精品解析： 河南省洛阳市嵩县2025-2026学年上学期九年级期中数学试题

2025-2026学年河南省洛阳市嵩县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 方程x（x+3）＝0的根是（　　） A. x＝0 B. x＝﹣3 C. x1＝0，x2＝3 D. x1＝0，x2＝﹣3 4. 下列图形中有可能与图相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 6. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 7. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（　　） A. 3：2 B. 3：5 C. 9：4 D. 4：9 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 满足的整数n有几个（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个它的解包含1的一元二次方程：______． 12. 计算的结果是__________. 13. 若，则_____． 14. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 15. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） ； （2）． 17. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 18. 已知a＝，b＝． （1）求a2﹣b2的值； （2）求a2﹣ab+b2． 19. 已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． （1） （2） 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 21. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长． 22. 解方程： （1）． （2）． 23. 在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）当时， ①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省洛阳市嵩县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：A、与是同类二次根式，故A符合题意； B、=2，故B不符合题意； C、=，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选A． 3. 方程x（x+3）＝0的根是（　　） A. x＝0 B. x＝﹣3 C. x1＝0，x2＝3 D. x1＝0，x2＝﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴ 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． 4. 下列图形中有可能与图相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似图形的定义直接得到答案即可． 此题考查了相似图形的定义，解题的关键是能够了解相似图形的定义：对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似形． 【详解】解：原图为四边形，与之相似的只可能是四边形， 故选：B． 5. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 7. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题关键是利用等式性质熟练将比例式与乘积式进行互相转化．把比例式转化为乘积式，逐项判断即可． 【详解】A、由可得：，符合题意； B、由可得：，不符合题意； C、由可得：，不符合题意； D、由可得：，不符合题意； 故选：A． 8. 若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（　　） A. 3：2 B. 3：5 C. 9：4 D. 4：9 【答案】A 【解析】 【详解】∵△ABC～△DEF，相似比为3：2， ∴对应高的比为：3：2． 故选A． 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 10. 满足的整数n有几个（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查零指数幂与有理数的乘方运算，解题的关键是分情况讨论使等式成立的条件（底数为1，底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0）． 通过分指数为0且底数不为，底数为，底数为且指数为偶数，三种情况，求解满足的整数，即可解题． 【详解】解：∵， ∴需分三种情况讨论： 当指数时，即，此时底数，成立； 当底数时，即，解得或，此时指数分别为和，但底数为，故成立； 当底数时，即，解得或．此时指数分别为（偶数）和（奇数），故仅时成立； 综上，满足条件的整数有，共个． 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个它的解包含1的一元二次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由于一元二次方程的解包含1，根据根的定义，代入后方程成立，即系数满足，因此可构造满足此条件的方程即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（）， 若是该方程的一个解， 则代入后，有； 因此，只需选择系数使即可， 例如方程可以为； 故答案为（答案不唯一）． 12. 计算的结果是__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的除法计算即可. 【详解】解：， 故答案为3． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键. 13. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的变形与代入计算是解题的关键．根据已知的比例关系，将用表示出来，再代入所求式子进行计算． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故答案为：． 14. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 将代入原方程，可得，再求出，然后将待求式整理为，最后代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，， ∴. 故答案为：． 15. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】过E作，过G作，过H作，与相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】过E作，过G作，过H作，垂足分别为P，Q，R，与相交于I，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ， ∴四边形AEPD是矩形， ∴， ∵点E，F分别是AB，BC边的中点， ∴， ，， ∵点G是EC的中点， 是的中位线， ， 同理可求：， 由作图可知四边形HIQP是矩形， 又HP=FC，HI=HR=PC， 而FC=PC， ∴ ， ∴四边形HIQP是正方形， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， 解得，，． 17. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可． 【详解】解：如图所示： ∴，， 则原式 ． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键． 18. 已知a＝，b＝． （1）求a2﹣b2的值； （2）求a2﹣ab+b2． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）先化简a＝，b＝，可以得到a+b和a-b的值，然后根据平方差公式将所求式子变形，即可解答本题； （2）由a＝，b＝，先求得a－b和ab的值，然后根据完全平方公式将a2﹣ab+b2变形为(a﹣b)2+ab，即可解答本题． 【详解】解：（1）∵a＝，b＝， ∴a+b＝2，a﹣b＝2， ∴a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝2×2 ＝； （2））∵a＝，b＝， ∴a﹣b＝2，ab＝1， ∴a2﹣ab+b2 ＝（a﹣b）2+ab ＝（2）2+1 ＝8+1 ＝9． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 19. 已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1）5； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，完全平方公式，解决此题的关键是熟记根与系数的关系； （1）根据根与系数的关系得到两根之积和两根之和，再把要求的式子变形即可得到答案； （2）运用完全平方公式把要求的式子进行变形即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题可知：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵，而， ∴， ∴方程总有两个不等的实数根； （2）m的值为，方程的另一个根是6 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，将代入原方程求出m的值是解题的关键． （1）将方程转化为一般式，然后得出根的判别式，得出判别式为非负数得出答案； （2）将代入方程求出m的值，然后根据解方程的方法得出另一个根. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵方程的一个根是1，代入原方程， ∴， 解得：， ∴原方程为：， 解得：． 即m的值为，方程的另一个根是6． 21. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长． 【答案】 （1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB， ∴△BDC∽△ABC； （2）CD＝2． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵△BDC∽△ABC， ∴， ∵BC＝4，AC＝8， ∴CD＝2． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 22. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】依据题意，由，可得，结合，进而计算可以得解； 依据题意，由，则当时，方程成立；又当时，可得，进而计算可以得解． 本题主要考查了解一元二次方程-公式法、绝对值，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 【小问1详解】 解：， 又， ； 【小问2详解】 解：， 当时，方程成立． 当时， 又由题意得，， 不合题意，舍去或， 综上，或． 23. 在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）当时， ①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①仍然成立，理由如下： 如图2， ，， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， 即， ， ， ， ， ， 即； ②四边形是平行四边形，理由如下： 如图3，过作，连接, 交于点， ，， ， ， ， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由①可知， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得； （2）①根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得； ②如图3，过作，连接, 交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及①的结论可得, 根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）如图1， ，， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， ， ， ， 即； （2）①略 ②略 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $