精品解析：贵州省毕节市金沙县（联考）2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026年秋季学期金沙县期中联考试卷 九年级 数学 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 菱形的对角线相等 3. 下列函数中y是x反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 6. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（ ） A B. C. D. 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某小区有一块长为米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地．它们的面积之和为平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为米，则可以列出关于的方程是（ ） A B. C. D. 10. 反比例函数的图象如图所示，已知正方形的面积为11，点的坐标为，则的值可能是（ ） A B. C. D. 11. 如图，在中，是的角平分线，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每小题4分，共4小题，共46分） 13. 方程的解是__________． 14. 小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率时，用同一枚图钉做实验得到如下数据 掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1000 2000 针尖朝上的频率 请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是_______． 15. 反比例函数的图象经过点、及，则______． 16. 如图，E是正方形中边上的中点，，把绕点A顺时针旋转得到，若连接，则______． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎步骤和逻辑推理过程） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体．（俯视图已给出） （1）请画出这个几何体的主视图和左视图． （2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再添加______个这样的小正方体． 19. 如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，求的面积． 20. 2025年11月1日起，新修订的《福建省非机动车管理办法》（以下简称《办法》）将正式施行．《办法》指出驾乘电动自行车必须全程佩戴安全头盔，未佩戴者将面临警告或者20元罚款．某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔8月份销售192个，10月份销售300个，且从8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低1元，则月销售量将增加10个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 21. 9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； （2）求纪念塔塔高． 22. 如图，四边形平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求点A和点C之间的距离． 23. 年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在组的有____________人，抽取学生成绩的中位数是____________分； （2）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． （1）________，________； （2）当时，求的面积； （3）当时，直接写出自变量的取值范围． 25. 【初步感知】 （1）如图1，在中，，，则斜边上的高为______； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，，点E是内一点，连接，，的面积为32．当时，求的长度； 【学以致用】 （3）如图3，是一块等腰直角的规划用地，点O在斜边上，过O修一条笔直的小路，且O为的中点，点E是三角形内一点，且，连接，，，，规划者想在四边形内种植花草．已知种植花草每平米500元，米，米，则种植花草的最低费用是多少元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年秋季学期金沙县期中联考试卷 九年级 数学 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是掌握俯视图． 根据俯视图逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； B. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； C. 该选项是几何体的俯视图，符合题意； D. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； 故选：C． 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 菱形的对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据菱形的判定、矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项命题不正确，不符合题意； B、矩形的对角线相等，B选项命题正确，符合题意； C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故C选项命题不正确，不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故D选项命题不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 下列函数中y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，根据反比例函数的定义：形如（k为常数且）的函数是反比例函数直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，为正比例函数，故本选项不符合题意； B、，为正比例函数，故本选项不符合题意； C、，满足形式（），故本选项符合题意； D、，为一次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形矩形，， ∴． 故选：B． 5. 关于一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 中，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单概率的计算公式即可得解. 【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是. 故选B. 考点：简单概率计算. 7. 如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用平行四边形的性质证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 又点是边的中点， ， ， 故选：B． 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，解题的关键在于掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方．证明，得到，结合相似三角形的性质进而求解可得答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴三点共线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，某小区有一块长为米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地．它们的面积之和为平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为米，则可以列出关于的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用并求解． 先用分别表示出矩形绿地的长、宽，再根据面积列出方程，化简后作出判断． 【详解】解：设人行道的宽度为米， ∵小区有一块长为米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地， ∴矩形绿地的长为，宽为， ∵矩形绿地的面积之和为平方米， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 反比例函数的图象如图所示，已知正方形的面积为11，点的坐标为，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．根据点B、E的位置和坐标求得k值的取值范围，即可解答． 【详解】解：设,则， ∵正方形的面积为11， ∴，即 ∵由图象可知，点在双曲线第二象限的一支的上方， ∴， ∵点的坐标为，且点在双曲线第四象限的一支的上方， ∴， ∴， 则值可能是， 故选：B． 11. 如图，在中，是的角平分线，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，由等边对等角和三角形内角和定理求出，根据角平分线定义得到，证明得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， 平分， ∴， ； ∵ 设，则， ， 解得(不符合题意，舍去)或， ， 故选：B. 12. 用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形折叠的性质、等边三角形判定、角度计算与线段关系，运用折叠对称性与几何推理思想，关键是结合正方形性质和折叠性质分析各结论，易错点是折叠后线段、角度的等量关系推导错误；解题思路是根据正方形折叠的对称性，逐一分析每个结论，结合等边三角形判定、角度计算和线段比例推导． 【详解】解：①折叠后是的对称轴（折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分），因此，即①正确； ②设正方形边长为，由折叠可知是正方形的中垂线，故，． 折叠后， ∵在中，， ∴， ∴为等边三角形； 即②正确； ③∵四边形为正方形， ∴, 又∵，为等边三角形； ∴，， ∴为等腰三角形； ∴, ∴； 即③正确； ④设正方形边长为2，则，，； 在中， ， ， ∵，为等边三角形，是的中点， ∴，， ∴即④正确． 故选D． 二、填空题（每小题4分，共4小题，共46分） 13. 方程的解是__________． 【答案】 ，． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程的解法，关键是熟练进行因式分解； 将方程化为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得：， 故或， 即，． 故答案为：，． 14. 小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率时，用同一枚图钉做实验得到如下数据 掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1000 2000 针尖朝上的频率 请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据用频率估计概率即可得到答案． 【详解】解：观察数据可得，“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是，即． 故答案为：． 15. 反比例函数的图象经过点、及，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 （）图象上点的横纵坐标之积为常数 ． 设反比例函数解析式为 ，利用点 求出 ，再代入其他点求出 和 ，最后计算 ． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， ∴ 反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， 解得 ， 将点 代入得 ， 解得 ， ∴ ． 16. 如图，E是正方形中边上的中点，，把绕点A顺时针旋转得到，若连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理，由正方形的性质可得，，，结合勾股定理得出，由旋转的性质可得，，最后再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵E是正方形中边上的中点，， ∴，，， ∴， ∵把绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎步骤和逻辑推理过程） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键； （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用直接开平方法解答，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴，， ∴． 18. 如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体．（俯视图已给出） （1）请画出这个几何体的主视图和左视图． （2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再添加______个这样的小正方体． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查三视图的画法，以及根据三视图求立方体个数，理解三视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． （1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，1，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；据此可画出图形． （2）结合主视图和左视图不变得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：在第一层第一列的第一行添加一个小正方体，在第一层第三列的第三行添加一个小正方体，则即可保持主视图和左视图不变，即最多可以再添加2个这样的小正方体． 故答案为：2 19. 如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【小问1详解】 证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 20. 2025年11月1日起，新修订的《福建省非机动车管理办法》（以下简称《办法》）将正式施行．《办法》指出驾乘电动自行车必须全程佩戴安全头盔，未佩戴者将面临警告或者20元罚款．某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔8月份销售192个，10月份销售300个，且从8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低1元，则月销售量将增加10个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 【答案】（1） （2）75元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元，则此时售价为元，根据题意列出方程，解出的值，由于需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，进行定价即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 21. 9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； （2）求纪念塔塔高． 【答案】（1） （2）18米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用及矩形的性质和判定，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合相似三角形性质建立等量关系． （1）根据太阳光下，同一时刻，物体长度和其影长的比值相等得出，结合题干数据即可求解． （2）如图，令与的交点为，则四边形和是矩形，得出，，，设， 则，，表示出，证明，则，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 即， ． 【小问2详解】 解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ∴，， ∴， 设， 则 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 米， 答：纪念碑高度为18米． 22. 如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求点A和点C之间的距离． 【答案】（1）见解析 （2）点A和点C之间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，熟悉掌握矩形的判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定方法先判定出四边形是平行四边形，再利用对角线相等判定出四边形为矩形即可； （2）连接，利用勾股定理求出的长，利用矩形的性质得到的长，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图，连接． ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ∵四边形是矩形 ∴， 在中，由勾股定理可得，， ∴点A和点C之间的距离为． 23. 年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在组的有____________人，抽取学生成绩的中位数是____________分； （2）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）； （2）估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数约人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键； （1）由直方图及中位数定义即可求得； （2）根据样本中不低于分的占比来估计总体； （3）画树状图求解即可. 【详解】解：（1）由直方图可知在组人数：人； ∵， ∴中位数为：； （2）（人）； ∴估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数约人． （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． （1）________，________； （2）当时，求的面积； （3）当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出，即可求出答案； （3）求出反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点，根据图象的位置关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点， ∴，， 解得， 故答案为： 【小问2详解】 由（1）可知反比例函数为，一次函数为 当时，即点的横坐标为， 当时，，， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 联立得到解得或， ∴反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点， 由图象可知，当时，直接写出自变量的取值范围为或． 25. 【初步感知】 （1）如图1，在中，，，则斜边上的高为______； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，，点E是内一点，连接，，的面积为32．当时，求的长度； 【学以致用】 （3）如图3，是一块等腰直角的规划用地，点O在斜边上，过O修一条笔直的小路，且O为的中点，点E是三角形内一点，且，连接，，，，规划者想在四边形内种植花草．已知种植花草每平米500元，米，米，则种植花草的最低费用是多少元． 【答案】（1）（2）；（3）400000元 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求得斜边长，再利用斜边中线的性质求解即可； （2）延长交于点，作于点，作于点，利用三角形面积公式求得，求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可； （3）作于点，作于点，作于点，由，求得的最小值为10，根据全等三角形的判定和性质求得，据此进一步计算即可求解． 【详解】解：（1）作于点， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）延长交于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∵的面积为32， ∴，即， 解得， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴； （3）作于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， 求得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积的最小值为(平方米)， ∵种植花草每平米500元， ∴植花草的最低费用是（元）． 【点睛】本题考查了30度角直角三角形的性质，勾股定理，直角斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $