第十七章 因式分解 复习课 导学案 2025-2026学年人教版初中数学八年级上册

该初中数学导学案围绕因式分解复习展开，涵盖概念、提公因式法、公式法及综合运用，通过体系构建和专题复习搭建学习支架，引导学生从基础方法到实际应用逐步深入，梳理知识脉络。 资料以专题分层设计例题与变式训练，结合实际问题（如加密数据、奇特数）培养应用意识，通过类比转化思想提升运算能力和推理意识，参考答案详细便于自主学习，助力学生发展数学思维和创新意识。

第十七章 因式分解 复习课 复习目标 1.知道因式分解的概念,会利用提公因式法、公式法分解因式. 2.会综合用提公因式法和公式法分解因式,能用公式法进行二次因式分解. 3.会用因式分解解决实际问题. 4.学会类比和转化思想,并能够运用整体思想解决问题. 运用提公因式法、公式法分解因式. 【体系构建】 【专题复习】 专题一：用提公因式法分解因式 例1　因式分解: (1)6a2-4ab+2a; (2)(1+x)(1-x)-(x-1). 变式训练 1.把多项式2a2-4a分解因式,应提取的公因式是 ( ) A.a B.2 C.a2 D.2a 2.分解因式b2(x-2)+b(2-x)正确的结果是 ( ) A.(x-2)(b2+b) B.b(x-2)(b+1) C.(x-2)(b2-b) D.b(x-2)(b-1) 3.下列因式分解正确的是 ( ) A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1) B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1) C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2) D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y) 4.若m+n=3,mn=-2,则m2n+mn2的值为　　　　.  专题二：用公式法分解因式 例2　因式分解: (1)9m2-n2; (2)(x-y)2-8(x-y)+16. 变式训练 1.分解因式:x2-4= ( ) A.(x-4)2 B.(x-2)2 C.(x+2)(x-2) D.(x+4)(x-4) 2.因式分解(x-1)2-9的结果是 ( ) A.(x+8)(x+1) B.(x+2)(x-4) C.(x-2)(x+4) D.(x-10)(x+8) 3.若x+y+z=2,x2-(y+z)2=8时,x-y-z的值为　　　　.  4.分解因式:a2-6a+9=　　　　.  5.若(2x)n-81因式分解的结果为(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是　　　　.  专题三：提公因式法与公式法的综合运用 例3　因式分解:(1)8a2-2; (2)xy4+4xy3+4xy2; (3)m2(m-n)+64(n-m); (4)(a2+4)2-16a2. 变式训练 1.将多项式a3-49a进行因式分解的结果是 ( ) A.a(a+7)(a-7) B.(a-7)2 C.a(a2-49) D.(a+7)(a-7) 2.因式分解:2ab2-4ab+2a=　　　　.  3.将x-x2+x3分解因式的结果为　 .  4.因式分解:(1)2b2(b-1)-2(b-1); (2)2x2y-8xy2+8y3; (3)9(x+2y)2-4(x-y)2. 专题四：因式分解的应用 例4　(新考法)整式A,B,C,D如表所示. 整式A:a2-b2 整式B:a-b C=A+B D=A÷B (1)将整式A进行因式分解. (2)化简整式D,当C=18,D=8时,求a和b的值. 变式训练 1.为保证数据安全,通常会将数据经过加密的方式进行保存,例如:将一个多项式a3-a因式分解为a(a-1)(a+1),当a=20时,a-1=19,a+1=21,将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据:192021.根据上述方法,当x=15时,多项式16x3-9x分解因式后形成的加密数据是　　　　.  2.(新趋势)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8,16,24这三个数都是“奇特数”. (1)32这个数是“奇特数”吗?若是,将32表示成两个连续奇数的平方差形式. (2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n为正整数),由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗?为什么? (3)如图,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数……按此规律拼叠得到正方形ABCD,其边长为19,求阴影部分的面积. 参考答案 【专题复习】 专题一 例1 解:(1)原式=2a(3a-2b+1). (2)原式=(1+x)(1-x)+(1-x)=(1-x)(x+2). 变式训练 1.D　2.D　3.A　4.-6 专题二 例2 解:(1)原式=(3m)2-n2=(3m+n)(3m-n). (2)原式=[(x-y)-4]2=(x-y-4)2. 变式训练 1.C　2.B　3.4　4.(a-3)2　5.4 专题三 例3 解:(1)原式=2(2a+1)(2a-1). (2)原式=xy2(y2+4y+4)=xy2(y+2)2. (3)原式=m2(m-n)-64(m-n)=(m2-64)(m-n)=(m+8)(m-8)(m-n). (4)原式=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2. 变式训练 1.A　2.2a(b-1)2 3.x 4.解:(1)原式=2(b-1)(b2-1) =2(b-1)2(b+1). (2)原式=2y(x2-4xy+4y2) =2y(x-2y)2. (3)原式=(3x+6y)2-(2x-2y)2 =(3x+6y+2x-2y)(3x+6y-2x+2y) =(5x+4y)(x+8y). 专题四 例4 解:(1)由表可知,A=a2-b2=(a+b)(a-b). (2)由表可知,A=a2-b2,B=a-b,C=A+B,D=A÷B, ∴D=(a2-b2)÷(a-b)=a+b, C=a2-b2+a-b=(a-b)(a+b+1). ∵C=18,D=8, ∴a+b=8,(a-b)(a+b+1)=18, ∴(8+1)·(a-b)=18,即a-b=2, 联立解得 变式训练 1.155763 2.解:(1)∵32=92-72,∴32是“奇特数”. (2)这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数. 理由:∵(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n, ∴由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数. (3)阴影部分的面积为S=192-172+152-132+…+72-52+32-12 =(19+17)(19-17)+(15+13)(15-13)+…+(3+1)(3-1) =(19+17+15+13+…+3+1)×2 =×10×2=200. 学科网（北京）股份有限公司 $