精品解析：安徽合肥市四十五中森林城分校2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

九上第21、22章绿色调研卷 一、选择题：本题共10小题，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 【答案】A 【解析】 【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得， ∴二次函数解析式为． ∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A． 2. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：根据题意得，平移后的解析式为：， 即：． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 3. 已知，那么下列等式中一定正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， ，， A、，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，最后得到即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据k的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内y随x的变化规律，即可比较横坐标的大小． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小， ∵点 的纵坐标， ∴点 在第三象限，可得， ∵点 、的纵坐标都大于， ∴点 、都在第一象限， 又∵， ∴ 综上可得 ． 6. 已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】分和两类讨论，结合函数图象与轴有交点的条件求解 【详解】解：当时，函数为，是一次函数，与轴有交点，符合题意； 当时，函数为二次函数，图象与轴有交点，则， ， 解得， 综上，的取值范围是 7. 二次函数的图象过点，则的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，求抛物线对称轴，把求关于x的一元二次方程的解转化为求二次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得到二次函数图象与x轴的另外一个交点坐标，从而得到的解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴；故①错误； 由图可知，抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∵抛物线关于直线对称， ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∴方程（）必有一个根大于2且小于3；故②正确； ∵， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大， ∵是抛物线上的两点，且， ∴；故③错误； ∵ ∴， 由图象知：，， ∴；故④正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小为：， ∴对于任意实数m，都有， 即：， ∴；故⑤正确； 综上：正确的有3个； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确的识图，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 9. 如图，在中，对角线、相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，，则下列结论：①，②；③；④，其中一定正确的是（ ）     A. ①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，继而可得，，根据相似三角形的性质可得，即可得到，，，进而可判断①②③，根据相似三角形的判定方法可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点E是的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴，故③正确， ∵与 中只有一对公共角相等， ∴与 不一定相似，故④错误． 10. 在中，，，，，分别是，的中点，点，分别从点，出发，沿折线方向运动，运动速度都是1个单位长度/秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则与之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∴， 当时，点M在上，点N在上，， ∴； 如图，当时，点M在上，点N在上， ∵， ∴ ∴ ； 如图，当时，点M、N都在上， ∴， 综上判断选项B的图象符合题意． 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若x是3和6的比例中项，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵线段x是3和6的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为： 12. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为15cm，四个黄金分割点组成的正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知点C，D是线段的两个黄金分割点，再根据黄金比得出，然后得出，最后代入计算可得答案． 【详解】解：如图所示，点C，D是线段的两个黄金分割点， ∵正方形“黄金格”的边长为， ∴， ∴， ∴， 所以黄金分割点组成的正方形的边长为． 13. 如图，点A，B分别在y轴和x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，过点C作轴于点D，点D、E分别为的中点，点F为上一点，，若的面积为9，则k的值为________． 【答案】 16 【解析】 【分析】连接，再求出的面积是，设点C的坐标为，则，然后说明，可得，接下来结合可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵的面积是9， ∴的面积是3， ∴的面积是． 设点C的坐标为，则， ∵点C为的中点，轴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点E为的中点， ∴， ∴． ∵， 即， 解得， 把点代入反比例函数， 则． 14. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是____________．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据新定义可求得点的限变点，根据新定义得到当时，，在时，得到；当时，，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标n'的取值范围是． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴点的限变点是， ∵点在二次函数的图象上， ∴ 当时，， ∴， 当时，， ∴当时，， 综上，当时，其限变点的纵坐标n'的取值范围是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数的图象顶点为．且过点， （1）求该抛物线的解析式． （2）直接写出x为何值时，y随着x的增大而减小． 【答案】（1） （2）时，y随x的增大而减小 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：， ∴抛物线开口向下， ∴时，y随x的增大而减小． 16. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值为 ； （2）若线段a、b、c满足，求c的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用比例的性质进行求解即可； （2）设比例系数为，用表示、、，结合三线段长度和求解，进而得的值.  【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴；  【小问2详解】 解：设（），则，，， ∵， ∴，解得， ∴. 17. 如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，和是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）画出位似中心点O的位置． （2）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比为； （3）在上找一点D，使得． 【答案】（1）如图所示， （2）如图所示 （3）如图所示， 【解析】 【分析】（1）连接，并延长交于一点O； （2）取，连接，交于点，再依次连接，则为所求作； （3）取，连接，交于点D，则点D即为所求作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，是的两条高． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵是的两条高， ∴， 又∵， ∴△ACD∽△BCE， ∴，即； （2）． 【解析】 【分析】（1）先由是的两条高可知，，故可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）根据（1）得，可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 19. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求，的值； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）若点在轴的正半轴上，且，垂足为点，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）15 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）解方程组得到，根据函数的图象即可得到结论； （3）联立方程组可求点坐标，由直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， ，， ，； 【小问2详解】 解：，， 一次函数为，反比例函数解析式为， 解方程得，，， ， 不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：由（2）知点， ， 又， ， 点， 的面积． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正比例函数与反比例函数的图象与性质、待定系数法求函数的解析式、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、直线与反比例函数图象的交点、三角形的面积公式，求得、点的坐标是本题的关键． 20. 如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作每秒匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作每秒匀速移动，当P点到达B点时，Q点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． （1）________________，________________（用含t的代数式表示）： （2）当t为何值时，与相似？并说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据速度乘以时间等于距离可得答案； （2）根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”解答． 【小问1详解】 解：根据勾股定理，得；； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 由，当时，， 则， 解得； 当时，， 则， 解得， 所以当或时，和相似． 21. 根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 【答案】任务一，, ； 任务二，； 任务三，水流不能流到圆柱形水杯内，理由如下， 圆柱形水杯最左端到点的距离是， 当时，， ， 水流不能流到圆柱形水杯内． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． 任务一，根据题意得出，的横坐标为，，求得点的坐标，即可求解； 任务二，待定系数法求解析式，即可求解； 任务三，圆柱形水杯最左端到点的距离是，将代入二次函数解析式，比较大小即可求解． 【详解】解：任务一，圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为， ∴ ∵，，轴， ∴的横坐标为， ∴该抛物线顶点坐标为， 故答案为：,． 任务二，设抛物线解析式为 将点代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 任务三，略 22. 如图①，和均为等边三角形、连接，． （1）直接写出与的数量关系为________________；直线与所夹锐角为______________度； （2）将绕点A逆时针旋转至如图②，取，的中点M，N，连接，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由； （3）若，，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，直接写出的面积为_______________． 【答案】（1）， （2）不变， （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，从而得出结果； （2）证明，进而得出结果； （3）分两种情况考虑，先求出的面积，结合（2）中的相似，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，从而求得结果． 【小问1详解】 如图1， 设直线和交于点，和交于点， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图2， 值不变，，理由如下： 连接，， 和是等边三角形，是的中点，是的中点， ，，，， ，， ， ， 即：， ， ， 的值不变，； 【小问3详解】 如图3， 是等边三角形，点是的中点， ， ，，， ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， 如图4， 同理可得，，， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 23. 如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）． （1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小； （2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值； （3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2020时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数． 【答案】（1）△BOP的周长的最小值为6+6；（2）当m＝2时，点C到直线l距离最大，最大值为1；（3）4042个． 【解析】 【分析】（1）由已知分别求出，，，；连接BD与对称轴的交点即为P；求出BD的值即可求的周长的最小值； （2）点C到直线l距离为，当时，该距离有最大值； （3）分别求出，，，，时满足条件的“整数点”的个数，找到规律，由此推理出时，“整数点”的个数． 【详解】解：由已知可得A（0，﹣m），B（0，m）， ∵y＝x2+mx的顶点为C， ∴C（﹣，﹣）， ∵y＝x2+mx与x轴交点为（0，0），（﹣m，0）， ∴D（﹣m，0）； （1）∵AB＝12， ∴m＝6， ∴D（﹣6，0），B（0，6）， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣， ∴D与O关于x＝﹣， 连接BD与对称轴的交点即为P； ∵DP＝OP， ∴△BOP的周长＝BO+BP+PO＝BO+BP+PD＝BO+BD； ∵BD＝6，OB＝6， ∴△BOP的周长的最小值为6+6； （2）∵点C在直线l上方， ∴点C到直线l距离为﹣﹣（﹣m）＝﹣+m＝﹣（m﹣2）2+1， 当m＝2时，点C到直线l距离最大，最大值为1； （3）当n＝1时，y＝x+1与y＝x2+x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有4个， 当n＝2时，y＝x+2与y＝x2+2x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有6个， 当n＝3时，y＝x+3与y＝x2+3x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有8个， 当n＝4时，y＝x+4与y＝x2+4x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有10个， …… 当n＝2020时，y＝x+2020与y＝x2+2020x所围成的封闭图形的边界上的“整点”有4042个． 【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用轴对称求最短距离解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上第21、22章绿色调研卷 一、选择题：本题共10小题，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 2. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，那么下列等式中一定正确的是 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 二次函数的图象过点，则的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，在中，对角线、相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，，则下列结论：①，②；③；④，其中一定正确的是（ ）     A. ①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①②③ 10. 在中，，，，，分别是，的中点，点，分别从点，出发，沿折线方向运动，运动速度都是1个单位长度/秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则与之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若x是3和6的比例中项，则x的值为______． 12. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为15cm，四个黄金分割点组成的正方形的边长为______． 13. 如图，点A，B分别在y轴和x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，过点C作轴于点D，点D、E分别为的中点，点F为上一点，，若的面积为9，则k的值为________． 14. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是____________．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是____________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数的图象顶点为．且过点， （1）求该抛物线的解析式． （2）直接写出x为何值时，y随着x的增大而减小． 16. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值为 ； （2）若线段a、b、c满足，求c的值． 17. 如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，和是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）画出位似中心点O的位置． （2）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比为； （3）在上找一点D，使得． 18. 如图，是的两条高． （1）求证：； （2）若，求的值． 19. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求，的值； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）若点在轴的正半轴上，且，垂足为点，求的面积． 20. 如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作每秒匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作每秒匀速移动，当P点到达B点时，Q点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． （1）________________，________________（用含t的代数式表示）： （2）当t为何值时，与相似？并说明理由． 21. 根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 22. 如图①，和均为等边三角形、连接，． （1）直接写出与的数量关系为________________；直线与所夹锐角为______________度； （2）将绕点A逆时针旋转至如图②，取，的中点M，N，连接，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由； （3）若，，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，直接写出的面积为_______________． 23. 如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）． （1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小； （2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值； （3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2020时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $