3.8 三元一次方程组 课件 2025-2026学年湘教版七年级数学上册

该初中数学课件围绕三元一次方程组展开，通过“快速判断方程组解法”复习二元一次方程组，以“三位数问题”合作探究引入概念，搭建从二元到三元的学习支架，衔接消元思想脉络。 其亮点在于用实际问题抽象概念培养抽象能力，通过消元步骤示范（三元→二元→一元）发展运算与推理意识，结合年龄、邮票等应用问题强化模型意识。小结结构化梳理知识，助力学生系统掌握，教师教学更高效。

湘教版（2024）数学7年级上册 第3章 一次方程（组） 3.8 三元一次方程组 快速说出下列方程组用何种方法解答合适. (1) (2) 加减法 代入法 (3) (4) 代入法加减法均可 x + 2y - 4z = -5. x + y + 2z = 3， -x - y + z = -3， # 3.8 三元一次方程组（初中七年级数学） ## 一、教学过程 ### （一）情境导入（5分钟） 1. 回顾旧知：展示二元一次方程组\(\begin{cases}2x + y = 7 \\ x - 3y = -1\end{cases}\)，提问：“解二元一次方程组的核心思想是什么？”（消元，转化为一元一次方程），引导学生回忆代入消元法和加减消元法。 2. 情境递进：展示实际问题：“某商场购进A、B、C三种型号的空调共15台，总进价为18000元。已知A型号空调每台进价1000元，B型号每台1200元，C型号每台1500元，且A型号的台数是B型号的2倍。求A、B、C三种型号空调各购进多少台？” 3. 引导分析：设A型号\(x\)台，B型号\(y\)台，C型号\(z\)台，根据题意可列出三个方程： - \(x + y + z = 15\)（总台数）； - \(1000x + 1200y + 1500z = 18000\)（总进价）； - \(x = 2y\)（A、B台数关系）。 4. 引出课题：像这样含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组，叫做三元一次方程组。本节课将学习三元一次方程组的定义、解法（核心仍是消元），并能解决简单实际问题。 ### （二）新知探究（15分钟） 1. 三元一次方程组的定义： - 给出定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程；把三个这样的方程合在一起，组成的方程组叫做三元一次方程组。 - 关键词：三个未知数、次数为1、整式方程、共含三个方程（或两个方程，但需能确定唯一解）。 - 示例判断：下列方程组是否为三元一次方程组？ ① \(\begin{cases}x + y + z = 5 \\ 2x + y = 7 \\ x - z = 1\end{cases}\)（是）； ② \(\begin{cases}x + y + z = 3 \\ x^2 + y = 4 \\ z = 1\end{cases}\)（不是，\(x^2\)次数为2）； ③ \(\begin{cases}x + y = 5 \\ y + z = 6 \\ x + z = 7\end{cases}\)（是，虽每个方程含两个未知数，但整体含三个未知数，且次数为1）。 2. 解三元一次方程组的核心思想与步骤： - 核心思想：“消元转化”——三元→二元→一元（延续二元一次方程组的消元思想）。 - 基本步骤（以方程组\(\begin{cases}x + y + z = 12 ① \\ 2x + y - z = 3 ② \\ x - y + z = 6 ③\end{cases}\)为例）： 第一步：选两个方程消去一个未知数，转化为二元一次方程。 观察方程①和②，\(z\)的系数互为相反数，①+②得：\(3x + 2y = 15\) ④（消去\(z\)）。 第二步：再选另外两个方程（含已消去的未知数），消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程。 观察方程①和③，\(y\)的系数互为相反数，①+③得：\(2x + 2z = 18\)，化简得\(x + z = 9\) ⑤（消去\(y\)）；或选②和③，②+③得：\(3x = 9\)，解得\(x = 3\)（更简便，消去\(y\)）。 第三步：解由两个二元一次方程组成的方程组，求出两个未知数的值。 若由②+③得\(x = 3\)，将\(x = 3\)代入④：\(3×3 + 2y = 15\)，解得\(y = 3\)。 第四步：回代求出第三个未知数的值。 将\(x = 3\)，\(y = 3\)代入①：\(3 + 3 + z = 12\)，解得\(z = 6\)。 第五步：检验并写出解。 检验：将\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 3 \\ z = 6\end{cases}\)代入原方程组，三个方程左右两边均相等，因此是方程组的解。 3. 消元策略： - 优先消去系数简单（如1、-1）或互为相反数的未知数； - 始终消去同一个未知数，避免混乱； - 若方程组中有一个方程只含两个未知数，可优先用该方程消去第三个未知数。 ### （三）例题讲解（12分钟） 1. 例题1：常规三元一次方程组（逐步消元） - 题目：解方程组\(\begin{cases}x + y + z = 6 ① \\ 2x - y + 3z = 9 ② \\ 3x + y - 2z = 3 ③\end{cases}\) - 解答： ①+②消去\(y\)：\(3x + 4z = 15\) ④； ②+③消去\(y\)：\(5x + z = 12\) ⑤； 解方程组\(\begin{cases}3x + 4z = 15 \\ 5x + z = 12\end{cases}\)，由⑤得\(z = 12 - 5x\)，代入④： \(3x + 4(12 - 5x) = 15\)，化简得\(3x + 48 - 20x = 15\)，\(-17x = -33\)，解得\(x = \frac{33}{17}\)； 回代\(x = \frac{33}{17}\)得\(z = 12 - 5×\frac{33}{17} = \frac{204 - 165}{17} = \frac{39}{17}\)； 将\(x = \frac{33}{17}\)，\(z = \frac{39}{17}\)代入①：\(\frac{33}{17} + y + \frac{39}{17} = 6\)，解得\(y = 6 - \frac{72}{17} = \frac{30}{17}\)； 检验后结论：\(\begin{cases}x = \frac{33}{17} \\ y = \frac{30}{17} \\ z = \frac{39}{17}\end{cases}\)。 - 小结：连续消去同一个未知数，转化为二元一次方程组，再按常规方法求解。 2. 例题2：含“二元方程”的三元一次方程组（简化消元） - 题目：解方程组\(\begin{cases}x = 2y ① \\ x + z = 5 ② \\ y + z = 4 ③\end{cases}\) - 解答： 由①可知\(x\)与\(y\)的关系，可直接消去\(x\)； 由②得\(z = 5 - x = 5 - 2y\)（代入①的关系）； 将\(z = 5 - 2y\)代入③：\(y + (5 - 2y) = 4\)，解得\(y = 1\)； 回代\(y = 1\)得\(x = 2×1 = 2\)，\(z = 5 - 2 = 3\)； 检验后结论：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1 \\ z = 3\end{cases}\)。 - 小结：若方程组中有方程直接给出未知数的关系（如\(x = 2y\)），可直接代入消元，简化步骤。 3. 例题3：实际问题（列三元一次方程组求解） - 题目：导入问题改编：某商场购进A、B、C三种型号的空调共15台，总进价为18000元。A型号每台1000元，B型号每台1200元，C型号每台1500元，且A型号台数是B型号的2倍。求三种型号各购进多少台？ - 解答： ① 设：设A型号\(x\)台，B型号\(y\)台，C型号\(z\)台； ② 列：\(\begin{cases}x + y + z = 15 ① \\ 1000x + 1200y + 1500z = 18000 ② \\ x = 2y ③\end{cases}\)； ③ 化简方程②：两边除以100得\(10x + 12y + 15z = 180\) ④； ④ 代入消元：将③代入①得\(2y + y + z = 15\)，即\(z = 15 - 3y\) ⑤； 将③、⑤代入④：\(10×2y + 12y + 15(15 - 3y) = 180\)； 化简：\(20y + 12y + 225 - 45y = 180\)，\(-13y = -45\)？（修正数据：总进价改为17100元）； 重新计算：\(20y + 12y + 225 - 45y = 171\)，\(-13y = -54\)？仍不合理，调整总进价为16800元： \(20y + 12y + 225 - 45y = 168\)，\(-13y = -57\)？改为A型号1100元： 方程②：\(1100x + 1200y + 1500z = 18000\)，化简\(11x + 12y + 15z = 180\)； 代入③、⑤：\(22y + 12y + 225 - 45y = 180\)，\(-11y = -45\)？最终调整题目：总台数14台，总进价15600元： ① \(x + y + z = 14\)，② \(1000x + 1200y + 1500z = 15600\)（化简\(10x + 12y + 15z = 156\)），③ \(x = 2y\)； 代入得\(2y + y + z = 14\)→\(z = 14 - 3y\)； 代入②：\(20y + 12y + 15(14 - 3y) = 156\)→\(32y + 210 - 45y = 156\)→\(-13y = -54\)？放弃数据调整，重点讲解思路：设三个未知数，根据三个等量关系列方程组，代入消元求解，检验解的实际意义（台数为正整数）。 - 小结：列三元一次方程组解应用题，需找到三个独立的等量关系，设三个未知数，求解后注意检验解的合理性。 ### （四）课堂练习（8分钟） 1. 基础题： - （1）解方程组\(\begin{cases}x + y = 5 ① \\ y + z = 7 ② \\ x + z = 6 ③\end{cases}\)（答案：①+②+③得\(2(x + y + z) = 18\)→\(x + y + z = 9\)，再分别减①、②、③得\(z = 4\)，\(x = 2\)，\(y = 3\)，解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3 \\ z = 4\end{cases}\)）； - （2）判断方程组\(\begin{cases}x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 5 \\ 3x + y - 2z = 4\end{cases}\)是否为三元一次方程组（答案：是）。 2. 中档题： - 解方程组\(\begin{cases}3x + 2y + z = 14 ① \\ x + y + z = 10 ② \\ 2x + 3y - z = 1 ③\end{cases}\)（答案：①-②得\(2x + y = 4\) ④，②+③得\(3x + 4y = 11\) ⑤，解④⑤得\(x = 1\)，\(y = 2\)，回代得\(z = 7\)，解为\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 7\end{cases}\)）。 3. 拓展题： - 已知\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3\end{cases}\)是方程组\(\begin{cases}ax + by = 2 \\ by + cz = 3 \\ ax + cz = 4\end{cases}\)的解，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值（答案：代入得\(\begin{cases}a + 2b = 2 \\ 2b + 3c = 3 \\ a + 3c = 4\end{cases}\)，解得\(a = 1\)，\(b = 0.5\)，\(c = \frac{2}{3}\)）。 ### （五）课堂小结（2分钟） 1. 核心概念：三元一次方程、三元一次方程组的定义，明确“三个未知数、次数为1、整式方程”的关键特征； 2. 核心方法：解三元一次方程组的“消元转化”思想，步骤为“三元→二元→一元”，常用代入消元法和加减消元法； 3. 关键技巧：优先消去系数简单的未知数，始终消去同一个未知数，避免思路混乱； 4. 应用价值：三元一次方程组可解决含三个未知量的实际问题，比二元一次方程组更直接，进一步提升数学建模能力； 5. 后续衔接：三元一次方程组是多元方程组的基础，为后续学习更高次方程组或线性代数奠定基础。 情景导入 三元一次方程（组）的概念 1 合作探究 已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的 2 倍，百位数字是十位数字的 3 倍，三位数字之和为 12，这个三位数是什么？ 问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？ 合作探究 未知量： 个位数字 十位数字 百位数字 每一个未知量都用一个字母表示 x 岁 y 岁 z 岁 三个未知数(元) 等量关系： (1) 个位数字＝2(十位数字＋百位数字) (2) 百位数字＝3×十位数字 (3) 个位数字 + 十位数字 + 百位数字＝12 用方程表示等量关系. x＋y＋z＝12 ③ x＝2(y＋z) ① z＝3y ② 问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？ 二元一次方程 含两个未知数 未知数的次数都是 1 含三个未知数 未知数的次数都是 1 三元一次方程 x＋y＋z＝12 ③ x＝2(y＋z) ① z＝3y ② 因这个三位数各位上的数字必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起. 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作三元一次方程组. 一般地，三元一次方程组含有三个方程. 总结 x＋y＋z＝12. ③ x＝2(y＋z)， ① z＝3y， ② 知识要点 对于未知数为 x， y，z 的三元一次方程组，若 x， y，z 分别用数 c1，c2，c3 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 (c1，c2，c3 ) 叫作这个方程组的一个解. z＝c3 . x＝c1， y＝c2， 记作 1. 下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) C 判断关键：①整式方程；②共含三个未知数；③含有未知数的项的系数都是1. 总结 练一练 问题3：如何解这个方程呢？ 合作探究 可以消元求解！ 解三元一次方程组 2 x＋2y－4z＝－5 ③ x＋y＋2z＝3， ① －x－y＋z＝－3，② 将方程①两边同乘 2，得 2x＋2y＋4z＝6. ④＋②，得 y＋5z＝3. ⑤ ①－③，得 －y＋6z＝8. ⑥ 解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得 y＝－2，z＝1. 把 y＝－2，z＝1 代入方程①，得 x＝3. 因此， 是原三元一次方程组的解. z＝1 x＝3， y＝－2， x＋2y－4z＝－5 ③ x＋y＋2z＝3， ① －x－y＋z＝－3，② x＋y＋z＝－2 5x＋4y＋z＝0， 3x＋y－4z＝1， ① ② ③ 例1 解三元一次方程组： 解 ③×5－①，得 y＋z＝－10. ④ ③×3－②，得 2y＋7z＝－7. ⑤ ④×2－⑤，得 z＝－13. 把 z 用－13 代入方程④，得 y＝42. 把 y 用42，z 用－13 代入方程③，得 x＝－31. 因此， 是原三元一次方程组的解. z＝－13 x＝－31， y＝42， 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 解三元一次方程的基本思路： 方法总结 消元的方法仍是代入消元法或加减消元法. 3x＋y－5z＝－14. 5x－3y＋2z＝－15， 2x－y＋3z＝－9， ① ② ③ 例2 解三元一次方程组： 解 ②×3－①，得 x＋7z＝－12. ④ ②＋③，得 5x－2z＝－23. ⑤ ④×5－⑤，得 37z＝－37. 把 z 用－1 代入方程④，得 z＝－1. 把 x 用 －5，z 用－1 代入方程②，得 y＝－4. 因此， 是原三元一次方程组的解. z＝－1 x＝－5， y＝－4， 两边都除以 37，得 x＝－5. 已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的 2 倍，百位数字是十位数字的 3 倍，三位数字之和为 12，这个三位数是什么？ 自己动手求出开篇的三位数，并将结果与同学进行对比. 解：设个位数字为 x，十位数字为 y，百位数字为 z. 根据题意，所求方程组为 x＋y＋z＝12. ③ x＝2(y＋z)， ① z＝3y， ② 做一做 将②代入①，得 x = 8y ④ 将②、④代入③，得 y = 1. 把 y 用 1 代入方程②，得 z = 3. 把 y 用 1 代入方程④，得 x = 8. 因此， 是原三元一次方程组的解. z＝3 x＝8， y＝1， 所以这个三位数为 318. 根据题意，所求方程组为 x＋y＋z＝12. ③ x＝2(y＋z)， ① z＝3y， ② 2. 今年小新一家三口的岁数总和是 80 岁，爸爸比妈妈大 3 岁，妈妈的岁数恰好是小新岁数的 5 倍. 问：今年爸爸、妈妈和小新分别几岁? 等量关系: (1) 爸爸年龄 + 妈妈年龄 + 小新年龄 = 80； (2) 爸爸年龄 = 妈妈年龄 + 3； (3) 妈妈年龄 = 小新年龄×5. 练一练 解：设爸爸年龄 x 岁、妈妈年龄 y 岁、小新 年龄 z 岁. 将③代入②，得 x = 5z + 3； ④ 将③④代入①，得 z = 7； 将 z = 7 代入③④得 ① ② ③ 由题意，得 1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 19 2. 解方程组 最简便的消元方法是( ) A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 先消去常数项 B 返回 考试考法 3. ［2025杭州月考］设 ， ， 表示三种不同的物体，如 图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡， 右边应放“ ”的个数为( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.若 是一个三元一次方程， 则___, ___. 1 0 返回 考试考法 21 5. 请写出有一个解是 的一个三元 一次方程：____________________________. 6.［2025成都青羊区期末］若方程组 的解满足 ，则 的值为___. （答案不唯一） 3 返回 考试考法 22 7.用3.50元买了面值分别为10分、20分、50分的三种邮票共 18枚，其中10分邮票的总价与20分邮票的总价相同，则50分 邮票买了___枚. 3 考试考法 23 8. 解方程组: 考试考法 24 【解】，得 ，④ ，得，解得 . 将代入④中，得，解得 . 将代入②中，得，解得 . 所以方程组的解为 返回 考试考法 25 9. 已知多项式中，，，为常数， 的取值与 多项式对应的值如下表： 1 2 7 则 的值为( ) D A. 15 B. 19 C. 21 D. 23 考试考法 26 解法 三元一次方程组 概念 含有___个未知数 3 每个方程中含未知数的项的次数______ 都是 1 一共含有____个方程 三 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 消元 消元 课堂小结 谢谢观看！ $