专题04指数函数与对数函数的图像与性质5大题型（期末真题汇编，四川专用）高一数学上学期人教A版

专题04指数函数与对数函数的图像与性质 5大高频考点概览 考点01 指/对数函数的定义域与值域 考点02 指/对数函数的单调性奇偶性对称性与最值 考点03 指/对数函数的实际应用 考点04 指/对数比较大小 考点05 指/对数函数不等式恒成立与方程有解问题 地 城 考点01 指/对数函数的定义域与值域 1．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿第一中学校南校区·期末)已知函数的图象经过点． （1）求的值； （2）求函数，当时的值域． 2．(24-25高一上·四川资中县球溪高级中学·期末)若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·四川内江·期末)已知函数的图象经过点，其中． (1)求实数a，b的值； (2)求函数的定义域和值域． 4．(24-25高一上·四川绵阳·期末)函数的定义域为 . 5．(24-25高一上·四川眉山·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 6．(24-25高一上·四川安岳中学·期末)已知函数，以下说法正确的有（    ） A．若的定义域是，则 B．若的定义域是，则 C．若恒成立，则 D．若，则的值域不可能是 7．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)给出下列说法，正确的有（    ） A．函数单调递增区间是 B．已知的定义域为，则的取值范围是 C．若函数在定义域上为奇函数，则 D．若函数在定义域上为奇函数，且为增函数 10．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 地 城 考点02 指/对数函数的单调性奇偶性对称性与最值 11．(24-25高一上·四川泸县第五中学·期末)若是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)已知函数，则函数单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 13．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求的值； (2)已知函数在上单调递增； ①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）； ②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围； (3)设函数，求在上的最小值. 14．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数 是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若，不等式对恒成立，求实数得取值范围. 15．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数，函数 (1)证明函数的奇偶性，并求的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义法证明； (3)，使在区间上的值域为，求实数的取值范围. 16．(24-25高一上·四川泸州高级中学校·期末)已知函数是指数函数，且其图象经过点，. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明： (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 17．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿第一中学校南校区·期末)已知定义域为的函数是奇函数 （1）求的值 （2）判断并证明该函数在定义域上的单调性 （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．(24-25高一上·四川乐山·期末)已知函数（为实数）是奇函数. (1)求的值； (2)解不等式：； (3)若实数满足，求的取值范围. 19．(24-25高一上·四川乐山·期末)已知函数，其中. (1)证明：函数的图象是中心对称图形； (2)设，证明：； (3)令，若，使得，求的取值范围. 20．(24-25高一上·四川南充·期末)已知函数是偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为 ． 21．(24-25高一上·四川成都·期末)已知函数，其中． (1)判断并证明在上的单调性； (2)我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．据此，求图象的对称中心； (3)把集合称作函数关于函数在区间上的倍集．是否存在，使得关于在上的倍集不为空集？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 地 城 考点03 指/对数函数的实际应用 22．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（    ）年． A．3 B．4 C．5 D．6 23．(24-25高一上·四川泸县第五中学·期末)同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间（单位：年）与满足关系式，且（动植物体内初始的含量为，死亡年后的含量为）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中的含量为原来的70％，可以推测该样本距今约（参考数据：，）（ ） A．2750年 B．2865年 C．3050年 D．3125年 24．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（   ） A． B． C． D． 25．(24-25高一上·四川泸县第二中学·期末)放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 26．(24-25高一上·四川泸州泸州老窖天府中学·期末)根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中（单位：万辆）为第年底新能源汽车的保有量，为年增长率，为饱和度，为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为（　　）（结果四舍五入保留整数，参考数据：） A．65万辆 B．64万辆 C．63万辆 D．62万辆 27．(24-25高一上·四川泸州泸州老窖天府中学·期末)在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示. 2 3 5 3.5 4.5 5.5 (1)当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式. (2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：） (3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量. 28．(24-25高一上·四川安岳中学·期末)一种药在病人血液中的量保持在 以上，才有疗效；而低于 ，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（    ）小时．（精确到 ，参考数据：） A． B． C． D． 29．(24-25高一上·四川泸州·期末)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：.已知五分记录法的评判范围为，设，则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为（    ） A． B． C． D． 30．(24-25高一上·四川泸州·期末)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min. (1)求； (2)小王想喝的温水，发现水的温度为，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少min？ (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要8min.现该电热水壶中水的温度为，经过98min后，此时壶中水的温度是多少？ 31．(24-25高一上·四川巴中·期末)根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中为饱和度，为初始值，此后第年底新能源汽车的保有量为（单位：万辆），为年增长率.若该地区2024年底的新能源汽车保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区新能源汽车的保有量约 万辆.（结果四舍五入保留到整数；参考数据：） 32．(24-25高一上·四川眉山·期末)为保保农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了种农药在种（类）农副产品中的项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙耙柑上的百菌清残留量达到了，并以每天的速度降解，直至天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的天后，百菌清残留量为，则在该次喷洒农药的（   ）天后，百菌消残留量约为.（参考数据：，） A． B． C． D． 地 城 考点04 指/对数比较大小 33．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 34．(24-25高一上·四川泸县第二中学·期末)若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 35．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知，，则（    ） A． B． C． D． 36．(24-25高一上·四川泸州泸化中学·期末)已知，，，则、、的大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 37．(24-25高一上·四川成都邛崃第一中学校·期末)已知是函数图像上不同的两点，则（   ） A． B． C． D． 38．(24-25高一上·四川泸州·期末)已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 39．(24-25高一上·四川巴中·期末)下列不等式成立的是（    ） A．. B．. C． D． 40．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若， ，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 41．(24-25高一上·四川达州普通高中·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 指/对数函数不等式恒成立与方程有解问题 42．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数，其中为实数. (1)若函数的定义域为，求的取值范围； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 43．(24-25高一上·四川广安第二中学校·期末)已知函数为偶函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 44．(24-25高一上·四川安岳中学·期末)已知定义在上的函数满足且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 45．(24-25高一上·四川成都邛崃第一中学校·期末)已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是 . 46．(24-25高一上·四川成都邛崃第一中学校·期末)已知函数与. (1)请用定义法证明函数的单调性; (2)当时,求在区间上的值域; (3)对于函数和,设,若存在α,β,使得,则称函数和互为“零点相邻函数”.若函数与是“零点相邻函数”,求实数a的取值范围. 47．(24-25高一上·四川自贡第一中学校·期末)已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 ． 48．(24-25高一上·四川自贡第一中学校·期末)已知函数是偶函数，且，. (1)当时，求函数的值域； (2)设，，求函数的最小值； (3)设，对于（2）中的，是否存在实数，使得函数在时有且只有一个零点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 49．(24-25高一上·四川广元·期末)已知，若，使得，则实数m的最大值是 ． 50．(24-25高一上·四川宜宾·期末)已知是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)设函数， ①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； ②对包含实数0的区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04指数函数与对数函数的图像与性质 5大高频考点概览 考点01 指/对数函数的定义域与值域 考点02 指/对数函数的单调性奇偶性对称性与最值 考点03 指/对数函数的实际应用 考点04 指/对数比较大小 考点05 指/对数函数不等式恒成立与方程有解问题 地 城 考点01 指/对数函数的定义域与值域 1．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿第一中学校南校区·期末)已知函数的图象经过点． （1）求的值； （2）求函数，当时的值域． 【答案】（1）（2） 【来源】四川省眉山市仁寿县仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）函数的图象经过点．带入计算即可求的值． （2）求函数转化为二次函数的问题求值域即可． 【详解】（1）函数的图象经过点．则有解得． （2）由（1）可知，那么函数 则， 当，即时，． 当，即时，. 所以函数的值域为． 【点睛】本题考查了函数的带值计算和复合函数的值域．考查了转化思想，利用二次函数来求值域．属于中档题． 2．(24-25高一上·四川资中县球溪高级中学·期末)若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省资中县球溪高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试（普通班）数学试题 【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】依题意，，其图象关于直线对称， 则， 所以，所以，解得， 所以，此时，满足题意； 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故选：B． 3．(24-25高一上·四川内江·期末)已知函数的图象经过点，其中． (1)求实数a，b的值； (2)求函数的定义域和值域． 【答案】(1)， (2)定义域：；值域： 【来源】四川省内江市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）把点代入函数的解析式，列方程组求解可得a，b的值. （2）根据对数的意义求函数的定义域，结合对数函数的性质结合二次函数在给定区间上的值域可求函数的值域. 【详解】（1）由题意： ， 又，所以. （2）因为， 由 ，所以函数的定义域为：. 因为 ，. 当时，，当时，取得最大值. 所以， 所以函数的值域为 4．(24-25高一上·四川绵阳·期末)函数的定义域为 . 【答案】 【来源】四川省绵阳市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量测试数学试题 【分析】由函数定义域的概念列出不等式求解即可； 【详解】由题意可得：， 解得：且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 5．(24-25高一上·四川眉山·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【来源】四川省眉山市2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试题 【分析】令，设的值域为集合，利用对数函数的图象与性质，得到，从而有，即可求解. 【详解】令，设的值域为集合， 因为函数的值域为，所以， 则，解得或， 故答案为：. 6．(24-25高一上·四川安岳中学·期末)已知函数，以下说法正确的有（    ） A．若的定义域是，则 B．若的定义域是，则 C．若恒成立，则 D．若，则的值域不可能是 【答案】CD 【来源】四川省安岳中学2024-2025学年高一上学期1月期末检测数学试题 【分析】利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；分析可知对任意的，，列出关于的各种情况，可判断B选项；利用对数运算求出的值，可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若函数的定义域为， 则关于的不等式的解集为，故，A错； 对于B选项，若函数的定义域为，则对任意的，， 所以，或，B错； 对于C选项，由可得， 即，所以，，C对； 对于D选项，当时，则函数的值域为， 若函数的值域为，则，显然是不可能的，D对 故选：CD 7．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）数学试题 【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立， 结合二次不等式恒成立求解即可. 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：C 8．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解. 【详解】的定义域需满足， 解得且， 故定义域为 故选：C 9．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)给出下列说法，正确的有（    ） A．函数单调递增区间是 B．已知的定义域为，则的取值范围是 C．若函数在定义域上为奇函数，则 D．若函数在定义域上为奇函数，且为增函数 【答案】BCD 【来源】四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 【分析】计算对数函数的定义域可得A；借助对数函数的定义域可将问题转化为，可得，计算即可得B；运用奇函数的定义计算即可得C；运用奇函数的定义及复合函数单调性判断即可求解D. 【详解】A选项，由，得，故A错误； B选项，定义域为，则恒成立， 则，∴，故B正确； C选项，定义域为，且为奇函数， ∴，∴， 当时，，满足题意，故C正确； D选项，∵， ∴的定义域为， 且， ∴为奇函数， 又时，，均为增函数， ∴也是增函数，而为增函数， ∴为增函数，故D正确. 故选：BCD. 10．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期期末模拟测试数学试题 【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域. （2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解. 【详解】（1）因为， 由对数函数单调性可知，当时，， 令，，函数，， 函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以可得当时，函数的值域为. （2）当时，，令，， 不等式，则在上有解， 即在上有解，函数在上单调递增， 当时，. 所以的取值范围是. 地 城 考点02 指/对数函数的单调性奇偶性对称性与最值 11．(24-25高一上·四川泸县第五中学·期末)若是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川省泸县第五中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故. 所以. 故选：C. 12．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)已知函数，则函数单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 【分析】先求函数定义域，再结合复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得或， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以函数单调递增区间为. 故选：D. 13．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求的值； (2)已知函数在上单调递增； ①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）； ②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围； (3)设函数，求在上的最小值. 【答案】(1) (2)①单调递增；② (3) 【来源】四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 【分析】（1）根据题意得到，得到方程，求出； （2）①根据函数的奇偶性和上的单调性，求出在上单调递增； ②根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出，根据根的判别式得到不等式，求出； （3）令，换元得到，，根据单调性求出最值. 【详解】（1）函数是定义在R上的奇函数， ，即，解得.（经检验满足题意）. （2）①函数在上单调递增，理由如下： 因为在单调递增，又为奇函数， 故函数在上单调递增； ②函数在R上单调递增，且为奇函数， 等价于 对任意，不等式恒成立， 即，对任意恒成立，即， ，解得， 的取值范围是. （3）令，则， 当，时，. ，， ，， 二次函数开口向上，对称轴为， 在区间上单调递增， ， 即在上的最小值为. 14．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数 是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若，不等式对恒成立，求实数得取值范围. 【答案】(1)1； (2)或. 【来源】四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）数学试题 【分析】（1）根据奇函数性质求参数值； （2）根据已知可得，应用单调性定义判断单调性，再由单调性、不等式恒成立、一元二次不等式解法求参数范围. 【详解】（1）因为为奇函数， 所以， 解得. （2）由（1）知，又，所以. 任取且， 则， 所以，，故， 则为上的减函数. 所以恒成立等价于恒成立， 令，则，因为，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为或. 15．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数，函数 (1)证明函数的奇偶性，并求的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义法证明； (3)，使在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，0； (2)单调递减，证明见解析； (3). 【来源】四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）数学试题 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解； （2）根据函数的单调性即可求解； （3）根据函数的单调性，将问题转化为，进而转化为在内有两不等实根，利用换元法和分离参数，结合对勾函数的性质求解. 【详解】（1）由于函数的定义域为且，关于原点对称； 又，故为奇函数； 则 ； （2）函数在上单调递减，证明如下： 当时，， 设 由于且， 故，则， 因此， 故函数在上单调递减. （3）因为，且在上单调递减，为单调递增函数， 所以在上单调递减， 所以在上的值域为， ，即 整理得： 即在内有两不等实根， 令，当时，则关于的方程在内有两个不等实根， 整理得：，令，则， 故题设等价于函数与在有两个不同的交点， 由对勾函数性质知函数在上递减，在上递增，且时，，如图， 所以函数在上值域为. ，即. 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有： （1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元. （2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 16．(24-25高一上·四川泸州高级中学校·期末)已知函数是指数函数，且其图象经过点，. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明： (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)为奇函数，证明见解析 (3)6 【来源】四川省泸州高级中学校2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题 【分析】（1）设，代入点可求的解析式； （2）利用定义法判断并证明的奇偶性； （3）由的解析式，得不等式恒成立， 令，转化为在时恒成立，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）设指数函数，且， 函数图象经过点，有，解得， 所以. （2）为奇函数，证明如下： ，函数定义域为R， ， 所以为奇函数. （3）不等式， 即，得， 令， 由，当且仅当，即时等号成立，得， 则有在时恒成立，得在时恒成立， ，当且仅当，即时等号成立，则有， 所以实数的最大值为6. 【点睛】关键点点睛： 不等式恒成立，即不等式恒成立，配方和换元是解题关键，利用配方得，利用换元得在时恒成立，结合基本不等式求解即可. 17．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿第一中学校南校区·期末)已知定义域为的函数是奇函数 （1）求的值 （2）判断并证明该函数在定义域上的单调性 （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）减函数，证明见解析（3） 【来源】四川省眉山市仁寿县仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】(1)由题意结合确定实数a的值即可； (2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可； (3)由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f符号，结合恒成立的结论求解实数的取值范围即可. 【详解】（1）由题设，需．经验证，为奇函数， （2）减函数. 证明：任取，， ， ， 所以在上是减函数. （3）由得， 是奇函数，， 由（2）知在是减函数， 故原问题可化为即：对任意恒成立， ， 解得. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题. 18．(24-25高一上·四川乐山·期末)已知函数（为实数）是奇函数. (1)求的值； (2)解不等式：； (3)若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】四川省乐山市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）结合指数运算，根据奇函数的定义列式求解； （2）将不等式等价化简得，然后结合对数概念利用指数函数单调性解不等式即可； （3）由复合函数的单调性判断，并用定义证明，然后由奇偶性变形，由单调性化简，解一元二次不等式即可得解． 【详解】（1）由题意函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； （2）由（1）知，则， 所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为； （3）由（1）可得； 取任意，且， 则 ， 因为，所以，又易知， 所以，即； 因此函数为单调递减函数； 由可得； 由为单调递减可知，即， 解得，所以的取值范围为. 19．(24-25高一上·四川乐山·期末)已知函数，其中. (1)证明：函数的图象是中心对称图形； (2)设，证明：； (3)令，若，使得，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【来源】四川省乐山市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）计算出函数定义域后，验证是否为定值即可得； （2）结合函数定义域，计算大于是否恒成立即可得； （3）由题意可得，结合函数单调性可得，利用换元法与对勾函数性质可得，解出即可得解. 【详解】（1）由题意可得，即，即， ， 故关于中心对称； （2）当时，， 则， 故当时，； （3）当时，单调递减，单调递增， 则单调递减，又关于中心对称，故在上单调递减， 则， 当，令，则， 由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，，故， 则有恒成立，即，故. 【点睛】本题考查不等式的解法和函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 20．(24-25高一上·四川南充·期末)已知函数是偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为 ． 【答案】 【来源】四川省南充市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】由偶函数性质可得，再应用单调性定义判断在上单调性，结合偶函数解函数不等式求参数范围即可. 【详解】由题设恒成立，可得， 所以，且， 令，则 ，而， 所以，即在上单调递增， 由偶函数易知在上单调递减， 所以，即，可得或， 故实数m的取值范围为. 故答案为： 21．(24-25高一上·四川成都·期末)已知函数，其中． (1)判断并证明在上的单调性； (2)我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．据此，求图象的对称中心； (3)把集合称作函数关于函数在区间上的倍集．是否存在，使得关于在上的倍集不为空集？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) (3)存在，． 【来源】四川省成都市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）应用单调性的定义证明即可； （2）令，应用奇偶性的定义判断的奇偶性，即可得对称中心； （3）问题化为判断是否存在，使在上有解，进而化为在上有解求参数，结合二次函数性质求的取值范围. 【详解】（1）在上单调递增．证明如下： ，，且， 有 ． 因为，所以，，． 故，即． 所以在上单调递增． （2）函数的定义域为． 令，其定义域为， 则， 所以为奇函数， 所以图象的对称中心为． （3）假设存在，使得关于在上的倍集不为空集， 则不等式有解， 所以有解． 令，则，即． 整理，得． 设函数即在内有解． 这里，否则不合题意；此时抛物线的开口向上． 又因为有解，所以． 化简，得，解得或． ①当时，抛物线的对称轴． 所以在内恒有解（至少有）． ②当时，抛物线的对称轴． 要使在内有解，则． 解得，或．又，所以． 综上可知，存在常数，使关于在上的倍集不为空集， 其取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第三小问解决的关键在于结合定义将问题化为判断是否存在，使在上有解. 地 城 考点03 指/对数函数的实际应用 22．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（    ）年． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【来源】四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期期末模拟测试数学试题 【分析】由题设有，即可求参数、的值，进而判断的单调性且，即可判断植物的高度超过至少需要多少年. 【详解】依题意可得，则，解得， ∴， 因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减， 所以在上单调递增，而，， 即， ∴该植物的高度超过，至少需要年. 故选：C. 23．(24-25高一上·四川泸县第五中学·期末)同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间（单位：年）与满足关系式，且（动植物体内初始的含量为，死亡年后的含量为）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中的含量为原来的70％，可以推测该样本距今约（参考数据：，）（ ） A．2750年 B．2865年 C．3050年 D．3125年 【答案】B 【来源】四川省泸县第五中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据已知，再结合，应用对数运算得出. 【详解】依题意，经过n年后含量为，则有，即， 解得，所以. 故选：B. 24．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论． 【详解】由已知，，所以，即，∴， 故选：D． 25．(24-25高一上·四川泸县第二中学·期末)放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省泸县第二中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题 【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可. 【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天， 即，则， 所以质量为的锶89经过30天衰减后， 质量大约为． 故选：D． 26．(24-25高一上·四川泸州泸州老窖天府中学·期末)根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中（单位：万辆）为第年底新能源汽车的保有量，为年增长率，为饱和度，为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为（　　）（结果四舍五入保留整数，参考数据：） A．65万辆 B．64万辆 C．63万辆 D．62万辆 【答案】B 【来源】四川省泸州市泸州老窖天府中学2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题 【分析】把已知数据代入模型，求出对应的值即可． 【详解】根据题中所给模型，代入有关数据，注意以2023年的为初始值， 则2033年底该省新能源汽车的保有量为， 因为，所以， 所以， 所以2033年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆. 故选：B. 27．(24-25高一上·四川泸州泸州老窖天府中学·期末)在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示. 2 3 5 3.5 4.5 5.5 (1)当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式. (2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：） (3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量. 【答案】(1)， (2)模型①是“理想函数模型”，理由见解析 (3)（百万个 【来源】四川省泸州市泸州老窖天府中学2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题 【分析】（1）根据代入法、平方法，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）结合代入法，结合题中理想函数模型的定义分类讨论进行求解即可； （3）结合（2）的结论，利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 由图表数据可得， ，， 联立上式，解方程可得，， 则； 当时，， 由图表数据可得， 联立上式，解方程可得， 则； （2）考虑①，由， 可得，而 ， 可得模型①是“理想函数模型”； 考虑②，由，可得 而， 所以模型②不是“理想函数模型”； （3）由（2）可得时， （百万个 28．(24-25高一上·四川安岳中学·期末)一种药在病人血液中的量保持在 以上，才有疗效；而低于 ，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（    ）小时．（精确到 ，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川省安岳中学2024-2025学年高一上学期1月期末检测数学试题 【分析】根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系，、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解． 【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药， 依题意，可得， 整理，得， 则， ， 同理得， 解得：， 所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时． 故选：C 29．(24-25高一上·四川泸州·期末)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：.已知五分记录法的评判范围为，设，则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川省泸州市2024-2025学年高一上学期1月期末统一考试数学试题 【分析】根据题意结合指、对数运算分析求解. 【详解】设五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为， 则，两式相减得，则， 且，可得， 所以， 故C正确，检验可知其余选项均不符合. 故选：C. 30．(24-25高一上·四川泸州·期末)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min. (1)求； (2)小王想喝的温水，发现水的温度为，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少min？ (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要8min.现该电热水壶中水的温度为，经过98min后，此时壶中水的温度是多少？ 【答案】(1) (2)至少需要等待60min (3) 【来源】四川省泸州市2024-2025学年高一上学期1月期末统一考试数学试题 【分析】（1）根据题意代入相应数据运算即可； （2）根据题意可知，，代入运算即可； （3）根据题意可得水的温度由冷却到，需要，再加热8min，结合题意求水温即可. 【详解】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min， 则，即，所以. （2）由题意可知：，， 可得，解得， 所以至少需要等待60min. （3）设水的温度由冷却到，需要， 则，解得， 此时电热水壶开始加热，需要8min加热至，且， 若水的温度由冷却到，可知需要60min， 显然，则， 所以经过98min后，此时壶中水的温度是. 31．(24-25高一上·四川巴中·期末)根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中为饱和度，为初始值，此后第年底新能源汽车的保有量为（单位：万辆），为年增长率.若该地区2024年底的新能源汽车保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区新能源汽车的保有量约 万辆.（结果四舍五入保留到整数；参考数据：） 【答案】36 【来源】四川省巴中市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题 【分析】把已知数据代入模型，求出对应的值即可． 【详解】根据题意，所给模型中， 则2030年底该省新能源汽车的保有量为， 因为，所以， 所以， 所以2030年底该地区新能源汽车的保有量约36万辆. 故答案为：36. 32．(24-25高一上·四川眉山·期末)为保保农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了种农药在种（类）农副产品中的项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙耙柑上的百菌清残留量达到了，并以每天的速度降解，直至天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的天后，百菌清残留量为，则在该次喷洒农药的（   ）天后，百菌消残留量约为.（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省眉山市2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试题 【分析】由题意可知，天后，百菌清残留量为，结合题意可得出，，然后解方程，利用指数与对数的互化可求得的值. 【详解】由题意可知，天后，百菌清残留量为， ，所以，，， 令，即，则， 所以，，所以，，故， 所以，在该次喷洒农药的天后，百菌消残留量约为. 故选：B. 地 城 考点04 指/对数比较大小 33．(24-25高一上·四川眉山仁寿县·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 【分析】由对数函数、指数函数、的单调性，可以得到，可得到大小关系 【详解】，，，则， 所以， 故选：B 34．(24-25高一上·四川泸县第二中学·期末)若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省泸县第二中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题 【分析】由对数函数和指数函数的性质可得. 【详解】，且， ， ， 故， 故选：A. 35．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）数学试题 【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式能证明，由此能证明，再构造函数，，由，可得 ，则，由此能求出结果． 【详解】解： ，， ， ，等号取不到， ， ， ， ， 令， ∵，∴单调递减，且， ，可得 于是 ， ， 故选：A. 36．(24-25高一上·四川泸州泸化中学·期末)已知，，，则、、的大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省泸州市泸化中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】把各个数都转化为的形式，结合幂函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为在上是增函数，且，所以. 故选：D. 37．(24-25高一上·四川成都邛崃第一中学校·期末)已知是函数图像上不同的两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川省成都市邛崃市第一中学校2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题 【分析】举反例判断A，B，利用对数函数的性质结合基本不等式判断C，D即可. 【详解】由题意不妨设，因为是增函数， 所以，即． ， 当且仅当时取等，则， 即，故C正确，D错误． 取，则，故A错误， 取，则，故B错误． 故选：C 38．(24-25高一上·四川泸州·期末)已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省泸州市2024-2025学年高一上学期1月期末统一考试数学试题 【分析】根据偶函数可知，分析可知在内单调递减，结合单调性即可判断大小. 【详解】因为函数为上的偶函数，则， 且，则，即，可得， 又因为对任意，，均有成立， 可知在内单调递减，则，即. 故选：A. 39．(24-25高一上·四川巴中·期末)下列不等式成立的是（    ） A．. B．. C． D． 【答案】C 【来源】四川省巴中市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题 【分析】根据指数函数的单调性即可判断A；利用对数函数和指数函数的单调性即可判断B；根据对数函数的图像即可判断C；利用换底公式得，再利用的单调性即可判断D. 【详解】对于A，因为为减函数，，所以，故A错误； 对于B，因为为增函数，为减函数， 所以，故B错误； 对于C，在同一坐标中画出与的图像如下： 由图可知，故C正确； 对于D，因为，在为增函数，， 所以，故D错误. 故选：C. 40．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若， ，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）模拟练习数学试题 【分析】利用奇函数的性质把自变量变成大于的数，再利用中间值法比较自变量的大小即可得出答案. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 又因为在上单调递增，且，，， 所以，所以. 故选：D 41．(24-25高一上·四川达州普通高中·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省达州市普通高中2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷 【分析】根据指数、对数和幂函数的性质分别求的范围即可. 【详解】根据题意，，所以， ，所以， ，所以， 故. 故选：A 地 城 考点05 指/对数函数不等式恒成立与方程有解问题 42．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数，其中为实数. (1)若函数的定义域为，求的取值范围； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【来源】四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期期末模拟测试数学试题 【分析】（1）由题意可得对任意都成立，分与讨论，利用判别式法列不等式即可求解. （2）由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围.； （3）由题意，根据题意可得即可.令，则，令，．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 则不等式对任意都成立． ①当时，得，此时函数定义域为，不合题意； ②当时，欲使不等式即对任意都成立， 则，即，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）函数在区间上单调递增， 由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递增，且在上恒成立， 当时，在上单调递减，且，显然不符合题意； 当时，开口向下，对称轴为， 在上单调递减，显然不符合题意； 当时，开口向上，对称轴为， 由题意得，解得． 综上a的取值范围是. （3）当时，． 所以当时，； 令，显然在上递增，则． 则. 令，, 若存在实数满足对任意，都存在， 使得成立，则只需. ①当即时，函数在上单调递增． 则．解得，与矛盾； ②当即时，函数在上单调递减， 在上单调递增．则，解得； ③当即时，函数在上单调递减． 则．解得，与矛盾． 综上，存在实数满足条件，其取值范围为． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 43．(24-25高一上·四川广安第二中学校·期末)已知函数为偶函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1 （Ⅱ）2 （Ⅲ）或. 【来源】四川省广安第二中学校2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题 【分析】（Ⅰ）由题意x∈R时f（﹣x）＝f（x），列出方程求解b＝1即可； （Ⅱ）求出f（1），通过，求解a； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下条件转化为在R上只有一个零点，令t＝2x，则t＞0，即关于t的方程只有一个正实根，令，通过k与1的大小比较，转化求解k的范围即可． 【详解】（Ⅰ）由题意时，，， ，故． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ，显然，，解得或， 又且，所以． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下 ， 在上只有一个零点， 令，则，即关于的方程只有一个正实根， 令， ①当时，，满足条件； ②当时，函数的图象是开口向上的抛物线，又， 所以方程有一正一负两根，满足条件； ③当时，函数的图象是开口向下的抛物线，又， 时满足题意，解得， 故实数的取值范围为或. 【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用． 44．(24-25高一上·四川安岳中学·期末)已知定义在上的函数满足且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】四川省安岳中学2024-2025学年高一上学期1月期末检测数学试题 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，， 即，所以， 故 （2）由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 （3）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 45．(24-25高一上·四川成都邛崃第一中学校·期末)已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【来源】四川省成都市邛崃市第一中学校2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题 【分析】将问题转化为与有3个交点，根据分段函数解析式确定的区间性质，结合函数图象判断交点情况，进而求k的范围. 【详解】由题意，方程有3个实数根，即为与有3个交点， 由的解析式知：当时，；当时，对称轴为且；图象如下图示： ∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围. 46．(24-25高一上·四川成都邛崃第一中学校·期末)已知函数与. (1)请用定义法证明函数的单调性; (2)当时,求在区间上的值域; (3)对于函数和,设,若存在α,β,使得,则称函数和互为“零点相邻函数”.若函数与是“零点相邻函数”,求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】四川省成都市邛崃市第一中学校2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题 【分析】（1）根据函数单调性的定义直接证明即可； （2）当时，令，，函数化为，结合二次函数的性质，即可求得值域； （3）根据题中条件知，在上单调递增,且,据此可知，进而求得，又根据题意在上有解，换元后，根据对勾函数的性质即可求解. 【详解】（1）任取,且, 则 , 因为, 所以, 所以,即， 所以函数在上单调递增. （2）当时,. 又,令,则， 函数的图象开口向上且对称轴为直线, 由， ， 得， 故在区间上的值域为. （3）由(1)知函数在上单调递增, 且,据此可知. 结合“零点相邻函数”的定义可得， 据此可知函数在区间上存在零点, 即方程在区间上存在实数根, 整理得， 令,则，. 根据对勾函数的性质, 函数在区间上单调递减,在上单调递增, 又， 所以，即， 故实数a的取值范围是. 47．(24-25高一上·四川自贡第一中学校·期末)已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【来源】四川省自贡市第一中学校2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题 【分析】根据的图象上存在不同的两个点关于原点对称列方程，利用换元法来求得的取值范围. 【详解】， 由于的图象上存在不同的两个点关于原点对称， 所以有解， 即， ①， 令，当且仅当时等号成立， 则，则①可化为， 依题意，此方程在上有解， 当，解得， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意. 当，即②时， 设，的开口向上，对称轴， 要使在上有零点， 则或， 所以， 结合②得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】易错点睛： 对称点条件的正确使用：在列出关于原点对称的条件时，容易因条件代入不准确而导致方程错误.在运用对称点条件时，需确保每个代入步骤的符号处理正确. 一元二次方程的解集判断：在判断一元二次方程的解的存在性时，特别是对参数的范围进行分类讨论时，容易遗漏某些特殊情况或边界条件.因此，在讨论每种情况时，要确保所有可能性都得到了充分考虑. 48．(24-25高一上·四川自贡第一中学校·期末)已知函数是偶函数，且，. (1)当时，求函数的值域； (2)设，，求函数的最小值； (3)设，对于（2）中的，是否存在实数，使得函数在时有且只有一个零点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【来源】四川省自贡市第一中学校2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题 【分析】(1)由条件求出，由此求出，利用单调性求其在时的值域；(2) 利用换元法，考虑轴与区间的位置关系求，(3)令，由已知可得函数，，在上有且仅有一个交点，由此列不等式求的取值范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，故 而，可得，则，故 易知在上单调递增，故，； 故 （2） 令，故； 则，对称轴为 ①当时，在上单增，故； ②当时，在上单减，在上单增， 故；③当时，在上单减，故； 故函数的最小值 （3）由（2）知当时，； 则，即 令，， 问题等价于两个函数与的图象在上有且只有一个交点； 由，函数的图象开口向下，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增，    可图知； 故 【点睛】函数的零点个数与函数和的图象的交点个数相等，故可通过函数图象研究形如函数的零点问题. 49．(24-25高一上·四川广元·期末)已知，若，使得，则实数m的最大值是 ． 【答案】0 【来源】四川省广元市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】利用单调性求出函数在上的最小值，再利用不等式在上有解求出范围即可. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 于是，由，使得， 得，不等式成立，即，， 而函数在上单调递减，当时，，因此， 所以实数m的最大值是0. 故答案为：0 50．(24-25高一上·四川宜宾·期末)已知是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)设函数， ①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； ②对包含实数0的区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【来源】四川省宜宾市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式即可； （2）①将不等式恒成立转化为，利用换元法得到的最小值即可得到，然后分，，三种情况讨论即可； ②将，都存在以为三角形的三条边长转化为为所包含的任意子区间，然后通过求最值得到，最后根据定义计算即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，且， 当时， ， 综上，的解析式为：. （2）①， 令，， 在上单调递增， ∴当时，， ∴不等式恒成立，转化为：， i当时，恒成立， ii当时，恒成立， iii当时，，则， 由i，ii，iii知： 不等式恒成立的m的取值范围是. ②不妨设 依题意中的“，都存在以为三角形的三条边长”， 等价于， 等价于所包含的任意子区间． 由（2）知，，令，则． 又，当时，有， ∴所有符合条件的区间D上，满足， 即为：，等价于，等价于， 综上，，有. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： ①恒成立； ②恒成立. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $