5.3　二元一次方程组的应用 第1课时　列二元一次方程组解古代问题(分析简单的等量关系) 教案 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该教案聚焦“列二元一次方程组解古代问题”，以《孙子算经》“鸡兔同笼”问题导入，通过画图法、一元一次方程法过渡到二元一次方程组法，衔接已学方程组解法，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色是融合古代数学文化，借“鸡兔同笼”“官兵分布”等问题激发兴趣，通过多解法对比培养推理意识，用表格梳理等量关系强化模型意识，微视频辅助突破难点，助力学生用数学眼光观察古代问题，提升教师教学效率与学生应用能力。

3　二元一次方程组的应用 第1课时　列二元一次方程组解古代问题(分析简单的等量关系) 课题 第1课时　列二元一次方程组解古代问题(分析简单的等量关系) 授课人 教 学 目 标 1.在具体问题的解决过程中提高学生解二元一次方程组的技能. 2.使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤. 3.让学生经历和体验列方程组解决实际问题的过程,进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 4.通过列方程组解应用题,培养学生的数学应用能力,增强列方程解决实际问题的能力,进一步提高学生解二元一次方程组的技能. 5.进一步丰富学生数学学习的成功体验,激发学生对数学学习的好奇心,进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识. 教学 重点 　　根据等量关系列二元一次方程组解应用题. 教学 难点 　　根据题意找出等量关系,列出方程. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题:今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问:雉兔各几何? 问题:“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”呢? 处理方式:展示问题,然后用自己的话说一说题目所表达的意思. 追问:你能解决这个有趣的问题吗?揭示课题:第1课时　列二元一次方程组解古代问题(分析简单的等量关系). 　　以数学历史故事为背景,激发学生的爱国热情,感受数学在生活中的应用,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣,同时为本课的学习做好铺垫. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 列二元一次方程组解古代问题 【情境问题】 (1)【课堂引入】中的问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? 学情预设:学生经过思考,很容易得出题目中涉及的量为鸡、兔的只数及其脚数等.等量关系为鸡的只数+兔的只数=35,鸡的脚数+兔的脚数=94. (2)你能列方程组解决这个有趣的问题吗?你是怎么做的?与同伴进行交流. 处理方式:让学生在小组内讨论交流解题方法和思路,鼓励学生采用多种方法进行计算. 活动 二: 探究 与 应用 (1)画图法: 解:用“○”表示头,先画35个头; 将所有头都看作鸡的,用“||”表示脚,画出了70只脚; 还剩24只脚,在一些头上再加2只脚,共12个头加了2只脚(如图5-3-1); 4只脚的是兔子(12只),两只脚的是鸡(23只). 图5-3-1 (2)一元一次方程法: 鸡头+兔头=35, 鸡脚+兔脚=94. 解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只. 由题意,得2x+4(35-x)=94. (3)二元一次方程组法: ①“上有三十五头”的意思是　　　　　　,“下有九十四足”的意思是　　　　　　.  ②如果设鸡有x只,兔有y只,那么鸡兔共有　　　　只;鸡足有 　　　　只,兔足有　　　　只.  ③设计表格如下. 鸡 兔 合计 头(个) x y 35 足(只) 2x 4y 94 解:设笼中有鸡x只、兔y只,根据以上分析,得方程组 解这个方程组,得所以,笼中有鸡23只、兔12只. 追问:分析上面的三种方法,说一说各方法的优点和不足. 处理方式:引导学生在小组内讨论交流,然后指名回答,并进行讲评. 【尝试·思考】 列方程组求解下面的问题: 若甲从乙处得到7第纳尔(货币单位),则甲拥有的第纳尔是乙的5倍;若乙从甲处得到5第纳尔,则乙拥有的第纳尔是甲的7倍.甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔?(选自意大利数学家斐波纳奇的《计算之书》) 处理方式:教师让学生说一说题目中的等量关系,然后列方程组求解,并在小组内交流解题思路. 【应用】 例　今有甲、乙怀钱,各不知其数.甲得乙十钱,多乙余钱五倍.乙得甲十钱,适等.问:甲、乙怀钱各几何?(选自《张丘建算经》) 题目大意:甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的10钱,那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍;如果乙得到甲的10钱,那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱? 解:设甲带的钱数为x,乙带的钱数为y,根据题意,得 解这个方程组,得 所以,甲带了38钱,乙带了18钱. 　　1.引导学生体会不同解法的优点和不足,为学生建立方程组模型做铺垫.对于列二元一次方程组,如果学生学习存在困难,可以借助微视频讲解,或者教师设计表格,帮助学生分析等量关系. 2.掌握列二元一次方程组的基本方法,明确题目中的等量关系是列方程组解答实际问题的关键,培养小组合作的意识,提高解题能力. 3.巩固用列二元一次方程组解应用题的思想,以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤. 4.掌握知识间的必然联系,理解知识的迁移,能主动类比,确定解题思路和方法. 活动 二: 探究 与 应用 变式 以绳测井.若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何? 【思考·交流】 列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系?与同伴进行交流. 处理方式:学生交流后发表意见,师生共同总结. 　　 【拓展提升】 1.古诗文问题:“官兵分布”问题 一千官兵一千布,一官四尺无零数. 四兵才分布一尺,请问官兵多少数. 2.马四匹,牛六头,共价四十八两;马三匹,牛五头,共价三十八两.马、牛各价几何? 　　通过练习,提升解决问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.《九章算术》是中国传统数学的重要著作,方程术是它的最高成就.其中记载:“今有大器五、小器一容三斛;大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何?”译文:今有5个大容器和1个小容器可以装3斛(斛,音hú,是古代的一种容量单位),1个大容器和5个小容器可以装2斛.问:1个大容器、1个小容器分别可以装多少斛?设1个大容器装x斛,1个小容器装y斛,根据题意,可列方程组为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 2.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?”意思是:“几个人一起去购买某物品,每人出8钱,则多出3钱;每人出7钱,则还差4钱.问人数和物品的价格分别是多少?”请你用二元一次方程组的知识解答这个问题. 　　检测所学,及时评价. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 　　通过古代的“鸡兔同笼”问题,进行列二元一次方程组解决实际问题的训练,这样,一方面在列方程组的建模过程中,强化了方程思想,培养了学生列方程(组)解决实际问题的意识和应用能力,另一方面,将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,在实际问题的解决过程中,进一步提高学生解方程组的技能. ②[讲授效果反思] 　　通过师生互动,让学生体会数学的实用性,掌握列二元一次方程组解应用题的思考方法及解题步骤. ③[师生互动反思] 在建立方程模型的过程中采用了循序渐进的思路,由算术方法到一元一次方程再到二元一次方程组,遵照了学生的思维梯度,逐步建立起学生用二元一次方程组解应用题的思想,充分感受它的优点和思维的简化. ④[习题反思] 好题题号　　  错题题号　　   　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $