4.4等腰三角形（第3课时等边三角形的判定）（教学课件）数学青岛版2024八年级上册

青岛版2024·八年级上册 4.4等腰三角形 第3课时 等边三角形的判定 第4章 图形的轴对称 一般三角形 等腰 三角形 一般 三角形 等腰 三角形 等边三角形 底≠腰 底=腰 有两条边相等 等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）. 导入新课 导入新课 上节课我们学了等边三角形的一个判定方法，你还记得吗？ 三个角相等的三角形是等边三角形。。 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握等边三角形的判定定理（重点） 掌握含有300角的直角三角形的性质（重点） 能运用等边三角形的性质与判定解决相关问题（难点） 新知探究 如图,在△ABC中,AB=AC。再添加一个什么条件,就可判定△ABC为等边三角形? 从边的角度，可以添加AB=BC,这样三边都相等是等边三角形啦。 那从角的角度，你又怎样添加呢？ 添加一个角为60°。 新知探究 不论顶角还是底角，只要有一个角为60°，就可判定△ABC 为等边三角形。 那你能证明它吗？ 新知探究 如图,在△ABC中,AB=AC。再添加一个什么条件,就可判定△ABC为等边三角形? 添加一个角为60°。 情形1 设∠A=60°.根据三角形内角和定理得 ∠B+∠C=180°-∠A=180°-60°=120°. 由于AB=AC，因此∠B=∠C=60°. 于是△ABC是等边三角形 情形2 设∠B=60°. 由于AB=AC，因此∠C=∠B=6O°, 从而∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°.因此△ABC是等边三角形. 与情形2类似， 同理可证△ABC是等边三角形 由此，你得出什么结论？ 哪个角是60°呢？ 情形3 设∠C=60°. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 新知探究 等边三角形的判定方法： 一般三角形 等边三角形 A B C （角）判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形. （边）判定1：三边都相等的三角形是等边三角形.（定义） ∵AB=BC=AC ∴△ABC是等边三角形 ∵ ∠B=600 ， AB=BC ∴△ABC是等边三角形 ∵ ∠A= ∠ B= ∠ C ∴△ABC是等边三角形 （综合）判定3：有一个角是60 °的等腰三角形是等边三角形. 总结归纳 典例分析 例4 如图4.4-11，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°。 求证:BC=AB。 A B C ┏ △ABD是等边三角形 D 在右边补画一个与△ABC全等的△ACD，如图放置，得△ABD。你发现了什么？ 那你怎样补画呢？ 典例分析 证明:如图，作与△ABC关于直线AC对称的△ADC。 所以 AD=AB，DC=BC，∠ACD=∠ACB=90°，∠DAC=∠BAC=30° 所以∠ACB+∠ACD=180° 所以，点B，C，D共线。 因为∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°， 所以△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)。 所以 BD=AB。 所以 BC=BD=AB。 D A B C ┏ 新知探究 总结归纳 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： ∴BC= AB．　　 C A B 30° 在Rt△ABC 中， ∵∠C=90°，∠A=30°，　　 新知探究 如何用一张长方形纸片折出一个等边三角形? 那你还又什么方法吗？ 新知应用 基础巩固题 1.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. （1） （2） （6） （5） 不 是 是 是 是 是 （4） （3） 不一定 是 新知应用 基础巩固题 2.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝(　　) A．20° B．25° C．30° D．35° C 3.如图，已知等边三角形ABC的周长为18 cm，△ADE是等边三角形，EC＝2 cm，则△ADE的周长为________. 12cm 等边三角形的各角都等于60º. 等边三角形的三条边都相等 三线合一 新知应用 基础巩固题 4.如图，某山坡的坡面的长为 ，坡角 ，则山坡的高为_____ ． 100 5.如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2米，∠A＝30°，则AB等于(　　)    A．8米     B．4米    C．2米     D．1米 A 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 新知应用 基础巩固题 6.下列条件中，哪些能说明△ABC为等边三角形? (1) ∠A=∠B=60°; (2) ∠B+∠C=120°; (3) ∠B=60°，AB=AC; (4) ∠A=60°，AB=AC。 等边三角形 不是等边三角形 等边三角形 等边三角形 新知应用 基础巩固题 7.如图，∠AOB=30°，OC=6，点D是射线OA上一个动点，线段CD 的最小值是多少? 根据“垂线段最短” D 过点C作CD垂直与OA,垂足为点D 在直角三角形OCD中∠AOB=30°，OC=6,所以CD=3 新知应用 基础巩固题 8.△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3.判断△DEF的形状，并简要说明理由. A B C F D E 1 2 3 解：△DEF是等边三角形.理由如下： 因为△ABC是等边三角形， 所以∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°. 因为∠1=∠2=∠3， 所以∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB=60°. 同理∠DEF=∠EDF=60°. 所以△DEF是等边三角形. 新知应用 能力提升题 9.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，试说明：△ABC是等边三角形. 因为DF∥BA， 所以∠ABC=∠CDF=60°， 因为AB=BC， 所以△ABC是等边三角形．（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） 解：因为DF平分∠CDE，∠CDE=120°， 所以∠CDF=∠EDF=60°， 新知应用 能力提升题 【证明】∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°, AB=AC=BC，∵AD=BE=CF,即BD=CE=AF, 在△AFD,△BDE和△CEF中, ∠A=∠B=∠C=60°, AD=BE=CF AF=BD=CE ∴△AFD≌△BDE≌△CEF ∴DF=DE=EF,∴△DEF是等边三角形 10.如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF。试问：△DEF是什么三角形？ A B C D E F 新知应用 能力提升题 11.如图， 在△ ABC 中，AB=AC，∠ B=30°，线段AB 的垂直平分线MN 交BC 于D，求证：CD=2BD． 分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得证． 解法提醒： 在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2 倍， 关键是证明两点： 一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于30° . 新知应用 能力提升题 证明：如图，连接AD， ∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线， ∴ AD=BD， ∴∠ DAB= ∠ B=30° . 又∵ AB=AC， ∴∠ B= ∠ C=30°， ∴∠ BAC=120°， ∴∠ DAC=90°. ∴ CD=2AD. 又∵ AD=BD，∴ CD=2BD． 课堂小结 名称 图形 概念 性质 判定 等 边 三 角 形 三边相等的三角形是等边三角形 1.等边三角形的三边相等 2.等边三角形的三个内角相等，每个内角等于60° 3.三线合一 4.是轴对称图形 1. 三边相等的三角形是等边三角形 2. 三个角相等的三角形是等边三角形 3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 感谢聆听! $则等边三角形取一张矩形片天对着。取开。再将直角三角形。翻折。是制造冰凝落在深海上。同时过长方形的一个顶点。调整。好。自找钉点落在折痕上。描一描去看。连接矩形的一个顶点和这个四周天天。在和邻近的矩形的顶点相连。这就是等边三角形，为什么呢？谎言一样对着。这条折痕垂直平分矩形的宽垂直平分线的点到线段两端距离相等，两条红色线段相等。再看一看。回顾一下操作过程。那么这条宽边和红色的线段重合。因此三边。相等的三角形是等边三角形。你来动手遮遮，动脑想想，很有意思。的抖音。