专题3.5 认识二元一次方程组（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题3.5 认识二元一次方程 教学目标 1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能判断一组数是否为方程组的解。 2. 能从简单实际问题中提取两个等量关系，列出二元一次方程组，体会其建模作用。 3. 感知“消元”的基本思想，为后续求解方程组奠定基础，培养数学应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）. 掌握二元一次方程和二元一次方程组的核心概念，明确方程组的解需同时满足所有方程。 （2） 能根据实际问题中的数量关系，准确列出二元一次方程组。 2.难点 （1）. 区分二元一次方程“无数组解”与方程组“公共解”的差异，理解解的本质特性。 （2）. 从实际问题中精准抽象出两个独立的等量关系，并转化为对应的二元一次方程。 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 【即学即练1】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是求解本题的关键．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、不是整式，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； B、为二次，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，所以该选项符合题意； D、有三个未知数，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； 故选：C． 知识点02 二元一次方程组的概念 1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组. 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个. 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成. 【即学即练2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的定义问题．在解决定义问题的时候特别要注意所有方程都必须是整式方程，否则就不是二元一次方程组． 二元一次方程组是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的两个整式方程所组成的一组方程，叫二元一次方程组．据此判断即可． 【详解】解：A、第一个方程不是二元一次方程，故不是，不符合题意； B、第二个方程不是整式方程，故不是，不符合题意； C、含有3个未知数，故不是，不符合题意； D、是二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 知识点03 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 【即学即练3】（21-22八年级上·广东清远·期末）下列哪组数是方程的解（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解； 将各选项中的x和y值代入方程，验证是否满足等式． 【详解】解：A、将代入；则；故选项不符合题意； B、将代入；则；故选项不符合题意； C、将代入；则；故选项符合题意； D、将代入；则；故选项不符合题意； 故选：C 知识点04 二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解. 【即学即练4】1．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）将三对值代入方程判断即可得到解； （2）将三对值代入方程判断即可得到解； （3）找出两方程的公共解，即为方程组的解． 【详解】（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； （2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； （3）解：两方程的公共解为， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 题型01 判断是否是二元一次方程 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查二元一次方程的概念，正确记忆二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程是解题关键．根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】A、：含两个未知数，但乘积项次数为2，不符合二元一次方程的定义； B、：的次数为2，不符合二元一次方程的定义； C、：含两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义； D、：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程的定义． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据含有两个未知数且未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程的次数是2，故此选项不符合题意； B．该方程是二元一次方程，故此选项符合题意； C．该方程是分式方程，故此选项不符合题意； D．该方程的次数是2，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，二元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查方程的分类．根据二元一次方程的概念逐个判断即可得到答案． 【详解】解：①为二元一次方程； ②为二元二次方程； ③为二元二次方程； ④为分式方程； ⑤为三元一次方程； ⑥为代数式，不是方程； 故为二元一次方程的有①，有1个， 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）下列等式中是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的概念，根据含有两个未知数（“二元”），并且含有未知数的项的最高次数都是 1（“一次”）的整式方程，叫做二元一次方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、，只有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、，是分式，不是二元一次方程，不符合题意； D、是一元一次方程，不符合题意； 故选：A． 题型02 根据二元一次方程的定义求字母的值 【典例2】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数的值，根据二元一次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为3． 【变式2】若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义和求代数式的值，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义和已知条件得出，求出m、n的值即可． 【详解】解：因为方程是关于是关于x，y的二元一次方程， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式3】（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程是二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 题型03 二元一次方程的解代入求值 【典例3】（22-23七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的一个解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 将代入，得到，即可解答． 【详解】解：将代入，得 ， 解得． 故答案为：1． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知是二元一次方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（22-23七年级下·宁夏吴忠·期中）将方程变形，用含y的代数式表示x，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把y看作已知，求出x即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）若是方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．将代入方程得到，代入即可求解． 【详解】解：因为是方程的一个解， 所以， 所以． 题型04 二元一次方程的整数解 【典例4】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）写出二元一次方程的一个整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程整数解，解题关键是理解方程解的意义，选一整数代入求另一个未知数的整数值． 根据二元一次方程的整数解的定义写出即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（24-25七年级下·四川宜宾·期中）二元一次方程的正整数解共有（    ）组． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解．由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解． 【详解】解：， ． 又，均为正整数， 或， 二元一次方程的正整数解共有2组． 故选：C． 【变式2】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 题型05 判断是否是二元一次方程组 【典例5】（22-23七年级下·江苏·周测）下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号） ①②  ③   ④． 【答案】①③/③① 【分析】根据二元一次方程组的定义，即可求解． 【详解】解：二元一次方程组有①③． 故答案为：①③ 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握组成二元一次方程组应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程是解题的关键． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，根据定义判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程含有分式，不符合题意； B、方程组中第一个方程中的是二次的，不符合题意； C、该方程组中有三个未知数，不符合题意； D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故该选项正确． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·四川内江·开学考试）下列方程组为二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，两个一次方程，共含有2个未知数，组成的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第二个方程是二元二次方程，不符合题意； B、该方程组中的第一个方程是分式方程，不符合题意； C、该方程组中含有3个未知数，不符合题意； D、该方程组符合二元一次方程组的定义，符合题意； 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（    ） ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤   ；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的识别，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定义． 利用二元一次方程组的定义来进行判断，即“由两个二元一次方程组成的方程组”，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①，是分式，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ②，次数为2，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ③，含有3个未知数，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ④，该选项是二元一次方程组，符合题意； ⑤，该选项是二元一次方程组，符合题意； ⑥，该选项是二元一次方程组，符合题意； 故选：C． 题型06 判断是否是二元一次方程组的解 【典例6】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解．将代入方程，判断两边是否相等，相等则为方程的解． 【详解】解：A：∵， ∴不是方程的解； B：∵， ∴是该方程的解； C：∵， ∴不是方程的解； D：∵， ∴不是方程的解； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·开学考试）下列二元一次方程中，有一组解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是：熟练掌握二元一次方程的解的含义．将分别代入各方程，即可判断求解． 【详解】解：将分别代入， 得，A不符合题意， 将分别代入， 得，B符合题意， 将分别代入， 得，C不符合题意， 将分别代入， 得，D不符合题意， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·青海海北·期末）是下列哪个二元一次方程的解（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解满足方程是解题的关键． 直接将的值代入四个式子进行验证即可得到答案． 【详解】解：A.将代入方程，方程左右两边不相等，故该选项错误，不符合题意； B. 将代入方程，方程左右两边相等，故该选项正确，符合题意； C. 将代入方程，方程左右两边不相等，故该选项错误，不符合题意； D. 将代入方程，方程左右两边不相等，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·山东临沂·期末）若二元一次方程，的部分解分别为表1、表2： 表1： 5 2 4 18 表2： 2 6 4 则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解需同时满足两个方程，即寻找两个方程解集的公共解，找到两个方程的公共解是是解此题的关键．根据方程组的概念进行求解即可得． 【详解】解：由表格数据可得两个方程的公共解是， 则方程组的解为， 故选：A． 题型07 根据二元一次方程组的解求字母的值 【典例7】（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将代入方程组求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程组的一组解， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】已知与都是方程的解，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是把x和y的值代入方程，建立关于a和b的二元一次方程组， 先根据题意列出方程组，再求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：；． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，先联立方程组中的第一个方程与已知条件组成新的方程组，求出和的值，再将和的值代入第二个方程求出的值． 【详解】解：∵方程组的解满足③， ∴①和③组成新的方程组为，解得， 将代入②，得． 故答案为：4． 【变式3】（21-22七年级下·河南洛阳·期中）小亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和■，则●是 ． 【答案】8 【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键．将代入方程组中第二个方程，解得，再将、代入方程组中第一个方程，即可求解●的值． 【详解】根据题意，将代入方程组中第二个方程， 得， 解得， 再将、代入方程组中第一个方程， 解得●， 故答案为8． 题型08 根据实际问题列二元一次方程 【典例8】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据图意列二元一次方程，认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．解题的关键是读懂图的意思． 【详解】 解：由题意得，则表示的方程是， 故答案为：． 【变式1】（21-22七年级下·浙江宁波·开学考试）某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量比计划减少5%．若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为 ． 【答案】 【分析】利用梨树种植量比计划增长10%，苹果树种植量比计划减少5%，分别表示出苹果与梨树的棵数进而得出等式求出即可． 【详解】解：设实际种植梨树x株，苹果树y株，由题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确表示出实际植树的棵数是解题关键． 【变式2】在“幻方拓晨课程”探索中，小明在如图方格中填入了一表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线的上的三个数之和都相等，用含x的代数式表示y为 ． 3 x y 4 【答案】y=2x-3 【分析】根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，填表，得到关于x和y的等式，化简可得结果． 【详解】解：由题意可得： 各行、各列及对角线的上的三个数之和为：x+y+3， 填表如下： y-1 y-x+4 3 x-y+4 x x+y-4 y x-1 4 ∴x-y+4+x+x+y-4=x+y+3， 化简得：y=2x-3， 故答案为：y=2x-3． 【点睛】此题主要考查了整式的加减，二元一次方程，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握． 【变式3】（2024·贵州黔南·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据总的钱数不变，即可得出关于，的二元一次方程，此题得解，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 整理得：， 故选：B． 一、单选题 1．（20-21七年级下·浙江衢州·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的概念：含有两个未知数，最高次数为1的整式方程，熟记二元一次方程的概念是做题关键． 根据二元一次方程的概念即可判断出答案． 【详解】解：、是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、，含有三个未知数，故本选项不符合题意； 、是二元一次方程，故本选项符合题意； 、，最高次数为2，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·云南保山·期末）若是二元一次方程的一个解，则的值等于（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．根据二元一次方程的解的定义将代入即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴． 故选：D． 3．（24-25七年级上·云南保山·期末）把方程写成用含的代数式表示的形式，下面表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：把方程写成用含的代数式表示的形式：． 故选：B． 4．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程组中不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键． 根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 【详解】解：A．是二元一次方程组，不符合题意； B．是二元一次方程组，不符合题意； C．是二元一次方程组，不符合题意； D．的项的次数是2，故不是二元一次方程组，符合题意． 故选D． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）若二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解．理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键；已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数a的值，再将方程组的解代入各选项验证是否成立即可得解． 【详解】解：因为二元一次方程组的解是， 所以， 解得， 所以方程组的解为， 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 二、填空题 6．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解；把解代入二元一次方程中，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：1． 7．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知是二元一次方程的解，则a的值为 【答案】2 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，理解方程的解的含义是解本题的关键．把代入方程即可得到a的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：2． 8．（2022·西藏·一模）若二元一次方程组的解为，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解的定义得出，然后求出的值，进而即可得出结果． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， ∴，得， ∴， 故答案为∶3． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果是一个关于x，y的二元一次方程，那么的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，解题的关键是正确解方程组． 根据二元一次方程的定义列出关于a、b的方程，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则数 ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，先把代入第二个方程求出，再把方程的解，代入第一个方程即可得到数的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 把代入得， 解得：， ∴方程组的解为，即有， 把代入得：， 故答案为：；． 三、解答题 11．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如果是方程的一组解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，先把方程的解代入方程得到a与b的关系式，再对变形，最后代入求值． 【详解】解：是方程的一组解， ∴将 代入方程，得：， ∴， ∴． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解为． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)2028 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解，求参数的值，代数式求值： （1）把代入方程组，进而解关于的方程组即可； （2）把的值代入，计算即可． 【详解】（1）解：把代入关于的二元一次方程组 ，得，解得． 把代入①，得，解得， ． （2）由（1），得， ． 的值为2028． 13．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 14．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知方程． (1)用关于a的代数式表示b； (2)求当，1时，对应的b值，并由此写出方程对应的两个解． 【答案】(1) (2)当时，；当时，，， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义． （1）先把用含有a的式子表示出来，再把b的系数化成1即可； （2）分别把和代入（1）中所求等式，求出b，从而求出方程对应的两个解． 【详解】（1）解：（1）， ， ； （2）当时，； 当时，， ∴方程对应的两个解为，． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解的意义是解题的关键． （1）把、的值代入即可求出的值； （2）先把方程整理为，再根据题意得出，即可求出的值，继而求出的值，从而得到方程的固定解． 【详解】（1）解：当，时，， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， 不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解， ， ， ， ， 二元一次方程的固定的解是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.5 认识二元一次方程 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1二元一次方程的概念 知识点2二元一次方程组的概念 知识清单 知识点3二元一次方程的解 知识点4二元一次方程组的解 题型1判断是否是二元一次方程 认识二元一次方程组 题型2根据二元一次方程的定义求字母的值 题型3二元一次方程的解代入求值 题型4二元一次方程的整数解 题型精讲 题型5判断是否是二元一次方程组 题型6判断是否是二元一次方程组的解 题型7根据二元一次方程组的解求字母的值 题型8根据实际问题列二元一次方程 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能判断一组数是否为方程组的解。 教学月标 2.能从简单实际问题中提取两个等量关系，列出二元一次方程组，体会其建模作用。 3.感知“消元”的基本思想，为后续求解方程组奠定基础，培养数学应用意识。 1.重点 (1),掌握二元一次方程和二元一次方程组的核心概念，明确方程组的解需同时满足 所有方程。 教学重难点 (2)能根据实际问题中的数量关系，准确列出二元一次方程组。 2.难点 (1).区分二元一次方程“无数组解”与方程组“公共解”的差异，理解解的本质特性， (2),从实际问题中精准抽象出两个独立的等量关系，并转化为对应的二元一次方程。 知识清单 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点01二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 【即学即练1】(23-24七年级下·浙江温州期末)下列各式是二元一次方程的是() A.x+二=1 B.xy=-1 C.x=y-2 D.x=y+c y 知识点02二元一次方程组的概念 1将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组. 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而 成，方程个数也不一定是两个 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数；②含未知数的项的次数是否都是1；③是 否含有多个方程组成。 【即学即练2】(24-25七年级下.全国.单元测试)下列方程组中是二元一次方程组的是（() [5x-2y=3 2x+z=0 x2+y=1 x=5 A. B C D. x+y=2 +y=3 3x-y= x+y=7 5 231 知识点03二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 【即学即练3】(21-22八年级上广东清远期末)下列哪组数是方程2x+y=5的解() x=1 x=1 x=2 x=0 A B C y=2 D. y=-2 y=1 y=-1 知识点04二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解 2检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方 程不成立，则不是方程的解 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解 【即学即练4】1.(2023七年级下·浙江.专题练习)已知下面三对数值： x=0 「x=2x=1 y=-2 y=-3y=-5 (1)哪几对能使方程2x-y=7左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程x+2y=-4左、右两边的值相等？ 3)二元一次方程组 2x-y=7 的解是什么？ x+2y=-4 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01判断是否是二元一次方程 【典例1】(25-26八年级上黑龙江哈尔滨阶段练习)下列方程中，是二元一次方程的是() A.xy=5 B.x+y2=7 C.x+y=1 D.1-y=2 【变式1】(24-25八年级上江西抚州期末)下列各方程中，是二元一次方程的是() A.xy=3 B.x-y=0 c. -y=5 D.x2+y=4 【变式2】(25-26八年级上·全国·课后作业)下列式子中：①2x+y=4;②3y=7;③x2+2y=0;④ 1-2=y;⑤2x+y+z=1;⑥2m+3n,二元一次方程的个数是(） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式3】(25-26八年级上广西南宁开学考试)下列等式中是二元一次方程的是() A.4x-9y=4B.4x2-9x=12 c.3=9 D.4x=8 题型02根据二元一次方程的定义求字母的值 【典例2】(21-22七年级下·浙江宁波期中)若关于x的方程x2-*+3y=6是二元一次方程，则k的值是() A.1 B.2 C.-1 D.-2 【变式1】(25-26八年级上·重庆沙坪坝阶段练习)己知xm8+(m+3)y=8是关于x,y的二元一次方程，则 m的值为 【变式2】若方程2x2+y2m=号是关于，y的二元一次方程，则： 2 【变式3】(22-23七年级下…黑龙江哈尔滨阶段练习)若方程xm-+2y31=1是二元一次方程，则 m+n= 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型03二元一次方程的解代入求值 【奥例3】223七年级下福建泉州期中)若二是关于)的方程2-=3的-个解，.则的值 为一 【俊式】2526八年级上湾育长沙开学考试》已2是二元-次方程+m=5角一个解，测 m- 【变式2】(22-23七年级下.宁夏吴忠期中)将方程3x-2y=5变形，用含y的代数式表示x,则x= 【变式3】(2025八年级上全国专题纸习》若6是方程2r+y=2的一个解，聚0+4-3的能 题型04二元一次方程的整数解 【典例4】(24-25七年级下·江苏无锡·期末)写出二元一次方程x+2y=11的一个整数解 【变式1】(24-25七年级下.四川宜宾期中)二元一次方程3x+2y=15的正整数解共有()组. A.4 B.3 C.2 D.1 【变式2】(2025四川泸州中考真题)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了 求不定方程（组）解的问题.例如方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1,y=1,类似地，方程2x+3y=21的 正整数解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式3】(24-25七年级下.全国阶段练习)已知二元一次方程x+2y=5. (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为 x=-1 =3 题型05判断是否是二元一次方程组 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例5】(22-23七年级下·江苏周测)下列方程组，其中是二元一次方程组的有 (填序号) 2m--1m-2y=0 m+n=8 3z+2y=8 I®/r1 3a+2b=1 ④ a-b2=8‘ 【变式1】(2025八年级上.全国.专题练习)下列方程组中，属于二元一次方程组的是() L+y=1 y=9 x-y=2 x=2 A. B D 16x-6y=-9 x+2y=16 c. z-3y=4 y=3 【变式2】(25-26八年级上四川内江·开学考试)下列方程组为二元一次方程组的是() x+y=1 x+y=2 x+y=5 A C D xy=2 x-z=3 -y=2 x-2y=2 【变式3】(25-26八年级上·全国·课后作业)下列六个方程组中，是二元一次方程组的有() +y= ①{x x+2=16，③r-y=2 ；②w=9 =3:⑥/x=y-3 】。，；417x一9少=555了之 16.x-6y=-9 x+1=4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型06判断是否是二元一次方程组的解 【典例6】(25-26八年级上全国课后作业)下列方程中，解为 =-3的二元一次方程是() x=4 A.x-y=1 B.x+y=1 C.3x-y=9 D.3x+y=-9 y=2的是() x=一1 【变式1】(25-26八年级上云南昆明·开学考试)下列二元一次方程中，有一组解为 A.x+y=-1B.x-y=-3 C.2x+y=4 D.y-x=-3 【变式2】(24-25七年级下.青海海北期末) 「x=2是下列哪个二元一次方程的解(） y=-1 A.-x+y=1B.3x+y=5 C.-2x+y=-3D.x-y=-1 【变式3】(24-25七年级下山东临沂·期末)若二元一次方程ax+by=p,mx+"y=9的部分解分别为表1、 表2： 5/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 表1： 5 y 2 18 表2： 2 4 -6 则方程组 ax+by=p 的解为() mx+ny=q x=-2 x=6 B x=5 x=-3 A. D. y=4 y=-6 y=18 y=-1 题型07根据二元一次方程组的解求字母的值 【典例7】(24-25七年级下·湖北襄阳阶段练习)己知 [x=-2 y=1 是关于x,y的二元一次方程组 的 一组解，则m-2n的值为() A.3 B.-5 C.5 D.-3 x=6 【变式1】已知 23与，都是方程ax+=6的解，则a=一b→ 2x-5y=5 【变式2】(2025八年级上·全国.专题练习)已知关于x,y的二元一次方程组 (x-y=k 的解满足x+y=6, 则k的值为 【变式3】(21-22七年级下河南洛阳期中)小亮求得方程组 2x+y=● 2x-y=12的解为 x=5 y=■'由于不小心滴上了 两滴墨水，刚好遮住了两个数●和回，则●是 题型08根据实际问题列二元一次方程 【典例8】(24-25七年级下·山东潍坊期中)“方程”二字最早见于我国（九章算术)这部经典著作中，该书的 第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数xy的系数与相应的常数项，即 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 表示方程3x+y=41.按照上述规则， 表示的方程是 【变式1】(21-22七年级下·浙江宁波·开学考试)某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植 量比计划增长10%，而苹果树种植量比计划减少5%.若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方 程为」 【变式2】在“幻方拓晨课程”探索中，小明在如图3×3方格中填入了一表示数的代数式，若图中各行、各列 及对角线的上的三个数之和都相等，用含x的代数式表示y为」 -1 y-x+4 3 x-y+4 x+y-4 y x-1 4 【变式3】(2024贵州黔南一模)我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为： 今有人合伙买玉石，每人出。钱，会多出4钱.设人数为x人，玉石价格为y钱，则可列关于x,y的方程 为() 2x+4B.y A.y= 24 C.y=x-4 D.2y=x+4 强化训练 一、单选题 1.(20-21七年级下浙江衢州·期中)下列是二元一次方程的是() A.3x-10=0 B.4x=y-z C.2x-3y=-1 D.y+8=0 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25七年级上云南保山期末)若x= =-1 是二元一次方程ax+by=3的一个解，则a-b的值等于() A.-3 B.-2 C.2 D.3 3.(24-25七年级上云南保山期末)把方程2x+y=1写成用含x的代数式表示y的形式，下面表示正确的是 () A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=x+1 D.y=7x-1 4.(2021七年级下·黑龙江哈尔滨阶段练习)下列方程组中不是二元一次方程组的是() m+n=3 S=3t B. C x=3 D x+y=3 A. 2m-n=4 2s-t=4 y=4 2xy-y=4 x+y=1 5.(24-25七年级下.全国单元测试)若二元一次方程组* x=-1 的解是 ,则*表示的方程可能是() y=a A.x-y=-3 B.x+2y=4 C.2x-y=-3 D.2x+3y=-4 二、填空题 6.(25-26八年级上黑龙江鹤岗开学考试)已知 y=-2是方程2x-wy=4的一个解，则a= x=1 7.(23-24七年级下.江苏宿迁期末)已知 x=3 y=-2 是二元一次方程ax+3y=0的解，则a的值为」 8.(2022西藏一模)若二元一次方程组 2x+y=3 4r-y=g的解为 少=’则m-的值是一 x=m 9.(25-26八年级上全国课后作业)如果2x2-1-3y2-15=10是一个关于x,y的二元一次方程，那么ab的值 是」 10.(2425七年级下.全国.单元测试)方程组 2x+y=● (2r-y=12的解为 =★由于不小心滴上了两滴墨水，刚好 x=5 遮住了两个数●和★，则数●=，★= 三、解答题 1.《2526八年级上陕西延安开学考试)如果分是方程2x-y41=0的组解，求代数式6和-0-5的 值。 ax-by=-4 x=2 12.(2025七年级下.全国.专题练习)已知关于x,y的二元一次方程组 r+ay=-8的解为 y=-21 (1)求a,b的值： (2)求2025a-b的值. 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.(24-25七年级下.山东德州期末)关于x,y的二元一次方程均可以变形为ax+by=c的形式，其中a,b ,c,均为常数且a≠0，b≠0，规定：方程ax+by=c的“关联系数”记为(a,b,c. (1)【探索发现】二元一次方程4x+3y=-5的“关联系数"为 =m+5,为该方程的一组解， x=m+n (2)【拓展应用】己知关于x,y的二元一次方程的“关联系数”为(2，-1,1，若 且m,n均为正整数，求m,n的值. 14.(24-25七年级下…浙江宁波阶段练习)己知方程4a+3b=16. (1)用关于a的代数式表示b; (2)求当a=-2,1时，对应的b值，并由此写出方程4a+3b=16对应的两个解 15.(24-25七年级下·江苏扬州阶段练习)若关于x,y的二元一次方程x+2y=3k-4(k为常数). (1)当x=2,y=-1时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解， 9/9