专题03 平面直角坐标系与一次函数（5知识&6题型&5易错&5方法清单）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

该初中数学专题知识清单系统整合了平面直角坐标系与一次函数内容，涵盖概念要素、点变换规律、函数性质、表达式求取及综合应用五大知识范畴，构建了从基础概念理解到性质辨析再到实际应用的阶梯式学习支架。 清单通过“知识清单+题型分类+易错警示+方法技巧”四维架构呈现知识体系，如将“一次函数图象判断”提炼为“两步法”技巧，标注“忽略k≠0条件”等易错点，培养学生的几何直观和推理意识。每个题型配备例题及变式训练，方法清单含“平移规律口诀”等实用工具，助力学生自主突破难点，教师可直接用于专题复习或分层教学。

专题03 平面直角坐标系与一次函数（5知识&6题型&5易错&5方法清单） 【清单01】平面直角坐标系的概念和相关要素 【清单02】平面直角坐标系中点的变换规律 . 【清单03】一次函数的概念与一般形式 . 【清单04】一次函数的图象与性质 【清单05】一次函数表达式的求取过程 【清单06】平面直角坐标系与一次函数的应用 【题型一】平面直角坐标系的基础应用 【例1】（2025秋•郑州期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣6，a2+5）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】（2025秋•西安期中）点M在第二象限，距x轴5单位，距y轴3单位，则M坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 【变式1-2】（2025秋•武侯区期中）点A（3﹣a，a2﹣1）在x轴上，则a的值为（　　） A．3 B．1 C．0 D．±1 【题型二】一次函数的识别与相关参数求值 【例2】（2025秋•河源期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．y＝x2+2 B． C．y＝2x+1 D．y＝kx+b 【变式2-1】（2025秋•五华县期中）已知函数是关于x的一次函数，则m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 【变式2-2】（2025秋•福田区期中）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　） A．y2＝4x B．y＝﹣3x C．y＝2x2 D．y＝x﹣1 【题型三】一次函数的图象与性质分析 【例3】（2025秋•罗湖区期中）对于一次函数y＝﹣3x+2，下列结论正确的是（　　） A．它的图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大 C．当时，y＞0 D．它的图象与y轴交于点（0，2） 【变式3-1】（2025秋•双流区期中）已知直线y＝kx+b经过一、二、三象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是（　　） A．B． C．D． 【变式3-2】（2025•甘孜州）函数y＝x﹣2的图象为（　　） A．B． C．D． 【题型四】一次函数与方程（组）、不等式的综合 【例4】（2025秋•莱芜区期中）如图是一次函数y＝kx﹣2的图象，则关于x的方程kx﹣2＝0的解为（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣2 【变式4-1】（2025•雁塔区二模）已知方程kx+b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【变式4-2】（2025春•坪山区期末）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（　　） A．x＜0 B．x＜3 C．x＞3 D．x＞2 【题型五】平面直角坐标系与一次函数的实际应用 【例5】（2025秋•清新区期中）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量x（千克）与收入y（元）的关系如下表： 质量x/千克 1 2 3 4 5 … 收入y/元 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5 … 则收入y（元）与卖出的苹果质量x（千克）之间的函数表达式为（　　） A．y＝2x+0.1 B．y＝2x C．y＝2.1x D．y＝0.2x+0.5 【变式5-1】（2025秋•兴庆区期中）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出y与x之间的函数表达式（　　） 时间：（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 A．y＝2+4x B．y＝6+4x C．y＝6﹣4x D．y＝2﹣4x 【变式5-2】（2025秋•武汉月考）在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如表： 鞋号（码） … 33 34 35 36 37 … 脚长（毫米） … 215±2 220±2 225±2 230±2 235±2 … 若小华的脚长为259毫米，则他的鞋号（码）是（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 【题型六】函数图象信息题 【例6】（2025•苏州二模）某网约车计费标准如图所示，张老师乘坐该网约车从家到学校共8公里，则应付车费为（　　） A．16元 B．17元 C．19.6元 D．23.2元 【变式6-1】（2025春•淮安月考）《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？注：1尺＝10寸），如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则图中交点P的横坐标为（　　） A． B． C． D．45 【变式6-2】（2025秋•南岗区期中）如图，甲的速度比乙的速度每分快（　　） A．米 B．米 C．米 D．2米 【题型一】忽略一次函数中“k≠0”的条件致错 【例1】（2025秋•包河区期中）若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣2﹣1是一次函数，则m的值为（　　） A．3 B．±3 C．﹣3 D．2 【变式1-1】（2025秋•沈河区期中）已知函数y＝（m﹣1）x|m|+5是一次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．2 【变式1-2】（2025秋•武侯区期中）下列函数：①y＝4x+3；②；③；④y＝x2；⑤y＝kx+b．其中一定是一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】点的平移与对称变换规律混淆致错 【例2】（2025秋•连江县期中）已知点A（3，a）与B（b，1）关于y轴对称，则a+b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【变式2-1】（2024秋•绛县期末）已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a+b的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 【变式2-2】（2025秋•合肥期中）点P（2，﹣4）向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q，则点Q坐标为（　　） A．（5，2） B．（﹣1，﹣10） C．（5，﹣10） D．（﹣1，2） 【题型三】一次函数双图象共存与k、b的关系判断失误 【例3】（2025秋•五华县期中）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx在同一坐标系中的图象可能为（　　） A．B． C．D． 【变式3-1】（2024秋•静安区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝x﹣a和直线y＝ax的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【题型四】实际应用中忽略自变量的取值范围致错 【例4】（2025秋•兰州期中）拖拉机开始工作时，油箱中有油24升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的剩余油量y（升）和工作时间x（时）之间的函数关系式是 ，自变量x必须满足　 ． 【变式4-1】（2025秋•莱芜区期中）为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的，某市规定如下用水收费标准，每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米a元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按b元收费．该市某户今年九、十月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（m3） 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为x（m3）（x＞6）应交水费为y（元），写出y与x之间的关系式　 ． 【变式4-2】（2025秋•任城区月考）利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABFE和矩形EFCD．设AB边的长为x米．BC边长为y米．写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围：　　 ； 【题型五】实际问题中两条直线关系理解不清 【例5】（2025•景宁县二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为60km/h C．乙车出发2h时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距60km 【变式5-1】（2025秋•合肥期中）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（单位：h）．两车之间的距离为y（单位：km）．图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列结论：①a＝3.75；②当快车到达终点时，普通列车距离甲地540km；③普通列车行驶8h时，到达终点甲地；④经过或两车相距60km． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式5-2】（2024秋•中宁县期末）一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示，则下列结论中错误的是（　　） A．相遇时快车行驶了150千米 B．慢车行驶速度为60千米/小时 C．甲、乙两地的路程是400千米 D．快车出发后4小时到达乙地 【题型一】平面直角坐标系中点的变换快速求解 核心技巧：牢记“平移规律口诀”和“对称变换坐标法则”，可通过画图辅助验证 【例1】（2025•沭阳县模拟）已知点P（0，﹣4），Q（6，1），将线段PQ平移至P1Q1，点P，Q的对应点分别为点P1，Q1，若P1（m，﹣3），Q1（3，n），则m﹣n的值是　　 ． 【变式1—1】（2025春•新县期末）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，AB∥x轴，AC∥y轴，且AB＝4，AC＝3．P（a，b）为三角形ABC内一点，将三角形ABC平移，当平移后得到的三角形A1B1C1的一顶点落在原点上时，点P的对应点P1的坐标为（a﹣6，b﹣4），则点A的坐标为 　　 ． 【变式1—2】（2025秋•铁西区期中）在同一直角坐标系中，一个学生误将点A的横、纵坐标的次序颠倒，写为A（a，b），另一个学生误将点B的坐标看成关于y轴对称的点的坐标，写为B（﹣b，﹣a），则A，B两点原来的位置关系是关于 轴对称．（填“x”或“y”） 【题型二】一次函数解析式求解的快捷方法 核心技巧：若已知直线过原点，直接设y=kx；若已知与y轴交点(0,b)，直接设y=kx+b，减少未知数个数；两点式求k值可直接用“k=”（x1≠x2），另外特殊情况需要分类讨论，切勿漏解. 【例1】（2025春•石景山区期中）一个一次函数的图象经过点（﹣2，3），且与坐标轴围成的直角三角形有两边相等时，这个一次函数的表达式为　 ． 【变式1—1】（2025春•攸县期末）已知一次函数y＝kx+b（k＜0），当0≤x≤2时，对应的函数y的取值范围是﹣2≤y≤4，b的值为　　 ． 【变式1—2】（2025秋•福田区期中）如图，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线BC交x轴于点C且与直线AB构成的夹角∠CBA＝45°，则直线BC的解析式为　 ． 【题型三】一次函数图象判断的“两步法” 核心技巧：第一步根据k的符号判断直线倾斜方向（k>0上升，k<0下降）；第二步根据b的符号判断直线与y轴交点位置（b>0上，b<0下），两步结合锁定图象 【例1】（2024秋•文登区期末）直线y1＝mx+n和y2＝﹣nx+m在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　　） A．B．C．D． 【变式1—1】（2025•潮阳区三模）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 【变式1—2】（2025秋•深圳期中）一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则一次函数y＝bx﹣b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 【题型四】利用函数图象解不等式的“直观法” 核心技巧：对于y1=k1x+b1和y2=k2x+b2，求y1>y2的解集，即找直线y1在直线y2上方对应的x取值范围 【例4】（2025•南明区二模）如图，已知直线y1＝2x+3与直线y2＝kx+b（k≠0）交于点（n，6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为　 ． 【变式4—1】（2025秋•怀宁县期中）在平面直角坐标系中，已知函数y＝kx﹣k+2（k＞2），则下列图象可能是该函数的是（　　） A．B． C．D． 【变式4—2】（2025春•锦州期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与直线yx相交于点H，其纵坐标为1，则关于x的不等式kx+bx的解集是 　 ． 【题型五】实际应用问题的“建模技巧” 核心技巧：分析题目中“谁随谁变化”确定自变量和因变量；分段计费问题找准分段点，分区间列解析式；结合图象时关注交点、起点、终点等关键坐标的实际意义 【例5】（2025秋•西安期中）一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后的总长度与所挂重物的质量满足一次函数关系，若挂上1kg的物体后，弹簧总长为14cm，当弹簧总长为15cm时，所挂的物体重　　 kg． 【变式5—1】（2025秋•市北区期中）小李想在某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤（x＞15），付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为　 ． 【变式5—2】（2025•济阳区模拟）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，那么一箱汽油可供汽车行驶 　　 小时． 学科网（北京）股份有限公1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面直角坐标系与一次函数 （5知识&6题型&5易错&5方法清单） 【清单01】平面直角坐标系的概念和相关要素 【清单02】平面直角坐标系中点的变换规律 . 【清单03】一次函数的概念与一般形式 . 【清单04】一次函数的图象与性质 【清单05】一次函数表达式的求取过程 【清单06】平面直角坐标系与一次函数的应用 【题型一】平面直角坐标系的基础应用 【例1】（2025秋•郑州期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣6，a2+5）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据点的符号特征，进行判断即可． 【解答】解：∵a2≥0，∴a2+5＞0， ∵﹣6＜0，a2+5＞0，P（﹣6，a2+5）， ∴点P（﹣6，a2+5）在第二象限；故选：B． 【点评】本题考查判断点所在的象限，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式1-1】（2025秋•西安期中）点M在第二象限，距x轴5单位，距y轴3单位，则M坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 【分析】根据第二象限点的坐标符号特征及点到坐标轴的距离确定坐标，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，即形式为（﹣a，b）（a＞0，b＞0），即可求解． 【解答】解：根据题意可知，M坐标为（﹣3，5）． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标的特点是关键． 【变式1-2】（2025秋•武侯区期中）点A（3﹣a，a2﹣1）在x轴上，则a的值为（　　） A．3 B．1 C．0 D．±1 【分析】根据x轴上点的纵坐标等于零，可得答案． 【解答】解：由题意， 得a2﹣1＝0， 解得a＝±1， 故选：D． 【点评】本题考查了x轴上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0． 【题型二】一次函数的识别与相关参数求值 【例2】（2025秋•河源期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A．y＝x2+2 B． C．y＝2x+1 D．y＝kx+b 【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k≠0）的函数是一次函数，逐一排除即可． 【解答】解：根据一次函数的定义逐项分析判断如下： A、y＝x2+2，x的次数为2，不是一次函数，不符合题意； B、，不是一次函数，不符合题意；C、y＝2x+1，是一次函数，符合题意； D、y＝kx+b，若k＝0，则不是一次函数，因此不一定是一次函数，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【变式2-1】（2025秋•五华县期中）已知函数是关于x的一次函数，则m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫作一次函数据此列得关于m的方程及不等式，解得m的值即可． 【解答】解：已知函数是关于x的一次函数， 则m2﹣8＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3，故选：A． 【点评】本题考查一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式2-2】（2025秋•福田区期中）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　） A．y2＝4x B．y＝﹣3x C．y＝2x2 D．y＝x﹣1 【分析】形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数叫作正比例函数，由此判断即可． 【解答】解：A、y2＝4x，y不是x的正比例函数，故此选项不符合题意； B、y＝﹣3x，y是x的正比例函数，故此选项符合题意； C、y＝2x2，y不是x的正比例函数，故此选项不符合题意； D、y＝x﹣1，y不是x的正比例函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【题型三】一次函数的图象与性质分析 【例3】（2025秋•罗湖区期中）对于一次函数y＝﹣3x+2，下列结论正确的是（　　） A．它的图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大 C．当时，y＞0 D．它的图象与y轴交于点（0，2） 【分析】根据一次函数图象的性质逐一判断即可． 【解答】解：∵一次函数解析式为y＝﹣3x+2，k＝﹣3＜0，b＝2＞0， ∴y随x增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限， 当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x， ∴它的图象与y轴交于点（0，2），当x时，y＜0， ∴四个选项中，只有D选项符合题意，故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、三象限，当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第一、三、四象限，当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限，当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第二、三、四象限是解题的关键，并且当k＞0时，y随x增大而增大，当k＜0，y随x增大而减小． 【变式3-1】（2025秋•双流区期中）已知直线y＝kx+b经过一、二、三象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是（　　） A．B． C．D． 【分析】根据一次函数y＝kx+b经过的象限，可得k＞0，b＞0，即可求解． 【解答】解：∵直线y＝kx+b经过一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0， ∴﹣k＜0，∴直线y＝bx﹣k的图象经过一、三、四象限， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【变式3-2】（2025•甘孜州）函数y＝x﹣2的图象为（　　） A．B． C．D． 【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，然后经过这两点画直线，结合选项分析即可． 【解答】解：令x＝0，则y＝﹣2； 令y＝0，则0＝x﹣2，即x＝2， 故图象经过（0，﹣2），（2，0）， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的图象，解题的关键是通过求函数与坐标轴的交点来判断． 【题型四】一次函数与方程（组）、不等式的综合 【例4】（2025秋•莱芜区期中）如图是一次函数y＝kx﹣2的图象，则关于x的方程kx﹣2＝0的解为（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣2 【分析】方程kx﹣2＝0的解即为函数值为0对应的自变量的值． 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴的交点坐标为（1，0）， ∴关于x的方程kx﹣2＝0的解为x＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，对于一元一次方程ax+b＝0，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b与x轴的交点的横坐标的值． 【变式4-1】（2025•雁塔区二模）已知方程kx+b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【分析】由于方程kx+b＝0的解是x＝3，即x＝3时，y＝0，所以直线y＝kx+b经过点（3，0），然后对各选项进行判断． 【解答】解：∵方程kx+b＝0的解是x＝3， ∴y＝kx+b经过点（3，0）． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 【变式4-2】（2025春•坪山区期末）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（　　） A．x＜0 B．x＜3 C．x＞3 D．x＞2 【分析】直接根据图象在x轴下方时所对应的x的取值范围进行解答即可． 【解答】解：由图象可知，当x＞3时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象位于x轴下方，则不等式kx+b＜0的解集为：x＞3．故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b（k≠0）在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【题型五】平面直角坐标系与一次函数的实际应用 【例5】（2025秋•清新区期中）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量x（千克）与收入y（元）的关系如下表： 质量x/千克 1 2 3 4 5 … 收入y/元 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5 … 则收入y（元）与卖出的苹果质量x（千克）之间的函数表达式为（　　） A．y＝2x+0.1 B．y＝2x C．y＝2.1x D．y＝0.2x+0.5 【分析】观察收入y与质量x之间的关系，进而可以得到答案． 【解答】解：已知卖出的苹果质量x（千克）与收入y（元）的关系如下表，整理为： 质量x/千克 1 2 3 4 5 … 收入y/元 2.1 2.1×2 2.1×3 2.1×4 2.1×5 … 由表格可知，质量每增加1千克，收入就增加2.1元， 故y＝2.1x，经验证，符合表格中数据，故选：C． 【点评】本题考查函数表达式的判断，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式5-1】（2025秋•兴庆区期中）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出y与x之间的函数表达式（　　） 时间：（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 A．y＝2+4x B．y＝6+4x C．y＝6﹣4x D．y＝2﹣4x 【分析】由表格数据可知，每增加1个小时，圆柱体容器液面高度y增加4厘米，据此解答即可求解． 【解答】解：由表格数据可知，每增加1小时，圆柱体容器液面高度y增加4厘米， ∴y＝6+4（x﹣1）＝2+4x，故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，看懂表中数据的变化情况是解题的关键． 【变式5-2】（2025秋•武汉月考）在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如表： 鞋号（码） … 33 34 35 36 37 … 脚长（毫米） … 215±2 220±2 225±2 230±2 235±2 … 若小华的脚长为259毫米，则他的鞋号（码）是（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 【分析】根据题意，可知鞋号x与脚长y的对应关系为一次函数，设鞋号与脚长的关系式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法解得函数解析式，即可获得答案． 【解答】解：根据题意，可知鞋号x与脚长y的对应关系为一次函数， 设鞋号与脚长的关系式为y＝kx+b（k≠0）， 根据题意，可得，解得， 所以鞋号与脚长的关系式为y＝5x+50，若小华的脚长为259毫米，可令y＝260， 则有260＝5x+50，解得y＝42，所以，他的鞋号（码）是42．故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确获得函数解析式是解题关键． 【题型六】函数图象信息题 【例6】（2025•苏州二模）某网约车计费标准如图所示，张老师乘坐该网约车从家到学校共8公里，则应付车费为（　　） A．16元 B．17元 C．19.6元 D．23.2元 【分析】利用待定系数法求出x≥3时与x之间的函数关系式并将x＝8代入，求出对应y的值即可． 【解答】解：当x≥3时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标（3，8）和（5，11.6）分别代入y＝kx+b， 得，解得， ∴当x≥3时，y与x之间的函数关系式为y＝1.8x+2.6， 当x＝8时，y＝1.8×8+2.6＝17， ∴应付车费为17元．故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的函数关系式是解题的关键． 【变式6-1】（2025春•淮安月考）《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？注：1尺＝10寸），如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则图中交点P的横坐标为（　　） A． B． C． D．45 【分析】根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为90寸，然后列出相应的方程，求解即可． 【解答】解：设两图象交点P的横坐标是x，根据它们生长的长度之和为90寸可得： 7x+10x＝90，解得，两图象交点P的横坐标是，故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【变式6-2】（2025秋•南岗区期中）如图，甲的速度比乙的速度每分快（　　） A．米 B．米 C．米 D．2米 【分析】分别求出甲乙的速度，作差即可解答． 【解答】解：分别求出甲乙的速度可得：甲的速度，乙的速度， 作差可得：速度差，故选：B． 【点评】本题考查了路程问题的应用，合理从图中获取相关信息是解题的关键． 【题型一】忽略一次函数中“k≠0”的条件致错 【例1】（2025秋•包河区期中）若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣2﹣1是一次函数，则m的值为（　　） A．3 B．±3 C．﹣3 D．2 【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫作一次函数，由此解答即可． 【解答】解：若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣2﹣1是一次函数， 则|m|﹣2＝1， 解得m±3， ∵m﹣3≠0，∴m≠3，∴m＝﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的定义，绝对值，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 【变式1-1】（2025秋•沈河区期中）已知函数y＝（m﹣1）x|m|+5是一次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．2 【分析】根据“形如y＝kx+b，k≠0的函数叫作一次函数”得|m|＝1，m﹣1≠0，然后求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x|m|+5是一次函数， ∴|m|＝1，m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1；故选：A． 【点评】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2025秋•武侯区期中）下列函数：①y＝4x+3；②；③；④y＝x2；⑤y＝kx+b．其中一定是一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数的一般形式为y＝kx+b（k≠0）判断即可． 【解答】解：①y＝4x+3，②y符合一次函数的定义，故符合题意； ③y属于反比例函数，故不符合题意；④y＝x2属于二次函数，故不符合题意； ⑤y＝kx+b，当k＝0时不是一次函数，故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 【题型二】点的平移与对称变换规律混淆致错 【例2】（2025秋•连江县期中）已知点A（3，a）与B（b，1）关于y轴对称，则a+b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得a，b的值，进而可得答案． 【解答】解：∵点A（3，a）与B（b，1）关于y轴对称， ∴b＝﹣3，a＝1， ∴a+b＝﹣2．故选：A． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 【变式2-1】（2024秋•绛县期末）已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a+b的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出a，b的值，从而得出a+b． 【解答】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3）， ∴a＝3，b＝2， ∴a+b＝3+2＝5．故选：A． 【点评】本题主要考查了关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，比较简单． 【变式2-2】（2025秋•合肥期中）点P（2，﹣4）向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q，则点Q坐标为（　　） A．（5，2） B．（﹣1，﹣10） C．（5，﹣10） D．（﹣1，2） 【分析】根据平移规律“左减右加，上加下减”直接计算即可． 【解答】解：∵点P（2，﹣4）向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q， ∴点Q坐标为（2﹣3，﹣4+6），即（﹣1，2），故选：D． 【点评】本题考查点的平移，熟练掌握点的坐标平移法则是解此题的关键． 【题型三】一次函数双图象共存与k、b的关系判断失误 【例3】（2025秋•五华县期中）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx在同一坐标系中的图象可能为（　　） A．B． C．D． 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得kb的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解答】解：A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0，则kb＜0；由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，故此选项符合题意； B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项不符合题意；故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得kb的符号是关键． 【变式3-1】（2024秋•静安区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝x﹣a和直线y＝ax的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【分析】根据正比例函数图象的位置确定a的取值范围，再利用a的取值范围确定一次函数的位置，则可对A、B、C选项进行判断；根据一次函数的位置可对D进行判断． 【解答】解：A、由正比例函数图象得a＞0，则直线y＝x﹣a与y轴的交点在x轴下方，所以A选项错误； B、由正比例函数图象得a＜0，则直线y＝x﹣a与y轴的交点在x轴上方，所以B选项正确； C、由正比例函数图象得a＜0，则直线y＝x﹣a与y轴的交点在x轴上方，所以C选项错误； D、由一次函数经过第一、三象限，所以D选项错误．故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）作直线y＝kx+b．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象． 【题型四】实际应用中忽略自变量的取值范围致错 【例4】（2025秋•兰州期中）拖拉机开始工作时，油箱中有油24升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的剩余油量y（升）和工作时间x（时）之间的函数关系式是y＝24﹣4x ，自变量x必须满足　0≤x≤6　 ． 【分析】根据余油量＝原有油量﹣用油量，时间应≥0，用油量不能超过原有油量得出． 【解答】解：依题意有：y＝24﹣4x， 时间应≥0，用油量不能超过原有油量， ∴4x≤24，解得x≤6．∴0≤x≤6． 故答案为：y＝24﹣4x，0≤x≤6． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．要注意耐心寻找等量关系． 【变式4-1】（2025秋•莱芜区期中）为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的，某市规定如下用水收费标准，每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米a元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按b元收费．该市某户今年九、十月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（m3） 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为x（m3）（x＞6）应交水费为y（元），写出y与x之间的关系式　 ． 【分析】先根据九、十月份的用水量和水费即可算出a的值，再根据4月份的用水量和水费即可算出b的值，根据题意当x＞6时，水费分为两部分，再由不超过6m3的部分加上超过6m3的部分，列式即可得出答案． 【解答】解：根据题意可得，4a＝12，解得：a＝3，6×3+4b＝34，解得：b＝4． ∴y＝4（x﹣6）+6×3＝4x﹣6（x＞6）．故答案为：y＝4x﹣6（x＞6）． 【点评】本题主要考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式进行求解是解决本题的关键． 【变式4-2】（2025秋•任城区月考）利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABFE和矩形EFCD．设AB边的长为x米．BC边长为y米．写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围：　　 ； 【分析】设AB边的长为x米．BC边长为y米．利用两宽加上一长等于30即可得出函数关系即可； 【解答】解：设AB边的长为x米．BC边长为y米． 根据题意得3x+y＝30， ∴y＝30﹣3x， 解得，故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的实际应用，解不等式组，根据题目的条件，利用矩形的面积计算方法列出公式是解题的关键． 【题型五】实际问题中两条直线关系理解不清 【例5】（2025•景宁县二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为60km/h C．乙车出发2h时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距60km 【分析】由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程300km，乙车行完全程用3小时，得速度为100km，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距50km可判断D． 【解答】解：甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数图象如图所示， 由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误； 由图象得全程300km，乙车行完全程用5﹣2＝3（h），平均速度为300÷3＝100（km），故选项B错误； 设甲车行驶的图象为y＝kx，把（6，300）代入得：6k＝300，解得k＝50，所以，y＝50x， 设乙车行驶的图象为y＝mx+n，由题意可得：，∴， 所以，y＝100x﹣200，联立，解得x＝4， ∴乙车出发4﹣2＝2（h）时，追上了甲车，故选项C正确； 由图象得A，B两地的距离为300km，甲车速度为300÷6＝50（km/h）， 所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距50×（6﹣5）＝50km，故选项D错误；故选：C． 【点评】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式5-1】（2025秋•合肥期中）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（单位：h）．两车之间的距离为y（单位：km）．图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列结论：①a＝3.75；②当快车到达终点时，普通列车距离甲地540km；③普通列车行驶8h时，到达终点甲地；④经过或两车相距60km． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】折线分三段：第一段两车相向而行，第二段背向而行至动车到达乙地，第三段普通列车行至甲地（动车停止）． ①a时刻是相遇后两车相距270千米的时刻，根据两车行驶3小时后相遇，求出两车的速度和，再用（270+1080）除以两车的速度和，即可得到此时所用的时间，即可求出a的值；②由函数图象可得4.5h时，动车到达终点，再根据初始时刻y＝1080，即为甲乙两地的距离，进而求出动车的速度，即可求出普通列车的速度，用甲乙两地的距离减去普通列车行驶的路程即可得到此时普通列车距离甲地的距离；③用甲乙两地的距离除以普通列车的速度，即可得到普通列车到达终点甲地的时间；④设经过xh，两车相距60km，列方程解答验证是否是240÷3＝80（km/h）或． 【解答】解：由图象可得，两车的速度和为1080÷3＝360（km/h），a＝（1080+270）÷360＝3.75，故①正确；由函数图象可得4.5h时，动车到达终点，甲乙两地的距离为1080km， 动车的速度为1080÷4.5＝240（km/h），则普通列车的速度为360﹣240＝120（km/h）， 1080﹣4.5×120＝540（km）， 则当快车到达终点时，普通列车距离甲地540km，故②正确； 普通列车到达终点甲地的时间为1080÷120＝9（h），故③错误；设经过xh，两车相距60km， 相遇前：（120+240）x+60＝1080，得；相遇后：（120+240）x﹣60＝1080，得； 即经过或两车相距60km，故④正确； 综上，正确的结论有①②④． 故选：B．【点评】本题考查函数图象的应用，熟练掌握图象相关数据是解题的关键． 【变式5-2】（2024秋•中宁县期末）一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示，则下列结论中错误的是（　　） A．相遇时快车行驶了150千米 B．慢车行驶速度为60千米/小时 C．甲、乙两地的路程是400千米 D．快车出发后4小时到达乙地 【分析】根据图象可知：甲乙两地之间的路程是400千米，快车行驶250千米、慢车行驶150千米相遇，用时为2.5小时，由此可以求出快车、慢车平均每小时行驶的速度，进而得出答案． 【解答】解：观察图象可知：甲乙两地之间的路程是400千米，故C选项正确，不符合题意； 相遇时快车行驶的路程：400﹣150＝250（千米），故A选项错误，符合题意； 慢车速度为：150÷2.5＝60（千米/时），故B选项正确，不符合题意； 快车的速度：250÷2.5＝100（千米/时），用时400÷100＝4（小时），故D选项正确，不符合题意．故选：A． 【点评】本题考查一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图获取信息先求出慢车的速度以及相遇时快车行驶的路程是解题的关键． 【题型一】平面直角坐标系中点的变换快速求解 核心技巧：牢记“平移规律口诀”和“对称变换坐标法则”，可通过画图辅助验证 【例1】（2025•沭阳县模拟）已知点P（0，﹣4），Q（6，1），将线段PQ平移至P1Q1，点P，Q的对应点分别为点P1，Q1，若P1（m，﹣3），Q1（3，n），则m﹣n的值是　﹣5　 ． 【分析】根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”得出平移规律，求出m，n的值即可解答． 【解答】解：根据题意可知， 解得：m＝﹣3，n＝2， ∴m﹣n＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查平移的坐标与图形变化，熟练掌握该知识点是关键． 【变式1—1】（2025春•新县期末）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，AB∥x轴，AC∥y轴，且AB＝4，AC＝3．P（a，b）为三角形ABC内一点，将三角形ABC平移，当平移后得到的三角形A1B1C1的一顶点落在原点上时，点P的对应点P1的坐标为（a﹣6，b﹣4），则点A的坐标为 　　 ． 【分析】对落在原点上的点进行分类讨论，再结合平移的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知，因为点P（a，b）平移后对应点P1的坐标为（a﹣6，b﹣4）， 所以是向左平移6个单位长度，向下平移4个单位长度． 当平移后点A的对应点在原点处时，点A的坐标为（6，4）． 当平移后点B的对应点在原点处时，点B的坐标为（6，4）， 则点A的坐标为（2，4）．当平移后点C的对应点在原点处时， 点C的坐标为（6，4）， 则点A的坐标为（6，1）．故答案为：（6，4）或（2，4）或（6，1）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 【变式1—2】（2025秋•铁西区期中）在同一直角坐标系中，一个学生误将点A的横、纵坐标的次序颠倒，写为A（a，b），另一个学生误将点B的坐标看成关于y轴对称的点的坐标，写为B（﹣b，﹣a），则A，B两点原来的位置关系是关于 x 轴对称．（填“x”或“y”） 【分析】根据题意，写出A，B两点原来的坐标，据此得出对称关系即可． 【解答】解：由题知，因为点A的横、纵坐标的次序颠倒后为（a，b）， 所以点A坐标为（b，a）； 因为点B关于y轴对称的点的坐标为（﹣b，﹣a）， 所以点B坐标为（b，﹣a）， 所以点A和点B关于x轴对称．故答案为：x． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称及关于x轴、y轴对称的点的坐标，能根据题意求出点A和点B的坐标，并据此得出对称关系是解题的关键． 【题型二】一次函数解析式求解的快捷方法 核心技巧：若已知直线过原点，直接设y=kx；若已知与y轴交点(0,b)，直接设y=kx+b，减少未知数个数；两点式求k值可直接用“k=”（x1≠x2），另外特殊情况需要分类讨论，切勿漏解. 【例1】（2025春•石景山区期中）一个一次函数的图象经过点（﹣2，3），且与坐标轴围成的直角三角形有两边相等时，这个一次函数的表达式为　 ． 【分析】设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由题意b≠0，图象与两轴交点分别为，根据与坐标轴围成的直角三角形有两边相等可得k＝±1，再把（﹣2，3）代入y＝±x+b中即可算出b的值即可． 【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由题意b≠0， 图象与两轴交点分别为，∵函数图象与坐标轴围成的直角三角形有两边相等， ∴，解得k＝±1，把点（﹣2，3）代入y＝±x+b中， 当k＝1时，3＝﹣2+b，解得b＝5； 当k＝﹣1时，3＝﹣（﹣2）+b，解得b＝1； 所以，函数解析式为y＝x+5或y＝﹣x+1．故答案为：y＝x+5或y＝﹣x+1． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，理解题意、确定k的取值是解题的关键． 【变式1—1】（2025春•攸县期末）已知一次函数y＝kx+b（k＜0），当0≤x≤2时，对应的函数y的取值范围是﹣2≤y≤4，b的值为　4　 ． 【分析】由一次函数的性质，求解即可． 【解答】解：当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数， ∴当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝﹣2， 代入一次函数解析式y＝kx+b得：， 解得，故答案为：4 【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质解答． 【变式1—2】（2025秋•福田区期中）如图，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线BC交x轴于点C且与直线AB构成的夹角∠CBA＝45°，则直线BC的解析式为　 ． 【分析】依据题意，由直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，可得A（﹣1，0），B（0，2），从而OA＝1，OB＝2，然后分两种情形分析即可计算得解． 【解答】解：由题意，∵直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A（﹣1，0），B（0，2）．∴OA＝1，OB＝2．分两种情形， ①当C在x轴负半轴上，如图1，过A作AD⊥AB交BC于D，再过D作DE⊥x轴于E， ∵∠CBA＝45°，∴∠ADB＝∠CBA＝45°，∴AD＝BA． ∵∠DAE+∠∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DAE＝∠ABO． 又∵∠DEA＝∠AOB＝90°，∴△DEA≌△AOB（AAS）． ∴DE＝AO＝1，EA＝OB＝2．∴OE＝AE+AO＝3．∴D（﹣3，1）． 又∵B（0，2），∴此时直线BC为yx+2． ②当C在x轴正半轴上，如图2，过A作AD⊥AB交BC于D，再过D作DE⊥x轴于E， ∵∠CBA＝45°，∴∠ADB＝∠CBA＝45°，∴AD＝BA． ∵∠DAE+∠∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠DAE＝∠ABO．又∵∠DEA＝∠AOB＝90°， ∴△DEA≌△AOB（AAS）．∴DE＝AO＝1，EA＝OB＝2． ∴OE＝AE﹣AO＝1．∴D（1，﹣1）．又∵B（0，2）， ∴此时直线BC为y＝﹣3x+2．综上，直线BC为yx+2或y＝﹣3x+2． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并灵活运用一次函数的性质是关键． 【题型三】一次函数图象判断的“两步法” 核心技巧：第一步根据k的符号判断直线倾斜方向（k>0上升，k<0下降）；第二步根据b的符号判断直线与y轴交点位置（b>0上，b<0下），两步结合锁定图象 【例1】（2024秋•文登区期末）直线y1＝mx+n和y2＝﹣nx+m在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　　） A．B．C．D． 【分析】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．利用一次函数的性质进行判断． 【解答】解：由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＞0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＜0，m、n前后矛盾，所以A不合题意； 由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＜0，m、n前后一致，所以B符合题意；由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＞0，m、n前后矛盾，所以C不合题意；由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＞0，m＞0，m、n前后矛盾，所以D不合题意；故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 【变式1—1】（2025•潮阳区三模）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，∴k＜0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限； ∵kb＜0，∴b＞0，∴图象与y轴的交点在x轴上方， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 【变式1—2】（2025秋•深圳期中）一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则一次函数y＝bx﹣b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 【分析】根据已知一次函数的图象可得b＞0，然后确定一次函数y＝bx﹣b的图象即可确定答案． 【解答】解：由一次函数y＝﹣x+b的图象可得b＞0， ∴一次函数y＝bx﹣b的图象经过第一、三、四象限． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的解析式结合一次函数图象与系数的关系找出函数图象经过的象限是关键． 【题型四】利用函数图象解不等式的“直观法” 核心技巧：对于y1=k1x+b1和y2=k2x+b2，求y1>y2的解集，即找直线y1在直线y2上方对应的x取值范围 【例4】（2025•南明区二模）如图，已知直线y1＝2x+3与直线y2＝kx+b（k≠0）交于点（n，6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为 x　 ． 【分析】先求出交点的坐标，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：将点（n，6）代入y＝2x+3得，n，由函数图象可知， 当x时，一次函数y1＝2x+3的图象不在一次函数y2＝kx+b图象的上方，即kx+b≥2x+3， 所以关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为：x．故答案为：x． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【变式4—1】（2025秋•怀宁县期中）在平面直角坐标系中，已知函数y＝kx﹣k+2（k＞2），则下列图象可能是该函数的是（　　） A．B． C．D． 【分析】根据k＞2可判断函数的增减性以及与y轴的交点，从而可得正确选项． 【解答】解：由条件可知函数y随x的增大而增大，﹣k+2＜0， ∴直线与y轴交于负半轴，当x＝1时，y＝2，只有选项B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 【变式4—2】（2025春•锦州期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与直线yx相交于点H，其纵坐标为1，则关于x的不等式kx+bx的解集是 x＞﹣2　 ． 【分析】由图象得到直线y＝kx+b（k≠0）落在直线的上方对应的x的取值即为所求． 【解答】解：把y＝1代入，得． 所以x＝﹣2， 所以直线y＝kx+b（k≠0）与直线相交于点H（﹣2，1）， 所以关于x的不等式的解集是x＞﹣2， 故答案为：x＞﹣2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出H点的坐标是解答本题的关键． 【题型五】实际应用问题的“建模技巧” 核心技巧：分析题目中“谁随谁变化”确定自变量和因变量；分段计费问题找准分段点，分区间列解析式；结合图象时关注交点、起点、终点等关键坐标的实际意义 【例5】（2025秋•西安期中）一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后的总长度与所挂重物的质量满足一次函数关系，若挂上1kg的物体后，弹簧总长为14cm，当弹簧总长为15cm时，所挂的物体重　　 kg． 【分析】设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式，进而求出y＝15时的自变量的值即可． 【解答】解：设y＝kx+b，由题意，得：，解得， ∴y＝2x+12， ∴当y＝2x+12＝15时，；故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键． 【变式5—1】（2025秋•市北区期中）小李想在某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤（x＞15），付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为　 ． 【分析】依据题意付款金额＝单价×数量解答即可建立函数关系式． 【解答】解：∵该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折， 由题意得：y＝5×15+（x﹣15）×0.8×5＝4x+15， 故答案为：y＝4x+15（x＞15）． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 【变式5—2】（2025•济阳区模拟）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，那么一箱汽油可供汽车行驶 　　 小时． 【分析】利用待定系数法求出y与t的函数关系式，将y＝0代入该函数关系式，求出对应x的值即可． 【解答】解：y与t的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（0，25）和（2，10）分别代入y＝kx+b，得， 解得，∴y与t的函数关系式为yx+25， 当y＝0时，得x+25＝0，解得x，∴一箱汽油可供汽车行驶小时． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． 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