专题02 实数（含二次根式）（5知识&7题型&3易错&5方法清单）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

专题2 实数（含二次根式）（5知识&7题型&3易错&5方法清单） 【清单01】实数的概念与分类 【清单02】实数的性质和大小比较 . 【清单03】二次根式的概念与性质 . 【清单04】二次根式的运算 . 【清单05】实数（含二次根式）的实际应用 . 【题型一】实数的概念与分类 【例1】（2025秋•锡山区期中）下列数是有理数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案． 【解答】解：是有理数，故选项A符合题意； ，，是无理数，故选项B，C，D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查实数，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【变式1-1】（2025秋•盐城期中）下列数中，属于无理数的是（　　） A．1 B． C．﹣2 D． 【分析】根据无理数的定义逐项分析即可． 【解答】解：A、1是整数，属于有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、﹣2是整数，属于有理数，不符合题意； D、是分数，属于有理数，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查的是无理数的定义，熟知无限不循环小数叫作无理数是解题的关键． 【变式1-2】（2025秋•江阴市期中）在实数、、、0.101001…中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个实数是否为无理数即可． 【解答】解：是分数，属于有理数； ，π是无理数； 0是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 0.101001是有限小数，属于有理数； ∴无理数有和π，共2个．故选：B． 【点评】本题考查的是无理数的定义，熟知无限不循环小数叫作无理数是解题的关键． 【题型二】实数的性质（相反数、倒数、绝对值） 【例2】．（2024秋•即墨区期末）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据绝对值的性质求出的绝对值，然后根据各个选项的答案进行判断即可． 【解答】解：∵， ∴A、B、C选项均不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了实数的性质，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【变式2-1】（2025•东昌府区二模）的相反数是（　　） A．﹣2 B．±2 C．4 D．±4 【分析】先求出，再利用相反数的定义即可得出答案． 【解答】解：易知：， 而2的相反数是﹣2， ∴的相反数是﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了相反数，算术平方根，解题的关键是掌握相反数的定义． 【变式2-2】（2025•冠县二模）实数a的绝对值是，则实数a是（　　） A．2025 B．±2025 C． D． 【分析】根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；即可求解． 【解答】解：根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数可得： 的绝对值是，则实数a是． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的意义，实数的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 【题型三】实数的大小比较 【例3】（2025秋•碑林区期中）下列实数中最大的是（　　） A．3.14 B． C．π D． 【分析】先求出，5.196，π≈3.14156，然后再比大小即可． 【解答】解：∵，5.196，π≈3.14156， ∴5.196＞3.14156＞3.14＞3，即． 故选：B． 【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，掌握实数的大小比较方法，算术平方根的定义是解题的关键． 【变式3-1】（2025•苏州二模）下列实数中，比4小的数是（　　） A．5 B．4 C．4.5 D．﹣1 【分析】根据在数轴上，原点左边的数总比右边的数小进行比较即可． 【解答】解：比4小的数是﹣1． 故选D． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【变式3-2】（2025秋•邳州市期中）下面无理数大于3，并且小于4的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用夹逼法估算每个无理数的取值范围判断即可． 【解答】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项不符合题意； C、∵，∴，故此选项符合题意； D、∵，∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，无理数，正确计算是解题的关键． 【题型四】二次根式有意义的条件 【例4】（2025•连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 【变式4-1】（2025秋•辽中区期中）已知函数，那么x不能取的数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【分析】根据二次根式有意义的条件即可判断． 【解答】解：∵y， ∴2+x≥0，∴x≥﹣2，故选：A． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中，被开方数必须大于或等于0． 【变式4-2】（2025秋•天元区期中）如图，x的取值范围在数轴上表示如下，满足该范围的任意x的值都能使下列二次根式有意义的选项是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据数轴判断出x的取值范围，再根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0逐项进行判断即可． 【解答】解：x的取值范围在数轴上表示如下， A、当﹣1≤x＜0时，没有意义，故此选项不符合题意； B、当﹣1≤x＜1时，没有意义，故此选项不符合题意； C、当﹣1≤x＜2时，没有意义，故此选项不符合题意； D、当x≥﹣1时，有意义，故此选项符合题意．故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．正确记忆知识点是解题关键． 【题型五】二次根式的性质应用 【例5】（2025春•西陵区期中）将a化简后的结果正确的答案是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到a＜0，再利用二次根式的性质得原式，然后约分即可． 【解答】解：∵0， ∴a＜0， ∴原式＝﹣（﹣a） ．故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用二次根式的基本性质进行化简． 【变式5-1】（2025秋•榕城区期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据非负数的性质确定出m2+1≥1，﹣m2﹣1≤﹣1，则，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】解：∵m2+1≥1，﹣m2﹣1≤﹣1， ∴， ∴点A在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 【变式5-2】（2025秋•天桥区期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图，则化简|a﹣b|的结果是（　　） A．b B．b﹣2a C．2a﹣b D．﹣b 【分析】由数轴得a＜0，b＞0，进而得出a﹣b＜0，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可． 【解答】解：由数轴得a＜0，b＞0， ∴a﹣b＜0， ∴|a﹣b||a﹣b|﹣|a|＝b﹣a﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，正确计算是解题的关键． 【题型六】二次根式的运算（加减乘除、混合运算） 【例6】（2025秋•上海期中）计算：　　 ． 【分析】先根据积的乘方逆运算，将其变形为，再由平方差公式计算． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算，积的乘方逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式6-1】（2025秋•九龙坡区月考）计算：　　 ． 【分析】先进行乘法运算，再进行加减运算即可． 【解答】解：； 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握其相关知识点是解题的关键． 【变式6-2】（2025•丰南区三模）若，则a的值为 　5　 ． 【分析】先将化简，再合并同类二次根式得到（a+1）＝6，再利用二次根式的除法法则运算得到a+1＝6，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵， ∴5（a+1）， 即（a+1）＝6， ∴a+16， 解得a＝5．故答案为：5． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键． 【题型七】实数（含二次根式）的实际应用 【例7】（2025秋•龙华区期中）已知长方形的长，宽． （1）求长方形的周长； （2）求与长方形等面积的正方形的边长，并比较正方形的周长与长方形周长的大小关系． 【分析】（1）根据长方形的周长列式，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）先求长方形的面积，可求得与长方形等面积的正方形的面积，即得该正方形的边长，再计算该正方形的周长，即可得到答案． 【解答】解：（1）已知长方形的长，宽． 当，时， 长方形的周长为； （2）长方形的面积为：， ∴与长方形等面积的正方形的面积为12， ∴与长方形等面积的正方形的边长为， ∴与长方形等面积的正方形的周长为，∵，∴长方形周长大． 【点评】本题考查了二次根式的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 【变式7-1】（2025春•章贡区期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x，求剩余部分的面积． 【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可； （2）根据（1）所列出的式子，再把a＝20+2，b＝20﹣2，x代入即可求出答案． 【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2； （2）把a＝20+2，b＝20﹣2，x代入ab﹣4x2得： （20+2）（20﹣2）﹣4×（）2 ＝400﹣8﹣4×2 ＝400﹣8﹣8 ＝384． 【点评】此题主要考查二次根式的应用，用代数式表示正方形、矩形的面积，需熟记公式，且认真观察图形，得出等量关系． 【题型一】忽略二次根式有意义的条件致错 【例1】（2025秋•伊川县期中）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0 【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不能为0即可求得答案． 【解答】解：若在实数范围内有意义， 则x+3≥0且x≠0， 解得：x≥﹣3且x≠0， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件及分母不能为0，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键． 【变式1-1】（2025秋•静安区期中）若，则x的取值范围是（　　） A．x≤0 B．x≥﹣4 C．﹣4≤x≤0 D．﹣4≤x＜0 【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可． 【解答】解：由题意得， ∴﹣4≤x≤0， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，熟知以上知识是解题的关键． 【变式1-2】（2025秋•雨城区期中）二次根式有意义，则m的值可以是（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：m﹣2＞0， 解得：m＞2， ∴m的值可以是3， 故选：C． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 【题型二】二次根式运算规则误用致错 【例2】（2025秋•嘉定区月考）化简：　　 ． 【分析】根据二次根式﹣a2b≥0，解得a＜0，b≤0，然后化简即可． 【解答】解：根据题意﹣a2b≥0，，a≠0， ∴a2b＜0， ∵a2＞0， ∴b≤0， ∴a＜0， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次根式化简，根据二次根式确定a＜0，b≤0是解题的关键． 【变式2-1】二次根式混合运算中，运算顺序错误 （2025•游仙区开学）计算：　　 ． 【分析】利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【变式2-2】（2025•南岗区二模）定义一种新运算：，则2☆8＝　﹣4　 ． 【分析】根据新定义运算并结合二次根式的性质以及二次根式的减法法则计算即可得解． 【解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 【题型三】实数大小比较方法不当致错 【例3】（2025秋•成华区期中）比较大小：　　 ；2　　 3（填“＜”“＞”或“＝”）． 【分析】先估计的大小，确定1＜1，可比较大小；将2和3分别化简为和，即可比较大小． 【解答】解：∵12， ∴01＜1， ∴； ∵2，3， ∴23； 故答案为：＜，＞． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握二次根式的化简． 【变式3-1】（2025秋•奉贤区期中）比较大小：　＞　 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】先将变形为，再根据两个负数比较，绝对值大的反而小得出比较结果即可． 【解答】解：， ∵，， 又∵， ∴， 即， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 【变式3-2】（2025秋•晋江市期中）比较大小：　　 5（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【分析】先估算的大小，在估算的大小，从而比较与5的大小即可． 【解答】解：∵， ∴， ， ∴， 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 【题型一】无理数的识别方法 核心技巧：抓住“无限不循环”本质，排除有限小数、无限循环小数、开方开得尽的数 【例1】（2025秋•青山区期中）在实数，5，，，0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）选出即可． 【解答】解：∵ 是开方开不尽的数，是无理数，符合题意； ∵5 是整数，是有理数，不符合题意； ∵，是整数，是有理数，不符合题意； ∵ 中 π 是无理数，除以有理数 3 仍为无理数，符合题意； ∵0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）是无限不循环小数，是无理数，符合题意； ∴无理数有 、、0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），共 3 个， 故选：C． 【点评】本题考查了无理数、算术平方根以及立方根，掌握无理数的定义是解题的关键． 【变式1—1】（2025秋•成华区期中）在3.14159，0.1020020002…（每相邻两个2之间依次增加一个0），0，0.103003003，7π，中，其中无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：在3.14159，0.1020020002…（每相邻两个2之间依次增加一个0），0，0.103003003，7π，中，无理数有0.1020020002…（每相邻两个2之间依次增加一个0）7π，，共3个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数． 【题型二】二次根式有意义的条件求解方法 核心技巧：列出不等式a≥0（单个二次根式）；结合分式时需同时满足a≥0且分母≠0（多个条件并列）适用场景：求字母取值范围、进而求代数式的值 【例2】（2025秋•上海期中）已知实数a满足，那么a的值为　13　 ． 【分析】根据根式的定义域确定 a 的取值范围，化简绝对值表达式后求解方程． 【解答】解：由由条件可知 a﹣4≥0，即 a≥4， 当 a≥4 时，|3﹣a|＝a﹣3，代入原方程得化简得：， 两边平方得：a﹣4＝9， 解得：a＝13， 经检验，a＝13 满足原方程， 故答案为：13． 【点评】本题主要考查绝对值的化简，二次根式有意义的条件，掌握以上知识的计算是关键． 【变式2—1】（2025秋•金牛区期中）若，则x﹣y的值为　3　 ． 【分析】根据题意得到，得到x＝5，则y＝2，代入计算即可求解． 【解答】解：由题可得， 解得x＝5， 把x＝5代入得y＝2， 则x﹣y＝5﹣2＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，代入求值，掌握二次根式有意义的条件得到x，y的值是解题的关键． 【变式2—2】（2025秋•武侯区期中）实数x、y满足，则yx＝　3　 ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式组，解不等式组求出x，进而求出y，再根据实数的平方计算即可． 【解答】解：由题意得：2﹣x≥0且x﹣2≥0， 解得：x＝2， ∴y， 则yx＝（）2＝3，故答案为：3． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【题型三】的化简技巧 核心技巧：先判断a的正负性，再根据√(a²)=|a|化简（a≥0时为a，a<0时为-a） 适用场景：含字母的二次根式化简、绝对值与二次根式结合的题目 【例3】（2025•包头模拟）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|的结果是 　　 ． 【分析】根据a在数轴上的位置判断出其符号及a﹣1和a﹣2的符号，再化简绝对值和二次根式即可． 【解答】解：由数轴可得，1＜a＜2，则a﹣1＞0，a﹣2＜0， ∴|a﹣1|（a﹣1）﹣|a﹣2|＝（a﹣1）﹣（2﹣a）＝2a﹣3， 故答案为：2a﹣3． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，解题的关键是熟知负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身以及． 【变式3—1】（2025秋•黄浦区期中）化简： 　　 ． 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可． 【解答】解：原式＝2m．故答案为：2m． 【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式3—2】（2025秋•静安区期中）把根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是　．　 ． 【分析】由根号下的表达式 可知，a﹣b＜0，因此移动因式时需考虑符号，利用二次根式的性质进行化简． 【解答】解：由条件得，∴a﹣b＜0， ∴设t＝a﹣b，则 t＜0，原式为， ∴， 代入 t＝a﹣b，得原式．故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握该知识点是关键． 【题型四】二次根式加减运算技巧 核心技巧：“先化简，再合并”，同类二次根式才可合并，非同类二次根式不能合并适用场景：二次根式加减运算、混合运算中加减步骤 【例4】（2024秋•沁源县期末）计算： 　　 ． 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【解答】解： ＝9106 ＝13， 故答案为：13． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 【变式4—1】（2025•山西模拟）计算：　　 ． 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解． 【解答】解：根据二次根式的性质化简可得： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的加法，正确进行计算是解题关键． 【变式4—2】（2025春•临沧期末）计算：　　 ． 【分析】先求出，再化简绝对值，再进行加减计算即可． 【解答】解：原式4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了实数的性质，二次根式的加减法，掌握相应的运算法则是关键． 【题型五】实数大小比较技巧 核心技巧： 数轴法：利用数轴上点的位置关系比较 平方法：适用于两个正实数，平方大的原数大 差值法：a-b>0则a>b，a-b=0则a=b，a-b<0则a<b 适用场景：不同类型实数（有理数、无理数）的大小比较 【例5】（2025秋•靖江市期中）比较大小： 　＞　 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】根据与都为正数，利用完全平方公式进行二次根式化简，然后比较大小即可． 【解答】解：根据题意得：，， 则，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握有关实数大小比较的方法是解题关键． 【变式5—1】（2025秋•浦东新区月考）比较大小： 　＜　 ． 【分析】根据，得0，从而得，由此即可得出答案． 【解答】解：∵，， 又∵0， ∴， ∴． 故答案为：＜． 【点评】此题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较的方法与技巧是解决问题的关键． 【变式5—2】（2025秋•金水区期中）比较大小：　＞　 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 【分析】比较与平方的大小即可． 【解答】解：比较与平方的大小可得： ，， ∵， ∴．故答案为：＞． 【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 实数（含二次根式）（5知识&7题型&3易错&5方法清单） 【清单01】实数的概念与分类 【清单02】实数的性质和大小比较 . 【清单03】二次根式的概念与性质 . 【清单04】二次根式的运算 . 【清单05】实数（含二次根式）的实际应用 . 【题型一】实数的概念与分类 【例1】（2025秋•锡山区期中）下列数是有理数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025秋•盐城期中）下列数中，属于无理数的是（　　） A．1 B． C．﹣2 D． 【变式1-2】（2025秋•江阴市期中）在实数、、、0.101001…中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】实数的性质（相反数、倒数、绝对值） 【例2】．（2024秋•即墨区期末）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025•东昌府区二模）的相反数是（　　） A．﹣2 B．±2 C．4 D．±4 【变式2-2】（2025•冠县二模）实数a的绝对值是，则实数a是（　　） A．2025 B．±2025 C． D． 【题型三】实数的大小比较 【例3】（2025秋•碑林区期中）下列实数中最大的是（　　） A．3.14 B． C．π D． 【变式3-1】（2025•苏州二模）下列实数中，比4小的数是（　　） A．5 B．4 C．4.5 D．﹣1 【变式3-2】（2025秋•邳州市期中）下面无理数大于3，并且小于4的是（　　） A． B． C． D． 【题型四】二次根式有意义的条件 【例4】（2025•连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 【变式4-1】（2025秋•辽中区期中）已知函数，那么x不能取的数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【变式4-2】（2025秋•天元区期中）如图，x的取值范围在数轴上表示如下，满足该范围的任意x的值都能使下列二次根式有意义的选项是（　　） A． B． C． D． 【题型五】二次根式的性质应用 【例5】（2025春•西陵区期中）将a化简后的结果正确的答案是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025秋•榕城区期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-2】（2025秋•天桥区期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图，则化简|a﹣b|的结果是（　　） A．b B．b﹣2a C．2a﹣b D．﹣b 【题型六】二次根式的运算（加减乘除、混合运算） 【例6】（2025秋•上海期中）计算：　　 ． 【变式6-1】（2025秋•九龙坡区月考）计算：　　 ． 【变式6-2】（2025•丰南区三模）若，则a的值为 　　 ． 【题型七】实数（含二次根式）的实际应用 【例7】（2025秋•龙华区期中）已知长方形的长，宽． （1）求长方形的周长； （2）求与长方形等面积的正方形的边长，并比较正方形的周长与长方形周长的大小关系． 【变式7-1】（2025春•章贡区期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x，求剩余部分的面积． 【题型一】忽略二次根式有意义的条件致错 【例1】（2025秋•伊川县期中）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0 【变式1-1】（2025秋•静安区期中）若，则x的取值范围是（　　） A．x≤0 B．x≥﹣4 C．﹣4≤x≤0 D．﹣4≤x＜0 【变式1-2】（2025秋•雨城区期中）二次根式有意义，则m的值可以是（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 【题型二】二次根式运算规则误用致错 【例2】（2025秋•嘉定区月考）化简：　　 ． 【变式2-1】二次根式混合运算中，运算顺序错误 （2025•游仙区开学）计算：　　 ． 【变式2-2】（2025•南岗区二模）定义一种新运算：，则2☆8＝　　 ． 【题型三】实数大小比较方法不当致错 【例3】（2025秋•成华区期中）比较大小：　　 ；2　　 3（填“＜”“＞”或“＝”）． 【变式3-1】（2025秋•奉贤区期中）比较大小：　　 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【变式3-2】（2025秋•晋江市期中）比较大小：　　 5（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【题型一】无理数的识别方法 核心技巧：抓住“无限不循环”本质，排除有限小数、无限循环小数、开方开得尽的数 【例1】（2025秋•青山区期中）在实数，5，，，0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1—1】（2025秋•成华区期中）在3.14159，0.1020020002…（每相邻两个2之间依次增加一个0），0，0.103003003，7π，中，其中无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型二】二次根式有意义的条件求解方法 核心技巧：列出不等式a≥0（单个二次根式）；结合分式时需同时满足a≥0且分母≠0（多个条件并列）适用场景：求字母取值范围、进而求代数式的值 【例2】（2025秋•上海期中）已知实数a满足，那么a的值为　　 ． 【变式2—1】（2025秋•金牛区期中）若，则x﹣y的值为　　 ． 【变式2—2】（2025秋•武侯区期中）实数x、y满足，则yx＝　　 ． 【题型三】的化简技巧 核心技巧：先判断a的正负性，再根据√(a²)=|a|化简（a≥0时为a，a<0时为-a） 适用场景：含字母的二次根式化简、绝对值与二次根式结合的题目 【例3】（2025•包头模拟）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|的结果是 　　 ． 【变式3—1】（2025秋•黄浦区期中）化简： 　　 ． 【变式3—2】（2025秋•静安区期中）把根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是　．　 ． 【题型四】二次根式加减运算技巧 核心技巧：“先化简，再合并”，同类二次根式才可合并，非同类二次根式不能合并适用场景：二次根式加减运算、混合运算中加减步骤 【例4】（2024秋•沁源县期末）计算： 　　 ． 【变式4—1】（2025•山西模拟）计算：　　 ． 【变式4—2】（2025春•临沧期末）计算：　　 ． 【题型五】实数大小比较技巧 核心技巧： 数轴法：利用数轴上点的位置关系比较 平方法：适用于两个正实数，平方大的原数大 差值法：a-b>0则a>b，a-b=0则a=b，a-b<0则a<b 适用场景：不同类型实数（有理数、无理数）的大小比较 【例5】（2025秋•靖江市期中）比较大小： 　　 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【变式5—1】（2025秋•浦东新区月考）比较大小： 　　 ． 【变式5—2】（2025秋•金水区期中）比较大小：　　 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 学科网（北京）股份有限公7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $