为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 9个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定，分EF为底边和EF为腰，结合网格特点求解即可． 【详解】解：如图，当EF为底边时，则DE=DF，点D在线段EF的垂直平分线上，则这样的D点有5个， 当EF为腰时，则DF=EF或DE=EF，这样的D点有4个， 故符合条件的点D有9个， 故选：C． 【点睛】本题考查在网格中画等腰三角形、线段垂直平分线的性质，熟知网格特点，熟练掌握等腰三角形的判定，利用分类讨论思想解答是本题的关键． 10. 如图，点为线段上一点，都是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，下列结论：①；②平分；③是等边三角形；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键，由“”可证，可得，故①正确；过点作于于，由全等的性质和面积公式可证出，再由“”证出，得出，故正确；由“”可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由等边三角形的性质得，可得，可证④正确． 【详解】解：、是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， 故正确； 如图，过点作于于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分，故正确； ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， 故③正确， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， 故④正确； 综上所述：正确的有共4个， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分 11. 命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，根据等腰三角形的定义，等腰三角形只需两边相等，而等边三角形需三边相等，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： “等边三角形是等腰三角形”的逆命题是：“等腰三角形是等边三角形”，该逆命题是假命题， 故答案为：假． 12. 若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理，不确定的角是等腰三角形的底角还是顶角，则分两种情况分析；等腰三角形的底角是，两个底角都是，结合三角形内角和是计算顶角的度数；另一种情况是就是顶角的度数． 【详解】解：（1）是等腰三角形的底角时，顶角的度数为； （2）就是顶角的度数． 综上，这个等腰三角形的顶角是或． 故答案为：或． 13. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 14. 如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=6，BC=4，则BD的长为________. 【答案】1 【解析】 【分析】延长，于交于点，由平分，，可得，则，所以，再根据，得，进而得到. 【详解】延长，于交于点，如图所示， ∵平分，， ∵，， 在与中， ∴ ∴， ∴ 又∵在中，， ， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，根据角平分线和垂线联想到等腰三角形三线合一的性质，作出辅助线是解题的关键. 15. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交边，边于两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，当周长取最小值为14时，的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，， 的长为的最小值， 周长的最小值， ， ， 故答案为：． 三、解答题 16. 在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并写出问题的解答过程． 问题：如图，在中，，点D在AB边上（不与点A，B重合），点E在AC边上（不与点A，C重合），连接BE，CD，相交于点F．若_________，求证：． 【答案】 解：选择条件①进行解答： ， ． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出，再结合所选条件，利用全等三角形的判定定理证明，从而得出． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据等腰三角形等角对等边得出，再结合已知条件证明三角形全等． 17. 如图，中，，． （1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）连接，求证：． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即平分， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点， （1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作垂直平分即可； （2）先利用线段垂直平分线的性质得到，则，再证明平分，然后根据角平分线的性质定理可得到结论； 熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，直线经过点且与轴平行． （1）请在坐标系中画出关于轴对称的图形． （2）请在坐标系中画出关于直线对称的图形，写出三个顶点坐标． （3）若点是内一点，则点关于直线对称的点的坐标是_________． 【答案】（1） 如图所示：即为所求： （2） 如图所示：即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，在平面直角坐标系中找到一个点关于特定直线的对称点，数形结合是解答本题的关键； （1）先确定出点，关于轴的对称点，然后连线即可得出； （2）先确定出点，关于直线的对称点，然后连线即可得出； （3）根据轴对称的性质，可得点与点的对称点纵坐标相同，再由轴对称的性质可得点的对称点横坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点关于直线对称点的纵坐标为，横坐标为， ∴点关于直线对称的坐标是． 故答案为：． 19. 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． （1）在中，若，，则为“ 倍角三角形”． （2）如图，在中，，与的角平分线交于点D，若为“6倍角三角形”，请求出的度数． 【答案】（1）2 （2）的度数为或 【解析】 【分析】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义，正确理解n倍角三角形的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据n倍角三角形的定义判断； （2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，， 则， ∴， ∴为“2倍角三角形”， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点D， ∴， ∴， ∴， ∵为“6倍角三角形”， ∴或， 当时，， 当时，，则； 综上所述，的度数为或． 20. 如图，是的角平分线，， 于E，与相交于点． （1）求证：垂直平分． （2）若，三角形面积为，，求长． 【答案】（1） 证明：是的角平分线，， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴垂直平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，角平分线的性质定理，角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点． （1）根据角平分线性质定理得到，再证明得到，即可根据线段的垂直平分线的判定证明； （2）先由角直角三角形的性质求出，然后导角证明，则设，那么，再由得到，那么． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴． 21. 如图，已知等边，点在内，点在外，分别连接，，，，，. （1）连接，求证：是等边三角形； （2）连接，若是以为顶角的等腰三角形，且，求的度数. 【答案】（1） ∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可作答； （2）设，即，进而可表示出.在（1）已证明，即有，结合，可得方程，解得，问题随之得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， 设， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴. ∵在（1）已证明， ∴， ∴， ∵， 又∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正三角形的判定与性质以及一元一次方程等知识，本题中求证是解题的关键． 22. 如图，在边长为的等边中，，分别是射线、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的运动速度都是，连接交于点． （1）如图1，①设点的运动时间为秒，的长为___________，的长为__________．（用含的式子表示） ②连接，当为___________时，是直角三角形？ （2）如图2，当点、分别在、边上运动时，度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图3，当点、分别在、的延长线上运动时，直线，交于点M，则请直接写出度数为___________． 【答案】（1）①t； ②第秒或第秒 （2）度数不变，为 （3） 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质． （1）①分类讨论，当时，；当时，．由此即可求解； （2）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到； （3）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到． 【小问1详解】 解：①∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的运动速度都是， ∴， ∴， 故答案为：t；． ②设时间为秒，则，， 当时， ∵， ∴, ∴，得， ∴； 当时， ∵， ∴ ∴，得， ∴， 综上所述，当第秒或第秒时，为直角三角形． 【小问2详解】 解： 是等边三角形， ，， 又点、运动速度相同， ， 在与中， ， ； ， 是的外角， ， ， ； 则度数不变，为． 【小问3详解】 解：同理可得，， ， 是的外角， ， ， 即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为． 23. （1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断的取值范围是___________，则中线的取值范围是___________． （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，过点D作于点交于点交于点，连接，求证． （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，角的两边分别交于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）； （2）证明：如图②，延长至G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即； （3），理由如下： 如图③，延长至使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，由线段垂直平分线的性质可得，在中，，即； （3）由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，延长到点使，再连接， ， ， ∴， ， ∴， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $