第二十五章 概率的求法与应用 单元核心素养测评卷 2025-2026学年北京版（2013）九年级下册数学

第二十五章 概率的求法与应用 一、单选题 1．一个不透明的袋子中有1个红球，1个绿球和个白球， 这些球除颜外都相同． 从袋中随机摸出一个球， 记录其颜色， 然后放回． 大量重复该实验， 发现摸到绿球的频率稳定于， 则白球的个数的值可能是 （     ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．某厂从生产的一批零件中抽取2000个进行质量检查，结果发现有10个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（　　） A． B． C． D． 3．一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有（    ） A．12个 B．15个 C．16个 D．17个 4．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概率是 （   ） A． B． C． D．以上都不对 5．不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是（　　） A． B． C． D． 6．下列实验中，概率最大的是（   ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面 B．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别刻有数字1到6），掷出的点数为偶数 C．在一副洗匀的52张扑克牌（背面朝上）中任取一张，恰好为黑桃 D．三张同样的纸片，分别写有数字1，3，4，和匀后背面朝上，任取一张恰好为奇数 7．从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是（ ） A．0 B． C． D． 8．妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（1）小阳、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球（除颜色不同外其余都相同），得到红球为“看”，得到白球为“不看”，小阳先摸，另一球留给小刚，这个游戏对双方是 （填“公平”或“不公平”）的． （2）小敏所在的班级中有位同学的身高是5m，这是 事件． 10．一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 ． 11．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字－1，－2，3，4．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是 . 12．从，，3三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于 ． 13．如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏．游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分．谁先累积得到10分，谁就获胜，你认为 （甲或乙）获胜的可能性更大． 14．有四张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、菱形，从这四张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ． 三、解答题 15．小颖为班级联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了面积相等的三个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了（红色与蓝色能配成紫色）．请利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率是多少？ 16．转动如图所示的圆形转（转盘中各个扇形的面积相等），转盘停止时，指针随机指向一个扇形． 转动次数 获得“看电影”的次数 (1)转动一次指向“零食”的概率为______；“文具”所占的圆心角度数总和为______； (2)将扇形上的文字项目重新填写，在八个面上分别写上“看电影”“打篮球”“唱歌”三种项目，经过多次转动后得到数据见上面表格，根据表格估算： ①八个扇形中写有“看电影”的面数为______； ②转动转盘次，估计转得“看电影”的次数约为______ 17．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是多少？ 18．为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 19．某商场柜台为了吸引顾客，打出了一个小广告：本专柜为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率100%，最高奖50元．具体方法是：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准黄、红、绿、白色区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券．（转盘的各个区域均被等分）请根据以上信息，解答下列问题： (1)小红的妈妈购物150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (2)请在转盘的适当地方写上一个区域的颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在某一区域的事件发生概率为，并说出此事件． 20．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）． (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______． (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】由大量重复实验，摸到绿球的频率估计摸到绿球的概率，根据概率公式列式计算即可求得n的数值． 【详解】解:∵大量重复实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25， ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查频率估计概率，准确计算是解题的关键． 2．B 【分析】用次品总数除以零件总数，算出频率，以此估计概率． 【详解】解：生产的一批零件中抽取2000个进行质量检查，结果发现有10个是次品，即次品出现的频率是， 由此估计，从中任取1个是次品概率约为． 故选B． 【点睛】本题考查的是由频率估计概率，掌握频率公式是基础． 3．A 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 【详解】解∶设白球个数为x个， 摸到红色球的频率稳定在左右， 口袋中得到红色球的概率为， ， 解得∶， 经检验是原方程的根， 故白球的个数为12个， 故选∶A． 4．C 【详解】解：在1到100这100个数中，是质数的是：2，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29，31 ，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个， 所以摸出的编号是质数的概率是，   故选C． 【点睛】本题关键是清楚1到100这一范围内有几个质数，特别注意的是1既不是质数，又不是合数． 5．A 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下：    共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果有2种， 两次都摸到相同颜色的小球的概率为． 故选：A． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 6．D 【分析】此题考查概率公式，解题关键在于利用公式进行计算． 分别计算出4个选项中的概率，再比较其大小即可． 【详解】A、抛掷一枚质地均匀的硬币,出现反面的概率是； B、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面分别刻有数字1到6)，掷出的点数为偶数的概率是； C、在一副洗匀的扑克(背面朝上)中任取一张，恰好为黑桃的概率是 ； D、三张同样的纸片，分别写有数字1、3、4，和匀后背面向上，任取一张恰好为奇数的概率为． ∵． 故选：D． 7．D 【详解】解：∵在这一组图形中，中心对称图形只有最后一个， ∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是． 故选D． 8．A 【分析】根据题意画出树形图，即可求出在这两个路口都直接通过的概率． 【详解】解：由题意画树形图得， 由树形图得共有4种等可能性，其中在这两个路口都直接通过的概率是P=． 故选：A 【点睛】本题考查了列表或画树形图求概率，理解题意，正确列表或画树形图得到所有等可能的结果是解题关键． 9． 公平 不可能 【分析】本题考查了游戏公平性，事件的分类知识点，利用概率公式求出是解题关键． （1）利用概率公式求出各自摸到红球的概率是否相等即可； （2）根据事件分类的概念进行判断即可． 【详解】解：（1）∵袋中有两个球，除颜色不同外其余都相同， ∴每个人摸到红球的概率都是相等的， ∴游戏对双方是公平的； （2）这是不可能发生的事，所以是不可能事件． 故答案为：公平，不可能． 10． 【分析】此题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 直接利用概率公式计算可得． 【详解】解：∵一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球， ∴从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是白球的概率为， 故答案为：． 11．． 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】 共有12种情况，其中乘积是负数的情况有8种，因此这两张卡片上的数字之积是负数的概率是． 12． 【分析】根据题意可利用列举法进行求解． 【详解】解：从，，3三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则所有的情况有：，，共有6种可能，符合该点在第三象限的有2种可能，所以其概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键． 13．甲 【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小． 【详解】解：同时出现2个正面是，其它结果是，他们每次获胜都是得1分，所以甲获得胜率的概率大． 故答案为：甲 【点睛】本题考查随机事件，属于基础题，理解随机事件的可能性大小是解题的关键． 14． 【分析】找出这4个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数，然后利用概率公式进行计算即可求得答案． 【详解】解：∵等边三角形、正方形、平行四边形、菱形中既是中心对称图形又是轴对称图形的图形是菱形和正方形， ∴既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是：． 故答案为． 【点睛】本题考查了概率公式，轴对称图形指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形、中心对称图形在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15．P（游戏者获胜）=，见解析. 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出游戏者获胜的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：由题意，列表得 红 红 蓝 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中能配成紫色的结果有5种， 所以P（游戏者获胜）=． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16．(1)； (2)①面；② 【分析】本题考查了概率的计算（包括简单几何概率、用频率估计概率）．对于几何概率，关键是确定所求区域个数与总区域个数的关系；用频率估计概率时，通过多次试验的频率稳定值来估算概率，再利用概率解决相关问题． （1）根据概率公式，求指向“零食”的概率，即“零食”区域个数除以总区域个数；求“文具”所占圆心角度数总和，先求“文具”区域个数占比，再乘以． （2）先计算多次试验中“看电影”的频率，用频率估计概率，再根据概率计算“看电影”的面数和转动800次“看电影”的次数． 【详解】（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中转动一次指向“零食”的结果有种， 转动一次指向“零食”的概率为． “文具”所占的圆心角度数总和为． 故答案为：；． （2）①计算“看电影”的频率:．随着试验次数增加，频率稳定在0.375左右， 八个扇形中写有“看电影”的面数为（面） 故答案为：． ②（次）， 转动转盘次，估计转得“看电影”的次数约为次． 故答案为：． 17． 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：列表得： 红 蓝 蓝 红 红红 红蓝 红蓝 红 红红 红蓝 红蓝 蓝 蓝红 蓝蓝 蓝蓝 ∴一共有9种情况，配成紫色的有5种情况， ∴配成紫色的概率是． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18．(1)顾客获得10元和50元赠券的概率分别是，； (2)方案一，见解析 【分析】本题考查游戏的公平性；根据乘法法则得到相应的概率是解决本题的关键． （1）第一次转得是黑色的概率为，第二次转得是白色的概率为，相乘即为获得10元的概率，同法可得获得50元的概率； （2）算出方案一中可能的概率，可获得资金为相应的钱数与概率的积的和，和10比较即可． 【详解】（1）解：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 出现（黑，白）的概率， 获得10元奖券的概率为， 出现（白，白）的概率为， 获得50元奖券的概率为； （2）解：应选方案一 设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 中奖券金额与其概率的对应关系为： 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 概率 中奖额的预期为 元， ． 应该选择方案一． 19．(1)小红的妈妈获得50元、5元购物券的概率分别是 ． (2)画图见解析，事件为获得10元购物券． 【分析】（1）根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． （2）指针落在某一区域的事件发生概率为，则应该有6块，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵小红的妈妈购物150元， ∴能获得一次转动转盘的机会， ∵转盘被等分为16份，黄色占1份，白色占11份， ∴小红的妈妈获得50元、5元购物券的概率分别是 ． （2）根据概率的意义可知指针落在某一区域的事件发生概率为， 那么应有16×=6块，根据等级越高，中奖概率越小的原则，此处应涂绿色，如图， 事件为获得10元购物券． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 20．(1)0.6 (2)， (3)白色12个，黑色8个 【分析】（1）根据摸球的次数1000次时摸到白球的频率，即可估计出摸到白球的频率． （2）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率． （3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只． 本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系． 【详解】（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6． 故答案为：0.6． （2）因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 所以摸到白球的概率是；摸到黑球的概率是． 故答案为：，． （3）因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是．所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球个，黑球个． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $