精品解析：重庆市渝高中学校2026-2027学年八年级上学期半期检测数学试题

重庆市渝高中学教育集团2026-2027学年（上） 初2028届半期教育质量监测 数学试题卷 （全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 中华文化博大精深，其中汉字的书写极具美感，以下汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可能是（　 　） A. B. C. D. 4. 如图，若，则添加不能使的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 在中，，则为钝角三角形 B. 三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点 C. 有一个角为，且腰相等的两个等腰三角形全等 D. 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分 6. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的边上的中线，，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，．若，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 9. 如图，在中，，，为等边三角形，过点作的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 6.5 B. 6.8 C. 7 D. 7.2 10. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. _________． 12. 工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是___________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于y轴对称，则________ 14. 如果等腰三角形有两边分别为9和4，那么它的周长为________． 15. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线交于点，连接．若，则的度数为___________． 16. 如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，．上述结论中正确的有________（填序号）． 三、解答题（本题共10个题，共86分） 17. 化简： （1） （2） （3） （4） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点坐标分别为，，． （1）填空：的面积为______； （2）把先向左平移5个单位长度得到，再将沿x轴翻折得到，请在平面直角坐标系中直接画出； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 20. 如图，已知中，点在边上，且，连接． （1）请你利用尺规作图，在边上截取，作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ． 在和中， ． ②__________． ， ． ③__________． ． 21. 如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 22. 如图，在四边形中，平分，过作于点，交延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知求以及的值． 解：设，得， 则， ． 解得：，， 为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）已知，求以及的值． 解：设①________，得． 则②________ ∴． 解得：③________，④________． ⑤________，的值为⑥________． （2）已知，求以及的值． 24. 【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． （1）小明证明用到的判定定理是： ；（用字母表示） （2）的取值范围是 ； （3）【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； （4）【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 25. 是等边三角形． （1）如图1，是等边三角形，、、三点在一条直线上，连接．求证：平分； （2）如图2，在（1）的条件下，延长、交于点，点为上一点，连接交于点，若为线段的中点，求证：； （3）如图3，过点作线段，使得点为的中点且，当取最小值时，请直接写出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市渝高中学教育集团2026-2027学年（上） 初2028届半期教育质量监测 数学试题卷 （全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 中华文化博大精深，其中汉字的书写极具美感，以下汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐个判断即可． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据同类项的概念、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A：不是同类项，无法合并，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确． 故选：D． 3. 如果一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可能是（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在三角形中任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；可求第三边长的范围，再选出答案． 【详解】设第三边长为x，则 由三角形三边关系定理得3−1<x<3+1，即2<x<4. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边是解题的关键. 4. 如图，若，则添加不能使的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．已知条件中已经有一边一角，需要证明全等，可以添加角，也可以添加边．若添加边，只能添加，若添加角，另外两组角随便添加即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、根据，，不能推出，故本选项符合题意； B、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； C、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； D、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 在中，，则为钝角三角形 B. 三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点 C. 有一个角为，且腰相等的两个等腰三角形全等 D. 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出三个内角的度数，则可判断A；根据三角形角平分线的定义可判断B；若两个等腰三角形的角分别为顶角和底角，两三角形内角度数不同，必然不全等，据此可判断C；根据三角形中线的性质可判断D． 【详解】解：A、∵，， ∴，，， ∴为钝角三角形，原命题是真命题，不符合题意； B、三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点，原命题是真命题，不符合题意； C、题干未限定角是顶角还是底角，若两个等腰三角形的角分别为顶角和底角，两三角形对应内角的度数不同，必然不全等，因此原命题是假命题，符合题意； D、三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，原命题是真命题，不符合题意． 6. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的角平分线、高，由平分，可得，由，，可求得的度数，在中利用三角形内角和可求得答案．求得的度数是解题的关键． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． ∴的度数为． 故选：B． 7. 如图，是的边上的中线，，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵是的边上的中线，的面积为， ∴； ∵E为的中点， ∴； 又∵F为的中点， ∴． 8. 如图，在中，，．若，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先证明，再根据“角角边”证明，可得，最后根据得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，在中，，，为等边三角形，过点作的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 6.5 B. 6.8 C. 7 D. 7.2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，作于，则，证明，得出，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，， 即， 解得， 当时，，， 即，， 解得， 故， 解得， 故的值为或， 故选：A． 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. _________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是___________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 13. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于y轴对称，则________ 【答案】0 【解析】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征，分别求出、的值，再代入计算的结果． 【详解】解：∵ 点和点关于轴对称， ∴ 两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴ ，， 由，解得， 由，解得 ∴ ． 14. 如果等腰三角形有两边分别为9和4，那么它的周长为________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据等腰三角形两腰相等的性质，分两种边长组合讨论，结合三角形三边关系排除无法构成三角形的情况，再计算有效组合的周长. 【详解】解：∵ 等腰三角形的两腰长度相等，已知两边长为9和4，需分两种情况讨论： 第一种情况：腰长为9，底边长为4， ∴ 三角形三边长为， ∵ ，，符合三角形任意两边之和大于第三边的要求， ∴ 该组合可构成三角形，对应周长为； 第二种情况：腰长为4，底边长为9， ∴ 三角形三边长为， ∵ ，不符合三角形三边关系， ∴ 该组合无法构成三角形，需舍去， 综上，该等腰三角形的周长为22． 15. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线交于点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理． 由作图可知垂直平分，即，根据等边对等角及三角形内角和定理求出，同理可得，即可求出的度数． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 故答案为：． 16. 如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，．上述结论中正确的有________（填序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短问题，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识．①根据等边三角形三线合一可以判断；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中结论；③证明，推出，的大小不会随着点D的移动而变化，故③说法错误；④先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，的周长最小，即最小，而，即最小，当和重合时，取最小值，而此时，据此可判断． 【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，故①正确； ②∵垂直平分， ∴， 而， 得到；故②正确； ③∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的大小不会随着点D的移动而变化，③说法错误； ④连接并延长，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，， ∵， ∴点在射线上移动； ∵、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 又∵为中点， ∴， ∴， 周长最小，则最小； ∵直线为的垂直平分线， ∴， ， 在中，， 所以当与重合时最小，即为的长， 此时，，故④说法错误； 故正确结论序号为①②． 故答案为：①②． 三、解答题（本题共10个题，共86分） 17. 化简： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先计算系数乘积，再计算同底数幂的乘积得到结果； （2）先算积的乘方，再计算单项式乘单项式，单项式乘多项式，最后合并同类项； （3）先算乘方，再计算系数乘积和同底数幂的乘积； （4）展开多项式乘多项式，再合并同类项得到结果． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式、多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则对多项式化简，然后再代数求值． 利用平方差公式、多项式乘多项式和单项式乘多项式运算法则即可解答此题． 【详解】解： 当，时，代入上式， 原式． 19. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点坐标分别为，，． （1）填空：的面积为______； （2）把先向左平移5个单位长度得到，再将沿x轴翻折得到，请在平面直角坐标系中直接画出； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 如下图： （3）或 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、翻折变换（折叠问题），熟练掌握平移的性质、翻折的性质是解答本题的关键． （1）利用割补法即可解答； （2）利用平移的性质和对称的性质，画出图形即可； （3）利用分类讨论的思想，即点在线段左边时或点在线段右边时，解方程即可解答． 【小问1详解】 解：的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，如下： 由题意可得，， ， 设， 当点在线段左边时，， 的面积为， 解得； 当点在线段右边时，， 的面积为， 解得， 或． 20. 如图，已知中，点在边上，且，连接． （1）请你利用尺规作图，在边上截取，作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ． 在和中， ． ②__________． ， ． ③__________． ． 【答案】（1） 根据题意，作图如下： （2），； 【解析】 【分析】（1）利用圆规截取，角的平分线基本作图，求解即可． （2）根据三角形全等的判定和性质，平行线的判定证明即可； 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 略． 21. 如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明： 是等腰三角形的底边上的高， ， ， 根据平行线的性质得，， ， 是等腰三角形； （2） 证明：是等腰三角形的底边上的高， ∴， ， ， ， ， ， 由（1）得是等腰三角形； ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答． （2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在四边形中，平分，过作于点，交延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质； （1）根据平分，，得到，，根据得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据，得到，结合，得到，结合，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知求以及的值． 解：设，得， 则， ． 解得：，， 为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）已知，求以及的值． 解：设①________，得． 则②________ ∴． 解得：③________，④________． ⑤________，的值为⑥________． （2）已知，求以及的值． 【答案】（1）①；②；③；④；⑤；⑥ （2）， 【解析】 【分析】（1）设为一次二项式，展开后根据多项式相等的条件列方程求解； （2）设为一次二项式，展开后根据多项式相等的条件列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，得， 则， ， 解得：，． ，． 24. 【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． （1）小明证明用到的判定定理是： ；（用字母表示） （2）的取值范围是 ； （3）【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； （4）【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 证明：延长至点N，使，连接． ∵点M为的中点， ． 在和中， ， ． ， ． ， ∴． 在和中， ， ， ， ∵ ； （4） 解：． 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； （3）延长至点N，使，连接．先证明，进而证明，得到，即可证明； （4）在的延长线上截取，连接，则．先证明，再证明，即可证明，． 【小问1详解】 解：∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∴（）． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 25. 是等边三角形． （1）如图1，是等边三角形，、、三点在一条直线上，连接．求证：平分； （2）如图2，在（1）的条件下，延长、交于点，点为上一点，连接交于点，若为线段的中点，求证：； （3）如图3，过点作线段，使得点为的中点且，当取最小值时，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设交于点，则， 又∵， ∴， ∵、、三点在一条直线上， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：作交于点，则，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，进而推出，根据平角的定义，求出，得到，即可得证； （2）作交于点，证明，推出，再证明，即可得出结论； （3）以为边在的下方构造等边三角形，连接，证明，进而得到，得到，得到当点在线段上时，，值最小，再根据垂线段最短，得到当时，的值最小，此时的周长最小，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的值，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以为边在的下方构造等边三角形，连接，如图， 则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，，值最小， ∵点为的中点且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在上， ∴当时，的值最小，此时的周长最小，如图， ∵，，， ∴， ∴周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $