4.4等腰三角形（第1课时等腰三角形的性质）（教学课件）数学青岛版2024八年级上册

青岛版2024·八年级上册 4.4等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 第4章 图形的轴对称 导入新课 等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等边三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形. A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 等腰三角形 等边三角形 学 习 目 标 1 2 3 探索并掌握等腰三角形的轴对称性 通过等腰三角形的轴对称性探索等腰三角形的性质（重点） 利用等腰三角形的性质进行简单的几何计算与证明（难点） 新知探究 图4.4-1是一张等腰三角形的纸片，其中AB=AC。等腰三角形ABC是轴对称图形吗? 对折 使AB与AC重合 对折过程中，你发现了什么？ 直线AD 两旁的图形能够完全重合 等腰三角形是轴对称图形,折痕所在的直线是它的对称轴. 新知探究 问题1：通过对折，你发现有哪些相等的角和线段? 相等的线段 相等的角 　 AB＝AC BD＝CD ∠B＝∠C ∠BAD ＝∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC=90° AD＝AD 底角相等 AD是底边上的中线 AD是底边上的高 AD是顶角的平分线 这些相等的角或相等中，你发现了什么？你能得到什么结论？ 新知探究 猜想结论1：等腰三角形的两底角相等 猜想结论2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合. 你能证明它们吗？ 经过折叠，折痕AD 把△ABC分割为两个全等三角形。类似地，把△ABC分割为两个全等三角形也可以通过作辅助线的方法实现。 新知探究 证明：在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD。 在△ABD 和△ACD中， AB=AC， AD=AD， BD=CD， 所以△ABD≌△ACD(SSS)。 所以∠B=∠C。 还可得∠BAD=∠CAD，AD⊥BC。 若把辅助线AD改为∠BAC的平分线或者使AD⊥BC 呢?请证明你的结论。 新知探究 等腰三角形的性质定理1： 总结归纳 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 在△ABC中， ∵ AC=AB（已知 ） ∴ ∠B=∠C（等边对等角） 几何语言： “等边对等角”是指“在同一个三角形中， 相等的边所对的角相等”. 新知探究 即：等腰三角形 顶角平分线 底边上的高线 底边上的中线 具备其中一条 另外两条成立 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, BD＝DC ∴ AD⊥BC ∠1＝∠2 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, ∠1＝∠2 ∴BD＝DC AD⊥BC 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, AD⊥BC ∴ ∠1＝∠2 BD＝DC 等腰三角形的性质定理2： 总结归纳 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合 (简写成“三线合一”) A B C D 1 2 “由一线知二线” 典例分析 例1 如图4.4-3，AB=AC，点D，E在BC上，且AD=AE。 求证:BD=CE。 F 分析：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 典例分析 证明:如图4.4-4，作AF⊥BC，垂足是点F。 因为AB=AC，AF⊥BC， 所以AF 是底边BC上的中线(三线合一)。 所以BF=CF。 同理DF=EF。 所以BF-DF=CF-EF。 所以 BD=CE。 F 新知探究 在一个三角形中，不相等的边所对的角之间的大小有怎样的关系?大边所对的角也大吗? 思路点拨：不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决， 折叠，使AC与AB重合， 点C落在C'的位置 新知探究 新知应用 基础巩固题 2.如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点，下列结论中不一定正确是(　D　) A. ∠ B ＝∠ C B. AD ⊥ BC C. AD 平分∠ BAC D. AB ＝2 BD (第2题) D 1、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 线段 C. 钝角 　 D. 直角三角形 D 新知应用 基础巩固题 3.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为__________ 4.等腰三角形一个角为70°, 它的另外两个角为__________ 5.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为__________ 75° , 30° 70° , 40°或55° , 55° 35° , 35° 方法：当等腰三角形中角的位置不确定时，需要对角进行分类讨论. 是底角还是顶角 注意： 分类讨论 新知应用 基础巩固题 6.顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。等腰直角三角形底角的度数分别是 。 45° , 45° 7. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点，BF ⊥ AC 于点 F ，交 AD 于点 E . 若 AF ＝ BF ， BD ＝2，则 AE ＝ ⁠. 4　 (第7题) 新知应用 基础巩固题 8.证明等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于 60°。 A B C 已知:如图，在△ABC中，AB=BC=AC. 求证:∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在△ABC中， ∵ AB=AC ∵ AB=BC ∴ ∠A=∠B =∠C ∴ ∠A=∠B =∠C=60 ° 又∵ ∠A +∠B +∠C =180 ° ∴∠B＝∠C ∴∠A＝∠C 新知应用 基础巩固题 9.等腰三角形的一个内角为40°。求另外两个内角的度数。 这个角是等腰三角形的顶角还是底角？ 分两种情况讨论：（1）可能是底角（2）可能是顶角 解：（1）当40°是底角时，另外两个内角的度数分别为40°，100°. （2）当40°是顶角时，另外两个内角的度数分别为70°，70°. 方法：当等腰三角形中角的位置不确定时，需要对角进行分类讨论. 新知应用 能力提升题 10.如图，在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数. 解：AB=AC,BD =BC =AD, 所以∠ABC=∠C =∠BDC, ∠A=∠ABD(等边对等角). 设∠A=x, 则∠BDC=∠A +∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中,有:∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得x=36°， 所以在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°. 新知应用 能力提升题 11.在△ABC中，AB=AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED=64°，求∠BAC的度数的大小. 解：因为AB=AC，M是边BC的中点， 所以∠AMB=90°，∠BAM=∠CAM， 因为∠BEM=∠AED=64°，所以∠EBM=26°， 因为BD平分∠ABC， 所以∠ABC=2∠EBM=52°， 所以∠BAM=90°-∠ABM=38°， 所以∠BAC=2∠BAM=76°． 注意：等腰三角形中，仅限顶角的角平分线可以利用“三线合一”的性质进行转换. 新知应用 能力提升题 12. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF． 证明：∵AB＝AC，D为BC中点， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2， ∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线， ∴∠ADE=∠ADB=45°，∠ADF=∠ADC=45°， ∴∠ADE＝∠ADF， 在△ADE和△ADF中， ∴△ADE≌△ADF（ASA）， ∴DF＝DE． 课堂小结 等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角” 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合， 简称“三线合 一” 等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形 等腰三角形的有关概念 推论：等边三角形的三个内角相等， 每一个内角都等于60°. 感谢聆听! 已知： 如图1，在△ABC中，． 求证：． 证明：如图2，将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的点处，折痕AD交BC于点D．则． ∵∠BDC’ ∴ ∴ $