精品解析：辽宁省沈阳市铁西区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年辽宁省沈阳市铁西区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于菱形的说法正确的是（    ） A. 菱形的四个内角一定相等 B. 菱形的对角线一定相等 C. 菱形的四条边都相等 D. 菱形的周长和面积一定相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质．菱形是四边相等的四边形，因此四条边一定相等；但内角不一定相等，对角线不一定相等，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意； C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意； D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 抛掷一枚质地均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，出现反面朝上的频率值大约稳定在（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查频率与概率的关系，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为，根据频率的稳定性，当抛掷次数很多时，频率值会稳定在概率附近，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 硬币质地均匀，∴ 出现反面朝上的概率为， ∴ 当抛掷次数很多时，出现反面朝上的频率值大约稳定在50%， 故选：B． 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，可知二次项系数不能为零，据此作答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选：B． 4. 在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A. ②③ B. ①② C. ①③ D. 都不相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形，熟记相似多边形的定义是解题的关键．根据对应边成比例、对应角相等的多边形相似判断． 【详解】解：，矩形每个角都等于90度， 矩形②和③对应边成比例、对应角相等， 矩形②和③相似， 故选：Ａ． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式的计算，掌握时，一元二次方程有两个不相等的实数根；时，一元二次方程有两个相等的实数根；时，一元二次方程无实数根的知识是关键． 通过计算一元二次方程的判别式判断根的情况． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根， 故选：C． 6. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 7. 如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 【详解】解：如图，由题意得，，，， 根据镜面反射可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，以为边作正方形，点D的坐标为，则点C的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，坐标，正确作出辅助线构造全等是解题关键．过点D作轴于点E，过点C作轴于点F，证明，得出，结合点D的坐标即可解答． 【详解】解：过点D作轴于点E，过点C作轴于点F，如图， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标为， ， ， 点C的坐标为． 故选：D． 9. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接，相交于点．若的面积为6，则的面积为（    ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，先根据四边形为平行四边形得到，再利用比例的性质得到，接着证明，然后根据相似三角形的性质得到的面积． 【详解】解：四边形为平行四边形， ∴， ， ， ， ， ， ， ∵的面积为6， ． 故选：A． 10. 技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设投入发展通信的资金的年平均增长率为，根据“2022年投入1000万元，预计2024年投入5000万元”，可以分别用x表示2022以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：设投入发展通信的资金的年平均增长率为， 则2023的通信资金为： 万元， 2024的通信资金为：万元， 那么可得方程：． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解： 或， ， 故答案为：， 12. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故答案为： 13. 如图，，直线与交于点O，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是根据平行线的性质，正确列出比例关系． 由可设，则，，再由可得，求解即可． 【详解】解：由可设， 则，， ∵， ∴， 故答案为： 14. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在左右，则鱼塘中估计约有_________条鱼． 【答案】2000 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．设鱼塘中有鱼条，根据频率估计概率，有记号的鱼的频率稳定在0.1左右，即，解方程即可估计鱼塘中鱼的数量． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， 故鱼塘中估计约有2000条鱼． 15. 在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交直线于点E，则的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，尺规作图，勾股定理，根据矩形性质得，，，由作图可知，分两种情况讨论如下：①当点E在线段上时，连接，在中，由勾股定理得，由此得；②当点E在的延长线上时，连接，在中，由勾股定理得，由此得，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，且，， ∴，，， 由作图可知：， 依题意有以下两种情况： ①当点E在线段上时，连接，如图1所示： ∵， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴； ②当点E在的延长线上时，连接，如图2所示： ∴， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法和比例的性质，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤和比例的性质是解题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）根据比例的性质得，代入所求的式子计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）， ， 原式． 17. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点O，，过点A作于点H，连接，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解菱形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 根据菱形性质得，，，，，在中，由勾股定理得，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得出OH的长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， 是直角三角形， 菱形的周长为， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 于点H， ， 是直角三角形， ， 是的斜边上的中线， ． 18. 在一个不透明的盒子里面装有三个分别标有数字1，2，3的乒乓球，这些乒乓球除数字外，其它完全相同．现在从盒中随机摸出一个乒乓球，记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个乒乓球记下数字，摸出的两个乒乓球上的数字和为． （1）请直接写出a所有可能的结果； （2）设两个乒乓球上的数字和为a的概率为n，当a为何值时，n的值最大？请利用树状图或列表的方法，说明理由． 【答案】（1）的所有可能的结果有，3，4，5，6； （2）当时，n的值最大 列表如下： 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 共有9种等可能的结果． 由表格可知，的结果有1种，的结果有2种，的结果有3种，的结果有2种，的结果有1种， 当时，，当时，，当时，，当时，，当时，． 当时，n的值最大． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意，可知的所有可能的结果有：，3，4，5，6； （2）由表格可得出所有等可能的结果数以及，3，4，5，6的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，有可能抽到数字1，1，数字1，2，数字1，3，数字2，2，数字2，3，数字3，3，可知的所有可能的结果有：，3，4，5，6； 【小问2详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，我们把纵坐标等于横坐标的平方的点称为“平方点”．如点和点都是“平方点”．求函数图象上的“平方点”的坐标． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意根据“平方点”的意义，设为函数图象上的“平方点”，则，求出m后即可判断得解． 【详解】解：由题意根据“平方点”的意义，设为函数图象上的“平方点”， ， 或． 函数图象上的“平方点”的坐标为或． 20. 如图，在中，，，点D，E分别为边，上的点（点D，E都不与的顶点重合），连接，． （1）求证：； （2），，，求（用含x的代数式表示） 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据等腰直角三角形的性质得到，则，由于，则可判断，根据相似三角形的性质可得到结论； （2）利用勾股定理得到，根据等腰直角三角形的性质得，由得到，然后用x表示y即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ，， ， ． 21. 镇江某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量增加10千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元？ 【答案】54 【解析】 【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润=2240元列出方程求解即可. 【详解】设定价为x元.根据题意可得， 解之得：， ∵销售量尽可能大 ∴x=54 答：每千克特产应定价54元. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程． 22. 如图，在和中，，，，，，点M在边上，点N在边上，连接，． （1）判断与是否相似？并说明理由； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 与不相似， 理由：∵，，，，， ， ， ∵， 与不相似． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明，是解题的关键． （1）由，可知与不相似． （2）先利用勾股定理求得，再证明，推出，得到再证明，则，所以，由，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，，，， ， ，且， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 23. 【方法回顾】 （1）如图1，正方形中，点E是边上一点不与点B，C重合，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 方法1：如图2，过点F作边延长线的垂线，垂足为点；方法2：如图3，在边上截取，使得，连接；以上两种方法都是构造全等三角形来解决问题，都可以得出______； 【类比探究】 （2）如图4，点E是菱形的边上一点不与点B，C重合，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图5，在平行四边形中，，，且，点E，F，G分别为边，，上的点且都不与平行四边形的顶点重合，，，． ①线段的长为______； ②在①的结论下，求线段的长． 【答案】（1）45；（2）；（3）①4；② 【解析】 【分析】（1）过点F作交的延长线于点G，由“”可证，可得，可得，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）可证，可得，由等腰三角形的性质可求解； （3）①如图，在上取点K，使，易得，即可得出； ②延长交延长线于点Q，由，易证，进而利用特殊角求出和，再利用相似求出，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点F作交的延长线于点G， 将绕点E顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，在上截取，使得，连接， 四边形是菱形，， ， ， ， 将绕点E顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①如图，在上取点K，使， ， ， 为等边三角形， ，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ， ， ∴， 整理得，， 解得或（负值舍去）， ， 故答案为：4； ②如图，延长交延长线于点Q， 由①知， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年辽宁省沈阳市铁西区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于菱形的说法正确的是（    ） A. 菱形的四个内角一定相等 B. 菱形的对角线一定相等 C. 菱形的四条边都相等 D. 菱形的周长和面积一定相等 2. 抛掷一枚质地均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，出现反面朝上的频率值大约稳定在（    ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（    ） A. B. C. D. 4. 在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A. ②③ B. ①② C. ①③ D. 都不相似 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，以为边作正方形，点D的坐标为，则点C的坐标为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接，相交于点．若的面积为6，则的面积为（    ） A. B. 8 C. D. 10. 技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的根是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为______． 13. 如图，，直线与交于点O，若，则的值为__________． 14. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在左右，则鱼塘中估计约有_________条鱼． 15. 在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交直线于点E，则的长为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）已知，求的值． 17. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点O，，过点A作于点H，连接，求的长． 18. 在一个不透明的盒子里面装有三个分别标有数字1，2，3的乒乓球，这些乒乓球除数字外，其它完全相同．现在从盒中随机摸出一个乒乓球，记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个乒乓球记下数字，摸出的两个乒乓球上的数字和为． （1）请直接写出a所有可能的结果； （2）设两个乒乓球上的数字和为a的概率为n，当a为何值时，n的值最大？请利用树状图或列表的方法，说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，我们把纵坐标等于横坐标的平方的点称为“平方点”．如点和点都是“平方点”．求函数图象上的“平方点”的坐标． 20. 如图，在中，，，点D，E分别为边，上的点（点D，E都不与的顶点重合），连接，． （1）求证：； （2），，，求（用含x的代数式表示） 21. 镇江某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量增加10千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元？ 22. 如图，在和中，，，，，，点M在边上，点N在边上，连接，． （1）判断与是否相似？并说明理由； （2）当，时，求的长． 23. 【方法回顾】 （1）如图1，正方形中，点E是边上一点不与点B，C重合，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 方法1：如图2，过点F作边延长线的垂线，垂足为点；方法2：如图3，在边上截取，使得，连接；以上两种方法都是构造全等三角形来解决问题，都可以得出______； 【类比探究】 （2）如图4，点E是菱形的边上一点不与点B，C重合，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图5，在平行四边形中，，，且，点E，F，G分别为边，，上的点且都不与平行四边形的顶点重合，，，． ①线段的长为______； ②在①的结论下，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $