精品解析：河南省洛阳市洛宁县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中学情调研九年级 数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 是某三角形三边的长，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 4 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 6. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（ ） A. 只有方法1对 B. 只有方法2对 C. 方法1，2都对 D. 方法1，2都错 8. 如图，在正方形中，为的中点，，分别为、边上的点，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形与、分别交于点．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算的结果是______． 12. 计算：的结果是_____. 13. 如图，l1∥l2∥l3，＝，DF＝10，那么DE＝___． 14. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________． 15. 解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为______________． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 19. 阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下： ∵，由，得； ∴代数式的最小值是4. （1）仿照上述方法求代数式的最小值. （2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值. 20. 为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？ 21. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 22. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长． 23. 小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点． 探究发现： （1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”） 拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中学情调研九年级 数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解． 【详解】解：由题意知：被开方数， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0． 2. 是某三角形三边的长，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论． 【详解】解：是三角形的三边， ， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案． 【详解】，故A错； ，故B错； ，C正确； ，故D错． 故选：C． 【点睛】此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0， ∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根， ∴， 解得：且k≠2． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 5. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 6. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知：裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，从而根据底面积可以列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，裁剪后的底面的长为cm，宽为cm， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键． 7. 如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（ ） A. 只有方法1对 B. 只有方法2对 C. 方法1，2都对 D. 方法1，2都错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：方法，连接，， 由网格可知，，， ∴， ∴； 方法，连接，， 由网格可知，，， ∴， ∴； 综上可知：方法，都对， 故选：． 8. 如图，在正方形中，为的中点，，分别为、边上的点，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由在正方形中，，易证得，又由为的中点，，，根据相似三角形的对应边成比例，易求得与的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， 解得：， 在中，， 在中，， 在中，． 故选：． 9. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分是解题的关键．由菱形的性质可先求得菱形的边长，再由三角形中位线定理可求得的长． 【详解】解：四边形为菱形， ，且为的中点， 为的中点， 为△的中位线， ， 故选：． 10. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形与、分别交于点．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定． ①由等腰和等腰三边关系可证；②通过等积式倒推可知，证明即可；③转化为，证明，问题可证；④根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：由已知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以②正确； 由②，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以③正确； 设与相交于O，则， ∵， ∴， ∴， 所以④正确， 综上，正确的结论共有4个， 故选：D． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算的结果是______． 【答案】4 【解析】 【分析】先化简二次根式，然后计算括号内的二次根式减法，再根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 12. 计算：的结果是_____. 【答案】 【解析】 【分析】逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案. 【详解】 = = =(5-4)2018× =+2， 故答案为+2. 【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 13. 如图，l1∥l2∥l3，＝，DF＝10，那么DE＝___． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理由l1∥l2∥l3可以得出，再根据条件就可以求出结论． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴． ∵＝， ∴． ∵DF=10， ∴， ∴DE=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，解答时找准对应线段是解答的关键． 14. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________． 【答案】 【解析】 【详解】∵， ∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a， ∴AC=a， ∵BF⊥AC， ∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC， ∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC ∴a2=CE•a，2a2=AE•a， ∴CE=，AE=， ∴， ∵△CEF∽△AEB， ∴ 故答案为 15. 解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为______________． 【答案】x1＝﹣2，x2＝﹣1 【解析】 【分析】首先根据题意可以设y＝2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3＝0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x． 【详解】解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0， 设y＝2x+5， 方程可以变为 y2﹣4y+3＝0， ∴y1＝1，y2＝3， 当y＝1时，即2x+5＝1，解得x＝﹣2； 当y＝3时，即2x+5＝3，解得x＝﹣1， 所以原方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣1． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程进行解题． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：； ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵，而， ∴， ∴方程总有两个不等的实数根； （2）m的值为，方程的另一个根是6 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，将代入原方程求出m的值是解题的关键． （1）将方程转化为一般式，然后得出根的判别式，得出判别式为非负数得出答案； （2）将代入方程求出m的值，然后根据解方程的方法得出另一个根. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵方程的一个根是1，代入原方程， ∴， 解得：， ∴原方程为：， 解得：． 即m的值为，方程的另一个根是6． 19. 阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下： ∵，由，得； ∴代数式的最小值是4. （1）仿照上述方法求代数式的最小值. （2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值. 【答案】（1）；（2）有最大值，最大值为32. 【解析】 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：（1）∵，由， 得 ； ∴代数式的最小值是； （2）， ∵， ∴， ∴代数式有最大值，最大值为32. 【点睛】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． 20. 为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？ 【答案】销售单价为元时，公司每天可获利元 【解析】 【分析】根据题意设降价后的销售单价为元，由题意得到，则可得到答案. 【详解】解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ，符合题意． 答：这种电子产品降价后的销售单价为元时，公司每天可获利元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的实际应用. 21. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 【答案】河宽为17米． 【解析】 【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长． 【详解】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴∆ABC∽∆ADE， ∴， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴， ∴AB＝17， 即河宽为17m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长． 【答案】 （1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB， ∴△BDC∽△ABC； （2）CD＝2． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵△BDC∽△ABC， ∴， ∵BC＝4，AC＝8， ∴CD＝2． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 23. 小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点． 探究发现： （1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”） 拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： （3）若，求的长． 【答案】（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通过AB=BD求出∠A=∠ADB，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，据此进一步得出∠ADB=∠FDE，最终通过证明∠ADB+∠EDC=90°证明结论成立即可； （2）根据垂直的性质可以得出90°，90°，从而可得，接着证明出，利用可知，从而推出，最后通过证明得出，据此加以分析即可证明结论； （3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，紧接着，继续通过勾股定理求出，最后进一步证明，再根据相似三角形性质得出，从而求出，最后进一步分析求解即可. 【详解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°， ∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD， ∵∠ACB=∠ECD， ∴∠A=∠E， ∵AB=BD， ∴∠A=∠ADB， 在中， ∵F是斜边CE的中点， ∴FD=FE=FC， ∴∠E=∠FDE， ∵∠A=∠E， ∴∠ADB=∠FDE， ∵∠FDE+∠FDC=90°， ∴∠ADB+∠FDC=90°， 即∠FDB=90°， ∴BD⊥DF，结论成立， 故答案为：是； （2）结论成立，理由如下： ∵， ∴90°，90°， ∴， ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 又90°，90°，， ∴， ∴． ∴． ∴F为的中点； （3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）可知， ∴， 又∵， 在中，， ∴， 在中，， 在与中， ∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $