精品解析：四川省泸州市龙马潭区联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋期泸州市龙马潭区多校联考九年级半期考试试题 数 学 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知圆的半径为，点P到圆心距离为，则点P与圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 无法确定 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，半径垂直弦，D为上的点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 11. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点E，寸，寸，则半径的长度是（ ） A. 13寸 B. 26寸 C. 12寸 D. 24寸 12. 当时，二次函数与x轴有且只有一个交点，则c的取值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）． 13. 已知点与关于原点对称，则的值是_______． 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________． 15. 已知m，n是方程的根，则的值为______． 16. 我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 三、简答题（本大题共4个小题，共25分） 17. 计算： 18. 解方程： 19. 如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD． 20. 化简：，并选择一个合适的数代入求值． 四、简答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．） 21. 如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，． （1）求斜坡的长度； （2）求坝底的长．（结果保留根号） 22. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求k的值． 五、本大题（共3个小题，共43分） 23. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反应，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米， （1）①设大米销售量为y，售价为x，则y关于x的函数关系式为 ， ②设利润为w，求利润w与售价x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）大米售价定为多少时利润达到1800元？ （3）大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，已知内接于，点在的延长线上，． （1）是的切线吗？说明理由； （2）若，，求的长； （3）在（2）的前提下，连接，则和有何数量关系？简要说明理由． 25. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． （3）在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期泸州市龙马潭区多校联考九年级半期考试试题 数 学 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 2. 已知圆的半径为，点P到圆心距离为，则点P与圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵圆的半径为，点P到圆心的距离为， ∴，即， ∴点P与圆的位置关系是：P在圆内． 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键． 4. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，首先将方程常数项移到右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，即可求解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加4，可得，即． 故选：D． 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 6. 如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键． 由将绕着点逆时针旋转后得到，可求得，然后由三角形内角和定理，求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：将绕着点B逆时针旋转后得到， ， ∵，， ， ． 故选：B． 7. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，理解函数值和对称轴的关系是解题的关键．抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大；开口向下时，点到对称轴距离越远，函数值越小，据此回答即可． 【详解】 解：抛物线的二次项系数 抛物线开口向上， 抛物线对称轴为：， 点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， ， 故选：D． 8. 如图，在中，半径垂直弦，D为上的点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理．连接，根据圆周角定理可得，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵半径垂直弦， ∴， ∴． 故选：B 9. 函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断 则 从而可得答案． 【详解】解：由的顶点坐标为 故A，B不符合题意； 由C，D中二次函数的图象可得： 函数y＝ax－a过一，二，四象限， 故C符合题意，D不符合题意， 故选C 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键． 10. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，时为一元一次方程，满足条件；时，令，求出k的取值范围．综合两种情况，即可得出结论． 【详解】解：当时， 关于x的方程为一元一次方程，有实数根； 当时， 关于x的方程为一元二次方程， ∵有实数根， ∴， ∴且； 综上，k的取值范围是． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，注意分和两种情况讨论是解题的关键． 11. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点E，寸，寸，则半径的长度是（ ） A. 13寸 B. 26寸 C. 12寸 D. 24寸 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，由得到点E为的中点，设圆O的半径的长为x，在中，根据勾股定理求出x的值，即为圆的半径． 【详解】解：如图，连接， ， 寸， 寸， 设圆O的半径的长为x，则， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 解得， 半径的长度是13寸， 故选：A． 12. 当时，二次函数与x轴有且只有一个交点，则c的取值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与轴的交点问题，解题的关键在于分类讨论，在于临界位置的分析． 分类讨论，当抛物线的顶点在轴上时，则，由可求出；再分别求出抛物线经过的值，注意等号的取舍问题即可． 【详解】解：当抛物线的顶点在轴上时，如图： 令，则， ∴， 解得：； 当抛物线经过时，如图： 将代入 得， 解得：， 当抛物线经过时，如图： 将代入 得， 解得：， ∵当时，二次函数与x轴有且只有一个交点， ∴， 综上：或， 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）． 13. 已知点与关于原点对称，则的值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质， 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标分别互为相反数，求解即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：6． 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°， ∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补． 15. 已知m，n是方程的根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系可得，由m是方程的根可得，然后代入原式求值即可． 【详解】解：∵m，n是方程的根， ∴ ∵m是方程的根， ∴，即． ∴． 故答案为：． 16. 我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】5或1 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据新运算将方程转化为标准一元二次方程，再利用判别式求解． 先根据新运算定义将方程转化为一元二次方程，再利用一元二次方程有两个相等实数根时判别式为0的性质求解的值． 【详解】根据新运算， 将方程转化为， 整理得， 此方程的判别式， 因方程有两个相等实数根，故， 即， 提取公因式得， 解得或， 验证可知或均满足条件． 故答案为：1或5． 三、简答题（本大题共4个小题，共25分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负指数幂及二次根式的实数混合运算，先分别化简零指数幂、负指数幂和二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解： ， ， ， ，． 19. 如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD． 【答案】 解：由图可知：， ， ∵， ∴， 在和中： ， ∴． 【解析】 【分析】先证明∠DOC=∠BOA，再由边角边即可证明△AOB≌△COD． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键． 20. 化简：，并选择一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，（除外，其余的数均可，答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法运算，除法运算，分式化简及根据分式有意义的条件选取合适的数代入求值．先化简括号内的分式加法，再将除法转化为乘法并约分，最后根据分式有意义的条件选择合适的数代入求值即可， 【详解】解：原式 ． 当时，原式．（除外，其余的数均可，答案不唯一） 四、简答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．） 21. 如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，． （1）求斜坡的长度； （2）求坝底的长．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是作出辅助线． （1）根据含有的直角三角形的性质可得出斜坡的长度； （2）过A作于点F，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，． 【小问2详解】 解：如图，过A作于点F， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 22. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系． （1）先根据一元二次方程有实数根的条件，利用判别式求出k的取值范围； （2）利用根与系数的关系将两根平方转化为关于k的方程，求解后结合k的取值范围确定最终k的值． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得． 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ∴， 解得：，， ∵， ∴． 五、本大题（共3个小题，共43分） 23. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反应，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米， （1）①设大米销售量为y，售价为x，则y关于x的函数关系式为 ， ②设利润为w，求利润w与售价x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）大米售价定为多少时利润达到1800元？ （3）大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）①，② （2）6元 （3）每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用及一元二次方程的应用． （1）通过已知条件建立销售量与售价之间的一次函数关系，利用待定系数法求解即可，再根据利润的计算公式建立利润与售价之间的二次函数关系，并标明x的取值范围即可； （2）通过（1）②关于利润的二次函数关系式，将时列出一元二次方程并解得x的值，根据实际情况保留合适的x的值即可； （3）根据利润与售价之间的二次函数关系，再利用二次函数的性质来求解利润的最值问题即可． 【小问1详解】 解：①由题意知，当售价时，大米销售量；当售价时，大米销售量， 设y关于x的函数关系式为， 将，分别代入得，解得， ∴y关于x的函数关系式为； ②根据题意得每天售出大米的数量可得：， 由条件可知， ∴每天所得的销售利润w（元）与每千克售价x（元）之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当每天销售该大米的利润达到1800元时， 依题意得：， 解得：（舍去），， ∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元． 【小问3详解】 解：由（1）知：， ， ∵，对称轴为，则该二次函数开口向下， 当时，w随x的增大而增大， 又∵， 当时，（元）， 当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 24. 如图，已知内接于，点在的延长线上，． （1）是的切线吗？说明理由； （2）若，，求的长； （3）在（2）的前提下，连接，则和有何数量关系？简要说明理由． 【答案】（1） 解：是的切线． 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是的切线； （2） （3） 解：连接， ∵， ∴由（2）可得和是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及垂径定理．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． （1）首先连接，由，可求得，，继而可证得是的切线； （2）由，，根据垂径定理，可得，易得是等边三角形，可求得的长，继而求得答案； （3）首先连接，由（2）可得和是等边三角形，，继而证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 25. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． （3）在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），最大面积 （3）存在，，，， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件将点B、C代入抛物线中，解得抛物线的解析式； （2）先求出点A的坐标和直线的解析式，设点P的坐标为，把的面积转化为，得到关于x的新的二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面积最大值，进而得到P点坐标； （3）设，，分两种情况讨论： ①当点P在x轴上方：过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标； ②当点P在x轴下方（或）：过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标，综上所述，得到所有满足条件的P点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A与关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为， 如图，过点P作轴交于点D，则点D的坐标为， ∴， ∴， 对于二次函数，其中，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， ∵对称轴为， ∴当时，有最大值为， 将代入得：， 即当点P坐标为时，的面积最大，最大面积为． 【小问3详解】 解：设，， ①当点P在x轴上方时，， 过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），，（舍）， ∴，； ②当点P在x轴下方时，或， 如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），（舍），， ∴，， 综上所述，点P的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，包括求抛物线解析式、求抛物线对称轴及最值等，利用三角形面积公式的和差关系求解，全等三角形的判定与性质及绝对值方程的求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $