精品解析：四川省内江市威远中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

威远中学校2025-2026学年高一上期12月月考 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(本题共计8个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题5分，共计40分) 1. 设全集，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用集合补集运算即可. 【详解】，， . 故选：A. 2. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数的定义与性质求解即可. 【详解】由于函数是幂函数，且在上单调递减， 则，且，解得或（舍）， 故选：B. 3. “且”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案， 【详解】当且时，成立， 反过来，当时，例：，不能推出且. 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型. 4. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断ABD，利用指数函数单调性可判断C. 【详解】对A，因为，所以，所以，即，错误； 对B，因为，所以，即，错误； 对C，因为函数在上单调递增，且，所以，正确； 对D，因为，所以，所以，即，错误. 故选：C 5. 若，则（ ） A. 11 B. 14 C. 30 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由，得. 故选：D 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性可得函数的正负情况，进而可解不等式. 【详解】因为函数是奇函数，且在上单调递增， 所以函数在上也单调递增， 又因为，所以， 不等式等价于或， 所以或， 故选：A. 7. 已知集合有且仅有两个子集，则的最小值为（ ） A. 8 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意并由根的判别式得到方程，求出，变形得到，由基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题意得有且仅有两个子集，故集合仅有个元素， 则，即， 因为，所以，故， 得到， 当且仅当，即时，等号成立， 可得的最小值为，故A正确. 故选：A 8. 已知函数，，两者的定义域都是，若对于任意，存在，使得，，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为 A. 3 B. C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】结合“兄弟函数”的定义,可求得在时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得的解析式,进而可求得在区间的最大值. 【详解】由题意,,易知在上单调递减,在上单调递增, 则在上的最小值为. 所以在时取得最小值3. 故函数满足,解得, 则, 故当时,取得最大值为. 故选:C. 【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题. 二、多选题(本题共计3个小题，每小题6分，共计18分) 9. 下列命题中正确的是（    ） A. 若函数满足，则4 B. 函数且的图象恒过定点 C. 命题：“”的否定是“” D. 若函数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数值判断A；求出函数图象所过定点判断B；利用全称量词命题的否定判断C；求出解析式判断D. 【详解】对于A，函数中，取，得，A正确； 对于B，当时，，函数的图象恒过定点，B正确； 对于C，命题：“”的否定是“”，C错误； 对于D，令，则，则， 因此，D正确. 故选：ABD 10. 设函数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 函数与直线的图象有两个不同的公共点 B. 函数有最小值0，无最大值 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设，分析函数性质并画出函数草图，即可判断各项正误. 【详解】由题设， 故在上递减，值域为，在上递增，值域为， 所以的图象如下： 所以与直线的图象有一个交点，有最小值0，无最大值，A错，B对； 由，，结合图知：，可得，C对； 由且，结合图知：且，且， 所以，则，D对. 故选：BCD 11. 若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ） A. B. 函数图象关于直线对称 C. 函数图象关于点中心对称 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得到且，即可判断A，由可得的对称轴，即可判断B，再推导出，即可判断C，最后根据奇偶性求出函数在时的解析式，即可判断D . 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 又，所以，故A正确； 因为，所以关于对称，故B错误； 由，， 所以，即，所以， 则，即， 所以函数的图象关于点中心对称，故C正确； 因为当时，， 设，则，所以， 当时也成立， 所以当时，，故D错误. 故选：AC. 三、填空题(本题共计3个小题，每小题5分，共计15分) 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 若函数在区间上不单调，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 14. 已知，若且，都有，则实数的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出时的范围，分、、求出的值域，结合题意分析即可. 【详解】易知在上单调递减，且， 当时，的值域为，不满足题意； 当时，的值域为，不满足题意； 当时，的值域为， 要使且，都有，则， 所以，解得， 又，所以，所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题(本题共计5个小题，共计77分) 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，可求得集合A，代入a值，根据集合B ，求出，根据交集运算的概念，即可求得答案. （2）由（1）得，根据条件，分别讨论和，即和两种情况，根据包含关系，列出不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 解不等式，得，即， 当时，，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由得， 当，即时，，满足，因此； 当，即时，，即有， 则，解得，因此， 综上，实数的取值范围. 16. 已知函数，不等式的解集为． （1）求，的值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，2，3为方程的两根，根据根与系数的关系，列出方程，即可求得答案. （2）由（1）可知，且满足，恒成立，等价于，根据二次函数的性质，即可求出在上的最小值，分析即可得答案. 【小问1详解】 因为不等式的解集为，所以2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，，所以，. 【小问2详解】 由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于， 当时，函数图象的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减， 所以当时，有最小值0， 所以，实数的取值范围为. 17. 为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为，（m为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为（单位：1万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和 （1）写出的解析式； （2）当x为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1）； （2）40平方米，最小值40万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，求出m值及的解析式，进而求出的解析式作答. （2）结合均值不等式，分段求出的最小值，再比较大小作答. 【小问1详解】 依题意，当时，，即有，解得，则， 于是得， 所以的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上递减，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 显然，所以当x为40平方米时，取得最小值40万元. 【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，满足. （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明. （3）若求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数是定义在上的奇函数，且． 则， 因为函数在上单调递增． 所以，则解得， 所以t的取值范围是． 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. （1）已知函数，判断是否为“局部奇函数”； （2）若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 【答案】（1）不是局部奇函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出即可判断是否为“局部奇函数”； （2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围； （3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在其定义域内不存在非零实数使得， 即不存在使得， 所以不是“局部奇函数”； 【小问2详解】 因为是幂函数，则，所以，， 所以，， 因为在上是“局部奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，且，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即， 故； 【小问3详解】 由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即，故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为. 【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“局部奇函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2025-2026学年高一上期12月月考 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(本题共计8个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题5分，共计40分) 1. 设全集，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. “且”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 11 B. 14 C. 30 D. 45 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合有且仅有两个子集，则的最小值为（ ） A. 8 B. 5 C. 6 D. 9 8. 已知函数，，两者的定义域都是，若对于任意，存在，使得，，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为 A. 3 B. C. D. 13 二、多选题(本题共计3个小题，每小题6分，共计18分) 9. 下列命题中正确的是（    ） A. 若函数满足，则4 B. 函数且的图象恒过定点 C. 命题：“”的否定是“” D. 若函数，则 10. 设函数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 函数与直线的图象有两个不同的公共点 B. 函数有最小值0，无最大值 C. 若，则 D. 若，则 11. 若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ） A. B. 函数图象关于直线对称 C. 函数图象关于点中心对称 D. 当时， 三、填空题(本题共计3个小题，每小题5分，共计15分) 12. ______． 13. 若函数在区间上不单调，则的取值范围是______． 14. 已知，若且，都有，则实数的最大值为________. 四、解答题(本题共计5个小题，共计77分) 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围 16. 已知函数，不等式的解集为． （1）求，的值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 17. 为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为，（m为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为（单位：1万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和 （1）写出的解析式； （2）当x为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数，满足. （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明. （3）若求实数的取值范围. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. （1）已知函数，判断是否为“局部奇函数”； （2）若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $