专题01 分式和分式方程（期末复习讲义，知识必备+17大重难题型+过关验收）八年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学分式和分式方程期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，将分式概念、性质、运算及分式方程解法、应用等知识点分层呈现，构建“概念-性质-运算-应用”的完整知识脉络，突出分式有无意义条件、增根与无解等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“题型+技巧”的分层设计，涵盖17类典型题型如分式值为0的条件、分式方程增根问题等，每题型配解题技巧如“分式值为0需分子为0且分母不为0”，培养运算能力与模型意识。通过基础通关、重难突破、综合拓展三级练习，适配不同层次学生，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题01 分式和分式方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念 掌握分式的形式，了解分式的分母含有未知数 一般出现在小题中 分式有无意义的条件 掌握分式有意义的条件，确保分母不为0 一般出现在选择题、填空题中 分式的基本性质 掌握分式的基本性质，掌握分式的符号法则 高频考点，一般在选择题中出现 分式的约分与通分 能根据分式的基本性质对分式进行约分或通分 高频考点，在解答题中也会考查 最简分式、最简公分母 掌握最简分式、最简公分母的概念，不能留下公因式 重要考点，一般在小题中出现 分式的四则混合运算 掌握分式的四则混合运算规律 一般出现在计算题 分式方程的解法 掌握分式方程的解法，计算时要注意检验结果是否符合情况 一般出现在计算题 分式方程的增根问题 掌握分式方程的增根情况，令分母中含未知数的项为0 一般出现在小题中，要注意增根情况 分式方程的无解问题 掌握分式方程无解问题的计算 一般出现在小题中，注意和增根的区别 分式方程的应用 学会根据数量关系列出分式方程 一般在解答题中 知识点01 分式及其性质 【概念】一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 【注意】判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式。 知识点02 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 【注意】分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 知识点03 分式的基本性质 【概念】分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点04 分式的约分与通分 【概念】约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【注意】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 【概念】通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 ②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点05 分式的加减乘除法 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 【注意】最后的结果需要化成最简分式或整式。 分式的乘除法 ①分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； ②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； ③分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 【注意】分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点06 分式方程 【概念】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 【注意】和分式的概念类似，判断是否是分式方程，只看原式中分母是否有未知数，不看化简后。 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1、找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2、去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3、解这个整式方程，求出整式方程的解； 4、检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意】 1、去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2、分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3、分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4、解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5、分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点07 用分式方程解决问题 审、设、列、解、验、答 【关键】分析题意寻找等量关系，列方程 题型一 分式的相关概念 解｜题｜技｜巧 判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式 1．下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 3．代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式的有 ，是整式的有 （请填写序号） 5．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式的有 （只填序号） 题型二 分式有无意义的条件、分式值为0的条件 解｜题｜技｜巧 分式的值是在分式有意义的前提下考虑的 6．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．不存在 8．使分式的值为零，则的取值是 ． 9．要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 10．当取什么值时，分式． (1)分式有意义； (2)分式的值为0． 题型三 分式的求值 11．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．已知分式（、为常数）满足表格中的信息：的值为（    ） 的值 分式的值 不存在 A． B． C． D． 13．如果，那么 ． 14．若，求 ． 15．阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 题型四 根据分式值的情况求未知数的取值范围 16．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 17．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 18．已知分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 19．填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 20．阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 题型五 分式的求整问题 解｜题｜技｜巧 分式的求整问题，要学会对分式进行化简，保证分式的分子是个常数，这样就可以求出分式值的整数情况； 21．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 22．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 23．若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 24．分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 25．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 题型六 分式的基本性质 解｜题｜技｜巧 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 26．下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 27．将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（    ） A．扩大为原来的2026倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．以上都不正确 28．已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入 ． 29．若分式的值为5，当，都扩大为原来的2倍时，所得分式的值为 ． 30．利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 约分与通分 解｜题｜技｜巧 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值； 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式； 31．约分： (1)； (2)． 32．约分： (1)． (2)． 33．通分： (1)，； (2)，，． 34．通分： (1)； (2)； (3)． 35．将，先约分，再通分，并求两分式之和． 题型八 最简分式与最简公分母 解｜题｜技｜巧 分子与分母没有公因式的分式； 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 36．请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件： ①分式的值不可能为0； ②分母是含有字母m的一次二项式． 这个分式可以是 ． 37．分式和的最简公分母为 ． 38．分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．分式、、的最简公分母是 （　　） A． B． C． D． 40．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，______是和谐分式（填写序号即可）； ①；②；③；④；⑤． （2）若a为正整数，且为和谐分式，______； （3）利用和谐分式，化简： 题型九 分式的四则混合运算 解｜题｜技｜巧 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 41．化简： 42．计算：． 43．化简： 44．计算：． 45．计算： 题型十 已知分式恒等式确定分子或分母 46．已知，，为常数，求的值． 47．已知，试确定A，B的值 48．已知（是常数），求的值． 49．已知，则 ． 50．阅读材料，并解答问题． 【材料】将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以． 所以解得， 所以． 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式． 【问题】请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 题型十一 分式运算的实际应用 解｜题｜技｜巧 掌握分式运算的实际应用，关键要看题干中的数量关系列出分式； 51．某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买 盒． 52．小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 53．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 54．嘉嘉和淇淇一起做游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．嘉嘉的牌分别是，，，淇淇的牌分别是，，．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． 嘉嘉： 洪洪： (1)嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　　　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　　　； (2)淇淇思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者．”淇淇说的有道理吗?请你通过计算加以说明．（提示：利用作差法比较大小） 55．甲、乙两位同学同时从学校沿同一路线到离学校2千米的户外拓展中心参加活动．甲同学有一半路程以a（千米/时）的速度行走，另一半路程以b（千米/时）的速度行走；乙同学有一半时间以a（千米/时）的速度行走，另一半时间以b（千米/时）的速度行走，其中． (1)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的时间分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (2)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的平均速度分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (3)请你判断哪位同学先到达户外拓展中心？请说明理由． 题型十二 分式化简求值 解｜题｜技｜巧 分式的化简求值要注意代入的值不能使分式无意义； 56．先化简，再求值：，其中． 57．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 58．先化简：，然后找一个绝对值不大于1的整数a代入求值． 59．先化简，再求值： 化简，然后从中选出合适的整数作为的值代入求值． 60．先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 题型十三 解分式方程 解｜题｜技｜巧 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 61．解分式方程 (1)； (2)． 62．解下列方程： (1)； (2)． 63．计算： (1)解方程：； (2)解方程：； (3)先化简：并从中选一个合适的数作为的值代入求值． 64．解分式方程： (1)； (2)． 65．已知分式，解答下列问题： (1)先化简，并求当时，原代数式的值； (2)原代数式的值能等于吗？为什么？ 题型十四 根据分式方程解的情况求值 66．关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 67．关于的分式方程，下列结论： 结论I：当方程的解为正整数时，的整数值为或5； 结论II：当方程的解为正数时，的取值为． 下列判断正确的是（   ） A．结论I、结论II都正确 B．结论I、结论II都不正确 C．结论I正确，结论II不正确 D．结论I不正确，结论II正确 68．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 69．若是分式方程的解，则的值为 ． 70．已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 题型十五 分式方程的增根与无解问题 解｜题｜技｜巧 解决分式方程的增根与无解问题，要先解出该分式方程的含参结果，再将增根情况和无解情况代入即可求出参数范围； 增根是原分式方程的分母为零的根；无解一种情况是增根，另一种情况是解出的分式方程含参结果中分母为0的结果； 71．已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 72．若关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或3 73．关于的分式方程有增根，则的值为 ． 74．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是 ． 75．已知关于x的方程，若方程无解，求m的值． 题型十六 分式方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 关键：分析题意寻找等量关系，列方程 76．某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵． (1)若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； (2)现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数； ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若，则；若，则；若，则．） 77．某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 78．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 79．某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间多多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 80．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的x表示 （填序号），解法二所列方程中的x表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． (2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 题型十七 分式和分式方程中的新定义问题 81．新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 82．定义新运算“”：，如果，那么的值为 ． 83．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有___________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； 84．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 85．定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北·期末）下列分式的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北·期末）当分式的值等于0时，的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如果把的x与y（x，y均为正数）都扩大到原来的5倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的 5．若分式的值为，则 ． 6．（24-25七年级下·河北·期末）已知 ，则 ． 7．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知，则 ． 8．（24-25八年级下·河北保定·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）约分； （2）计算：． 10．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）解分式方程： (1)； (2) 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25九年级上·河北沧州·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·河北保定·期末）如果关于的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．7 13．（24-25八年级下·河北保定·期末）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·河北保定·期末）下面是嘉嘉求解方程的过程，存在一些错误，请指出嘉嘉从（   ）开始出现了错误． 方程两边都乘，得，………………第一步 解这个方程得：．…………………………………………第二步 检验：将代入第一步方程，左边右边………………第三步 所以，是原方程的根．………………………………第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 15．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ． 16．（24-25八年级下·河北保定·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是 . 17．（23-24八年级上·河北承德·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 18．（24-25八年级下·河北保定·期末）凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知，且，则透镜焦距 ． 19．（25-26八年级上·河北邢台·期末）解下列方程： (1)； (2)． 20．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25八年级下·河北张家口·期末）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·河北·期末）若a满足，则分式的值为（   ） A． B． C．0 D． 23．（24-25八年级上·河北唐山·期末），，，是四个常数，根据表中的数据，下列判断错误的是（    ） 7 1 A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·河北邢台·期末）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，若将第2023次显示结果记为，2024次显示结果记为，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 25．若分式的值为0，则m的值为 ． 26．（23-24八年级上·河北承德·期末）“■”覆盖了两个分式之间的运算符号：． （1）若“■”表示的是“＋”，其运算结果为 ； （2）若“■”表示的是“÷”，并且其运算结果为1，则x的值为 ． 27．（21-22八年级下·河北保定·期末）已知x为整数，且为正整数，则整数 ． 28．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4 根据上述方法，试求分式的最大值是 ． 29．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：，” 小明的解法： 解： =①     ②     ③ ④ 小红的解法： 解： ① ② ③ ④ (1)老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们从哪一步出现错误（填写序号）． (2)请你写出正确的计算过程． 30．（24-25八年级上·河北唐山·期末）若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． (1)若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值； (2)若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式和分式方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念 掌握分式的形式，了解分式的分母含有未知数 一般出现在小题中 分式有无意义的条件 掌握分式有意义的条件，确保分母不为0 一般出现在选择题、填空题中 分式的基本性质 掌握分式的基本性质，掌握分式的符号法则 高频考点，一般在选择题中出现 分式的约分与通分 能根据分式的基本性质对分式进行约分或通分 高频考点，在解答题中也会考查 最简分式、最简公分母 掌握最简分式、最简公分母的概念，不能留下公因式 重要考点，一般在小题中出现 分式的四则混合运算 掌握分式的四则混合运算规律 一般出现在计算题 分式方程的解法 掌握分式方程的解法，计算时要注意检验结果是否符合情况 一般出现在计算题 分式方程的增根问题 掌握分式方程的增根情况，令分母中含未知数的项为0 一般出现在小题中，要注意增根情况 分式方程的无解问题 掌握分式方程无解问题的计算 一般出现在小题中，注意和增根的区别 分式方程的应用 学会根据数量关系列出分式方程 一般在解答题中 知识点01 分式及其性质 【概念】一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 【注意】判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式。 知识点02 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 【注意】分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 知识点03 分式的基本性质 【概念】分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点04 分式的约分与通分 【概念】约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【注意】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 【概念】通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 ②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点05 分式的加减乘除法 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 【注意】最后的结果需要化成最简分式或整式。 分式的乘除法 ①分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； ②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； ③分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 【注意】分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点06 分式方程 【概念】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 【注意】和分式的概念类似，判断是否是分式方程，只看原式中分母是否有未知数，不看化简后。 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1、找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2、去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3、解这个整式方程，求出整式方程的解； 4、检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意】 1、去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2、分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3、分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4、解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5、分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点07 用分式方程解决问题 审、设、列、解、验、答 【关键】分析题意寻找等量关系，列方程 题型一 分式的相关概念 解｜题｜技｜巧 判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式 1．下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查分式的定义，掌握分式的构成特点，特别是在分母中必须含有字母，即可正确判断． 形如的式子叫分式，其中A、B表示两个整式，B中含有字母，依此判断即可． 【详解】解：，，这三个式子，分母不含字母，都不是分式； ，，，这四个式子，分母含字母，都是分式； ∴分式共有4个， 故选：B． 2．嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，分式有意义的条件，分式值为0的条件，分式的性质；逐一判断每个小题的正误，对比嘉琪的判断，找出他做对的题目． 【详解】解：①∵分母不含字母，不是分式，∴原题说法错误，嘉琪判断“×”正确． ②∵当时，分母，∴分式无意义，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． ③∵分式值为0需分子为0且分母不为0，分子得，但时分母为0，∴只有满足，原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ④∵分式变形需分子分母同乘除非零整式，此处加2不满足，如时两边不相等，∴原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ⑤∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． 综上，嘉琪做对①、②、⑤． 故选：B． 3．代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，逐一检查每个代数式即可． 【详解】解：代数式，，，，，中，属于分式的有，，，共个， 故选：B． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式的有 ，是整式的有 （请填写序号） 【答案】 ①④⑤ ②③⑥ 【分析】本题主要考查了分式的定义．根据分式的定义解答即可． 【详解】解：分式为，，；整式为，，． 故答案为：①④⑤；②③⑥ 5．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式的有 （只填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）． 明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】解析：分式的定义是形如（是整式，B中含有字母且）的式子． 分母含字母x，是分式； ②分母是常数（非字母），是整式； ③分母含字母x，是分式； ④是整式的和，是整式； ⑤分母含字母x、y，是分式； ⑥是单项式，是整式． 因此，是分式的有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 题型二 分式有无意义的条件、分式值为0的条件 解｜题｜技｜巧 分式的值是在分式有意义的前提下考虑的 6．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零，是基础题． 分式有意义的条件是分母不为零，因此分母，解出的取值范围即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母， ∴． 故选：A． 7．若分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为0的条件．分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，需注意分母不为0的限制，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式值为0， ∴分子且分母． 解方程：，即， ∴或． 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，分式有意义． ∴． 故选：B． 8．使分式的值为零，则的取值是 ． 【答案】7 【分析】分式的值为零需满足分子为零且分母不为零．本题考查分式值为零的条件，涉及的知识点是分式有意义的条件及绝对值方程的求解．解题中用到的方法是“双条件验证法”，同时验证分子为零和分母不为零．解题关键是不能忽略分母不为零的限制条件．易错点是只考虑分子为零，忘记排除使分母为零的情况． 【详解】由分子，得，解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，符合条件． 故答案为7． 9．要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不为0.有意义即. 【详解】解：∵有意义 ∴ ∴ 故答案为：. 10．当取什么值时，分式． (1)分式有意义； (2)分式的值为0． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件即可求解； （2）根据分式值为零的条件即可求解． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得：； （2）解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 题型三 分式的求值 11．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据已知条件，（），再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解:因为 ， 设 ，（） 则 ， 故选C． 12．已知分式（、为常数）满足表格中的信息：的值为（    ） 的值 分式的值 不存在 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式的值为的条件，分式的求值，先根据分式无意义和分式的值为的条件求出常数 、的值，进而得出分式，再把代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式的值不存在， ∴， ∴， ∵当时，分式的值为， ∴， ∴， ∴分式为， 当时，， 故选：． 13．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的求值，首先通过交叉相乘相等，可得，那么，然后即可求解． 【详解】解：由， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．若，求 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的值及因式分解，熟练掌握约分及因式分解是解题的关键；通过因式分解和约分简化分式，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为． 15．阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 题型四 根据分式值的情况求未知数的取值范围 16．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式值的正负性，解一元一次不等式等知识点，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号． 根据分式的值是非负数，分母恒为正数，因此只需分子是非负数即可． 【详解】解：∵，的值是非负数， ∴，即． ∴的取值范围是． 故选：B． 17．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 18．已知分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为负数， ∴， 解得：； 或， 解得：， ∴x的取值范围是或； 故答案为：或． 19．填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 20．阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【答案】(1)，不等式组无解， (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答； （2）先根据有理数的除法法则得出③或④，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解， 故当x满足时，分式的值为正． 故答案为：；不等式组无解；； （2）解：∵分式的值为负， ∴分子、分母异号， 原式可转化为③或④， 解不等式组③： 由，得，由，得， ∴不等式组③无解； 解不等式组④： 由，得，由，得， ∴不等式组④的解集为． 综上所述，若分式的值为负，则x的取值范围为． 题型五 分式的求整问题 解｜题｜技｜巧 分式的求整问题，要学会对分式进行化简，保证分式的分子是个常数，这样就可以求出分式值的整数情况； 21．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 22．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 23．若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 24．分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 【答案】或0或2或8 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 25．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 题型六 分式的基本性质 解｜题｜技｜巧 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 26．下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质：判断分式变形是否正确．根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 27．将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（    ） A．扩大为原来的2026倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值的变化情况，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵和同时扩大为原来的2026倍， ∴新分式为， ∴分式的值保持不变． 故选C． 28．已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：∵，均为非0常数， ∴， 故答案为：． 29．若分式的值为5，当，都扩大为原来的2倍时，所得分式的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，都扩大为原来的2倍时：； 故答案为：10 30．利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的基本性质，以及因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． （1 ）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （2 ）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （3 ）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以x求解即可； （4 ）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以求解即可． 【详解】（1）解：： （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型七 约分与通分 解｜题｜技｜巧 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值； 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式； 31．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的约分： （1）先把分子分母因式分解，再约分即可； （2）先把分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．约分： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式． 分别根据分式的基本性质进行化简得出即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 33．通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键 （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ， ． 34．通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，通分的定义：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式的变形叫做分式的通分． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， ， ． 35．将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【答案】，， 【分析】根据约分的定义，先将，的分子分母分别分解因式，再约去它们的公因式，将两个分式化成最简分式，再根据通分的定义，将两个分式化成同分母的分式，最后根据同分母分式相加减的法则，将两个分式相加，把最后结果化成最简分式即可；本题考查了分式的约分、通分以及同分母分式相加减，熟练掌握约分、通分的概念以及同分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以这两个分式的最简公分母是， 所以， 所以． 题型八 最简分式与最简公分母 解｜题｜技｜巧 分子与分母没有公因式的分式； 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 36．请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件： ①分式的值不可能为0； ②分母是含有字母m的一次二项式． 这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简分式、分式的值不为0以及分母的条件．根据题意，分子应为非零常数，分母为含有字母m的一次二项式，且分子与分母无公因式． 【详解】解：分式中，分子2为非零常数，因此分式的值不可能为0， 分母是含有字母m的一次二项式，且分子与分母无公因式，为最简分式． 故答案为：（答案不唯一）． 37．分式和的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的概念，熟练掌握取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为最简公分母是解题的关键；因此此题根据最简公分母可进行求解． 【详解】解：分母和的系数的最小公倍数是6，x的最高次幂是，y的最高次幂是，因此最简公分母为； 故答案为：． 38．分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可． 【详解】解：的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 故最简分式有2个， 故选：B． 39．分式、、的最简公分母是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母的定义，解题的关键在于熟练掌握确定最简公分母的方法：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母因式连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 先把分母因式分解，再根据方法找出最简分母即可． 【详解】解：∵，，， ∴最简公分母是； 故选：A． 40．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，______是和谐分式（填写序号即可）； ①；②；③；④；⑤． （2）若a为正整数，且为和谐分式，______； （3）利用和谐分式，化简： 【答案】（1）②⑤；（2）5或7；（3） 【分析】（1）利用和谐分式定义对各式进行一一验证即可； （2）根据中间项系数6=1×6=2×3因数分解中两正数1与6，2与3的和即可求解； （3）利用和谐分式先因式分解，再通分，去括号合并同类项，再因式分解，也变为和谐分式即可． 【详解】解：（1）①分子分母都不能因式分解，不是和谐分式； ②能因式分解，不能约分，是和谐分式； ③，能约分，不是和谐分式； ④，能约分，不是和谐分式； ⑤能因式分解，不能约分，是和谐分式； 故答案为②⑤； （2）∵分式为和谐分式，且a为正整数， ， ∴，， ∴，， 故答案为5或7； （3）原式． 【点睛】本题考查新定义分式，约分，利用新定义求字母的值，应用和谐分式化简分式，掌握新定义的实质是能因式分解的最简分式，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题关键． 题型九 分式的四则混合运算 解｜题｜技｜巧 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 41．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，能根据运算顺序正确计算和因式分解是解题的关键．可先对括号内的进行通分化简，并把除法运算正确转化为乘法运算且因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 42．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可． 【详解】解：原式 ． 43．化简： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据分式的加法和除法法则化简即可得答案． 【详解】解： ． 44．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键，先将小括号里面的分式进行通分，然后再进行分式的乘法运算，得出答案即可． 【详解】解： ． 45．计算： 【答案】 【分析】本题考查分式化简．根据分式的性质及混合运算法则化简即可． 【详解】解：， ． 题型十 已知分式恒等式确定分子或分母 46．已知，，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 47．已知，试确定A，B的值 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法、二元一次方程组的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先把等式的右边通分，计算分式的加法，再利用等式两边的分母相同，则分子相同可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， 解得． 48．已知（是常数），求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式运算，涉及解三元一次方程组，熟练掌握分式混合运算方法步骤及三元一次方程组的解法是解决问题的关键．先通分将化为，再由分式相等得到方程组，利用消元法解三元一次方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ， 解得． 49．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C的值，然后代入计算表达式． 【详解】 , ,解得， ． 故答案为：． 50．阅读材料，并解答问题． 【材料】将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以． 所以解得， 所以． 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式． 【问题】请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法．根据阅读材料内容进行拆分：由分母为，可设计算即可． 【详解】解：由分母为，可设， 因为， 所以， ， ， ． 题型十一 分式运算的实际应用 解｜题｜技｜巧 掌握分式运算的实际应用，关键要看题干中的数量关系列出分式； 51．某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买 盒． 【答案】 【分析】本题考查分式运算的应用． 通过计算现在购买数量与原来购买数量的差，得到多买的盒数． 【详解】解：原来每盒售价元，500元可购买盒； 现在每盒售价元，500元可购买盒． 现在比原来多买盒． 故答案为：． 52．小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 53．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 【答案】(1)， (2)“丰收2号”小麦的单位面积产量高，见解析 【分析】本题主要考查分式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出分式． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量； （2）根据解析（1）得出结果，先比较与的大小，再得出分式的大小即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量为    故答案为：，； （2）“丰收2号”小麦的单位面积产量高 ，     ，     由图丙可得     .     所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高. 54．嘉嘉和淇淇一起做游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．嘉嘉的牌分别是，，，淇淇的牌分别是，，．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． 嘉嘉： 洪洪： (1)嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　　　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　　　； (2)淇淇思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者．”淇淇说的有道理吗?请你通过计算加以说明．（提示：利用作差法比较大小） 【答案】(1)， (2)有道理，理由见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，涉及分数的加减法，乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据是大于5的正整数，可以判断嘉嘉的牌中最小，最大，淇淇的牌最大，最小，从而得出答案； （2）利用作差法，计算，可得结果为，然后分析分母的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：是大于5的正整数， 嘉嘉的牌中最小，最大，淇淇的牌最大，最小， 嘉嘉组成的分式中值最大的分式是，淇淇组成的分式中值最大的分式是； 故答案为：，； （2）解：淇淇说的有道理，理由如下： 是大于5的正整数， ， ， ， 所以淇淇说的有道理． 55．甲、乙两位同学同时从学校沿同一路线到离学校2千米的户外拓展中心参加活动．甲同学有一半路程以a（千米/时）的速度行走，另一半路程以b（千米/时）的速度行走；乙同学有一半时间以a（千米/时）的速度行走，另一半时间以b（千米/时）的速度行走，其中． (1)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的时间分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (2)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的平均速度分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (3)请你判断哪位同学先到达户外拓展中心？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)乙先到达户外拓展中心；理由见解析 【分析】本题考查列代数式，分式的值大小比较，分式混合运算的应用，根据路程、速度、时间之间的关系列出式子是解题的关键． （1）根据时间=路程÷速度，甲有一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走，可表示出；根据路程=速度×时间，乙有一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，可得，即可表示出； （2）根据速度＝路程÷时间即可表示出，； （3）运用求差法比较与的大小即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ∴． （2）解：， ． （3）解：∵， 又，a、b为正数， ∴，， ∴，即， ∴， ∴乙先到达户外拓展中心． 题型十二 分式化简求值 解｜题｜技｜巧 分式的化简求值要注意代入的值不能使分式无意义； 56．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号，再运算除法，最后运算减法，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 57．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 【答案】(1)， (2)，6 【分析】本题考查分式的混合运算； （1）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相减，再计算分式除法，得出结果后，最后代入求值即可； （2）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相加，再计算分式除法，最后整体代入求值即可. 【详解】（1）解： . 将代入得：原式. （2）解： . ∵， ∴， ∴原式. 58．先化简：，然后找一个绝对值不大于1的整数a代入求值． 【答案】化简结果为 ，当 时，值为 。 【分析】本题考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的运算顺序和运算法则，分式有意义的条件，是解题的关键．原式化简后为 ，选择绝对值不大于1的整数 ，且 ，，故取 代入计算． 【详解】解：原式 = = = = = = ． 由分式有意义条件得或0， 又∵ a为绝对值不大于1的整数，故 ，则原式 = ． 59．先化简，再求值： 化简，然后从中选出合适的整数作为的值代入求值． 【答案】化简为，． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，首先根据分式的运算法则进行计算，可得：原式，根据分式有意义的条件可得：，，又因为的取值范围是，为整数，可知，把字母的值代入化简后的代数式计算求值． 【详解】解： ， ，，， ，， 又，为整数， ， 可得：原式． 60．先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】， 或 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先化简分式，再将使分式有意义的值代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 当时，原式．（0与选一个代入求值即可） 题型十三 解分式方程 解｜题｜技｜巧 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 61．解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的求解，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． （1）方程两边同时乘以即可求解； （2）方程两边同时乘以即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为：； （2）解：方程两边同时乘以得： ， 解得： 检验：当时，， ∴原方程无解． 62．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘得出，即，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得，即， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的根； （2）解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 经检验，是方程的增根， 所以分式方程无解． 63．计算： (1)解方程：； (2)解方程：； (3)先化简：并从中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 (3)，当时，原式 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，准确的计算是解题的关键． （1）先将分式方程两边同乘，将分式方程转化为整式方程，进而解一元一次方程即可，注意分式方程要检验； （2）先将分式方程两边同乘，将分式方程转化为整式方程，进而解一元一次方程即可，注意分式方程要检验； （3）先把分式化简后，再选择使分式有意义的的值代入求出分式的值即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 检验：当时，． 所以原分式方程的解为； （2）解：方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 解得． 检验：当时，． 所以原分式方程无解； （3）解： ， 当时，分式无意义 当时，原式． 64．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）去分母化为整式方程，解整式方程，再检验整式方程的解是否为分式方程的增根即可； （2）去分母化为整式方程，解整式方程，再检验整式方程的解是否为分式方程的增根即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解； （2）解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 65．已知分式，解答下列问题： (1)先化简，并求当时，原代数式的值； (2)原代数式的值能等于吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)原代数式的值不能等于，理由见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则化简，然后代数求解即可； （2）令，求解检验即可判断． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：由（1）可知原式化简后的式子为， 令，解得， ∵时，原分式无意义， ∴原代数式的值不能等于． 题型十四 根据分式方程解的情况求值 66．关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，将已知解代入分式方程求解即可． 【详解】∵关于的分式方程的解是， ∴代入得， ∴． 故选：D． 67．关于的分式方程，下列结论： 结论I：当方程的解为正整数时，的整数值为或5； 结论II：当方程的解为正数时，的取值为． 下列判断正确的是（   ） A．结论I、结论II都正确 B．结论I、结论II都不正确 C．结论I正确，结论II不正确 D．结论I不正确，结论II正确 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程、解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先求解分式方程，得到解 对于结论I，解为正整数时，必须是7的正因数即可判断结论I正确．对于结论II，解为正数时，可得且可判断结论II不正确． 【详解】解：∵ 方程 ， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 对于结论I：∵ 方程的解为正整数， ∴ ，且为整数， ∴ 为7的正因数，即或， ∴ 或 ， 当时，；当 时，， ∴ 结论I正确． 对于结论II：∵ 方程的解为正数， ∴且， ∴ ，且 ∴且， ∴ 且时解为正数，故结论II不正确． 综上，结论I正确，结论II不正确， 故选C． 68．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，先将方程中的分式化简，利用分母互为相反数的关系合并分式，然后求解关于的方程，得到解的表达形式，根据解为负数的条件列出不等式，同时考虑分母不为零的约束，排除使解为1的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母可得：， 解得：， ∵解为负数， ∴， 解得：， 同时，分母不为零要求，即， 解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 69．若是分式方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次方程，把代入分式方程得，然后解一元一次方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是分式方程的解， ∴，整理得， 解得：， 故答案为：． 70．已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，一元一次不等式，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可； （3）根据方程的根为整数，结合（2）所求可，，即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得 ， 即， ∵该方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， 答：a的值为3； （2）解：∵该方程的解为非负数，， ∴，， 即，且， ∴， 解得， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴且； （3）解：∵该方程的解为整数，， ∴，， 解得或或或， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 题型十五 分式方程的增根与无解问题 解｜题｜技｜巧 解决分式方程的增根与无解问题，要先解出该分式方程的含参结果，再将增根情况和无解情况代入即可求出参数范围； 增根是原分式方程的分母为零的根；无解一种情况是增根，另一种情况是解出的分式方程含参结果中分母为0的结果； 71．已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 72．若关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解问题，根据分式方程解的情况求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程矛盾（系数为零但常数项不为零），二是解出的根是增根（分母为零）． 【详解】解：原方程：． 去分母，得， 整理得：． 情况一：方程矛盾无解． 当且， 即． 情况二：解为增根． 代入方程：， 解得：． 当时，解出，为增根． 综上，或． 故选：C． 73．关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，注意增根问题可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方程；让最简公分母为确定增根； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘， 得，由分式方程有增根，得到最简公分母，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，即， ． 故答案为： ． 74．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的解，将原方程去分母得，整理得，若方程无解，那么它有增根，代入即可求解． 【详解】解：， 方程去分母得， 整理得， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 故答案为：1． 75．已知关于x的方程，若方程无解，求m的值． 【答案】 m的值为或2或 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是原方程的增根（使分母为零），首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况． 【详解】解：， 整理得，， 方程两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 分式方程无解时： ∵当整式方程无解，即且， 解得； ∵当整式方程有解但解为增根，即解使分母为零， ∴当，代入整式方程得，即， 解得； 当，代入整式方程得，即， 解得； ∴综上，当或或时，分式方程无解． 题型十六 分式方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 关键：分析题意寻找等量关系，列方程 76．某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵． (1)若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； (2)现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数； ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若，则；若，则；若，则．） 【答案】(1) (2)①，；②正确 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、分式加减的实际应用、列代数式等知识点，读懂题意、根据题中的数量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵，由题意得，再解分式方程并检验即可； （2）①依据题意直接列式即可；②利用作差法可得，再结合即可得出其符号，进而说明嘉淇的说法是否正确． 【详解】（1）解：甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， 根据题意列分式方程得： ． 整理得，，解得， 经检验，是原分式方程的解， 的值是． （2）解：①∵甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， ∴甲组完成160棵任务需要天，乙组完成200棵任务需要天． 故答案为：，． ② ， ∵， ， ，即：， ， ∴甲组完成任务所用的时间更少， ∴嘉淇的说法正确． 77．某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【答案】(1)甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天 (2)①从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队；②从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，列出分式方程，解方程即可； （2）①根据（1）中的结果比较即可解答；②根据（1）中的结果求出甲单独完成，乙单独完成的费用比较，再结合暑假时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队天， 由题意：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； （2）解：①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天， ， ∴甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队； ②若甲单独完成，其费用为：（元）， 若乙单独完成，其费用为：（元）， ， ∴从资金的角度考虑，学校应选择甲工程队，且甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成． 综上，从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队． 78．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）由题意可知，每支中性笔的价格为元．根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时购买圆珠笔的数量为（支）， ∵购买圆珠笔的数量为整数， ∴不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故整数m的值为3． 79．某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间多多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】（1）嘉嘉在两项活动中的用时相差秒；（2）嘉嘉在活动一的速度为4米/秒；（3）嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，涉及分式运算、解分式方程等知识，读懂题意，准确列出分式及分式方程，掌握分式方程解法是解决问题的关键． （1）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，作差，利用分式减法运算求解即可得到答案； （2）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，列出分式方程，求解即可得到答案； （3）根据题意，设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒，列出分式方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （秒）， 答：嘉嘉在两项活动中的用时相差秒； （2）解：， 化简，得， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉在活动一的速度为4米/秒； （3）设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒， ， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒． 80．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的x表示 （填序号），解法二所列方程中的x表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． (2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，③ (2)甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元，过程见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所列方程和题意即可得到答案； （2）解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元，根据用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，建立方程求解即可；解法二，设甲种商品购进x件，根据每种商品的单价等于总价除以数量，再结合甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解法一中x表示甲种商品每件进价x元， 解法二中x表示甲种商品购进x件， 故答案为：①，③； （2）解：解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 解法二，设甲种商品购进x件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元． 题型十七 分式和分式方程中的新定义问题 81．新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，正确运用新定义的运算法则是解题的关键．根据新定义运算法则，逐个选项分析判断． 【详解】 解：A. ，根据题意，称是的“3分式”，故本选项说法正确，不符合题意； B.当的值为时，，根据题意，称是的“2分式”，故本选项说法正确，不符合题意； C. 若是的“1分式”，则，，，故本选项说法错误，符合题意； D.若与互为倒数，则，根据题意，称是的“5分式”，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 82．定义新运算“”：，如果，那么的值为 ． 【答案】1或3 【分析】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程．根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可． 【详解】解：由题意得：当时， ， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 当时，， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 故答案为：1或3． 83．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有___________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】此题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． （1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得，把代入计算出结果即可． 【详解】（1）解：① ②； ③ 则 ∴属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③； （2）∵a，b互为倒数， ∴，， ∴ ∴与属于“友好分式组”． 84．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ （2）； 故答案为：； （3）原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 85．定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 【答案】(1)是互为“和整分式”， (2)①；② (3)或 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． （1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数．为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， ， 与B是互为“和整分式”，“和整数值”； （2）解：①∵， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴， ∴； ②∵，且分式的值为正整数为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）解：由题意可得：， ， ， ， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 当时， 解得：， 当，方程有增根， ， 解得：， 综上：的值为：1或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北·期末）下列分式的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了约分，根据分式约分的法则逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、不能约分，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北·期末）当分式的值等于0时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值等于0时， ∴且， 解得：， 故选：B． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、不恒成立，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如果把的x与y（x，y均为正数）都扩大到原来的5倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质可把，都扩大到原来的5倍代入原式进行求解即可． 【详解】解：把，都扩大到原来的5倍代入原式得， ∴分式的值扩大到原来的5倍． 故选：B． 5．若分式的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·河北·期末）已知 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值．由可知，根据分式的基本性质可得，进而可得，根据分式的基本性质可得，把代入即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴两边同时除以， 得， 两边同时平方整理得：， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的减法，正确理解算理是解决问题的关键．先进行同分母分式的减法运算，然后根据，得，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河北保定·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查分式方程的增根，将原方程去分母得，把增根代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， ∵该分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）约分； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将分子、分母约去最简公分母即可； （2）将原式变形后把括号里面的分式进行加减运算，然后将除法化为乘法，最后进行约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） 10．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法和验根是解题的关键． （1）方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． （2）方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】（1） 解得 检验：将代入 ∴是原方程的解； （2） 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25九年级上·河北沧州·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．由已知比例，可将用表示，代入所求分式化简即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 12．（24-25八年级下·河北保定·期末）如果关于的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，增根是使分式方程分母为0的根．原方程分母为和，故增根为．将方程转化为整式方程后，代入增根即可求出的值． 【详解】， 方程变为： 两边同乘，得： 化简左边：． ∵方程有增根， ∴ ∴ 代入得：， 解得： 故选：B． 13．（24-25八年级下·河北保定·期末）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，先分别求出两者的速度，再求比值即可． 【详解】解：甲完成次运算用时秒，故速度为次/秒， 乙完成倍于甲的次数，即次，用时秒，故速度为次/秒， ， 因此，甲平台的运算速度是乙平台的倍， 故选：B． 14．（24-25八年级下·河北保定·期末）下面是嘉嘉求解方程的过程，存在一些错误，请指出嘉嘉从（   ）开始出现了错误． 方程两边都乘，得，………………第一步 解这个方程得：．…………………………………………第二步 检验：将代入第一步方程，左边右边………………第三步 所以，是原方程的根．………………………………第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程． 根据解分式方程的步骤判断即可． 【详解】解：第一步：方程两边同乘，得．此步骤正确； 第二步：解方程，得．此步骤代数运算正确； 第三步：检验时，嘉嘉将代入去分母后的方程，发现左右相等．但分式方程检验应代入原方程，而非去分母后的方程．当时，原方程分母为，无意义，故是增根，应舍去； 第四步：因第三步检验错误，导致错误结论； 综上，错误从第三步开始． 故选：C 15．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·河北保定·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是 . 【答案】且 【分析】先解分式方程，利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， ∵x为非负数， ∴，解得， ∵， ∴，即， ∴m的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用表示出的值是解题的关键． 17．（23-24八年级上·河北承德·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键． 先求解方程，然后将分式方程的增根代入求解即可． 【详解】解：关于的分式方程有增根， ， 解得， ∵分式方程有增根， ∴ ∴， ． 故答案为． 18．（24-25八年级下·河北保定·期末）凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知，且，则透镜焦距 ． 【答案】10 【分析】本题考查了分式的加法运算、代数式求值等知识点，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 根据异分母分式的加法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴，解得∶． 故答案为10． 19．（25-26八年级上·河北邢台·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． （1）根据解分式方程的步骤计算即可得解； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的根． 20．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）由题意可知，每支中性笔的价格为元．根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时购买圆珠笔的数量为（支）， ∵购买圆珠笔的数量为整数， ∴不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故整数m的值为3． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25八年级下·河北张家口·期末）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．利用通分可对A选项进行判断；利用同分母的减法运算的逆运算可对B选项进行判断；根据最简分式的定义对C选项进行判断；根据常规运算顺序对D项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．为最简分式，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意； 故选：B． 22．（24-25七年级下·河北·期末）若a满足，则分式的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算对式子进行化简，再求出使分式有意义的a的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∵要使原式有意义，则， ∴且， ∴， ∴原式． 故选：B 23．（24-25八年级上·河北唐山·期末），，，是四个常数，根据表中的数据，下列判断错误的是（    ） 7 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，解一元一次方程，解分式方程，把代入即可求出的值，再将的值代入即可求出a的值，把代入即可求出的值，再将的值代入即可求出b的值，即可判断． 【详解】解：把代入，即， 解得，故选项C正确，不符合题意； 将的值代入，即，故选项A正确，不符合题意； 把代入，即， 解得：， 经检验，是分式方程的解，故选项D正确，不符合题意； 将代入，即，故选项B错误，符合题意； 故选：B． 24．（24-25八年级上·河北邢台·期末）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，若将第2023次显示结果记为，2024次显示结果记为，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：A． 25．若分式的值为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0，则分式分子等于0，且分母不等于0是解题的关键． 根据分式值为0的条件得到，且，求解即可． 【详解】解：∵的值为0， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 26．（23-24八年级上·河北承德·期末）“■”覆盖了两个分式之间的运算符号：． （1）若“■”表示的是“＋”，其运算结果为 ； （2）若“■”表示的是“÷”，并且其运算结果为1，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加法与除法运算，利用平方根的含义解方程，掌握运算法则是解本题的关键； （1）按照同分母分式的加法运算法则计算即可； （2）先计算分式的除法运算，再建立方程，利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：（1）； （2）， 而， ∴， 解得：，经检验符合题意； 故答案为：（1）；（2）； 27．（21-22八年级下·河北保定·期末）已知x为整数，且为正整数，则整数 ． 【答案】4或5/5或4 【分析】根据异分母分式加减法计算得，利用x为整数，且为正整数，得到x-3=1或x-3=2，由此得到x的值． 【详解】解： = = =     = ∵x为整数，且为正整数， ∴x-3=1或x-3=2， ∴x=4或5， 故答案为4或5． 【点睛】此题考查了异分母分式的加减法，正确掌握异分母分式加减法计算法则并结合题意得到x-3=1或x-3=2是解题的关键． 28．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4 根据上述方法，试求分式的最大值是 ． 【答案】5 【分析】仿照阅读材料，根据分式混合运算和的基本性质解答即可． 【详解】解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是3，所以的最大值是5，即的最大值是5． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、分式的基本性质等知识点，根据分式的运算法则对分式进行变形是解题的关键． 29．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：，” 小明的解法： 解： =①     ②     ③ ④ 小红的解法： 解： ① ② ③ ④ (1)老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们从哪一步出现错误（填写序号）． (2)请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)小明从第①步出错，小红从第②步出错 (2)，正确计算过程见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据两位同学的解题步骤进行判断即可； （2）将原式通分并计算后再约分即可． 【详解】（1）解：由题干中的解题步骤可得小明第①步出错，小红第②步出错； （2）解： ． 30．（24-25八年级上·河北唐山·期末）若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． (1)若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值； (2)若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解，二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“好分式”的定义． （1）根据“好分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （2）根据给出的“好分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：分式（m，为常数）是一个“好分式”， 它的“好整式”为， ， ， ∴， 解得：； （2）解：分式的“好整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“好分式”． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $