期末复习06因式分解讲义(知识梳理+题型精析+备考通关) 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学因式分解复习讲义以“定义-方法-综合应用”为主线构建知识体系，通过表格清晰呈现10类核心题型，分模块详解提公因式法、公式法等7大知识点，用核心要点和易错点提醒突出重难点，形成逻辑严密的知识脉络。 讲义亮点在于“方法-题型-应用”三阶练习设计，典例结合跟踪训练强化综合运用能力，通过“十字相乘法步骤分解”培养推理意识，“智慧数判断”等实际应用题提升应用意识。易错点提醒助力基础薄弱学生，综合题型供优秀生拓展，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

期末复习06 因式分解讲义 1.判断因式分解的正确性 2.由因式分解结果求未知参数 3.用提公因式法分解因式 4.用平方差公式分解因式 5.用完全平方公式分解因式 6.综合运用公式法分解因式 7.综合提公因式与公式法分解因式 8.用十字相乘法分解因式 9.用分组分解法分解因式 10.因式分解的实际应用 【知识点01】因式分解的定义 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式。 核心要点 1.对象：必须是多项式，单个的单项式不存在因式分解的说法。 2.结果要求 *必须是整式的乘积形式，不能是和或差的形式。 *要分解到每个因式不能再分解为止（在有理数范围内）。 3.与整式乘法的关系：二者是互逆变形 整式乘法：(a+b)(a−b)=a2−b2（积化和差） 因式分解：a2−b2=(a+b)(a−b)（和差化积） 【知识点02】公因式 公因式：一个多项式中各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 一.公因式的确定方法（三步法） *系数部分：取多项式各项系数的最大公约数。 *字母部分：取多项式各项中都含有的相同字母。 *指数部分：取相同字母的最低次幂。 二、特殊情况的公因式 1.若多项式首项系数为负数，公因式通常取带负号的形式，方便后续化简。 2.公因式可以是单项式，也可以是多项式 【知识点03】提公因式法 公因式法 核心是把多项式各项的公因式提取出来，将多项式转化为公因式 × 另一个因式的乘积形式。 一、提公因式法的基本步骤 1.确定公因式 按照 “系数取最大公约数、字母取相同字母、指数取最低次幂” 的原则，找出多项式各项的公因式；若多项式首项系数为负数，公因式通常取带负号的形式。 2. 提取公因式 用多项式的每一项除以公因式，得到剩余的另一个因式，再把公因式和这个因式写成乘积形式。 3. 检查验证 提取后剩余因式的项数要和原多项式一致，且可以进一步检查是否还能继续分解。 二、提公因式法的常见类型 1.公因式是单项式 2.公因式是多项式 当多项式各项含有相同的多项式因式时，直接把这个多项式作为公因式提取 易错点提醒 漏项问题：提取公因式后，剩余因式的项数必须和原多项式一致，尤其注意常数项 “1” 不能漏写。 符号问题：首项系数为负时，提取负号后，括号内各项都要变号。 分解不彻底：提取公因式后，要检查剩余因式是否还能继续分解。 【知识点04】公式法 核心思路是逆用整式乘法公式，将符合公式特征的多项式直接分解为整式乘积的形式。初中阶段重点掌握 平方差公式 和 完全平方公式 两类。 一、平方差公式 1.公式形式a2−b2=(a+b)(a−b) 2.适用条件 多项式是两项式； 两项都能写成一个整式的平方形式； 两项的符号相反（一正一负）。 3.应用步骤 ① 确定公式中的 a 和 b（a、b 可以是单项式、多项式）； ② 代入公式写成 (a+b)(a−b) 的形式； ③ 检查是否分解彻底。 二、完全平方公式 1.公式形式 完全平方和公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 完全平方差公式：a2−2ab+b2=(a−b)2 2.适用条件 *多项式是三项式； *首尾两项是两个整式的平方形式（符号相同）； *中间项是首尾两项底数乘积的 2 倍（符号可正可负）。 口诀记忆首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看中央。 【知识点05】提公因式与公式法综合运用 核心步骤 第一步：优先提取公因式 观察多项式各项是否有公因式（包括单项式公因式和多项式公因式），先提取公因式，简化多项式形式。 注意：首项系数为负时，先提负号，括号内各项要变号。 第二步：套用公式分解 提取公因式后，观察剩余因式的结构： *若为两项式且符合 “平方差” 特征（a2−b2），用平方差公式分解； *若为三项式且符合 “完全平方” 特征（a2±2ab+b2），用完全平方公式分解。 第三步：检查分解彻底性 分解后需确认每个因式都不能再分解（有理数范围内），避免半途而废。 二、典型题型 类型 1：提公因式 + 平方差公式 特征：多项式含公因式，提取后剩余因式是两项平方差形式。 类型 2：提公因式 + 完全平方公式 特征：多项式含公因式，提取后剩余因式是三项完全平方形式。 类型 3：提多项式公因式 + 公式法 特征：公因式是多项式，提取后剩余部分仍可套公式。 三、常见易错点 1.跳过提公因式，直接套公式 2.提取公因式后漏项 3.分解不彻底 【知识点06】十字相乘法 适用对象：二次三项式 ax2+bx+c（a,b,c 为整数，a≠0） 核心目标：将二次三项式分解为两个一次因式的乘积 一、 基础形式（a=1） 公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 关键：找两个数 p.q，满足和为一次项系数，积为常数项 二、 通用形式（a≠1） 1.步骤 拆系数：a=a1×a2​，c=c1×c2​ 十字验证：排列 a1、a2、c1、c2，计算交叉相乘和 a1c2+a2c1​ 写结果：若a1c2+a2c1=b，则ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2) 2.十字排列示意 a1 c1 a2 c2 核心注意事项 优先提公因式，再用十字相乘法 常数项符号决定拆分数字的符号，需验证交叉和是否等于一次项系数 分解后检查因式是否还能再分解 【知识点07】分组分解法 适用对象：四项及以上、无法直接提公因式或用公式的多项式 核心思路：将多项式合理分组，使每组能单独分解，再通过组间提公因式或套公式完成整体分解 一、 两种常见分组类型 类型 1：分组后提公因式 操作步骤 *按 “两两分组”原则，把多项式分成两组，每组提公因式 *两组分解后会出现相同的多项式公因式，再整体提取 类型 2：分组后用公式 操作步骤 *按 “三一分组” 或 “二二分组”，让其中一组满足完全平方 / 平方差公式特征 *组间形成新的平方差形式，再用平方差公式分解 核心注意事项 分组关键：分组后要能创造公因式或公式条件，不是随意分组 优先提公因式：分组前若多项式有整体公因式，先提取再分组 符号处理：分组时若括号前是负号，括号内各项要变号例： 题型1判断因式分解的正确性 【典例】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查判断是否是因式分解，根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式化为整式的积的形式即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边是和的形式，不符合题意； C、等式右边是和的形式，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选D． 【跟踪训练1】下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 【跟踪训练2】因式分解的结果是把一个多项式化为几个 的积的形式． 【答案】整式 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解定义：“把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解”． 【详解】解：因式分解的结果是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 故答案为：整式． 题型2.由因式分解结果求未知数 【典例】若可因式分解为，则的值为（   ） A．9 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解和多项式的乘法互为逆运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项系数，即可求出的值． 【详解】， 又可因式分解为， ． ． 故选：C． 【跟踪训练1】若，则m+n等于（    ） A．21 B．-28 C．1 D．2 【答案】B 【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值． 【详解】解：已知等式整理得：， ∴n+3=-4，m=3n， 解得：m=-21，n=-7， 则m+n=-21-7=-28， 故选：B 【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 【跟踪训练2】若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，由于多项式能分解成两个一次因式的积，设分解形式为，展开后比较系数，得到方程组．通过求解方程组，得到，代入表达式计算即可． 【详解】解：设多项式分解为，展开得： 与多项式比较系数： 由和取整数解，． 代入得，； 代入得到，解得， ∴， ∴， 验证其他方程均成立． 当时，代入， 故答案为：． 题型3.用提公因式法分解因式 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．通过观察多项式的各项，提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为 ． 【跟踪训练1】把提公因式后一个因式是，则另一个因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，利用提多项式公因式是解题关键． 通过将表示为，化简原式后提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】解：， . 另一个因式是. 故选：A． 【跟踪训练2】下列各式能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断即可，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，没有公因式，不能因式分解，故选项不符合题意； C、，没有公因式，不能因式分解，故选项不符合题意； D、，没有公因式，不能因式分解，故选项不符合题意； 故选：A． 题型4.用平方差公式分解因式 【典例】已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式法进行因式分解，再代入值计算即可． 【详解】解：∵且，， ∴； 故答案为：3． 【跟踪训练1】小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果： ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键． 根据平方差公式分解因式有两种情况：①当的值为2时，②当的值为4时，利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：①当的值为2时，则； ②当的值为4时，则； 故答案为：或． 【跟踪训练2】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以11就是一个“智慧数”．下面4个数中不是“智慧数”的是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记是解题的关键．设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案． 【详解】解：设k是正整数， ∵， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意； ∵， ∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意， B选项2026不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意． 故选：B． 题型5.用完全平方公式分解因式 【典例】下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 【跟踪训练1】．因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，通过将替换为，简化表达式为，然后利用完全平方公式进行因式分解，掌握完全平方公式分解因式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 【跟踪训练2】二次三项式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了通过完全平方公式因式分解求二次三项式的最值，偶次方的非负性，通过配方将原式化为完全平方形式，利用平方的非负性求最小值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 题型6.综合运用公式法分解因式 【典例】已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪训练1】分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【跟踪训练2】已知，且，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解、代数式求值、整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 整理条件式，根据公式法对其因式分解，进而解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， ， ∴， ∴， ． 故答案为：0 ． 题型7综合提公因式与公式法分解因式 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪训练1】分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，通过提取公因式后，再对进行因式分解，得到完全分解形式即可． 【详解】解： 故选：B． 【跟踪训练2】小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱河南 B．爱河南 C．我爱学 D．河南数学 【答案】A 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 本题考查了因式分解，选择适当的方法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵对应密码字：我， 爱，河，南， ∴密码信息为“我爱河南”， 故选：A． 题型8.用十字相乘法分解因式 【典例】将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法，准确的计算是解决本题的关键． 根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选C． 【跟踪训练1】若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题主要考查的是十字相乘法分解因式等有关知识，对常数16的正确进行质因数分解，是解题的关键． 利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：根据“十字相乘法”得， ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ∴的值一共有6个， 故选：C． 【跟踪训练2】下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： 故选：A． 题型9.用分组分解法分解因式 【典例】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．对等式左边进行分组分解，前两项用平方差公式进行因式分解，然后两组提取公因式 ，从而求出 ． 【详解】解： ， 与右边 比较，可得： ． 故答案为：． 【跟踪训练1】把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 【跟踪训练2】已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 【答案】C 【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大， ∴当时，； 当时，， ∴的最大值为76， 故选：C． 【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式． 题型10.因式分解的实际应用 【典例】已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，将给定表达式通过因式分解和约分进行化简． 【详解】解：长方形的面积为， 因为长方形的长为， 所以宽为：． 故答案为：． 【跟踪训练1】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【答案】8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 【跟踪训练2】连续三个自然数的乘积是，那么，这三个自然数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因数分解的应用，把进行因数分解即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵将分解质因数得，组合质因数可得三个连续的自然数、和 即， ∴这三个连续的自然数为，，， ∴这三个自然数的和是， 故答案为：． 1．(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解. 【详解】解：原式 ； 故答案为：. 3．下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 4．下列因式分解正确的是() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解；逐一检查每个选项的因式分解是否正确，利用平方差公式、完全平方公式和提取公因式等方法进行验证． 【详解】解：对于A：∵，∴A错误． 对于B：∵，但可进一步分解为，∴因式分解不彻底，B错误． 对于C：∵，∴C正确． 对于D：∵，∴D错误． 故选：C． 5．下列四个多项式，可能是x2＋mx－3 （m是整数）的因式的是（   ） A．x－2 B．x＋3 C．x＋4 D．x2－1 【答案】B 【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案． 【详解】∵k为整数，且常数项﹣3=（﹣1）×3=（﹣3）×1， ∴或， 故选B． 【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键． 6．已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则 ． 【答案】6 【分析】根据因式分解的定义，多项式乘以多项式等知识﹒设另一个因式为一次式，即可得到，变形为，从而得到，即可求出﹒ 【详解】解：设另一个因式为，则， ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 故答案为：6 7．已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据长方形的周长和面积公式，得出和的值，然后将代数式因式分解后代入求值． 【详解】解：长方形的周长为，面积为， ，即，． 则． 故答案为：． 8．已知是多项式的因式，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的因式，根据是多项式的因式，可得当时，的值也为0，令，，原多项式为，则，解得；当，时，原多项式为，则，解得． 【详解】解：当，时，，， 是多项式的因式， ， ； 当，时，，， ， ， ， 故答案为：，． 9．已知，且都为正数，若满足，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，由已知可得，，，即得，再分与两种情况解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ①当时，， ∴，与已知矛盾，不合题意， ∴； ②∵，，， ∴，，， 若，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，与已知矛盾，不合， ∴， 同理可得，， ∴，即 故选：． 10．若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为 ． 【答案】9或12或21 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 11.下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 解答下列问题． (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的________． A．提公因式法    B．公式法 (2)请你模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题主要考查因式分解的方法，尤其是公式法的应用．本题的关键在于通过换元法将复杂多项式转化为二次式，再利用完全平方公式分解．注意分解后的二次项需进一步简化． （1）判断第二步到第三步的分解方法运用了完全平方公式； （2）需模仿题中换元法，通过换元法将复杂多项式转化为二次式，再利用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：该同学从第二步到第三步，运用了完全平方公式，属于公式法； 故选：B； （2）设，则原式变为， 代入，得． 12．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查因式分解； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）利用分组分解法分解因式即可； （4）把看成一个整体，再利用十字相乘法分解因式即可； （5）先以为主元重新排列，再利用十字相乘法分解因式即可； （6）设，求出对应字母的值求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：设， ∴， ∴， 解得， ∴． 13．在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式讲行因式分解． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，掌握平方差公式是解本题的关键． 根据平方差公式进行添加只含字母a的单项式即可． 【详解】解：① ； ② ． 14．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2), (3) 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 15．已知长方形的周长是320厘米，两条邻边分别为x厘米，y厘米，并且，求长方形的面积． 【答案】4800平方厘米 【分析】根据长方形的周长，因式分解，边长的性质，解答即可． 本题考查了因式分解，边长的性质，长方形的性质，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的周长是320厘米，两条邻边分别是x厘米，y厘米， ∴则（厘米）． ∵， ∴， ∵，， ∴． ， ∴， 解得， 则，即长方形的面积为4800平方厘米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习06 因式分解讲义 1.判断因式分解的正确性 2.由因式分解结果求未知参数 3.用提公因式法分解因式 4.用平方差公式分解因式 5.用完全平方公式分解因式 6.综合运用公式法分解因式 7.综合提公因式与公式法分解因式 8.用十字相乘法分解因式 9.用分组分解法分解因式 10.因式分解的实际应用 【知识点01】因式分解的定义 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式。 核心要点 1.对象：必须是多项式，单个的单项式不存在因式分解的说法。 2.结果要求 *必须是整式的乘积形式，不能是和或差的形式。 *要分解到每个因式不能再分解为止（在有理数范围内）。 3.与整式乘法的关系：二者是互逆变形 整式乘法：(a+b)(a−b)=a2−b2（积化和差） 因式分解：a2−b2=(a+b)(a−b)（和差化积） 【知识点02】公因式 公因式：一个多项式中各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 一.公因式的确定方法（三步法） *系数部分：取多项式各项系数的最大公约数。 *字母部分：取多项式各项中都含有的相同字母。 *指数部分：取相同字母的最低次幂。 二、特殊情况的公因式 1.若多项式首项系数为负数，公因式通常取带负号的形式，方便后续化简。 2.公因式可以是单项式，也可以是多项式 【知识点03】提公因式法 公因式法 核心是把多项式各项的公因式提取出来，将多项式转化为公因式 × 另一个因式的乘积形式。 一、提公因式法的基本步骤 1.确定公因式 按照 “系数取最大公约数、字母取相同字母、指数取最低次幂” 的原则，找出多项式各项的公因式；若多项式首项系数为负数，公因式通常取带负号的形式。 2. 提取公因式 用多项式的每一项除以公因式，得到剩余的另一个因式，再把公因式和这个因式写成乘积形式。 3. 检查验证 提取后剩余因式的项数要和原多项式一致，且可以进一步检查是否还能继续分解。 二、提公因式法的常见类型 1.公因式是单项式 2.公因式是多项式 当多项式各项含有相同的多项式因式时，直接把这个多项式作为公因式提取 易错点提醒 漏项问题：提取公因式后，剩余因式的项数必须和原多项式一致，尤其注意常数项 “1” 不能漏写。 符号问题：首项系数为负时，提取负号后，括号内各项都要变号。 分解不彻底：提取公因式后，要检查剩余因式是否还能继续分解。 【知识点04】公式法 核心思路是逆用整式乘法公式，将符合公式特征的多项式直接分解为整式乘积的形式。初中阶段重点掌握 平方差公式 和 完全平方公式 两类。 一、平方差公式 1.公式形式a2−b2=(a+b)(a−b) 2.适用条件 多项式是两项式； 两项都能写成一个整式的平方形式； 两项的符号相反（一正一负）。 3.应用步骤 ① 确定公式中的 a 和 b（a、b 可以是单项式、多项式）； ② 代入公式写成 (a+b)(a−b) 的形式； ③ 检查是否分解彻底。 二、完全平方公式 1.公式形式 完全平方和公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 完全平方差公式：a2−2ab+b2=(a−b)2 2.适用条件 *多项式是三项式； *首尾两项是两个整式的平方形式（符号相同）； *中间项是首尾两项底数乘积的 2 倍（符号可正可负）。 口诀记忆首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看中央。 【知识点05】提公因式与公式法综合运用 核心步骤 第一步：优先提取公因式 观察多项式各项是否有公因式（包括单项式公因式和多项式公因式），先提取公因式，简化多项式形式。 注意：首项系数为负时，先提负号，括号内各项要变号。 第二步：套用公式分解 提取公因式后，观察剩余因式的结构： *若为两项式且符合 “平方差” 特征（a2−b2），用平方差公式分解； *若为三项式且符合 “完全平方” 特征（a2±2ab+b2），用完全平方公式分解。 第三步：检查分解彻底性 分解后需确认每个因式都不能再分解（有理数范围内），避免半途而废。 二、典型题型 类型 1：提公因式 + 平方差公式 特征：多项式含公因式，提取后剩余因式是两项平方差形式。 类型 2：提公因式 + 完全平方公式 特征：多项式含公因式，提取后剩余因式是三项完全平方形式。 类型 3：提多项式公因式 + 公式法 特征：公因式是多项式，提取后剩余部分仍可套公式。 三、常见易错点 1.跳过提公因式，直接套公式 2.提取公因式后漏项 3.分解不彻底 【知识点06】十字相乘法 适用对象：二次三项式 ax2+bx+c（a,b,c 为整数，a≠0） 核心目标：将二次三项式分解为两个一次因式的乘积 一、 基础形式（a=1） 公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 关键：找两个数 p.q，满足和为一次项系数，积为常数项 二、 通用形式（a≠1） 1.步骤 拆系数：a=a1×a2​，c=c1×c2​ 十字验证：排列 a1、a2、c1、c2，计算交叉相乘和 a1c2+a2c1​ 写结果：若a1c2+a2c1=b，则ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2) 2.十字排列示意 a1 c1 a2 c2 核心注意事项 优先提公因式，再用十字相乘法 常数项符号决定拆分数字的符号，需验证交叉和是否等于一次项系数 分解后检查因式是否还能再分解 【知识点07】分组分解法 适用对象：四项及以上、无法直接提公因式或用公式的多项式 核心思路：将多项式合理分组，使每组能单独分解，再通过组间提公因式或套公式完成整体分解 一、 两种常见分组类型 类型 1：分组后提公因式 操作步骤 *按 “两两分组”原则，把多项式分成两组，每组提公因式 *两组分解后会出现相同的多项式公因式，再整体提取 类型 2：分组后用公式 操作步骤 *按 “三一分组” 或 “二二分组”，让其中一组满足完全平方 / 平方差公式特征 *组间形成新的平方差形式，再用平方差公式分解 核心注意事项 分组关键：分组后要能创造公因式或公式条件，不是随意分组 优先提公因式：分组前若多项式有整体公因式，先提取再分组 符号处理：分组时若括号前是负号，括号内各项要变号例： 题型1判断因式分解的正确性 【典例】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练2】因式分解的结果是把一个多项式化为几个 的积的形式． 题型2.由因式分解结果求未知数 【典例】若可因式分解为，则的值为（   ） A．9 B．8 C． D． 【跟踪训练1】若，则m+n等于（    ） A．21 B．-28 C．1 D．2 【跟踪训练2】若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为 ． 题型3.用提公因式法分解因式 【典例】因式分解： ． 【跟踪训练1】把提公因式后一个因式是，则另一个因式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】下列各式能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型4.用平方差公式分解因式 【典例】已知，则 ． 【跟踪训练1】小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果： ． 【跟踪训练2】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以11就是一个“智慧数”．下面4个数中不是“智慧数”的是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 题型5.用完全平方公式分解因式 【典例】下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】二次三项式的最小值是 ． 题型6.综合运用公式法分解因式 【典例】已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【跟踪训练1】分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知，且，则代数式的值为 ． 题型7综合提公因式与公式法分解因式 【典例】因式分解： ． 【跟踪训练1】分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱河南 B．爱河南 C．我爱学 D．河南数学 题型8.用十字相乘法分解因式 【典例】将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【跟踪训练2】下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 题型9.用分组分解法分解因式 【典例】若，则 ． 【跟踪训练1】把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 题型10.因式分解的实际应用 【典例】已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为 ． 【跟踪训练1】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【跟踪训练2】连续三个自然数的乘积是，那么，这三个自然数的和是 ． 1．(    ) A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列因式分解正确的是() A． B． C． D． 5．下列四个多项式，可能是x2＋mx－3 （m是整数）的因式的是（   ） A．x－2 B．x＋3 C．x＋4 D．x2－1 6．已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则 ． 7．已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为 ． 8．已知是多项式的因式，则 ， ． 9．已知，且都为正数，若满足，，，则（　　） A． B． C． D． 10．若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为 ． 11.下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 解答下列问题． (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的________． A．提公因式法    B．公式法 (2)请你模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 12．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 13．在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式讲行因式分解． 14．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 15．已知长方形的周长是320厘米，两条邻边分别为x厘米，y厘米，并且，求长方形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $