专题03 等腰三角形（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材青岛版

该初中数学专题知识清单系统梳理了等腰三角形相关内容，涵盖等腰与等边三角形的概念性质判定、线段垂直平分线及角平分线等9大知识范畴，构建了从基础概念到性质应用再到综合拓展的递进式学习支架。 清单以思维导图呈现知识框架，通过14类分层题型（含中考真题与变式训练）强化应用，重点标注“分类讨论”“三线合一”等重难点，结合全等证明推导性质培养推理能力，易错点专项突破助力学生精准掌握，既便于学生自主梳理知识，也为教师教学提供系统资源支持。

专题03 等腰三角形（9知识&14题型&1易错） 【清单01】等腰三角形概念 有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【清单02】等腰三角形性质 1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 【补充】利用三角形的全等可证明上述定理：已知等腰△ABC 作顶角的平分线 作底边的垂线 作底边的中线 ∵AB=AC ∠1=∠2 AD=AD ∵AB=AC AD⊥BC AD=AD ∵AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABC≌△ACD（SAS） ∴△ABC≌△ACD（HL） ∴△ABC≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C BD=DC AD⊥BC ∴∠B=∠C BD=DC ∠1=∠2 ∴∠1=∠2 ∠B=∠C AD⊥BC 【清单03】等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 拓展知识点： 1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a . 6. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= 7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 【清单04】等边三角形的概念 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。 【清单05】等边三角形的性质 1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质； 2）有三条对称轴； 3）每个内角都是60° 【清单06】等边三角形的判定 1）三边相等或三个角都相等的三角形是等边三角形。 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 拓展知识点： 1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 【清单07】直角三角形性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 【清单08】线段垂直平分线 概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 拓展知识点： 对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来 【清单09】角的平分线 概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线 叫做这个角的角平分线 性质：1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 2）角平分线上的点到角两边的距离相等; 判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 拓展知识点： 对于含有角平分线的题目，首先考虑由角平分线上的点向角两边怍垂直 【题型一】 等腰三角形中的分类讨论 方法点拨：在解与等腰三角形有关的题目时，应注意看清是否说明腰和底边，看是否需要进行分类讨论。 【例1】（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【解析】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 【变式1-1】等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　   ） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 【答案】B 【难度】0.85 【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°， ②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质． 【变式1-2】等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（    ） A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40° 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等腰三角形的定义、三角形的外角的定义及性质 【分析】题目给出了一个外角等于，没说明是顶角还是底角的外角，所以要分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当角为顶角的外角时，顶角为； ②当为底角的外角时，底角为， 顶角为，不符合题． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，解题的关键是做题时要注意分情况进行讨论． 【变式1-3】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的定义、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，即可求出顶角的大小． 【详解】解：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， 等腰三角形的顶角度数为或， 故选：C． 【变式1-4】在中，，中线将这个三角形的周长分为9和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（    ） A．9 B．5 C．5或9 D．8或10 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质及相关计算， 根据等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案． 【详解】解：如图： 设等腰三角形的底边长为，腰长为，则根据题意可得： 或， 解方程组得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 解方程组得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形， ∴等腰三角形的底边长为5或9， 故选：C． 【变式1-5】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以①为底，②为腰，A为顶角顶点，③为腰，B为顶角顶点，这三种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：①以为底，作的垂直平分线，可找出格点C一个，如图所示： ②为腰，以A为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： ③为腰，以B为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： 综上所述，点C的个数有3个， 故答案为：3． 【变式1-6】如图，在中，，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点使为等腰三角形，符合条件的点有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情况解答即可：①；②；③． 【详解】解：如图， ①以为圆心，为半径画圆，交直线有点，交有一点； ②以为圆心，为半径画圆，交直线有点，交有一点； ③的垂直平分线交一点，交直线于点； ∵ ∴不重合， ∴符合条件的点有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，正确的作出图形． 【题型二】等边对等角 方法点拨：等腰三角形中等边对等角的性质可以很好的解决角相等的问题，相对于全等三角形等边对等角过程较为简单，希望在平时时加以重视； 【例2】）如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答．本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【解析】解：， ， ∵绕点旋转得到 ， ∴， ， ． 故选：A． 【变式2-1】如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、根据三线合一证明 【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，根据三角形内角和得到，再根据等边对等角及三角形内角和得到，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 【变式2-2】如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（　　）    A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】先根据得，又因为得，然后证明，从而知道，即可知道的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵的中垂线交于点D， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是等边对等角以及全等三角形的判定等知识内容，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【难度】0.65 【详解】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=72°，△ABC是等腰三角形， ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD=∠DCB=36°， ∴△ACD是等腰三角形， 在△BDC中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BD=BC=BE， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠BDE=72°，∠ADE=36°， ∴△ADE是等腰三角形． ∴图中等腰三角形共有共5个． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形的内角和、外角和，平角相关知识． 【变式2-4】【问题背景】 如图，已知 和 ，，，，与交于点，点在上． 【问题探究】 （1）试说明：； 【问题拓展】 （2）若，． ①求的度数； ②判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）过程见解析；（2）①；②，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）①结合三角形外角的性质及全等三角形的性质求出，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可求出答案； ②证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； ②．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 【题型三】三线合一 方法点拨：三线合一是等腰三角形非常重要的性质，它可以用来证明线段相等，角相等，更重要的是可以用来说明垂直关系，且勿忽略。 【例3】（2024·江西抚州·模拟预测）如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三解形时，的长为 ． 【答案】，或 【分析】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、勾股定理及解方程等知识，由是等腰三解形，分三种情况：，作出图形，构造直角三角形，解直角三角形即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【解析】解：是等腰三解形， 分三种情况：： ①当时，是等腰三解形； ②当时， ， 点的位置如图所示： 过点作于点，如图所示： 是等腰三角形，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线，即， 设，则， 在中，，即； 在中，，即； ，即，解得， ； 当时，如图所示： 由②中，可知是等腰直角三角形，即， 当时，，则，即是等腰直角三角形， ，则，解得； 综上所述，的长为，或， 故答案为：，或． 【变式3-1】如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．根据三角形的周长公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：周长为16， ， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 故选：A． 【变式3-2】（2024·贵州黔东南·二模）如图，中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（    ） A．2.5 B．3.5 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．过点作于．先在中利用角所对的直角边等于斜边的一半得出，于是，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据即可求解． 【解析】解：过点作于． 在中，，， ， ∵ ， ． ，于， ， ． 故选：C． 【变式3-3】（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，和相交于点，的平分线交于点． 求证：． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，先证明，得，根据等角对等边得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得证．解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”． 【详解】证明：∵， ∴和是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴是边上的高， ∴． 【题型四】根据等角对等边证明等腰三角形 方法点拨：在证明等腰三角形时，根据等角对等边，只要证明有两角相等，就可以直接说明三角形是等腰三角形，这是证明一个三角形是等腰三角形的常用方法。 【例4】（2024·上海普陀·二模）已知中，为边上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断是等腰三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定；A选项，可证是的垂直平分线，可证是等腰三角形；B，由可证，可得，可证是等腰三角形；D,根据三角形的面积公式可得，即可证明是等腰三角形；C选项无法证明是等腰三角形，据此分析，即可求解． 【解析】解：如图所示，    解：A、，， 是的垂直平分线， ∴， 是等腰三角形， 故A不符合题意； B、，，， ， 是等腰三角形， 故B不符合题意； C、无法判断是等腰三角形，故C符合题意； D、，是边上的高， 是的垂直平分线， 是等腰三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．由点是中点，可得，再证明可得，然后根据等角对等边可得即可证明结论． 【详解】证明：∵D是中点， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【变式4-2】如图，在中，，，．    (1)求的度数． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和角度的求法，方程思想是解答本题的关键 （1）设，利用三角形内角和，，解出值即可； （2）根据题上条件证明，利用等角对等边即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）设． ，， ． ， ， 解得， ． （2）证明：， ． ， ． ， ， ， 即是等腰三角形． 【变式4-3】如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)证明过程见解答 (2)证明过程见解答 【难度】0.85 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定． （1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【题型五】根据等角对等边证明线段相等 【例5】如图，，平分，P为上一点，交于点D，于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平分，可得，结合平行线的性质，可得，然后根据等角对等边即可求解． 【详解】解：，OC平分， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质及等腰三角形的判定；掌握等角对等边是解题的关键． 【变5-1】如图，，，则与 .（填“相等”或“不相等”） 【答案】相等 【分析】根据平行线的性质得出、，再利用等量代换得出，最后根据等腰三角形的性质即可求解. 【详解】∵ ∴、 又∵ ∴ ∴ 故填：相等. 【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质是关键. 【变式5-2】下列给出的5个图中，能判定是等腰三角形的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的判定定理，通过计算推出有两个角相等即可①利用三角形内角和计算即可，②利用三角形的外角性质计算即可，③利用平行线的性质得出∠C=∠B=50º即可，④利用AD∥BC，推出同旁内角互补∠ABC+∠BAD=180º，由∠ABC=120º，得∠BAD=60º，由∠CAD=30º，则∠CAB=60º-∠CAD=30º，由内错角相等∠BCA=∠CAD=30º，则∠BCA=∠CAB=30º即可，⑤利用平行线性质与外角性质即可推出． 【详解】①∠C=180º-∠A-∠B=180º-70º-56º=54º，∠B=56º，∠C≠∠B，不是等腰三角形， ②∠C=∠140º-∠B=70º=∠B，是等腰三角形， ③∵AD∥BC，∴∠C=∠DAC=50º，∠C=∠B=50º，△ABC是等腰三角形， ④∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180º，∵∠ABC=120º，∴∠BAD=60º，∵∠CAD=30º，∠CAB=60º-∠CAD=60º-30º=30º，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=30º，∴∠BCA=∠CAB=30º，∴△ABC是等腰三角形， ⑤∵AB∥DE ，∴∠D=∠A=30º，∵∠DCB=∠A+∠B，∴∠B=∠DCB-∠A=60º-30º=30º, △ABC是等腰三角形． 故选择：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定方法，内角和公式，外角定理，两直线平行的性质等知识掌握好这些判定方法，会利用它们推导计算是关键． 【变式5-3】如图，已知中，过点B作的平分线的垂线，垂足为D，作交于E．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质，推出，进而得到，根据垂线的定义，推出，进而得到，即可证明． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，垂线的定义，熟练掌等角对等边的性质是解题关键． 【题型六】根据等角对等边求边长 【例6】如图，是直线上一点，平分交于点， 于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点M作于点N，根据，得出，进而得出，则，再根据含角直角三角形的特征以及平行线间的距离处处相等，即可解答． 【详解】解：过点M作于点N， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；等角对等边；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半；平行线间的距离处处相等． 【变式6-1】如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点A落在点处，与交于点，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，得出，根据等角对等边得出，即可得出答案． 【详解】解：在长方形中，∥， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是求出． 【变式6-2】如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，则的长为（    ） A．10 B．5.5 C．6 D．5 【答案】D 【分析】由平行线的性质，得出∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，再由角平分线定义得出∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，证出ME=MB，NE=NC，即可求得MN的长． 【详解】解：∵MN∥BC， ∴∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE， ∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE， ∴ME=MB，NE=NC， ∴MN=ME+NE=BM+CN=2+3=5， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【变式6-3】如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】求出∠B=30°，结合EF=2，得到BF，连接AF，根据垂直平分线的性质得到FA=FB=4，再证明∠DAF=∠D，得到DF=AF=4即可． 【详解】解：∵DE⊥AB， 则在△AED中，∵∠D=30°， ∴∠DAE=60°， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，∠BAC=60°， ∴∠B=30°， 在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2， ∴BF=4， 连接AF，∵DE是AB的垂直平分线， ∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°， ∵∠BAC=60°， ∴∠DAF=30°， ∵∠D=30°， ∴∠DAF=∠D， ∴DF=AF=4， 故选B． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相应定理，构造线段AF． 【题型七】等边三角形的性质 方法点拨：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等边三角形的所有性质，且等边三角形的三边都相等，三个角都相等且每个角都等于60°，每条边上的高、中线和角平分线都是重合的； 【例7】（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质推出，，判定是等边三角形．由判定，推出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理得到，由判定，推出，而，得到是等边三角形，因此，得到，推出，在变化，不一定是． 【解析】解：、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故符合题意； ，，， ， 故符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故符合题意； 在上的位置在变化， 在变化，不一定是， 故不符合题意． 正确的是． 故答案为：． 【变式7-1】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 【解析】解：∵在等边三角形中，是边上的中线， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得： , ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式7-2】如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.94 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意，解得的长，最后由线段和，据此解题即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合可得，再根据“三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和”可得，即可求解． 【详解】（1）∵是等边三角形， 是中线， ， ∴， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式7-3】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】（1）证明即可说明； （2）利用全等三角形的性质得到，再由垂直得到进而解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，关键是根据证明． 【详解】（1）证明:是等边三角形 在和中 （2）解： 【题型八】等边三角形的判定 方法点拨：证明一个三角形是等边三角形时： 1.直接证明三条边都相等； 2.证有两个角等于60°； 3.先证明等腰三角形，再证有一个角为60°。 【例8】（2024·河北沧州·模拟预测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，则括号中应该填的条件是① ；② ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的判断；利用等边三角形和等腰三角形的判定定理即可求解． 【解析】条件①：添加， ∵有一个角是的等腰三角形是等边三角形； 条件②：添加 ∵有两边相等的等腰三角形是等腰直角三角形； 故答案为：， 【变式8-1】（22-23八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，D为延长线上的一点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【难度】0.4 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键． 由，可得，结合，即可判定是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式8-2】（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】两直线平行同位角相等、等边三角形的判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由． 【详解】证明：， 又， 是等边三角形． 【变式8-3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的判定 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形外角的性质等等．先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，，再由垂线的定义和三角形内角和定理推出，由此即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【题型九】线段垂直平分线的性质 【例9】如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC=10，则AC等于（  ） A．11 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质 【详解】∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD， 又∵C△BCD=BC+BD+CD=24，BC=10， ∴AD+BD=AB=24-10=14， 又∵AB=AC， ∴AC=14. 故选C. 【变式9-1】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、， 连接， 则 ° 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据等腰三角形的性质可得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，推出，最后根据，即可求解． 【解析】解：在中，，， ， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 【变式9-2】（2025·贵州·模拟预测）如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，正确理解线段垂直平分线的作图及线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据的周长为20，可得，根据作图可知垂直平分，再由线段垂直平分线的性质得到，即可求得答案． 【解析】的周长为20， ， ， 由已知作图可知垂直平分， ， 的周长． 故答案为：12． 【变式9-3】（2024·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N； ②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【解析】解：， ， ， 由作图可知，垂直平分， ， ， ， 故选：C． 【题型十】线段垂直平分线的判定 【例10】如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D． （1）∠ECD和∠EDC相等吗？ （2）OC和OD相等吗？ （3）OE是线段CD的垂直平分线吗？ 【答案】（1）∠EDC与∠ECD相等；（2）OC与OD相等；（3）OE是线段CD的垂直平分线． 【详解】试题分析：(1)、根据角平分线的性质得出CE=DE，从而得出△CDE为等腰三角形，从而得出答案；(2)、根据角平分线的性质得出Rt△ODE和Rt△OCE全等，从而得出答案；(3)、根据CE=DE，OC=OD得出答案. 试题解析：(1)、∠EDC与∠ECD相等 ∵OE是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴EC=ED，∴△CED是等腰三角形， ∴∠EDC=∠ECD； (2)、OC与OD相等 ∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠ODE=∠OCE=90°  在Rt△ODE和Rt△OCE中，OE=OE（公共边），DE=CE ∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL）  ∴OD=OC (3)、OE是线段CD的垂直平分线 ∵EC=ED，∴E点在线段CD的垂直平分线上  ∵OC=OD，∴O点在线段CD的垂直平分线上， ∴OE是线段CD的垂直平分线． 考点：(1)、角平分线的性质；(2)、中垂线的性质. 【变式10-1】已知：在中，AD平分，于F，于线段AD与EF有何关系？并说明理由． 【答案】垂直平分，理由见解析 【分析】根据，得到，由是的平分线得到，进而证得，得到，，由此即可得到结论． 【详解】解：垂直平分，理由如下： ，， ， 是的平分线， ， 在与中， ， （AAS）， ，， 点，在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，熟记相关图形的性质与判定是解题的关键． 【变式10-2】如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为点C和点D，AC与BD交于点O，AC＝BD，点E是AB的中点，连接OE． （1）求证：BC=AD； （2）求证：线段OE所在的直线是AB的垂直平分线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用HL定理可证得Rt△ADB≌Rt△BCA，由全等三角形的性质可得结论； （2）由（1）的结论，利用AAS定理，可得△ADO≌△BCO，利用全等三角形的性质可得AO=BO，据线段垂直平分线的判定可得到点O在AB的垂直平分线上，又点E是AB的中点，可得点E在AB的垂直平分线上，证得结论． 【详解】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠D＝∠C＝90°， ∵AC＝BD，AB＝BA， ∴Rt△ADB≌Rt△BCA， ∴BC＝AD； （2）∵∠D＝∠C＝90°，∠AOD＝∠BOC，BC＝AD， ∴△ADO≌△BCO， ∴AO=BO， ∴点O在AB的垂直平分线上， ∵点E是AB的中点， ∴AE=BE， ∴点E在AB的垂直平分线上， ∴线段OE所在的直线是AB的垂直平分线． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的判定，掌握到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【变式10-3】如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接 CD，且交 OE 于点F． （1）求证：OD=OC； （2）求证：OE 是 CD 的垂直平分线； （3）若∠AOB=60°，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）OE=4EF． 【分析】（1）证明Rt△ODE≌Rt△OCE即可，（2）通过上一问得OD=OC，ED=EC即可证明，（3）根据30°角所对直角边是斜边一半即可得到关系． 【详解】证明：（1）∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是 C，D， ∴DE=CE，∠EOD=∠EOC， 在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中， ∴Rt△ODE≌Rt△OCE， ∴OD=OC； （2）∵Rt△ODE≌Rt△OCE， ∴OD=OC，ED=EC， ∴点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线上， ∴OE 是 CD 的垂直平分线； （3）OE=4EF． ∵OE 是∠AOB 的平分线，∠AOB=60°， ∴∠AOE=∠BOE=30°， ∵EC⊥OB，ED⊥OA， ∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°， ∴∠EDF=30°， ∴DE=2EF， ∴OE=4EF． 【点睛】本题考查了特殊的直角三角形，三角形全等的判定，垂直平分线等知识，综合性强，中等难度．读图能力是解题关键． 【题型十一】含30◦角的直角三角形 【例11】如图，在中，，的垂直平分线交于D，垂足为E，若，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)9 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】（1）先利用垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角的性质求解； （2）先利用含有的直角三角形的性质求得，再利用求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，含有的直角三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式11-1】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，先求出，然后根据含角的直角三角形的性质依次求出，即可． 【详解】解：在中，，， ，    【变式11-2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，， 求证：． 【答案】见详解 【难度】0.85 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先结合题意确定，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”易得，再证明，进一步可得． 【详解】证明：∵为直角三角形，且， ∴， ∴，， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 【变式11-3】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直，垂足为F，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)36 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】此题主要考查等边三角形的性质及三角形外角的性质；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． （2）由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴． ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：∵，由（1）知，， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 【题型十二】角平分线的性质与判定 【例12】如图，在中，，，为的角平分线，若中边上的高为5，则长为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质得到，求出，再结合含的直角三角形的性质推出，进而求出AC即可． 【详解】解：过点D作于E，如图， 则DE为中边上的高，即， ∵，，BD平分， ∴， ∵，， ∴， ∵BD平分， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质、角平分线的性质和等角对等边的性质，正确的作出辅助线是解决本题的关键． 【变式12-1】如图，，是平分线上一点，，，，则长度为         A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质作PE⊥AB于点E，再结合平行线的性质，求出∠PME，从而求出PM，最后结合等角对等边即可得出结果． 【详解】过点作于点，如图， ∵   是平分线上一点，， ∴   . ∵   ，， ∴   ，， ∴   . ∵   ， ∴   ， ∴   ． 故选：. 【点睛】本题考查角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，及等腰三角形的判定与性质，灵活根据角平分线的性质构造辅助线是解题关键． 【变式12-2】如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过E作于M， 平分，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质． 【变式12-3】已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（　　）    A．45° B．48° C．60° D．66° 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质定理证得，，进而得出，从而判定平分，再利用外角的性质求出即可． 【详解】解：作于点F，于点H，于点G，    ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线． 【题型十三】等腰三角形的性质与判定的综合应用 【例13】（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，见解析 (3)存在，或 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 【变式13-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)8 (2)；理由见解析 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定． （1）证明，根据全等三角形的性质即可求解． （2）在上截取，如图，证明，再证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ∵G为中点， ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：线段和之间存在的数量关系为． 理由如下： 在上截取，如图， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 【变式13-2】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，，，点D，E分别在，上，且，，过E作于F，过点D作于G． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求点D到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． （1）由题意得，根据证明，得，根据等腰三角形的三线合一性质可得结论； （2）根据等腰三角形的三线合一性质可得，即可得平分； （3）先证明是等腰直角三角形得到，再根据全等三角形对应边上的高相等可得结论． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由（1）得，，， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点D作，垂足为H， ∵， ∴中边上的高与中边上的高相等，即， ∴点D到的距离． 【变式13-3】（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图1中，连接交于M，如图2，求的值； (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据可证明； （2）由得到，，再利用为等腰直角三角形得到，所以，，接着证明，得到，所以； （3）在上截取，如图3，先证明得到，，由于，则，所以，再证明，则得到，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，． ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的值为2； （3）解：，理由如下： 在上截取，如图， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【题型十四】等边三角形的性质与判定的综合应用 【例14】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），；证明见解析；（3）有；5 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，，结合，，则，； （3）在射线上截取，连接，证，则，得出是等边三角形，则，即点在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解： ，， 和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 即点在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， 由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值， ， ， ． ∴的最小值为5 ． 【变式14-1】（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点E是中点时，求证：． (2)当点E不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． (3)点E在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)6或12． 【难度】0.4 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，再由等腰三角形的性质等，然后证，即可得出结论； （2）过点作交于点，则，，再证是等边三角形，得，然后证，得，即可得出结论； （3）分两种情况，①点在上时，证，，则，，得； ②点在的延长线上时，证，，则，，得；即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 点是中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作交于点， 则，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时， ，， ， ， ， ，， ，， ， ； ②如图4，点在的延长线上时， ， ， ， ， ，， ， ，； 综上所述，的长为6或12． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 【变式14-2】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)见解析 (3)，详见解析 【难度】0.4 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明，证明，得到，进而得到答案； （3）在线段上取一点H，使得，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点D，点E在同一直线上； （3）解：结论：，理由如下， 如图3，在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式14-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末） 【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：．①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】 （3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，，见解析；②， 【难度】0.15 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质； （1）①选择小喆同学的解题思路：由，和平分，得到，即可证明，得到，再证明，得到，则，最后由，得到． ②选择小昀同学的解题思路：先证明是等边三角形，再证明，得到，根据证明即可． （2）参考（1）中的两种方法证明即可，注意部分细节结合图形有变化． （3）①由点C与点D关于直线对称，得到，，再根据和，得到，最后根据外角求得 ．在上取点M使，连接，则是等边三角形，证明，得到，即可证明． ②由点C与点D关于直线对称，得到，，则，，．在上截取，连接，则是等边三角形，再证明，得，最后根据证明即可． 【详解】解：（1）①选择小喆同学的解题思路：证明：如图1，过A作于G，于H， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ，平分， ， ， ， ． ②选择小昀同学的解题思路：如图2，在射线上截取，连接， ，平分， ， ， 是等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）证明：方法一：如图3，过A作于G，于H， ， 平分， ， ， ， ． ，， ， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ，平分， ， ， ， ． 方法二：如图4，在上截取，连接． ，平分， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，即， ，， ， 又， ， ， ， ， ． （3）①结论：当时，，． 理由：如图5，连接，是等边三角形， ，， 点C与点D关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 在上取点M使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ， ， ． ②，． 如图6，连接， 点C与点D关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 【题型一】等腰三角形边、角、高位置不确定时，忽视分类讨论而致错 方法点拨：在解与等腰三角形有关的题目时，应注意看清是否说明腰和底边，看是否需要进行分类讨论。 【例1】等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（    ） A．10cm B．11cm C．16cm或9cm D．10cm或11cm 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】因为腰长没有明确，所以分①3cm是腰长，②4cm是腰长两种情况求解． 【详解】解：①3cm是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+4=10cm， ②4cm是腰长时，能组成三角形，周长=4+4+3=11cm， 所以，它的周长是10cm或11cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，易错点为要分情况讨论求解． 【变式1-1】等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　   ） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 【答案】B 【难度】0.85 【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°， ②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质． 【变式1-2】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．据此求解即可． 【详解】解：如图：分情况讨论 当为是面积为1的等腰三角形，符合条件的C点有4个． 故选：B 【变式1-3】已知等腰的两边长分别为2和4，则等腰的周长为 ． 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 分“腰长为2，底边长为4”和“腰长为4，底边长为2”两种情况，先判断能否组成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为2，底边长为4时， ∵， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，4，4，2能组成三角形， ∴等腰的周长为：， 故答案为：10． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等腰三角形（9知识&14题型&1易错） 【清单01】等腰三角形概念 有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【清单02】等腰三角形性质 1）等腰三角形的两个 相等（简写成“等边对等角”） 2）等腰三角形 的平分线、 的中线、 的高相互重合。（三线合一） 【补充】利用三角形的全等可证明上述定理：已知等腰△ABC 作顶角的平分线 作底边的垂线 作底边的中线 ∵AB=AC ∠1=∠2 AD=AD ∵AB=AC AD⊥BC AD=AD ∵AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABC≌△ACD（SAS） ∴△ABC≌△ACD（HL） ∴△ABC≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C BD=DC AD⊥BC ∴∠B=∠C BD=DC ∠1=∠2 ∴∠1=∠2 ∠B=∠C AD⊥BC 【清单03】等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“ ”）。 拓展知识点： 1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a . 6. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= 7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 【清单04】等边三角形的概念 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。 【清单05】等边三角形的性质 1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质； 2）有三条对称轴； 3）每个内角都是 【清单06】等边三角形的判定 1）三边相等或三个角都相等的三角形是等边三角形。 2）有一个角是60°的 三角形是等边三角形。 拓展知识点： 1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 【清单07】直角三角形性质 在 中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 【清单08】线段垂直平分线 概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。 性质：线段的垂直平分线上的点到 的距离相等； 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在 上。 拓展知识点： 对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来 【清单09】角的平分线 概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线 叫做这个角的角平分线 性质：1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 2）角平分线上的点到 的距离相等; 判定：角的内部到角两边距离相等的点在 上。 拓展知识点： 对于含有角平分线的题目，首先考虑由角平分线上的点向角两边怍垂直 【题型一】 等腰三角形中的分类讨论 方法点拨：在解与等腰三角形有关的题目时，应注意看清是否说明腰和底边，看是否需要进行分类讨论。 【例1】（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【变式1-1】等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　   ） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 【变式1-2】等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（    ） A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40° 【变式1-3】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-4】在中，，中线将这个三角形的周长分为9和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（    ） A．9 B．5 C．5或9 D．8或10 【变式1-5】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 【变式1-6】如图，在中，，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点使为等腰三角形，符合条件的点有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【题型二】等边对等角 方法点拨：等腰三角形中等边对等角的性质可以很好的解决角相等的问题，相对于全等三角形等边对等角过程较为简单，希望在平时时加以重视； 【例2】）如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（　　）    A．4 B．6 C．8 D． 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-4】【问题背景】 如图，已知 和 ，，，，与交于点，点在上． 【问题探究】 （1）试说明：； 【问题拓展】 （2）若，． ①求的度数； ②判断与的数量关系，并说明理由． 【题型三】三线合一 方法点拨：三线合一是等腰三角形非常重要的性质，它可以用来证明线段相等，角相等，更重要的是可以用来说明垂直关系，且勿忽略。 【例3】（2024·江西抚州·模拟预测）如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三解形时，的长为 ． 【变式3-1】如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式3-2】（2024·贵州黔东南·二模）如图，中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（    ） A．2.5 B．3.5 C．2 D． 【变式3-3】（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，和相交于点，的平分线交于点． 求证：． 【题型四】根据等角对等边证明等腰三角形 方法点拨：在证明等腰三角形时，根据等角对等边，只要证明有两角相等，就可以直接说明三角形是等腰三角形，这是证明一个三角形是等腰三角形的常用方法。 【例4】（2024·上海普陀·二模）已知中，为边上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断是等腰三角形的是(    ) A． B． C． D． 【变式4-1】已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形．    【变式4-2】如图，在中，，，．    (1)求的度数． (2)求证：是等腰三角形． 【变式4-3】如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 【题型五】根据等角对等边证明线段相等 【例5】如图，，平分，P为上一点，交于点D，于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变5-1】如图，，，则与 .（填“相等”或“不相等”） 【变式5-2】下列给出的5个图中，能判定是等腰三角形的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式5-3】如图，已知中，过点B作的平分线的垂线，垂足为D，作交于E．求证：．    【题型六】根据等角对等边求边长 【例6】如图，是直线上一点，平分交于点， 于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点A落在点处，与交于点，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【变式6-2】如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，则的长为（    ） A．10 B．5.5 C．6 D．5 【变式6-3】如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【题型七】等边三角形的性质 方法点拨：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等边三角形的所有性质，且等边三角形的三边都相等，三个角都相等且每个角都等于60°，每条边上的高、中线和角平分线都是重合的； 【例7】（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 【变式7-1】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 【变式7-2】如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 【变式7-3】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 【题型八】等边三角形的判定 方法点拨：证明一个三角形是等边三角形时： 1.直接证明三条边都相等； 2.证有两个角等于60°； 3.先证明等腰三角形，再证有一个角为60°。 【例8】（2024·河北沧州·模拟预测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，则括号中应该填的条件是① ；② ． 【变式8-1】（22-23八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，D为延长线上的一点，．求证：是等边三角形． 【变式8-2】（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 【变式8-3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    【题型九】线段垂直平分线的性质 【例9】如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC=10，则AC等于（  ） A．11 B．12 C．14 D．16 【变式9-1】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、， 连接， 则 ° 【变式9-2】（2025·贵州·模拟预测）如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为 ． 【变式9-3】（2024·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N； ②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型十】线段垂直平分线的判定 【例10】如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D． （1）∠ECD和∠EDC相等吗？ （2）OC和OD相等吗？ （3）OE是线段CD的垂直平分线吗？ 【变式10-1】已知：在中，AD平分，于F，于线段AD与EF有何关系？并说明理由． 【变式10-2】如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为点C和点D，AC与BD交于点O，AC＝BD，点E是AB的中点，连接OE． （1）求证：BC=AD； （2）求证：线段OE所在的直线是AB的垂直平分线． 【变式10-3】如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接 CD，且交 OE 于点F． （1）求证：OD=OC； （2）求证：OE 是 CD 的垂直平分线； （3）若∠AOB=60°，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【题型十一】含30◦角的直角三角形 【例11】如图，在中，，的垂直平分线交于D，垂足为E，若，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【变式11-1】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，于点，若，求的长． 【变式11-2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，， 求证：． 【变式11-3】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直，垂足为F，若，求的周长． 【题型十二】角平分线的性质与判定 【例12】如图，在中，，，为的角平分线，若中边上的高为5，则长为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 【变式12-1】如图，，是平分线上一点，，，，则长度为         A． B． C． D． 【变式12-2】如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为 ． 【变式12-3】已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（　　）    A．45° B．48° C．60° D．66° 【题型十三】等腰三角形的性质与判定的综合应用 【例13】（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【变式13-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【变式13-2】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，，，点D，E分别在，上，且，，过E作于F，过点D作于G． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求点D到的距离． 【变式13-3】（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图1中，连接交于M，如图2，求的值； (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【题型十四】等边三角形的性质与判定的综合应用 【例14】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【变式14-1】（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点E是中点时，求证：． (2)当点E不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． (3)点E在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【变式14-2】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【变式14-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末） 【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：．①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】 （3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 【题型一】等腰三角形边、角、高位置不确定时，忽视分类讨论而致错 方法点拨：在解与等腰三角形有关的题目时，应注意看清是否说明腰和底边，看是否需要进行分类讨论。 【例1】等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（    ） A．10cm B．11cm C．16cm或9cm D．10cm或11cm 【变式1-1】等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　   ） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 【变式1-2】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】已知等腰的两边长分别为2和4，则等腰的周长为 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $