精品解析： 山东省烟台市芝罘区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（五四制）

2025-2026学年山东省烟台市芝罘区九年级（上）期中数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 为任何实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义条件，根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：且， 故选：C． 2. 下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图；分别判断四个选项中几何体的主视图、左视图与俯视图，通过比较即可得出答案． 【详解】解：A、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； B、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； C、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； D、主视图为，左视图和俯视图为，主视图、左视图与俯视图完全相同，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当时，y有最大值为2 C. 对称轴是直线 D. 与y轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数（a，b，c为常数，）的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 对于二次函数，可化为顶点式再根据其性质分析即可． 【详解】解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴选项A不符合题意， ∵ ， ∴当时，y有最小值为2， ∴选项B不符合题意， ∵， ∴二次函数的对称轴是直线， ∴选项C符合题意， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 4. 已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据算式结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：由图可知，的正切值是， ∴的度数为． 故选A． 5. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象． 【详解】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误； 当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数图像与系数的关系． 6. 如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　 　）米． A. 160 B. C. 200 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米， 故选：D． 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，取格点，连接，，则共线，根据勾股定理及其逆定理得到，所以，再利用正弦定义求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 根据网格特点，共线， 因为每个小正方形的边长均为， 所以由勾股定理得：，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：． 8. 如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O，A，C，，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，作轴于点H，求出和的长，进而求出点C的坐标，将点A和点C的坐标代入，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点H， 菱形边长为2， ， ， ， ， ，， ， 将和代入，得： ， 解得， a的值为． 故选：B． 9. 如图，在中，，，点D在的延长线上，和的平分线交于点E，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理的运用、角平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 如图，延长到M，过点A作于点，先运用勾股定理求出的值，再证明，进而求出可得结论． 【详解】解：如图，延长到M，过点A作于点， ，， ， ， ， 过点E作于点F，于点G，于点H， 和的平分线交于点E， ∴， ∴， 平分， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 二次函数大致图象如图，顶点坐标为．下列结论：①；②；③；④对于任意实数，若方程有两根为和，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据二次函数的图象与性质一一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，则，对称轴在轴的左侧，则， ，故①结论正确； 抛物线的顶点坐标， ，， ，， 抛物线的解析式为， ，故②结论正确； ，故③结论错误； 方程整理为， 两个根，故结论④正确； 综上，其中正确结论的个数是个， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在中，，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一个角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义． 根据，设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理求斜边，再根据正弦定义求． 【详解】解：在中，，， 设，， 则斜边， 故． 故答案为：． 12. 将二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移；直接利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减即可解答． 【详解】将原函数的图象向右平移1个单位长度， 将替换为，得， 化简得； 再向上平移2个单位长度，将替换为， 即． 故答案为． 13. 如图，我校小钥将镜子放在距离篮球架底部D若干米的点C处，小怡站在点A处，低头恰好看到篮球架顶端E在镜子中的像与镜子上的标记重合，随后小怡抬头测得篮球架顶端的仰角为，若小怡的眼睛离地面的高度，，则篮球架的高度约为________（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是构造直角三角形． 过作于，利用锐角三角函数确定角的度数，设，表示出D的长度，根据列出方程求解即可． 【详解】解：过作于，可得四边形是矩形 ，， 由反射得 设 ， 在中， ，则 解得， 故答案为：． 14. 若二次函数（）的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为______________． x 0 1 2 3 y 14 7 2 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 求出二次函数解析式，将代入计算即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过、、， 则， 解得：， 即， 当时，． 故答案为：． 15. 当时，二次函数的最大值为8，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 16. 如图，在中，，．点从点出发，沿方向向点运动，点在上，且，设，，已知关于的函数部分图象如图，则该图象上最低点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定由于性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的顶点坐标是解决问题的关键． 根据等腰三角形的性质得，根据，，，得到当点与点重合时，点于点重合，即当时，，再由函数的图象得当时，，由此得，再由勾股定理求出，得到，，证明和相似得，即，整理得，由此即可得出该图象上最低点的坐标． 【详解】解：在中，，， ， ，，， 当点与点重合时，点于点重合， 当时，， 由函数的图象可知：当时，， ， 在中，由勾股定理得， ，， 在中，， ， ， ， ，即， 整理得， 该函数图象上最低点的坐标为 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 已知直线在平面直角坐标系内如图所示，请解答下列问题： （1）用配方法将二次函数化为的形式； （2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）请直接写出不等式的解集______． 【答案】（1） （2） 画出二次函数的图象如图所示． （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式（组）、二次函数的三种形式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合配方法的步骤变形即可． （2）利用描点法画图即可． （3）由图象可知直线与二次函数的图象的交点为，，再结合图象可得答案． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：列表： x 0 1 4 5 y 4 0 0 4 【小问3详解】 解：由图象可知，直线与二次函数的图象的交点为，， 不等式的解集为或 故答案为：或 19. 如图，是的中线， 求： （1）的长； （2）的正弦值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，作于． 在中，，， ，， 在中，， ， ． 【小问2详解】 ， ，，， 在中，． 的正弦值为． 20. 如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． （1）请在图中画出路灯灯泡P的位置； （2）哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请根据以上信息，求灯泡P距离地面的高度． 【答案】（1） 如图，点P即为所求． （2）3.52米 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的应用、中心投影，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接并分别延长，相交于点P，则点P即为所求． （2）过点P作于点G，设交于点H，根据题意可得米，米，米，，，可得，即，求出即可． 【小问1详解】 解：连接并分别延长，相交于点P，则点P即为所求． 【小问2详解】 解：过点P作于点G，设交于点H， 两根标杆的距离为米， 米． 由题意得，，，， 四边形为矩形， 四边形为矩形， 米，米，，， ， ， 米，米， 米， ， 米， 即灯泡P距离地面的高度为米． 21. 在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． （1）这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； （2）队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 【答案】（1）；4 （2）不能，前进或后退 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）对于出手高度，令代入函数求值；求最大高度，将二次函数化为顶点式来确定． （2）先求时的值，与比较判断能否接到；若不能，令，解出的值，再与比较确定前进或后退的距离． 【小问1详解】 解：令，代入得 ， 将化为顶点式得 ， ∴ 篮球飞行的最大高度是． 故答案依次为：；． 【小问2详解】 解：当时， ∵ ， ∴ 他在原地不能接到球． 令，则， 两边同乘得：， ， ， 解得，， ∴他应该后退能接到球或他应该前进能接到球． 22. 网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于30元/．设销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 4300 4200 4100 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）设y与x之间的函数解析式为，把，和，代入即可得到答案； （2）由每千克利润乘以销售数量建立二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数解析式为， 把，和，代入， 得， 解得， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w有最大值为48400元． ∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元． 23. 【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】（1）渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 （2）不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）①；②存在，或或 （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； 【小问3详解】 解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省烟台市芝罘区九年级（上）期中数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 为任何实数 2. 下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当时，y有最大值为2 C. 对称轴是直线 D. 与y轴的交点坐标为 4. 已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　 　）米． A. 160 B. C. 200 D. 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O，A，C，，则a的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点D在的延长线上，和的平分线交于点E，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数大致图象如图，顶点坐标为．下列结论：①；②；③；④对于任意实数，若方程有两根为和，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在中，，，则的值是______． 12. 将二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数的表达式是______． 13. 如图，我校小钥将镜子放在距离篮球架底部D若干米的点C处，小怡站在点A处，低头恰好看到篮球架顶端E在镜子中的像与镜子上的标记重合，随后小怡抬头测得篮球架顶端的仰角为，若小怡的眼睛离地面的高度，，则篮球架的高度约为________（结果精确到，参考数据：） 14. 若二次函数（）的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为______________． x 0 1 2 3 y 14 7 2 15. 当时，二次函数的最大值为8，则_________． 16. 如图，在中，，．点从点出发，沿方向向点运动，点在上，且，设，，已知关于的函数部分图象如图，则该图象上最低点的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知直线在平面直角坐标系内如图所示，请解答下列问题： （1）用配方法将二次函数化为的形式； （2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）请直接写出不等式的解集______． 19. 如图，是的中线， 求： （1）的长； （2）的正弦值． 20. 如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． （1）请在图中画出路灯灯泡P的位置； （2）哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请根据以上信息，求灯泡P距离地面的高度． 21. 在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． （1）这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； （2）队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 22. 网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于30元/．设销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 4300 4200 4100 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 23. 【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $