精品解析：湖南省永州市新田县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025年下期期中质量监测 八年级 数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本 试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题，如有缺页，考生须声明． 一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 把分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则这个三角形是（ ）三角形． A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定 7. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 小恒在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水．请你推测，*部分的式子应该是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 10. 对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 比较大小：________；（填“<”，“=”或“>”）． 12. 若关于的分式方程的解为2，则的值为______． 13. 若一个三角形两边长分别为，则第三边长的取值范围是___________． 14. 计算： =___________． 15. 已知，则_______． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 17. 已知，则______________． 18. 已知多项式和（m，n为常数），以下结论中正确的是_______（填写相应序号） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③当时，一定有； ④若且，则； ⑤若，且x，y为整数，则． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分．解答题要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解分式方程： （1） （2） 22. 按要求解答下列各小题． （1）已知，求的值； （2）已知，求m的值． 23. 当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． （1）求绣布的周长； （2）刺绣师傅想用这张绣布裁出一个半径为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由． 24. 在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2025年5月21日是第六个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜30元；用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同． （1）求甲、乙两种茶叶礼盒的单价； （2）某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1100元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 25. 阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①； ②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 26. （1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期期中质量监测 八年级 数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本 试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题，如有缺页，考生须声明． 一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 要确定分式有意义时的取值范围，需根据分式有意义的条件，即分母不为零来分析． 【详解】解：对于分式，分式有意义的条件是分母， 解得． 故选：C． 2. 把分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式进行分解因式，根据的公因式是，则把分解因式，应提取的公因式是，即可作答． 【详解】解：的公因式为， ∴把分解因式，应提取的公因式是． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则对各项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A选项符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．与不能合并，故C选项不符合题意； D．，故D选不项符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式运算法则是解决问题的关键． 4. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.0000004用科学记数法表示为， 故选：A． 5. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，将一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，据此判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式乘法运算且运算错误，不是因式分解，该选项不合题意； 、是因式分解，该选项符合题意； 、是整式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、是整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 6. 在中，，，则这个三角形是（ ）三角形． A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的分类及三角形内角和定理的应用，先根据已知求出，再根据三角形内角和定理求出，进而即可判断求解，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：． 7. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可得解． 【详解】解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 故选：D ． 8. 小恒在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水．请你推测，*部分的式子应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质以及因式分解的知识点，掌握因式分解和分式的基本性质是解题的关键． 本题将等式右边的分子分母与左边的分母结合，再结合分式基本性质得到结果即可． 【详解】解：根据题意得：   故选：A． 9. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 10. 对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算和，再求乘积即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 比较大小：________；（填“<”，“=”或“>”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 先比较平方的大小，再比较两数大小即可． 【详解】解：计算，， 由于，且和均为正数， 因此． 故答案为：． 12. 若关于的分式方程的解为2，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，解决本题的关键是理解方程解的意义. 把方程的解代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可. 【详解】解：去分母得： 整理得： 因为分式方程的解为 故答案为：3． 13. 若一个三角形两边长分别为，则第三边长的取值范围是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系即可得． 【详解】解∶由三角形的三边关系得∶， 即， 故答案为：． 14. 计算： =___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据该表达式符合平方差公式的结构，直接应用公式求解即可．掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式法分解因式，整体代入是解题关键．提取公因式分解因式，把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，先解分式方程，求出分式方程的解，进而求出增根得到关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解增根的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， 即， ∴， 解得， 故答案为：． 17. 已知，则______________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 18. 已知多项式和（m，n为常数），以下结论中正确的是_______（填写相应序号） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③当时，一定有； ④若且，则； ⑤若，且x，y为整数，则． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，因式分解． ①当且时，，即可判断①； ②当时，，即可判断②； ③当时，，即可判断③； ④若且，可得，进而可得，，即可判断④； ⑤若，可得，进而判断，即可判断⑤． 【详解】解：①当且时， ， ， ∴， 故①正确； ②当时， ， ， ， ∴所得的结果中不含一次项， 故②正确； ③当时， ， ， ， 不确定的正负， 故③错误； ④若且， ∴ ， ∴，， 解得，， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴ ， ∵x，y为整数， ∴和均为整数， ∴或， 解得或， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分．解答题要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂、二次根式和绝对值的性质分别化简，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】通过因式分解和通分合并分式，再代入求值． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练运用因式分解和分式的通分、约分等方法对分式进行化简，再代入求值． 21. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键 （1）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解 （2）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 则分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， 去分母，得 去括号，得 解得 经检验，是原方程的增根 所以，原分式方程无解． 22. 按要求解答下列各小题． （1）已知，求的值； （2）已知，求m的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的乘方，根据同底数幂的乘法和除法法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴， ∴． 23. 当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． （1）求绣布的周长； （2）刺绣师傅想用这张绣布裁出一个半径为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由． 【答案】（1）长方形绣布的周长为 （2） 不能，理由如下： 圆形绣布的直径， ∵， ， ， ∴不能裁出半径为的圆形绣布， 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的应用，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用长方形的面积等于长乘宽，得，故，分别得出长方形绣布的宽为，长方形绣布的长为，结合周长公式列式计算，即可作答． （2）先得出直径，再结合 ，故，所以不能裁出半径为的圆形绣布， 【小问1详解】 解：设长方形的宽为，则长为， 由题意可知， ∴ ， ， 由边长的实际意义得 ∴长方形绣布的宽为，长方形绣布的长为， 即长方形绣布的周长为 ， 【小问2详解】 略 24. 在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2025年5月21日是第六个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜30元；用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同． （1）求甲、乙两种茶叶礼盒的单价； （2）某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1100元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 【答案】（1）甲种茶叶礼盒的单价是120元，乙种茶叶礼盒的单价是150元 （2）最少需购买4盒甲种茶叶礼盒 【解析】 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式的应用，理解题意列出方程与不等式是解题关键； （1）设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元，根据等量关系：用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同，列出方程并求解即可，注意要检验； （2）设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒，根据不等关系式：总金额不超过1100元，列出不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：甲种茶叶礼盒的单价是120元，乙种茶叶礼盒的单价是150元； 【小问2详解】 解：设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为4． 答：最少需购买4盒甲种茶叶礼盒． 25. 阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①； ②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 对于（1），根据材料一可知，即可分解； 对于（2）①，令，再结合材料一分解，可得答案；②令，展开并整理，结合材料一分解，整体代入可得答案． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：①令， ， ， ， ， ． ， 原式； ②令， ， ， ， ， ． ， 原式．. 26. （1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2），理由如下： 为的角平分线， 是边上的高， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图：  三点共线，为角平分线， ， ， ，   【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质证明； （2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答； （3）根据三角形的外角的性质，角平分线的定义、直角三角形的性质解答即可； 【详解】（1）解：，是高， 是角平分线， 故答案为：； （2） 略 （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $