3.5 认识二元一次方程组 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程（组）的概念及解，以“鸡兔同笼”问题情境导入，关联一元一次方程知识，通过设双未知数和表格梳理等量关系搭建学习支架，引导学生从一元到二元的认知过渡。 其特色在于结合经典问题与嫦娥六号等现实情境，通过合作探究和典例辨析培养数学思维，用表格与方程建模体现模型意识。学生能直观理解概念本质，教师教学逻辑清晰，利于提升课堂效率。

湘教版（2024）数学7年级上册 第3章 一次方程（组） 3.5 认识二元一次方程组 还记得前面所学的《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题吗？ 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? 能否设两个未知数解决？ 解：设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只. 4x + 2(35－x) = 94. # 3.5 认识二元一次方程组（初中七年级数学） ## 一、教学过程 ### （一）情境导入（5分钟） 1. 展示两个实际问题，引导学生思考： - 问题1：某班同学去公园划船，若每条船坐3人，则多16人；若每条船坐5人，则刚好坐满。问有多少条船？多少名同学？ - 问题2：现有面值为2元与5元的人民币共30张，总金额为99元。问2元人民币和5元人民币各有多少张？ 2. 引导学生尝试用一元一次方程解答： - 问题1中，设船有\(x\)条，则同学有\(3x + 16\)人，列方程\(3x + 16 = 5x\)，可求解。 - 问题2中，设2元人民币有\(x\)张，则5元人民币有\(30 - x\)张，列方程\(2x + 5(30 - x) = 99\)，可求解。 3. 追问：若问题2中同时设2元人民币有\(x\)张，5元人民币有\(y\)张，能列出什么式子？引出本节课主题——认识二元一次方程组。 ### （二）新知探究（15分钟） 1. 二元一次方程的概念： - 针对问题2的设元，引导学生列出式子：\(x + y = 30\)和\(2x + 5y = 99\)。 - 观察这两个式子的特点：① 含有两个未知数（\(x\)和\(y\)）；② 未知数的次数都是1；③ 等号两边都是整式。 - 给出定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 - 即时练习：判断下列方程是否为二元一次方程？① \(3x + 2y = 5\)；② \(x + \frac{1}{y} = 2\)；③ \(x^2 + y = 7\)；④ \(3x + 5 = 8\)。（答案：①是，②③④不是，分别说明理由） 2. 二元一次方程的解： - 提问：对于方程\(x + y = 30\)，\(x = 10\)，\(y = 20\)是它的解吗？\(x = 15\)，\(y = 15\)呢？如何判断一个数对是否为二元一次方程的解？ - 给出定义：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解（记作\(\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}\)）。 - 引导学生发现：二元一次方程有无数个解，因为给定一个\(x\)的值，总能求出对应的\(y\)的值。 3. 二元一次方程组的概念： - 提问：问题2中，\(x + y = 30\)和\(2x + 5y = 99\)两个方程有什么联系？（都含有相同的两个未知数\(x\)和\(y\)，且表示同一个问题的数量关系） - 给出定义：把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 - 示例：\(\begin{cases}x + y = 30 \\ 2x + 5y = 99\end{cases}\)，强调方程组中每个方程都要满足二元一次方程的定义，且未知数相同。 4. 二元一次方程组的解： - 提问：什么是二元一次方程组的解？（能使方程组中两个方程左右两边都相等的两个未知数的值） - 针对问题2的方程组，引导学生验证：\(\begin{cases}x = 17 \\ y = 13\end{cases}\)是否为解？（代入第一个方程：\(17 + 13 = 30\)，成立；代入第二个方程：\(2×17 + 5×13 = 34 + 65 = 99\)，成立，因此是方程组的解） - 强调：二元一次方程组的解是唯一的（针对有唯一解的情况），是两个方程解的公共部分。 ### （三）例题讲解（10分钟） 1. 例题1：判断下列方程组是否为二元一次方程组？ - ① \(\begin{cases}x + y = 4 \\ 2x - 3y = 7\end{cases}\) ② \(\begin{cases}3x + 2y = 5 \\ x + z = 6\end{cases}\) ③ \(\begin{cases}x + 2y = 3 \\ xy = 4\end{cases}\) ④ \(\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \\ 2x - y = 5\end{cases}\) - 解答：①是（两个二元一次方程，未知数相同）；②不是（未知数不同，含\(x,y,z\)三个未知数）；③不是（\(xy\)项的次数是2）；④是（整理后为二元一次方程，未知数相同）。 - 小结：判断二元一次方程组的关键的是“两个未知数”“两个一次方程”“未知数相同”。 2. 例题2：已知\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)是方程组\(\begin{cases}ax + by = 5 \\ bx + ay = 1\end{cases}\)的解，求\(a\)和\(b\)的值。 - 解答：将\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)代入方程组，得\(\begin{cases}2a + b = 5 \\ 2b + a = 1\end{cases}\)。 - 解第一个方程：\(b = 5 - 2a\)，代入第二个方程：\(2(5 - 2a) + a = 1\)，即\(10 - 4a + a = 1\)，解得\(a = 3\)。 - 把\(a = 3\)代入\(b = 5 - 2a\)，得\(b = 5 - 6 = -1\)。 - 检验：将\(a = 3\)，\(b = -1\)代入原方程组，左边分别为\(3×2 + (-1)×1 = 5\)和\((-1)×2 + 3×1 = 1\)，与右边相等，因此\(a = 3\)，\(b = -1\)。 - 小结：利用方程组的解的定义，将解代入方程组，转化为关于未知数系数的一元一次方程（或方程组），可求解系数的值。 ### （四）课堂练习（8分钟） 1. 基础题： - （1）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. \(x + 2y = 3z\) B. \(2x + y = 3\) C. \(x^2 + y = 5\) D. \(x + \frac{1}{y} = 2\)（答案：B） - （2）写出二元一次方程\(2x + y = 7\)的3个解：________________________（答案：如\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 7\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 5\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)） 2. 中档题： - （1）已知方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)，判断\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)是否为该方程组的解（答案：是，代入验证即可）。 - （2）若\(\begin{cases}x = m \\ y = n\end{cases}\)是方程\(3x - 2y = 1\)的解，求\(6m - 4n + 2\)的值（答案：由\(3m - 2n = 1\)，得\(6m - 4n = 2\)，因此\(6m - 4n + 2 = 4\)）。 3. 拓展题： - 已知方程组\(\begin{cases}(k - 1)x + 5y = 10 \\ 3x + (k + 2)y = 8\end{cases}\)是二元一次方程组，求\(k\)的取值范围（答案：\(k ≠ 1\)且\(k ≠ -2\)，保证两个方程都是二元一次方程）。 ### （五）课堂小结（2分钟） 1. 核心概念：二元一次方程、二元一次方程的解、二元一次方程组、二元一次方程组的解的定义； 2. 关键要点：二元一次方程有无数个解，二元一次方程组的解是两个方程解的公共部分； 3. 解题方法：判断方程（组）类型紧扣定义，利用方程组的解代入可求解未知系数； 4. 后续衔接：下节课将学习二元一次方程组的解法，为解决实际问题提供更便捷的工具。 情景导入 二元一次方程组 1 (1) 找出，上述趣题中的等量关系： 探究：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? (1) 兔的只数＋鸡的只数＝35； (2) 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. (2) 假设兔有 x 只，鸡有 y 只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？ 合作探究 设兔有 x 只，鸡有 y 只， 脚数 35 只数 合计 鸡 兔 x y 4x 2y 94 4x＋2y＝94 x＋y＝35 能否类比一元一次方程尝试总结定义？ 知识要点 上述两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫作二元一次方程. 注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1， 而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程 就不是一次方程； (2) 方程的左右两边都是整式. 4x＋2y＝94 x＋y＝35 总结 判断要点： ①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0. 例1 判断下列方程是否为二元一次方程： 是 不是 是 不是 不是 不是 典例精析 例2 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m＋n ＝_____． 0 | m |＝1 |m－1|≠0 2n－1 ＝ 1 m ＝ －1 n ＝ 1 m＋n ＝0 典例精析 1. 若 x2m-1 + 5y3n-2m = 7 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m =____，n =____. 1 1 ∠1 = ∠2 2m - 1 = 1 m = 1 n = 1 3n - 2m = 1 练一练 知识要点 4x＋2y＝94 x＋y＝35 如何解决上述“鸡兔同笼”问题呢？ 像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作二元一次方程组. 两个等量关系需要同时成立. 二元一次方程组的解 2 合作探究 满足方程 x＋y＝35，且符合问题的实际意义 (鸡兔的只数) 的值有哪些？把它们填入表中. 思考1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ 方程的解 x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... y 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 ... x y x＋y＝35，① 4x＋2y＝94. ② 思考2　上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？ x = 12，y = 23. 公共解 总结 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. (12，23) x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... y 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 ... 知识要点 一般地，对于未知数为 x，y 的二元一次方程组，若 x，y 分别用数 c1，c2 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 (c1，c2) 叫作这个方程组的一个解. x＝c1， y＝c2， 习惯上记作 求方程组的解的过程叫作解方程组. x＝12， y＝23. x＋y＝35，① 4x＋2y＝94. ② 例3 若 是关于 x、y 的方程 x－ky = 1 的解，则 k 的值为 . －1 x = -2， y = 3 典例精析 C 2. 二元一次方程组 的解是 ( ) A. C. D. B. x = 4， y = 2 x + 2y = 10， y = 2x x = 3， y = 6 x = 4， y = 3 x = 2， y = 4 总结 一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组只有一个解. 练一练 例4 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. (1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组. x＝3， y＝4 (2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？ 典例精析 ∠1 = ∠2 分析：本题中等量关系如下： 购买练习本所花的钱＋购买圆珠笔所花的钱＝17 元， 购买练习本所花的钱－购买圆珠笔所花的钱＝1 元. 解：(1) 根据等量关系，得 3x＋2y＝17，① 3x－2y＝1. ② (2) 把 x 用 3，y 用 4 分别代入方程 ①② 可得： 方程 ① 左边的值是 3×3＋2×4＝17，方程①右边的值也是 17； 方程 ② 左边的值为 3×3－2×4＝1，方程②右边的值也是 1. x＝3， y＝4 因此， 是列出的二元一次方程组的一个解 3. 嫦娥六号成功着陆在月球背面南极-艾特 肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的 样品采集任务.嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样 品约1 935克，表取比钻取的4倍还多310克.若设钻取样品 克， 表取样品 克，则可列方程组为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 17 4. 如果是关于， 的二元一 次方程，则 的值为____. 5. 写出二元一次方程 的一组整 数解：_ _____________________. （答案不唯一） 返回 考试考法 18 6.已知是方程的解，则式子 的 值为___. 1 【点拨】将代入，可得 ,则 . 返回 考试考法 19 二元一次方程 ①每个方程含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______ 使二元一次方程左右两边的值 的两个 的值 二元一次方程组 ①含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______； ③一共有__个方程 二元一次方程组的两个方程的______ 两 都是 1 两 都是 1 两 相等 公共解 未知数 解 解 谢谢观看！ $